120 Bài toán xác suất - Dạng 1: Bài toán bốc bi (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 1: Bài toán bốc bi (Có lời giải)

1. HUỲNH ĐỨC KHÁNH 120 BAỉI TOAÙN XAÙC SUAÁT ẹAậC SAẫC
2. DAẽNG 1. BAỉI TOAÙN BOÁC BI A – Cễ BAÛN Bài 1. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhúm gồm 4 người hỏt tốp ca, tớnh xỏc suất để trong 4 người được chọn cú ớt nhất 3 nữ. Lời giải Khụng gian mẫu là chọn tựy ý 4 người từ 13 người. 4 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C13 = 715 . Gọi A là biến cố '' 4 người được chọn cú ớt nhất 3 nữ '' . Ta cú hai trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: 3 1 ● Trường hợp 1. Chọn 3 nữ và 1 nam, cú C8C5 cỏch. 4 ● Trường hợp 2. Chọn cả 4 nữ, cú C8 cỏch. 3 1 4 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8C5 + C8 = 350 . W 350 70 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 715 143 Bài 2. Một hộp cú 5 viờn bi xanh, 6 viờn bi đỏ và 7 viờn bi vàng. Chọn ngẫu nhiờn 5 viờn bi trong hộp, tớnh xỏc suất để 5 viờn bi được chọn cú đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 5 viờn bi từ hộp chứa 18 viờn bi. 5 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C18 = 8568 . Gọi A là biến cố '' 5 viờn bi được chọn cú đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 3 ● Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nờn cú C6 .C7 .C5 cỏch. 2 2 1 ● Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nờn cú C6 .C7 .C5 cỏch. 1 1 3 2 2 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6 .C7 .C5 + C6 .C7 .C5 = 1995 . W 1995 95 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 8568 408 Bài 3. Một hộp cú 5 viờn bi đỏ, 3 viờn bi vàng và 4 viờn bi xanh. Chọn ngẫu nhiờn từ hộp 4 viờn bị, tớnh xỏc suất để 4 viờn bi được chọn cú số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải cú mặt bi xanh. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 4 viờn bi từ hộp chứa 12 viờn bi. 4 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C12 = 495 . Gọi A là biến cố '' 4 viờn bi được chọn cú số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải cú mặt bi xanh '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 3 ● Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nờn cú C5 .C4 cỏch. 2 2 ● Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nờn cú C5 C4 cỏch. 3 1 ● Trường hợp 3. Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nờn cú C5 .C4 cỏch. 2 1 1 ● Trường hợp 4. Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nờn cú C5 C3C4 cỏch. 1 3 2 2 3 1 2 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C4 + C5 C4 + C5 .C4 + C5 C3C4 = 240 .
3. W 240 16 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 495 33 Bài 4. Cú 3 bú hoa. Bú thứ nhất cú 8 hoa hồng, bú thứ hai cú 7 bụng hoa ly, bú thứ ba cú 6 bụng hoa huệ. Chọn ngẫu nhiờn 7 hoa từ ba bú hoa trờn để cắm vào lọ hoa, tớnh xỏc suất để trong 7 hoa được chọn cú số hoa hồng bằng số hoa ly. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 7 hoa từ ba bú hoa gồm 21 hoa. 7 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C21 = 116280 . Gọi A là biến cố '' 7 hoa được chọn cú số hoa hồng bằng số hoa ly '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 5 ● Trường hợp 1. Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nờn cú C8 .C7 .C6 cỏch. 2 2 3 ● Trường hợp 2. Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nờn cú C8 .C7 .C6 cỏch. 3 3 1 ● Trường hợp 3. Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nờn cú C8 .C7 .C6 cỏch. 1 1 5 2 2 3 3 3 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 + C8 .C7 .C6 = 23856 . W 23856 994 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 116280 4845 Bài 5. Cú 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đú khối 12 cú 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 cú 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiờn 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tớnh xỏc suất để 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ đồng thời cú cả khối 11 và khối 12 . Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 3 học sinh từ 13 học sinh. 3 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C13 = 286 . Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ đồng thời cú cả khối 11 và khối 12 '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: ● Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ 1 1 1 khối 12 nờn cú C2C8C3 = 48 cỏch. 1 2 ● Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 cú C2C3 = 6 cỏch. 2 1 ● Trường hợp 3. Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 cú C2 C3 = 3 cỏch. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 48 + 6 + 3 = 57 . W 57 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = . W 286 Bài 6. Cú 5 hộp bỏnh, mỗi hộp đựng 8 cỏi bỏnh gồm 5 cỏi bỏnh mặn và 3 bỏnh ngọt. Lấy ngẫu nhiờn từ mỗi hộp ra 2 bỏnh. Tớnh xỏc suất sao cho trong năm lần lấy ra cú bốn lần lấy được 2 bỏnh mặn và một lần lấy được 2 bỏnh ngọt. Lời giải Khụng gian mẫu là năm lần lấy ngẫu nhiờn từ mỗi hộp ra 2 cỏi bỏnh. 2 5 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= (C8 ) . Gọi A là biến cố '' Trong năm lần lấy ra cú bốn lần lấy được 2 bỏnh mặn và một lần lấy được 2 bỏnh ngọt '' . Ta mụ tả khụng gian của biến cố A như sau:
4. 4 ● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 4 hộp bỏnh từ 5 hộp bỏnh, cú C5 cỏch. Sau đú mỗi 2 4 4 2 4 hộp chọn ra 2 bỏnh mặn, cú (C5 ) cỏch. Do đú cú tất cả C5 (C5 ) cỏch cho giai đoạn này. 2 ● Giai đoạn thứ hai. Hộp cũn lại duy nhất chọn ra 2 bỏnh ngọt nờn cú C3 cỏch. 4 2 4 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 (C5 ) .C3 . 4 2 4 2 W C5 (C5 ) .C3 9375 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = ằ 0,0087. W 2 5 1075648 (C8 ) Bài 7. Một chiếc hộp đựng 7 viờn bi màu xanh, 6 viờn bi màu đen, 5 viờn bi màu đỏ, 4 viờn bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiờn ra 4 viờn bi, tớnh xỏc suất để lấy được ớt nhất 2 viờn bi cựng màu. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 4 viờn bi từ 22 viờn bi đó cho. 4 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C22 = 7315 . Gọi A là biến cố '' Lấy được 4 viờn bi trong đú cú ớt nhất hai viờn bi cựng màu '' . Để tỡm số phần tử của A , ta đi tỡm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là lấy được 4 viờn bi trong đú khụng cú hai viờn bi nào cựng màu. W = 1 1 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C7C6C5C4 840 . W = W- W = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 6475 . W 6475 185 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 7315 209 Bài tập tương tự. Một thựng sỏch cú 5 quyển sỏch Toỏn, 7 quyển sỏch Vật Lớ và 4 quyển sỏch Húa. Chọn ngẫu nhiờn 3 cuốn sỏch, tớnh xỏc suất để 3 cuốn sỏch được chọn khụng cựng một loại. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 3 cuốn sỏch trong thựng gồm 16 cuốn sỏch. 3 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C16 = 560 . Gọi A là biến cố '' 3 cuốn sỏch lấy ra khụng cựng một loại '' . Để tỡm số phần tử của A , ta đi tỡm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 cuốn sỏch lấy ra cựng một loại. W = 3 + 3 + 3 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C5 C7 C4 49 . W = W- W = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 511. W 511 73 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 560 80 Bài 8. Nhõn dịp khỏch sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khỏch sạn thực hiện khuyến mói như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khỏch sạn đều chọn ngẫu nhiờn hai người để tặng thưởng. Cú hai đoàn du lịch cựng đến khỏch sạn, đoàn thứ nhất cú 6 người Việt Nam và 12 người Phỏp; Đoàn thứ hai cú 3 người Việt Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tớnh xỏc suất để cả hai đoàn cú ớt nhất 2 người nhận thưởng đều là người Việt Nam. Lời giải Khụng gian mẫu là số sỏch chọn ngẫu nhiờn mỗi đoàn ra 2 người để tặng thưởng. 2 2 Số phần tử của khụng gian mẫu là W= C18.C12 .
