120 Bài toán xác suất - Dạng 2: Bài toán bốc số (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 2: Bài toán bốc số (Có lời giải)

1. DAÏNG 2. BAØI TOAÙN BOÁC SOÁ A – CÔ BAÛN Bài 1. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. Lời giải ïì a,b,c Î A ï Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó íï a ¹ 0 . ï îï a ¹ b;b ¹ c;c ¹ a Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ¹ a . ● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b . Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C100 = 100 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu '' . Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 8 . W 8 2 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 100 25 Bài 2. Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Lời giải 4 Số phần tử của tập S là A7 = 840. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C840 = 840. Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ '' . 2 ● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là C4 = 6 cách. 2 ● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là C3 = 3 cách. ● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách. 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4 .C3 .4! = 432. W 432 18 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 840 35 Bài 3. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3 . Lời giải 3 Số phần tử của S là A5 = 60 .
2. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60 = 60. Gọi A là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 3 '' . Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là (1; 2; 3), (1; 2; 6), (2; 3; 4) và (2; 4; 6). Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được 3! = 6 số thuộc tập hợp S . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 6.4 = 24 . W 24 2 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 60 5 Bài 4. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6 . Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a1 có 7 cách chọn vì a1 ¹ 0 . 5 ● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6 trong tập A \{a1 } có A7 cách. 5 Do đó tập S có 7.A7 = 17640 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C17640 = 17640. Gọi X là biến cố '' Số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6 '' . Suy ra a6 Î {1; 3; 5; 7} và a3 Î {0; 6} . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố X như sau: ● Trường hợp 1. Với a3 = 0 : chữ số a6 có 4 cách chọn, a1 có 6 cách chọn, ba 3 3 chữ số còn lại có A5 cách chọn. Do đó trong tường hợp này có 4.6. A5 số . ● Trường hợp 2. Với a3 = 6 : chữ số a6 có 4 cách chọn, a1 có 5 cách chọn, ba 3 3 chữ số còn lại có A5 cách chọn. Do đó trong tường hợp này có 4.5. A5 số . 3 3 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4.6.A5 + 4.5.A5 = 2640. W 2640 22 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 17640 147 Bài 5. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ. Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3 . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a1 có 6 cách chọn vì a1 ¹ 0 . 2 ● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3 trong tập A \{a1 } có A6 cách. 2 Do đó tập S có 6.A6 = 180 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C180 = 180. Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố X như sau: ● Trường hợp 1. Gồm một chữ số lẻ và hai chữ số chẵn.
3. 1 Chọn một chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C3 cách, chọn hai chữ số 2 1 2 chẵn trong 4 chữ số chẵn có C4 . Do đó có tất cả C3 .C4 .3! số thỏa mãn biến cố X bao gồm chữ số 0 đứng đầu. Bây giờ ta tính riêng số các chữ số thỏa mãn biến cố X nhưng có số 0 đứng đầu, suy ra số đó có dạng 0a2a3 . Chọn một chữ số lẻ trong 3 chữ 1 số lẻ nên có C3 cách, chọn thêm một chữ số chẵn trong 3 chữ số chẵn 1 1 1 còn lại có C3 cách. Do đó có C3 .C3 .2! số. 1 2 1 1 Suy ra trong trường hợp này có C3 .C4 .3!- C3 .C3 .2! = 90 số. ● Trường hợp 2. Gồm ba chữ số lẻ. 3 Chọn ba chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C3 cách. 3 Suy ra trong trường hợp này có C3 .3! = 6 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 90 + 6 = 96. W 8 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = . W 15 Bài 6. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . Lời giải Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau: 3 ● Số các số thuộc S có 3 chữ số là A5 . 4 ● Số các số thuộc S có 4 chữ số là A5 . 5 ● Số các số thuộc S có 5 chữ số là A5 . 3 4 5 Suy ra số phần tử của tập S là A5 + A5 + A5 = 300 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C300 = 300 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 '' . Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1; 2; 3; 4} , A2 = {2; 3; 5} , A3 = {1; 4; 5} . ● Từ A1 lập được các số thuộc S là 4! . ● Từ A2 lập được các số thuộc S là 3! . ● Từ A3 lập được các số thuộc S là 3! . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4!+ 3!+ 3! = 36. W 36 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 300 25 Bài 7. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên 3 số bất kì trong tập S , tính xác suất để trong 3 số được lấy ra có đúng 1 số có chữ số 3 . Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 4 cách chọn vì a ¹ 0 . 2 ● Số cách chọn thứ tự cho b; c trong tập A \{a} có A4 cách. 2 Do đó tập S có 4.A4 = 48 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S . 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C48 = 17296.
