120 Bài toán xác suất - Dạng 3: Bài toán liên quan đến nhóm. Bảng đấu (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 3: Bài toán liên quan đến nhóm. Bảng đấu (Có lời giải)

1. DAÏNG 3. BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN NHOÙM – BAÛNG ÑAÁU A – NHOÙM Bài 1. Đội thanh niên tình nguyện của trường có 3 học sinh khối lớp 10; 6 học sinh khối lớp 11 và 6 học sinh khối lớp 12. Nhân ngày thương binh liệt sĩ, nhà trường cần cử ba nhóm, mỗi nhóm có 5 học sinh đi làm các công tác sau: Nhóm 1 đi thăm gia đình mẹ Việt nam anh hùng, nhóm 2 đi viếng tại nghĩa trang liệt sĩ của Thành phố và nhóm 3 đi thăm một thầy giáo là thương binh. Tính xác suất để số học sinh của mỗi khối trong các nhóm bằng nhau. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia ngẫu nhiên 15 học sinh thành 3 nhóm, mỗi nhóm 5 học sinh. 5 5 5 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C15.C10 .C5 = 756756. Gọi A là biến cố '' Số học sinh của mỗi khối trong các nhóm bằng nhau '' . Ta mô tả không gian của biến cố A như sau: ● Đầu tiên chọn 1 học sinh trong số 3 lớp 10; 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp 11 và 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp 12 xếp vào nhóm 1 nên có 1 2 2 C3C6 C6 = 675 cách. ● Tiếp theo chọn 1 học sinh trong số 2 còn lại lớp 10; 2 học sinh trong số 4 học sinh còn lại lớp 11 và 2 học sinh trong số 4 học sinh còn lại lớp 12 xếp vào 1 2 2 nhóm 2 nên có C2C4 C4 = 72 cách. ● Cuối cùng số học sinh còn lại xếp vào nhóm 3 nên có 1 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 675.72 = 48600 . W 48600 450 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 756756 7007 Bài 2. Một đồn cảnh sát có 9 người trong đó có hai trung tá An và Bình. Trong một nhiệm vụ cần huy động 3 đồng chí thực hiện ở địa điểm A , 2 đồng chí thực hiện ở địa điểm B và 4 đồng chí còn lại trực ở đồn. Tính xác suất để phân công sao cho hai trung tá An và Bình không ở cùng khu vực làm nhiệm vụ. Lời giải Không gian mẫu là cách sắp xếp tùy ý 9 đồng chí vào các vị trí như yêu cầu. 3 2 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C9 .C6 .C4 = 1260 . Gọi X là biến cố '' Hai trung tá An và Bình không ở cùng khu vực làm nhiệm vụ '' . Để tìm số phần tử của biến cố X , ta đi tìm số phần tử của biến cố X tức là phân công sao cho hai trung tá An và Bình ở cùng khu vực làm nhiệm vụ, ta có các trường hợp: ● An và Bình ở cùng vị trí A , chọn thêm 1 người trong 7 người còn lại cho đủ 1 2 ở vị trí A có C7 cách; chọn 2 người trong 6 người còn lại cho vị trí B có C6 cách; 4 người còn lại trực ở đồn có 1 cách. Do đó trong trường hợp này có 1 2 C7 .C6 cách. ● An và Bình ở cùng vị trí B có 1 cách; chọn 3 người trong 7 người còn lại cho 3 vị trí A có C7 cách; 4 người còn lại trực ở đồn có 1 cách. Do đó trong trường 3 hợp này có C7 cách. ● An và Bình ở cùng vị trí trực ở đồn, chọn thêm 2 người trong 7 người còn lại 2 cho đủ ở đồn có C7 cách; chọn 3 người trong 5 người còn lại cho vị trí A có 3 C5 cách; 2 người còn lại trực ở vị trí B có 1 cách. Do đó trong trường hợp 2 3 này có C7 .C5 cách.
2. W = 1 2 + 3 + 2 3 = Suy ra số phần tử của biến cố X là X C7 .C6 C7 C7 .C5 350. W = W- W = - = Suy ra số phần tử của biến cố X là X X 1260 350 910. W 910 13 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 1260 18 Bài 3. Một câu lạc bộ gồm 14 người, trong đó có hai bạn An và Bình. Người ta chọn một tổ gồm 6 người để làm vệ sinh. Tính xác suất để chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt. Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên. 1 ● Chọn 1 tổ trưởng có C14 cách. 5 ● Chọn 5 tổ viên có C13 cách. 1 5 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C14 .C13 = 18018 . Gọi A là biến cố '' Chọn được 1 tổ trưởng và 5 tổ viên, với An và Bình không đồng thời có mặt '' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là chọn ra 1 tổ trưởng và 5 tổ viên đồng thời An, Bình đều có mặt. Ta xét các trường hợp: ● Nếu An hoặc Bình làm tổ trưởng, khi đó Có 2 cách chọn tổ trưởng. 4 Có C12 cách chọn thêm 4 người làm tổ viên. 4 Do đó trường hợp này có 2.C12 = 990 cách chọn. ● Nếu An và Bình không làm tổ trưởng, khi đó Có 1 cách chọn An và Bình làm tổ viên. 1 Có C12 cách chọn 1 tổ trưởng. 3 Có C11 cách chọn 3 người nữa làm tổ viên. 1 3 Do đó trường hợp này có 1.C12 .C11 = 1980 cách chọn. W = + = Suy ra số phần tử của biến cố A là A 990 1980 2970. W = W- W = - = Suy ra số phần tử của biến cố A là A A 18018 2970 15048 . W 15048 76 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 18018 91 B – BAÛNG ÑAÁU Bài 1. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng. 3 3 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C9 .C6 .C3 . Gọi X là biến cố '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau '' . ● Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách. 2 2 2 ● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng A, B, C này có C6 .C4 .C2 cách. 2 2 2 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3!.C6 .C4 .C2 . 2 2 2 WX 3!.C6 .C4 .C2 540 9 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 3 3 3 = = . W C9 .C6 .C3 1680 28
