120 Bài toán xác suất - Dạng 10: Một số bài toán khác (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 10: Một số bài toán khác (Có lời giải)

1. DAẽNG 10. MOÄT SOÁ BAỉI TOAÙN KHAÙC Bài 1. Trong trũ chơi "Chiếc nún kỡ diệu" cú tất cả 10 ụ. Một người quay chiếc kim cú thể dừng lại một trong cỏc vị trớ: 2 ụ 10 điểm, 2 ụ 20 điểm, 2 ụ 30 điểm, 2 ụ mất điểm, 1 ụ gấp đụi, 1 ụ phần thưởng với khả năng như nhau. Tớnh xỏc suất để sau 2 lần quay liờn tiếp người đú được 60 điểm. Lời giải Khụng gian mẫu là 2 lần quay ngẫu nhiờn liờn tiếp. Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= 10.10 = 100 . Gọi A là biến cố '' Sau 2 lần quay liờn tiếp người đú được 60 điểm '' . Ta cú cỏc khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp 1. Lần quay thứ nhất được 30 điểm, cú 2 khả năng. Lần quay thứ hai được 30 điểm, cú 2 khả năng. Do đú trường hợp này cú 2.2 = 4 khả năng xảy ra. ● Trường hợp 2. Lần quay thứ nhất được 30 điểm, cú 2 khả năng. Lần quay thứ hai được ụ nhõn đụi, cú 1 khả năng. Do đú trường hợp này cú 2.1 = 2 khả năng xảy ra. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 4 + 2 = 6 . W 6 3 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 100 50 Bài 2. Một hộp cú 10 phiếu, trong đú cú 2 phiếu trỳng thưởng. Cú 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiờn mỗi người 1 phiếu. Tớnh xỏc suất người thứ ba lấy được phiếu trỳng thưởng. Lời giải Khụng gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiờn 1 phiếu. Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= 10! . Gọi A là biến cố '' Người thứ ba lấy được phiếu trỳng thưởng '' . Ta mụ tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau: 1 ● Người thứ ba cú C2 = 2 khả năng lấy được phiếu trỳng thưởng. ● 9 người cũn lại cú số cỏch lấy phiếu là 9! . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 2.9! . W 2.9! 1 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = = . W 10! 5 Bài 3. Tại một địa điểm thi của kỡ thi THPT Quốc Gia cú 10 phũng thi, gồm 6 phũng (mỗi phũng 25 Thớ sinh) và 4 phũng (mỗi phũng cú 26 Thớ sinh). Sau mỗi buổi thi, phúng viờn truyền hỡnh chọn ngẫu nhiờn 10 thớ sinh trong cỏc thớ sinh dự thi để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để phỏng vấn của cỏc thớ sinh là như nhau, tớnh xỏc suất để 10 thớ sinh được chọn phỏng vấn khụng cú 2 thớ sinh nào thuộc một phũng thi. Lời giải Tổng cộng cú 10 phũng thi với 6.25+ 4.26 = 254 thớ sinh. Vỡ khả năng được chọn của cỏc thớ sinh là như nhau nờn khụng gian mẫu là số cỏch chọn 10 ngẫu nhiờn 10 trong 254 thi sinh cú W= C254 . Gọi A là biến cố '' Chọn được 10 thớ sinh mà khụng cú 2 thớ sinh nào thuộc một phũng thi '' , 1 6 1 4 tức là mỗi phũng chọn ra một thớ sinh cú WA = (C25 ) .(C26 ) . 6 4 C 1 . C 1 WA ( 25 ) ( 26 ) - 4 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 10 ằ 4,33.10 . W C254