4. Gọi X là biến cố '' 3 số được lấy ra có đúng 1 số có chữ số 3 '' . Để tìm số phần tử của biến cố X ta làm như sau: 2 ● Lập luận tương tự như trên ta được trong S có 3.A3 = 18 số không có chữ số 3 . Suy ra có 48- 18 = 30 số có chữ số 3 . 1 ● Số cách lấy 1 số luôn có chữ số 3 là C30 = 30 cách. 2 ● Số cách lấy 2 số không có chữ số 3 là C18 = 153 cách. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 30.153 = 4590. W 4590 2295 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 17296 8648 Bài 8. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn 2015 . Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd . Khi đó ● Số cách chọn chữ số d Î {1; 3; 5} có 3 cách chọn. ● Số cách chọn chữ số a Î A \{0; d} có 4 cách chọn. 2 ● Số cách chọn thứ tự b, c trong tập A \{a; d} có A4 cách. 2 Do đó tập S có 3.4.A4 = 144 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C144 = 144. Gọi X là biến cố '' Số được chọn nhỏ hơn 2015 '' . Có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố X là chữ số a = 2 hoặc a = 1. ● Nếu a = 2 thì chỉ có 1 số duy nhất là số 2013 . ● Nếu a = 1 thì số đó có dạng 1bcd Chọn d Î {3; 5} có 2 cách chọn. 2 Chọn thứ tự b, c trong tập A \{1; d} có A4 cách. 2 Suy ra số các số thuộc dạng 1bcd có 2.A4 = 24 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 1+ 24 = 25 . W 25 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = . W 144 Bài 9. Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5 . Lời giải Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C10 . Gọi A là biến cố '' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5 '' . Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số 0 hoặc chữ số 5 . Ta đi tìm số phần tử của biến cố A , tức 3 thẻ lấy ra không có thẻ 3 mang chữ số 0 và cũng không có thẻ mang chữ số 5 là C8 cách. 3 3 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 - C8 . 3 3 WA C10 - C8 8 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 3 = . W C10 15
5. Bài 10. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . Lời giải Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ. 8 Suy ra số phần tử của không mẫu là W= C20 . Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 '' . Để tìm số phần tử của A ta làm như sau: 3 ● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có C10 cách. ● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho 4 10 ), có C8 cách. 1 ● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có C2 cách. 3 4 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 .C8 .C2 . 3 4 1 WA C10 .C8 .C2 560 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 8 = . W C20 4199 B – NAÂNG CAO Bài 11. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5. Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde . ● Trường hợp 1. Nếu e = 0 thì có 1 cách chọn. Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn. 3 Chọn thứ tự cho b, c, d trong tập A \{a; 0} có A5 cách chọn. 3 Do đó trường hợp này có 6.A5 số. ● Trường hợp 2. Nếu e Î {2; 4; 6} thì có 3 cách chọn. Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ¹ 0 và a ¹ e . 3 Chọn thứ tự cho b, c, d trong tập A \{a; e} có A5 cách chọn. 3 Do đó trường hợp này có 3.5.A5 số. 3 3 Suy ra tập S có 6.A5 + 3.5.A5 = 1260 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C1260 = 1260 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5 '' . Để b + c = 5 , suy ra {b;c} = {0; 5}, {1; 4}, {2; 3} . ● Trường hợp 1. Nếu {b;c} = {0; 5} +) Có 2 cách chọn b; c . +) e chẵn nên có 3 cách chọn chữ số e Î {2; 4; 6} . 2 +) Có A4 cách chọn a; d . 2 Suy ra có 2.3.A4 = 72 số thỏa mãn. ● Trường hợp 2. Nếu {b;c} = {1; 4} +) Có 2 cách chọn b; c . 2 +) Với e = 0 thì có A4 cách chọn a; d . Với e Î {2; 6} thì có 2 cách chọn chữ số e , có 3 cách chọn chữ số a và 3 cách chọn chữ số d . 2 Suy ra có 2(A4 + 2.3.3)= 60 số thỏa mãn.