5. Gọi A là biến cố '' Cả hai đoàn cú ớt nhất 2 người nhận thưởng đều là người Việt Nam '' . Để tỡm số phần tử của biến cố A ta đi tỡm số phần tử của biến cố A là cả hai đoàn cú nhiều nhất 1 người Việt Nam nhận thưởng. Cú 3 trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Đoàn thứ I chỉ cú 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn thứ II 1 1 2 khụng cú người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra cú C6 .C12 .C9 cỏch. ● Trường hợp 2. Đoàn thứ II chỉ cú 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn thứ I 1 1 2 khụng cú người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra cú C3 .C9 .C12 cỏch. ● Trường hợp 3. Cả hai đoàn khụng cú người Việt nào được nhận thưởng, cú 2 2 C12 .C9 cỏch. W = 1 1 2 + 1 1 2 + 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là A C6 .C12 .C9 C3 .C9 .C12 C12 .C9 . W W- W 62 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = A = . W W 187 Bài 9. Hộp A cú 4 viờn bi trắng, 5 viờn bi đỏ và 6 viờn bi xanh. Hộp B cú 7 viờn bi trắng, 6 viờn bi đỏ và 5 viờn bi xanh. Lấy ngẫu nhiờn mỗi hộp 1 viờn bi, tớnh xỏc suất để 2 viờn bi được lấy ra cú cựng màu. Lời giải Khụng gian mẫu là số sỏch chọn ngẫu nhiờn mỗi hộp 1 viờn bi. 1 1 Số phần tử của khụng gian mẫu là W= C15.C18 . Gọi X là biến cố '' 2 viờn bi lấy ra từ mỗi hộp cú cựng màu '' . Ta cú cỏc kết quả thuận lợi cho biến cố X như sau: 1 1 ● Hộp A lấy ra 1 bi trắng và hộp B lấy ra 1 bi trắng, cú C4C7 cỏch. 1 1 ● Hộp A lấy ra 1 bi đỏ và hộp B lấy ra 1 bi đỏ, cú C5C6 cỏch. 1 1 ● Hộp A lấy ra 1 bi xanh và hộp B lấy ra 1 bi xanh, cú C6C5 cỏch. 1 1 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4C7 + C5C6 + C6C5 . 1 1 1 1 1 1 WX C4C7 + C5C6 + C6C5 44 Vậy xỏc suất cần tớnh P (X )= = 1 1 = . W C15.C18 135 Bài tập tương tự. Tổ I cú 5 học sinh nam, 6 học sinh nữ. Tổ II cú 7 học sinh nữ, 4 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiờn mỗi tổ 2 học sinh để được 4 học sinh. Tớnh xỏc suất để trong 4 học sinh được chọn cú đỳng 1 học sinh nữ. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn mỗi tổ ra 2 học sinh. 2 2 Số phần tử của khụng gian mẫu là W= C11.C11 = 3025 . Gọi A biến cố '' 4 học sinh được chọn cú đỳng 1 học sinh nữ '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Tổ I chọn được 2 nam và tổ II chọn được 1 nam và 1 nữ. 2 1 1 Do đú trường hợp này cú C5 .C4 .C7 cỏch. ● Trường hợp 2. Tổ I chọn được 1 nam và 1 nữ và tổ II chọn được 2 nam. 1 1 2 Do đú trường hợp này cú C5 C6 .C4 cỏch. 2 1 1 1 1 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C4 .C7 + C5 C6 .C4 = 460 . W 460 92 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 3025 605
6. Bài 10. Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiờn 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiờn 1 quả cầu trong cỏc quả cầu cũn lại. Tớnh xỏc suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cựng màu. Lời giải Khụng gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cỏch lần lượt ngẫu nhiờn. 1 1 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C20 .C19 . Gọi A biến cố '' 2 quả cầu được lấy cựng màu '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng. 1 1 Do đú trường hợp này cú C8 .C7 cỏch. ● Trường hợp 2. Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen. 1 1 Do đú trường hợp này cú C12 .C11 cỏch. 