2. Bài 4. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thớ sinh được sắp xếp vào 24 bàn khỏc nhau. Bạn Nam là một thớ sinh dự thi, bạn đăng ký 4 mụn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phũng duy nhất. Giả sử giỏm thị xếp thớ sinh vào vị trớ một cỏch ngẫu nhiờn, tớnh xỏc xuất để trong 4 lần thi thỡ bạn Nam cú đỳng 2 lần ngồi cựng vào một vị trớ. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch ngẫu nhiờn chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam. Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= 244 . Gọi A là biến cố '' 4 lần thi thỡ bạn Nam cú đỳng 2 lần ngồi cựng vào một vị trớ '' . Ta mụ tả khụng gian của biến cố A như sau: 2 ● Trong 4 lần cú 2 lần trựng vị trớ, cú C4 cỏch. ● Giả sử lần thứ nhất cú 24 cỏch chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trựng với lần thứ nhất cú 1 cỏch chọn chỗ ngồi. Hai lần cũn lại thứ ba và thứ tư khụng trựng với cỏc lần trước và cũng khụng trựng nhau nờn cú 23.22 cỏch. 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C4 .24.23.22 . W C 2 .24.23.22 C 2 .23.22 253 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= A = 4 = 4 = . . W 244 243 1152 Bài 5. Một lớp học cú 48 học sinh trong đú cú 2 bạn Việt và Nam, cụng việc trực nhật hàng ngày trờn lớp được phõn cụng cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện. Tớnh xỏc suất để Việt và Nam khụng thực hiện cụng việc trực nhật cựng nhau, biết rằng cụng việc trực nhõt được phõn cụng theo thỏng với 24 ngày học chớnh trờn lớp và trong một thỏng mỗi học sinh chỉ thực hiờn cụng việc trực nhật một lần. Lời giải Khụng gian mẫu là chia 48 học sinh thành 24 cặp để trực nhật 24 ngày. 2 Chọn hai người phõn cụng trực nhật ngày thứ 1 cú C48 cỏch. 2 Chọn hai người phõn cụng trực nhật ngày thứ 24 cú C48 cỏch. 2 2 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C48.C46 C2 . Gọi A là biến cố '' Việt và Nam khụng trực cựng nhau '' . Để tỡm số kết quả thuận lợi cho A , ta tỡm số kết quả thuận lợi của A tức là chia 48 học sinh thành 24 cặp trong đú cú một cặp là Việt và Nam. ● Để Việt và Nam thành 1 cặp thỡ cú 1 cỏch. Trong 24 ngày khỏc nhau nờn sẽ cú 24 cỏch để Việt và Nam thực hiện trực nhật. 2 2 ● Cũn 46 người cũn lại cú C46 C2 cỏch. W = 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là A 24.C46 C2 . W = W- W = 2 2 2 - 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là A A C48.C46 C2 24.C46 C2 . 2 2 2 2 2 WA C48.C46 C2 - 24.C46 C2 46 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 2 2 2 = . W C48.C46 C2 47 Bài 6. Phõn phối 60 thựng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng sao cho mỗi cửa hàng nhận được ớt nhất một thựng hàng. Tớnh xỏc suất để mỗi cửa hàng nhận được ớt nhất 6 thựng hàng. Lời giải Khụng gian mẫu là phõn 60 phần tử của tập hợp thựng hàng thành 6 phần. 5 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu W= C59 . Gọi A là biến cố '' mỗi cửa hàng nhận được ớt nhất 6 thựng hàng '' . Để tỡm số phần tử của A , ta làm như sau:
3. ● Phõn phối đều cho mỗi cửa hàng 5 thựng thỡ hết 30 thựng. ● Cũn lại 30 thựng chia mỗi cửa hàng ớt nhất một thựng. 5 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C29 . 5 WA C29 585 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 5 = . W C59 24662 Bài 7. Thầy giỏo cú 7 quyển sỏch Toỏn, 8 quyển sỏch Vật Lớ và 9 quyển sỏch Húa Học (cỏc quyển sỏch cựng loại là giống nhau) dựng để làm phần thưởng cho 12 học sinh, sao cho mỗi học sinh được 2 quyển sỏch khỏc loại. Trong số 12 học sinh đú cú bạn An và bạn Bỡnh. Tớnh xỏc suất để bạn An và bạn Bỡnh cú phần thưởng giống nhau. Lời giải Khụng gian mẫu là số cỏch chọn 2 phần thưởng trong số 12 phần thưởng. 