6. ● Trường hợp 3. Nếu {b;c} = {2; 3} thì tương tự như trường hợp 2 có 60 số thỏa mãn. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 72 + 60 + 60 = 192 . W 192 16 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 1260 105 Bài 12. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên hai số từ S , tính xác suất để mỗi số được chọn có tổng các chữ số bằng 7 . Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số b có 6 cách chọn vì b ¹ a . ● Số cách chọn chữ số c có 5 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b . Do đó tập S có 6.6.5 = 180 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S . 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C180 . Gọi X là biến cố '' Hai số được chọn mà mỗi số có tổng các chữ số bằng 7 '' . Ta có các bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm: {0;1;6}, {0;2;5}, {0;3;4}, {1;2;4} . ● Mỗi bộ trong các bộ {0;1;6},{0;2;5},{0;3;4} có số cách lập là 3!- 1.2! = 4 số. ● Bộ {1;2;4} có số cách lập là 3! = 6 số. Do đó có tất cả 3.4 + 6 = 18 số có tổng ba chữ số bằng 7 . 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C18 . W 153 17 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 16110 1790 Bài 13. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số có 6 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 . Lời giải 6 Số phần tử của tập S là A9 = 60480 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60480 = 60480. Gọi X là biến cố '' Số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8 '' . Gọi số được chọn có dạng a1a2a3a4a5a6 . é a3 ,a4 ,a5 Î {1; 2; 5} Theo giả thiết a + a + a = 8 Þ ê . 3 4 5 ê Î ëêa3 ,a4 ,a5 {1; 3; 4} ● Trường hợp 1. Với a3 ,a4 ,a5 Î {1; 2; 5} , ta có 6 cách chọn a1 ; 5 cách chọn a2 ; 3! cách chọn a3 ,a4 ,a5 và 4 cách chọn a6 . Do đó có 6.5.3!.4 = 720 số. ● Trường hợp 2. Với a3 ,a4 ,a5 Î {1; 3; 4} . Tương tự có 720 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 720 + 720 = 1440. W 1440 1 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 60480 42
7. Bài 14. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn. Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a1 ¹ 0 . 3 ● Số cách chọn thứ tự cho b; c; d trong tập A \{a} có A6 cách. 3 Do đó tập S có 6.A6 = 720 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C720 = 720. Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn '' . ïì d Î {0;2;4;6} ïì d Î {4;6} Số được chọn thỏa mãn biến cố X nếu íï Þ íï . ï ï îï d = a + b + c îï d = a + b + c ● Số có dạng abc4 , suy ra a + b + c = 4 nên tập {a;b;c} là {0;1;3} . Do đó trường hợp này có 3!- 1.2! = 4 số. ● Số có dạng abc6 , suy ra a + b + c = 6 nên tập {a;b;c} là {0;1;5} , {0;2;4} , {1;2;3} . Do đó trường hợp này có 2(3!- 1.2!)+ 3! = 14 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4 + 14 = 18. W 18 1 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 720 40 Bài 15. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên 2 số từ S , tính xác suất để 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 18 . Lời giải 2 Số phần tử của tập S là A6 = 30. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S . 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C30 . Gọi X là biến cố '' 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 18 '' . Từ tập đã cho A chỉ có một bộ số duy nhất {3; 4; 5; 6} thỏa mãn 3+ 4 + 5+ 6 = 18 . 2 ● Có A4 = 12 số có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ tập {3; 4; 5; 6} . ● Giả sử ta chia 12 số đó thành 2 nhóm như sau: +) Nhóm I gồm các số có chứa chữ số 3 , có 6 số. +) Nhóm II gồm các số không chứa chữ số 3 , có 6 số. Khi đó ứng với mỗi số ab ở nhóm I, có 2 số cd ở nhóm II thỏa mãn a + b + c + d = 18 . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 6.2 = 12 . WX 12 4 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 2 = . W C30 145 Bài 16. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Lời giải
8. Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a1 ¹ 0 . ● Chọn 4 chữ số từ tập {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{a1 } để xếp vào 4 vị trí 4 a2a3a4a5 có A9 cách. 4 Do đó có 9.A9 = 27216 số. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số. 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C27216 = 27216 . Gọi A là biến cố '' Số có năm chữ số được chọn thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước '' . Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần. 5 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C9 = 126. W 126 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 27216 216 Bài 17. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước. Lời giải Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a1 ¹ 0 . ● Chọn 4 chữ số từ tập {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{a1 } để xếp vào 4 vị trí 4 a2a3a4a5 có A9 cách. 4 Do đó có 9.A9 = 27216 số. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số. 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C27216 = 27216 . Gọi A là biến cố '' Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước '' . Ta xét hai trường hợp: ● Trường hợp 1. Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng 5 dần. Do đó trường hợp này có C9 = 126 số. ● Trường hợp 2. Số được chọn có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự 5 giảm dần. Do đó trường hợp này có C10 = 252 số. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 126 + 252 = 378. W 378 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 27216 72 Bài 18. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abc . ● Theo giả thiết a < b < c nên a, b, c thuộc tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .
9. ● Mỗi bộ gồm 3 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách xếp thỏa a < b < c . 3 Do đó có C9 = 84 số. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 84 số. 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C84 = 84 . Gọi A là biến cố '' Số được chọn là số chẵn '' . Ta có các trường hợp sau: ● Nếu c = 4 thì ta chọn 2 chữ số trong 3 chữ số {1; 2; 3} để xếp vào hai vị trí 2 a, b nên có C3 cách. ● Nếu c = 6 thì ta chọn 2 chữ số trong 5 chữ số {1; 2; 3; 4; 5} để xếp vào hai 2 vị trí a, b nên có C5 cách. ● Nếu c = 8 thì ta chọn 2 chữ số trong 7 chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} để xếp 2 vào hai vị trí a, b nên có C7 cách. 2 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C3 + C5 + C7 = 34. W 34 17 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 84 42 Bài 19. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm. Lời giải Số phần tử của tập S là 6.74 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 6.74. Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm '' . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ A ● Luôn chọn được số lớn nhất cho hàng đơn vị, số nhỏ nhất cho hàng trăm nên 5 có C7 cách. ● Ba vị trí còn lại có 3! cách. 5 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C7 .3!. W C 5.3! 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = 7 = . W 6.74 343 Bài 20. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng liền trước. Lời giải Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Khi đó ● Số cách chọn chữ số a có 9 cách vì a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số b có 10 cách. ● Số cách chọn chữ số c có 10 cách. Do đó tập S có 9.10.10 = 900 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C900 = 900 .
10. Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng liền trước '' . Có nghĩa là a £ b £ c , ta mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố X như sau. ● Trường hợp 1. a < b < c tức a, b, c đôi một khác nhau và có sự sắp xếp. Vì a ¹ 0 và a < b < c nên b ¹ 0 và c ¹ 0 . Cứ mỗi bộ gồm 3 chữ số khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn a < b < c . 3 Suy ra trường hợp này có C9 số thỏa mãn. ● Trường hợp 2. a = b = c . Vì a ¹ 0 và a = b = c nên b ¹ 0 và c ¹ 0 . 1 Suy ra trường hợp này có C9 số thỏa mãn. ● Trường hợp 3. a = b < c . Vì a ¹ 0 và a = b < c nên b ¹ 0 và c ¹ 0 . Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn a = b < c . 2 Suy ra trường hợp này có C9 số thỏa mãn. ● Trường hợp 4. a < b = c . Vì a ¹ 0 và a < b = c nên b ¹ 0 và c ¹ 0 . Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn a < b = c . 2 Suy ra trường hợp này có C9 số thỏa mãn. 3 1 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C9 + C9 + C9 + C9 = 165 . W 165 11 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 900 60 Bài 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn luôn có mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn. Lời giải Đặt A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde với a, b, c, d, e Î A và a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn. 4 ● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d, e từ tập A \{a} có A9 cách. 4 Do đó tập S có 9.A9 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn có mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn '' . Ta mô tả không gian của biến cố X như sau: ● Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 2 chữ số lẻ 3 và chữ số chẵn phân biệt tính cả trường hợp a = 0 . Khi đó ta chọn ra 2 chữ số lẻ 3 và chữ số 2 3 chẵn phân biệt từ tập A rồi hoán vị các chữ số đó, có C5 .C5 .5! số. ● Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde trong đó b, c, d, e gồm 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn (khác 0 ) phân biệt. Khi đó ta chọn ra 2 chữ số lẻ 2 và chữ số 2 2 chẵn (khác 0 ) phân biệt từ tập A rồi hoán vị các chữ số đó, có C5 .C4 .4! số. 3 2 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là C5 .C5 .5!- C4 .C5 .4! = 10560. WX 10560 220 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 4 = . W 9.A9 567 Bài 22. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ. Lời giải
11. Đặt A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 với a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Î A và a1 ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn. 5 ● Số cách chọn thứ tự cho a2 , a3 , a4 , a5 , a6 từ tập A \{a1 } có A9 cách. 5 Do đó tập S có 9.A9 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 5 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ, tức là có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ '' . Ta đi tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố X như sau: ● Trong 10 số từ 0 đến 9 có 5 số chẵn, 5 số lẻ. 3 3 ● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (kể cả số 0 đứng đầu) là C5 .C5 .6! . 2 3 ● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (số 0 đứng đầu) là 1.C4 .C5 .5! . 3 3 2 3 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C5 .C5 .6!- C4 .C5 .5! . 3 3 2 3 WX C5 .C5 .6!- C4 .C5 .5! 10 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 5 = . W 9.A9 21 Bài 23. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn 4 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có 3 chữ số lẻ đứng kề nhau. Lời giải Vì số tự nhiên cần tìm có các chữ số đều lớn hơn 4 nên số tự nhiên cần tìm được thành lập từ tập A = {5; 6; 7; 8; 9} . 5 Suy ra số phần tử của tập S là A5 = 120 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C120 = 120. Gọi X là biến cố '' Số được chọn có 3 chữ số lẻ đứng kề nhau '' . Vì 3 chữ số lẻ đứng kề nhau nên gom chúng thành chữ số M . ● Bước 1. Xếp M và hai chữ số chẵn còn lại có 3! cách xếp. ● Bước 2. Ứng với mỗi cách ở Bước 1, có 3! cách xếp các phần tử trong M . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3!.3! = 36 . W 36 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 120 10 Bài 24. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn và luôn có mặt các chữ số 8 và 9 . Lời giải Đặt A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd với a, b, c, d Î A và a ¹ 0 . ● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn. 3 ● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d từ tập A \{a} có A9 cách. 3 Do đó tập S có 9.A9 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn và luôn có mặt các chữ số 8 và 9 '' . Vì số được chọn là số chẵn nên d Î {0; 2; 4; 6; 8} .