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8 .C7 + C12 .C11 . 1 1 1 1 WA C8 .C7 + C12 .C11 47 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 1 1 = . W C20 .C19 95 B – NAÂNG CAO Bài 11. Một tổ cú 12 học sinh gồm cú 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ, trong đú An là tổ trưởng cũn Hoa là tổ phú. Chọn ngẫu nhiờn 5 học sinh trong tổ để tham gia hoạt động tập thể của trường nhõn dịp ngày thành lập Đoàn 26 thỏng 3. Tớnh xỏc suất để sao cho nhúm học sinh được chọn cú 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong đú phải nhất thiết cú bạn An hoặc bạn Hoa nhưng khụng cú cả hai (An là học sinh nam, Hoa là học sinh nữ). Lời giải Khụng gian mẫu là chọn ngẫu nhiờn 5 học sinh từ 12 học sinh. 5 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C12 = 792 . Gọi A là biến cố '' 5 học sinh được chọn cú 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong đú phải nhất thiết cú bạn An hoặc bạn Hoa nhưng khụng cú cả hai '' . Ta mụ tả cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Cú bạn An. 2 Chọn thờm 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam, cú C6 cỏch. 2 Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ (khụng chọn Hoa), cú C4 cỏch. 2 2 Do đú trường hợp này cú C6 .C4 cỏch. ● Trường hợp 2. Cú bạn Hoa. 1 Chọn thờm 1 học sinh nữ từ 4 học sinh nam, cú C4 cỏch. 3 Chọn 3 học sinh nam từ 6 học sinh nam (khụng chọn An), cú C6 cỏch. 1 3 Do đú trường hợp này cú C4 .C6 cỏch. 2 2 1 3 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6 .C4 + C4 .C6 = 170. W 170 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = . W 792 Bài 12. Để chuẩn bị kỷ niệm 50 năm thành lập trường THPT, nhà trường thành lập hai tổ học sinh để đún tiếp cỏc vị đại biểu. Tổ một gồm 3 học sinh lớp 12A1 và 2 học sinh lớp 12A2 ; tổ
7. hai gồm 3 học sinh lớp 12A1 và 4 học sinh lớp 12A3 . Chọn ngẫu nhiờn từ mỗi tổ ra 2 học sinh, tớnh xỏc suất để trong 4 học sinh được chọn cú đủ học sinh của ba lớp. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn mỗi tổ ra 2 học sinh. 2 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C5 .C7 = 210 . Gọi A là biến cố '' 4 học sinh được chọn cú đủ ba lớp '' . Ta mụ tả cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Tổ một chọn 1 học sinh lớp 12A1 , 1 học sinh lớp 12A2 . Tổ hai chọn 1 học sinh lớp 12A1 , 1 học sinh lớp 12A3 . 1 1 1 1 Do đú trường hợp này cú C3 .C2 .C3 .C4 = 72 cỏch. ● Trường hợp 2. Tổ một chọn 1 học sinh lớp 12A1 , 1 học sinh lớp 12A2 . Tổ hai chọn 2 học sinh lớp 12A3 . 1 1 2 Do đú trường hợp này cú C3 .C2 .C4 = 36 cỏch. ● Trường hợp 3. Tổ một chọn 2 học sinh lớp 12A2 . Tổ hai chọn 1 học sinh lớp 12A1 , 1 học sinh lớp 12A3 . 2 1 1 Do đú trường hợp này cú C2 .C3 .C4 = 12 cỏch. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 72 + 36 + 12 = 120. W 120 4 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 210 7 Bài 13. Hộp bi thứ nhất cú 4 viờn bi đỏ, 3 viờn bi vàng và 5 viờn bi xanh. Hộp bi thứ hai cú 2 viờn bi đỏ, 6 viờn bi vàng và 7 viờn bi xanh. Chọn ngẫu nhiờn mỗi hộp 2 viờn bi, tớnh xỏc suất sao cho 4 viờn bi được chọn luụn cú bi đỏ nhưng khụng cú bi xanh. Lời giải Khụng gian mẫu là chọn ngẫu nhiờn mỗi hộp 2 viờn bi. 2 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C12 .C15 = 6930 . Gọi A là biến cố '' 4 viờn bi được chọn luụn cú bi đỏ nhưng khụng cú bi xanh '' . Ta liệt kờ cỏc trường hợp thuận lợi của khụng gian biến cố A như sau: 2 ● Trường hợp 1. Chọn hộp thứ nhất 2 viờn bi đỏ, cú C4 cỏch. 2 Chọn hộp thứ hai 2 viờn bi từ 8 viờn bi (2 đỏ và 6 vàng), cú C8 cỏch. 2 2 Do đú trường hợp này cú C4 .C8 = 168 cỏch. 1 1 ● Trường hợp 2. Chọn hộp thứ nhất 1 viờn bi đỏ và 1 viờn bi vàng, cú C4C3 cỏch. 2 Chọn hộp thứ hai 2 viờn bi từ 8 viờn bi (2 đỏ và 6 vàng), cú C8 cỏch. 1 1 2 Do đú trường hợp này cú C4C3 .C8 = 336 cỏch. 2 ● Trường hợp 3. Chọn hộp thứ nhất 2 viờn bi vàng, cú C3 cỏch. 2 1 1 Chọn hộp thứ hai 2 viờn bi đỏ hoặc 1 viờn bi đỏ và 1 viờn bi vàng, cú C2 + C2C6 cỏch. 2 2 1 1 Do đú trường hợp này cú C3 (C2 + C2C6 )= 39 cỏch. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 168 + 336 + 39 = 543. W 543 181 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 6930 2310
8. Bài 14. Một lớp học cú 46 học sinh trong đú cú 27 nam và 19 nữ. Đầu giờ truy bài cỏn bộ phụ trỏch lớp kiểm tra và thống kờ được rằng cú 7 nam và 4 nữ khụng chuẩn bị bài tập về nhà, trong đú cú Mai (nữ) và Bỡnh (nam). Vào tiết học cụ giỏo gọi ngẫu nhiờn 2 nam và 2 nữ lờn bảng để kiểm tra bài tập về nhà. Tớnh xỏc suất để 4 học sinh được gọi lờn bảng đều khụng chuẩn bị bài tập về nhà, trong đú cú Bỡnh và Mai. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch gọi ngẫu nhiờn 2 nam, 2 nữ từ 46 học sinh. 2 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C27 .C19 . Gọi A là biến cố '' 4 học sinh (2 nam, 2 nữ) được gọi lờn đều khụng chuẩn bị bài tập về nhà, trong đú cú Bỡnh và Mai '' . Ta mụ tả khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Gọi Bỡnh và Mai lờn bảng, cú 1 cỏch. ● Tiếp theo gọi 1 bạn nam từ 6 bạn khụng làm bài tập về nhà cũn lại và 1 bạn nữ từ 1 1 3 bạn khụng làm bài tập về nhà cũn lại, cú C6C3 cỏch. 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1.C6C3 . 1 1 WA 1.C6C3 2 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 2 2 = . W C27 .C19 6669 Bài 15. Một hộp chứa 3 viờn bi màu xanh, 5 viờn bi màu đỏ, 6 viờn bi màu trắng và 7 viờn bi màu đen. Chọn ngẫu nhiờn từ hộp 4 viờn bi, tớnh xỏc suất để 4 viờn bi được chọn khụng nhiều hơn ba màu và luụn cú bi màu xanh. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 4 viờn bi từ hộp chứa 21 viờn bi. 4 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C21 = 5985 . Gọi A là biến cố '' 4 viờn bi được chọn khụng nhiều hơn ba màu và luụn cú bi màu xanh '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau: 3 ● Trường hợp 1. Chọn 3 viờn bi màu xanh, cú C3 cỏch. 1 Chọn thờm 1 viờn bi trong 18 viờn bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), cú C18 cỏch. 3 1 Do đú trường hợp này cú C3 .C18 cỏch. 2 ● Trường hợp 2. Chọn 2 viờn bi màu xanh, cú C3 cỏch. 2 Chọn thờm 2 viờn bi trong 18 viờn bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), cú C18 cỏch. 2 2 Do đú trường hợp này cú C3 .C18 cỏch. 1 ● Trường hợp 3. Chọn 1 viờn bi màu xanh, cú C3 cỏch. Chọn thờm 3 viờn bi trong 18 viờn bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen) nhưng khụng đủ cả ba 3 1 1 1 màu (đỏ, trắng, đen), cú C18 - C5C6C7 cỏch. 1 3 1 1 1 Do đú trường hợp này cú C3 .(C18 - C5C6C7 ) cỏch. 3 1 2 2 1 3 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C3 .C18 + C3 .C18 + C3 .(C18 - C5C6C7 )= 2295 . W 2295 51 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 5985 133 Bài 16. Một hộp chứa 12 viờn bi kớch thước như nhau, trong đú cú 5 viờn bi màu xanh được đỏnh số từ 1 đến 5; cú 4 viờn bi màu đỏ được đỏnh số từ 1 đến 4 và 3 viờn bi màu vàng được đỏnh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiờn 2 viờn bi từ hộp, tớnh xỏc suất để 2 viờn bi được lấy vừa khỏc màu vừa khỏc số. Lời giải