2 Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là W= C12 = 66 . Gọi A là biến cố '' Bạn An và bạn Bỡnh cú phần thưởng giống nhau '' . Để tỡm số phần tử của A , ta làm như sau: Gọi x là cặp số gồm 2 quyển Toỏn và Vật Lớ; y là số cặp gồm 2 quyển Toỏn và Húa Học; z là số cặp gồm 2 quyển Vật Lớ và Húa Học. ùỡ x + y + z = 12 ù ỡ ù ù x = 3 ù x + y = 7 ù Ta cú hệ phương trỡnh ớù Û ớù y = 4 . ù y + z = 9 ù ù ợù z = 5 ợù z + x = 8 2 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C3 + C4 + C5 . 2 2 2 WA C3 + C4 + C5 19 Vậy xỏc suất cần tớnh P (A)= = 2 = . W C12 66 * Bài 8. Cú 2 thầy giỏo và n học sinh xếp thành hàng ngang (n ẻ Ơ ). Kớ hiệu S1 là số cỏch xếp hàng ngang sao cho cú đỳng một học sinh đứng giữa 2 thầy giỏo; S2 là số cỏch xếp hàng ngang sao cho 2 thầy giỏo đứng cạnh nhau; S3 là số cỏch xếp hàng ngang sao cho giữa 2 thầy giỏo cú * ớt nhất 1 học sinh. Tỡm n và k (k ẻ Ơ ) sao cho S1 , S2 và (S3 + k) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lời giải ● Số phần tử của S1 . +) Đầu tiờn chọn 1 học sinh trong n học sinh để xếp giữa 2 thầy giỏo, cú n cỏch. +) Ứng với mỗi cỏch ở bước trờn cú 2 cỏch xếp thầy giỏo. +) Ta coi 2 thầy giỏo và 1 học sinh đứng giữa như 1 bộ cựng với n - 1 học sinh cũn lại hoỏn đổi vị trớ cho nhau, cú n! cỏch. Do đú số phần tử của S1 là n.2.n!. ● Số phần tử của S2 . +) Ta coi 2 thầy giỏo như 1 bộ cựng với n học sinh cũn lại hoỏn đổi vị trớ cho nhau, cú (n + 1)! cỏch. +) Ứng với mỗi cỏch ở bước trờn cú 2 cỏch xếp thầy giỏo. Do đú số phần tử của S2 là (n + 1)!.2 . ● Số phần tử của S3 . +) Nếu xếp 2 thầy giỏo cựng với n học sinh một cỏch tựy ý, cú (n + 2)! cỏch. +) Nếu 2 thầy giỏo đứng cạnh nhau, cú (n + 1)!.2 cỏch.
4. Suy ra số phần tử của S3 là (n + 2)!- (n + 1)!.2 . Theo giả thiết, ta cú S1 + (S3 + k)= 2S2 ộ ự ộ ự Û n.2.n!+ ở(n + 2)!- (n + 1)!.2 + kỷ= 2.ở(n + 1)!.2ỷ Û k = 6(n + 1)!- (n + 2)!- 2n.n!. Vỡ n ẻ Ơ * nờn với n = 1 , suy ra k = 4 ; n = 2 , suy ra k = 4 ; n ³ 3 , suy ra k < 0 (khụng thỏa). Vậy cú hai cặp (n;k) thỏa món bài toỏn là (n;k)= (1;4), (2;4). Bài 9. Cú hai hộp đựng bi, mỗi viờn bi chỉ mang một màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiờn từ mỗi hộp đỳng 1 viờn bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xỏc suất để lấy được hai viờn bi đen là 55 . Tớnh xỏc suất để lấy được hai viờn bi trắng. 84 Lời giải Giả sử hộp thứ nhất cú x viờn bi, trong đú cú a viờn bi đen; hộp thứ hai cú y viờn bi, trong đú cú b viờn bi đen. Điều kiện: x, y, a, b là cỏc số nguyờn dương và x ³ y , a Ê x , b Ê y . ỡ ù x + y = 20 (1) ù Theo giả thiết, ta cú ớ ab 55 . ù = (2) ợù xy 84 Từ (2)Û 55xy = 84ab , suy ra xy chia hết cho 84 . (1) 1 2 Mặt khỏc, ta cú xy Ê (x + y) = 100 nờn xy = 84 . (3) 4 ùỡ x = 14 Từ (1) và (3), ta được ớù . ợù y = 6 55 55 Từ (3) và (2), suy ra ab = 55 nờn a là ước của 55 . Lại cú Ê = a Ê 14 nờn a = 11 . 6 b Với a = 11 , ta được b = 5 . (14 - 11) (6- 5) 1 Vậy xỏc suất để được 2 bi trắng là P = . = . 14 6 28