3. Bài 2. Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B , mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng. 4 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C8 .C4 . Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu '' . 1 ● Bước 1. Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có C2 cách. ● Bước 2. Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng A, B cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có 2 4 C6 .C4 cách. 1 2 4 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C2 .C6 .C4 . 1 2 4 WX C2 .C6 .C4 3 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 4 4 = . W C8 .C4 7 Bài 3. Trong một trò chơi '' Rung chuông vàng '' , đội của trường có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D và mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 20 bạn thành 4 nhóm. 5 5 5 5 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20 .C15.C10 .C5 . Gọi X là biến cố '' 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm '' . 1 ● Bước 1. Xếp 5 bạn nữ vào 1 nhóm nên có C4 cách. 5 5 5 ● Bước 2. Xếp 15 bạn nam còn lại vào 3 nhóm còn lại nên có C15.C10 .C5 cách. 1 5 5 5 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4 .C15.C10 .C5 . 1 5 5 5 1 WX C4 .C15.C10 .C5 C4 1 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 5 5 5 5 = 5 = . W C20 .C15.C10 .C5 C20 3876 Bài 4. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp 12 , tổ 1 có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Nam. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Tính xác suất để Hoa và Nam cùng một nhóm. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử 2 2 ● Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C4 .C8 cách. 1 3 ● Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C2 .C6 . ● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm thứ ba có duy nhất 1 cách. 2 2 1 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C4 .C8 .C2 .C6 = 6720 . Gọi A là biến cố '' Hoa và Nam cùng một nhóm '' . Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp thứ nhất. Hoa và Nam cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành 1 1 một nhóm nên có C7 .C3 cách. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên 3 1 có C6 .C2 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất 1 1 3 1 cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C7 .C3 .C6 .C2 = 840 cách.
4. ● Trường hợp thứ hai. Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên 2 2 2 có C7 cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C5 .C3 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ 2 2 2 ba. Do đó trong trường hợp này có C7 .C5 .C3 = 630 cách. ● Trường hợp thứ ba. Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam và 2 bạn nữ. Trường hợp trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 840 + 630 = 1470 . W 1470 7 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 6720 32 Bài 5. Giải bóng đá vô định Đông Nam Á có 11 đội tham gia, trong đó có 2 đội loại một là Việt Nam và Thái Lan; 3 đội loại hai là Singapore, Malaysia, Indonesia; còn lại là các đội loại ba. Ban tổ chức giải chia làm hai bảng đấu gồm: bảng A có 6 đội, bảng B có 5 đội sao cho mỗi bảng đấu có 1 đội loại một, ít nhất 1 đội loại hai. Tính xác suất để bảng B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đội loại hai là Singapore. Lời giải Không gian mẫu là chia 11 đội thành 2 bảng đấu thỏa mãn: bảng A có 6 đội, bảng B có 5 đội sao cho mỗi bảng đấu có 1 đội loại một, ít nhất 1 đội loại hai. Ta xét các khả năng sau: ● Bảng B gồm 1 đội loại một, 1 đội loại hai, 3 đội loại ba. 1 1 3 Do đó có C2 .C3 .C6 = 120 cách. ● Bảng B gồm11 đội loại một, 2 đội loại hai, 2 đội loại ba. 1 2 2 Do đó có C2 .C3 .C6 = 90 cách. ● Khi chọn đội cho bảng B thì bảng A chỉ có 1 cách chọn. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 120 + 90 = 210 . Gọi X là biến cố '' Bảng B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đội loại hai là Singapore '' . Vì bắt buộc bảng B có 5 đội nên 3 đội còn lại được chọn từ 6 đội loại 3 3 nên có C6 = 20 cách. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 20 . W 20 2 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 210 21 Bài 6. Giải bóng đá Đông Nam Á có 8 đội bóng của 8 quốc gia tham gia dự, trong số đó có 4 đội: Việt Nam, Lào, Thái Lan và Myanma. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên chia 8 đội thành hai bảng A, B và mỗi bảng có 4 đội để thi đấu vòng loại. Tính xác suất để hai đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vòng loại, biết rằng Việt Nam và Thái Lan là hai đội hạt giống nên không cùng thuộc một bảng. Lời giải Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 đội thành 2 bảng đồng thời thỏa mãn Việt Nam và Thái Lan nằm ở 2 bảng khác nhau. ● Bước 1. Xếp 2 đội Việt Nam và Thái Lan ở 2 bảng khác nhau, có 2! cách. 3 3 ● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 2 bảng A, B nên có C6 .C3 cách. 3 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 2!.C6 .C3 . Gọi X là biến cố '' 2 đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vòng loại '' . Do đó 2 đội Lào và Myanma phải cùng 1 bảng. ● Bước 1. Xếp 2 đội Việt Nam và Thái Lan ở 2 bảng khác nhau, có 2! cách. 1 ● Bước 2. Xếp 2 đội Lào và Myanma ở cùng 1 bảng nên có C2 cách.
5. ● Bước 3. Xếp 4 đội còn lại vào 2 bảng A, B cho đủ mỗi bảng 4 đội nên có 1 3 C4 .C3 cách. 1 1 3 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 2!.C2 .C4 .C3 . 1 1 3 WX 2!.C2 .C4 .C3 2 Vậy xác suất cần tính P (X )= = 3 3 = . W 2!.C6 .C3 5