9. Khụng gian mẫu là số sỏch lấy tựy ý 2 viờn từ hộp chứa 12 viờn bi. 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C12 = 66 . Gọi A là biến cố '' 2 viờn bi được lấy vừa khỏc màu vừa khỏc số '' . ● Số cỏch lấy 2 viờn bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 = 16 cỏch (do số bi đỏ ớt hơn nờn ta lấy trước, cú 4 cỏch lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng khụng lấy viờn trựng với số của bi đỏ nờn cú 4 cỏch lấy bi xanh). ● Số cỏch lấy 2 viờn bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 = 12 cỏch. ● Số cỏch lấy 2 viờn bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 = 9 cỏch. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 16 + 12 + 9 = 37 . W 37 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = . W 66 Bài 17. Một hộp chứa 3 viờn bi xanh, 5 viờn bi đỏ và 6 viờn bi vàng. Lấy ngẫu nhiờn 6 viờn bi từ hộp, tớnh xỏc suất để 6 viờn bi được lấy ra cú đủ cả ba màu. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 6 viờn bi từ hộp chứa 14 viờn bi. 6 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C14 = 3003 . Gọi A là biến cố '' 6 viờn bi được lấy ra cú đủ cả ba màu '' . Để tỡm số phần tử của biến cố A ta đi tỡm số phần tử của biến cố A tức là 6 viờn bi lấy ra khụng cú đủ ba màu như sau: ● Trường hợp 1. Chọn 6 viờn bi chỉ cú một màu (chỉ chọn được màu vàng). 6 Do đú trường hợp này cú C6 = 1 cỏch. 6 ● Trường hợp 2. Chọn 6 viờn bi cú đỳng hai màu xanh và đỏ, cú C8 cỏch. 6 6 Chọn 6 viờn bi cú đỳng hai màu đỏ và vàng, cú C11 - C6 cỏch. 6 6 Chọn 6 viờn bi cú đỳng hai màu xanh và vàng, cú C9 - C6 cỏch. 6 6 6 6 6 Do đú trường hợp này cú C8 + (C11 - C6 )+ (C9 - C6 )= 572 cỏch. W = + = Suy ra số phần tử của biến cố A là A 1 572 573 . W = W- W = - = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 3003 573 2430 . W 2430 810 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 3003 1001 Bài 18. Trong một hộp cú 50 viờn bi được đỏnh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiờn 3 viờn bi trong hộp, tớnh xỏc suất để tổng ba số trờn 3 viờn bi được chọn là một số chia hết cho 3. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 3 viờn bi từ hộp chứa 50 viờn bi. 3 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C50 = 19600 . Gọi A là biến cố '' 3 viờn bi được chọn là một số chia hết cho 3 '' . Trong 50 viờn bi được chia thành ba loại gồm: 16 viờn bi cú số chia hết cho 3; 17 viờn bi cú số chia cho 3 dư 1 và 17 viờn bi cũn lại cú số chia cho 3 dư 2. Để tỡm số kết quả thuận lợi cho biến cố A , ta xột cỏc trường hợp 3 3 3 ● Trường hợp 1. 3 viờn bi được chọn cựng một loại, cú (C16 + C17 + C17 ) cỏch. 1 1 1 ● Trường hợp 2. 3 viờn bi được chọn cú mỗi viờn mỗi loại, cú C16 .C17 .C17 cỏch. 3 3 3 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = (C16 + C17 + C17 )+ C16 .C17 .C17 = 6544 .