12. ● Trường hợp 1. d = 0 . 2 Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại để xếp hai chữ số 8 và 9 , có A3 cách. 1 Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, có C7 cách. 2 1 Do đó trường hợp này có 1.A3 .C7 = 42 số. ● Trường hợp 2. d = 8 . +) Có 3 vị trí để xếp chữ số 9 . Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số còn lại 2 2 để xếp vào 2 vị trí còn lại, có A8 cách. Do đó có 3.A8 = 168 số (kể cả số 0 đứng đầu). +) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó chữ số 9 có 2 cách xếp, chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí 1 1 còn lại có C7 cách. Suy ra có 2.C7 = 14 số. Tóm lại trong trường hợp này có 168- 14 = 154 số. ● Trường hợp 3. d Î {2; 4; 6} nên d có 3 cách chọn. 2 +) Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại để xếp hai chữ số 8 và 9 , có A3 cách. Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, 1 2 1 có C7 cách. Do đó có 3.A3 .C7 = 126 số (kể cả số 0 đứng đầu). +) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó có 2! cách xếp hai chữ số 8 và 9 cho 2 vị trí còn lại. Suy ra có 3.2! = 6 số. Tóm lại trong trường hợp này có 126- 6 = 120 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 42 + 154 + 120 = 316. WX 316 79 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 3 = . W 9.A9 1134 Bài 25. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 . Lời giải 6 Số phần tử của tập S là 9.A9 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 6 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 '' . Do đó số cần tìm phải chứa bộ M = 123 hoặc N = 321. ● Trường hợp 1. Số cần tìm chứa bộ M = 123 . 4 +) Chọn thêm tùy ý 4 số từ tập {0; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có C7 cách. Cho 4 số vừa chọn và bộ M hoán vị nên có 5! cách. Suy ra có 4 C7 .5! = 4200 số (kể cả số 0 đứng đầu). +) Xét riêng trường hợp số 0 đứng đầu, chọn thêm tùy ý 3 số từ tập 3 {4; 5; 6; 7; 8; 9} có C6 cách. Cho 3 số vừa chọn và bộ M hoán vị 3 nên có 4! cách. Suy ra có C6 .4! = 480 số có chữ số 0 đứng đầu. Do đó trường hợp này có 4200- 480 = 3720 số. ● Trường hợp 2. Số cần tìm chứa bộ N = 321. Tương tự có 3720 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3720 + 3720 = 7440. WX 7440 31 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 6 = . W 9.A9 2266 Bài 26. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
13. tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. Lời giải 4 Số phần tử của tập S là 6.A6 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 6.A6 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau '' . Vì 2 chữ số lẻ đứng kề nhau nên ta gom 2 số lẻ thành số M , 2 có C3 = 3 bộ M . Khi đó biến cố X trở thành '' Số được chọn là số chẵn có các chữ số được lập thành từ tập {0; 2; 4; 6; M } và bắt buộc phải có chữ số M '' . Gọi số cần chọn thỏa mãn biến cố X có dạng abcd với d Î {0; 2; 4; 6} . `● Trường hợp 1. d = 0 , suy ra d có 1 cách chọn. +) Có 3 vị trí để xếp chữ số M , ứng với mỗi cách xếp M có 2! cách xếp hai phần tử trong M . +) Chọn thứ tự 2 chữ số từ tập {2; 4; 6} để xếp vào 2 vị trí trống còn 2 lại, có A3 cách. 2 Do đó trường hợp này có 1.3.2!.A3 = 36 số. ● Trường hợp 2. d Î {2; 4; 6} , suy ra d có 3 cách chọn. +) Nếu xếp M vào vị trí đầu tiên nên có 1 cách, ứng với cách xếp này có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn 2 chữ số từ tập 3 chữ số 2 còn lại để xếp vào 2 vị trí trống còn lại, có A3 cách. Suy ra có tất cả 2 3.1.2!.A3 = 36 số. +) Nếu xếp M vào vị trí thứ 2 hoặc thứ 3 thì có 2 cách, ứng với cách xếp này có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn 2 chữ số từ tập 2 3 chữ số còn lại để xếp vào 2 vị trí trống còn lại, có A3 cách. Do đó 2 3.2.2!.A3 = 72 số (kể cả số 0 đứng đầu). Xét riêng trường hợp chữ 1 số 0 đứng đầu thì có 3.2.2!.A2 = 24 số. Suy ra có 72- 24 = 48 số. Do đó trường hợp này có 36 + 48 = 84 số. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3.(36 + 84)= 360. WX 360 1 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 4 = . W 6.A6 6 Bài 27. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} . Gọi S là tập hợp các số có 6 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; 2 và chúng đứng cạnh nhau. Lời giải 5 Số phần tử của tập S là 7.A7 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S . 5 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 7.A7 . Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; 2 và chúng đứng cạnh nhau '' . Gọi số cần tìm thỏa biến cố X có dạng a1a2a3a4a5a6 . ● Trường hợp 1. a6 = 0 , suy ra a6 có 1 cách chọn. +) Xếp các chữ số 1; 2 vào vị trí a4 và a5 có 2 cách. 3 +) Chọn thứ tự a1, a2 , a3 từ tập {3; 4; 5; 6; 7} có A5 cách. 3 Do đó trường hợp này có 1.2.A5 = 120 số.