10. W 6544 409 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 19600 1225 Bài 19. Một thầy giỏo cú 10 cuốn sỏch khỏc nhau trong đú cú 4 cuốn sỏch Toỏn, 3 cuốn sỏch Vậy Lớ và 3 cuốn sỏch Húa Học. Thầy giỏo muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh A, B, C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giỏo cú bao nhiờu cỏch tặng nếu sau khi tặng sỏch xong, mỗi một trong ba loại sỏch trờn đều cũn lại ớt nhất một cuốn. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 5 trong 10 cuốn sỏch rồi tặng cho 5 học sinh. 5 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= A10 = 30240 . Gọi A là biến cố '' Sau khi tặng sỏch thỡ mỗi một trong ba loại sỏch của thầy giỏo cũn lại ớt nhất một cuốn '' . Để tỡm số phần tử của A , ta tỡm số phần tử của biến cố A , tức sau khi tặng sỏch cú mụn khụng cũn lại cuốn nào. Vỡ tổng số sỏch của hai loại bất kỳ lớn hơn 5 cuốn nờn khụng thể chọn sao cho cựng hết 2 loại sỏch. Do vậy chỉ cú thể một mụn hết sỏch, ta cú cỏc khả năng: ã Cỏch tặng sao cho khụng cũn sỏch Toỏn, tức là ta tặng 4 cuốn sỏch toỏn, 1 cuốn cũn lại Lý hoặc Húa 4 +) 4 cuốn sỏch Toỏn tặng cho 4 người trong 5 người, cú A5 cỏch. 1 +) 1 người cũn lại được tặng 1 cuốn trong 6 cuốn (Lý và Húa), cú A6 . 4 1 Suy ra cú A5 .A6 = 720 cỏch tặng sao cho khụng cũn sỏch Toỏn. 3 2 ã Tương tự, cú A5 .A7 = 2520 cỏch tặng sao cho khụng cũn sỏch Lý. 3 2 ã Tương tự, cú A5 .A7 = 2520 cỏch tặng sao cho khụng cũn sỏch Húa. W = + + = Suy ra số phần tử của biến cố A là A 720 2520 2520 5760 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = W- WA = 30240- 5760 = 24480 . W 24480 17 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 30240 21 Bài 20. Một hộp chứa 5 viờn bi đỏ, 6 viờn bi xanh và 7 viờn bi trắng. Chọn ngẫu nhiờn 6 viờn bi từ hộp, tớnh xỏc suất để được 6 viờn bi cú cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liờn tiếp của một cấp số cộng. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn ngẫu nhiờn 6 viờn bi từ hộp chứa 18 viờn bi. 6 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C18 = 18564 . Gọi A là biến cố '' 6 viờn bi được chọn cú cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liờn tiếp của một cấp số cộng '' . Gọi x, y, z lần lượt là số bi đỏ, bi xanh và bi trắng được lấy. Suy ra +) Hiệu của số bi xanh và bi đỏ là y - x . +) Hiệu của số bi trắng và bi xanh là z - y . +) Hiệu của số bi đỏ và bi trắng là x - z . Theo giả thiết, ta cú (y - x)+ (x - z)= 2.(z - y)Û y - z = 2.(z - y)Û y = z . Do đú biến cố A được phỏt biểu lại như sau '' 6 viờn bi được chọn cú cả ba màu đồng thời số bi xanh bằng số bi trắng '' . Ta cú cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
11. ● Trường hợp 1. Chọn 2 viờn bi đỏ, 2 viờn bi xanh và 2 viờn bi trắng. 2 2 2 Do đú trường hợp này cú C5 .C6 .C7 cỏch. ● Trường hợp 2. Chọn 4 viờn bi đỏ, 1 viờn bi xanh và 1 viờn bi trắng. 4 1 1 Do đú trường hợp này cú C5 .C6 .C7 cỏch. 2 2 2 4 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C6 .C7 + C5 .C6 .C7 = 3360 . W 3360 40 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 18564 221