120 Bài toán xác suất - Dạng 4: Bài toán liên quan đến mã đề thi (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 4: Bài toán liên quan đến mã đề thi (Có lời giải)

1. DAÏNG 4. BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN MAÕ ÑEÀ THI Bài 1. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau. Lời giải Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. 3 ● Thí sinh A có C10 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. 3 ● Thí sinh B có C10 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. 3 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C10 .C10 . Gọi X là biến cố '' 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau '' . Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau 3 ● Giả sử A chọn trước nên có C10 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. ● Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi còn lại từ bộ 10 câu hỏi 3 nên có C7 cách chọn. W = 3 3 Suy ra số phần tử của biến cố X là X C10 .C7 . W- W 3 3 3 7 WX X C10 .C10 - C10 .C10 17 Vậy xác suất cần tính P (X )= = = 3 3 = . W W C10 .C10 24 Bài tập tương tự. Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 1 2 C10 .C3 .C7 21 3 câu hỏi B chọn có đúng 1 câu hỏi giống nhau. Đ/S: P = 3 3 = . C10 .C10 40 Bài 2. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau. Tính xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi. Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của An và Bình. 2 1 1 ● An có C3 cách chọn môn tự chọn, có C6 .C6 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự chọn của An. 2 1 1 ● Bình có C3 cách chọn môn tự chọn, có C6 .C6 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự chọn của Bình. 2 1 1 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= (C3 C6 .C6 ) . Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi '' . Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn 2 môn tự chọn của An và Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 ● Cách chọn môn. Giả sử An chọn trước 2 môn tự chọn trong 3 môn nên có C3 cách. Để Bình chọn 2 trong 3 môn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 môn trùng với An nên Bình phải chọn 1 trong 2 môn An đã chọn và 1 môn còn lại An 1 1 2 1 1 không chọn, suy ra Bình có C2 .C1 cách. Do đó có C3 .C2 .C1 cách chọn môn thỏa yêu cầu bài toán.
2. 1 1 ● Cách chọn mã đề. Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là C6 .C6 . Để Bình có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, môn không trùng 1 với An thì được chọn tùy ý nên có C6 cách, suy ra số cách chọn mã đề của 1 1 1 1 Bình là 1.C6 . Do đó có C6 .C6 .1.C6 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu bài toán. 2 1 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = (C3 .C2 .C1 ).(C6 .C6 .1.C6 ). 2 1 1 1 1 1 W (C3 .C2 .C1 ).(C6 .C6 .1.C6 ) 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 2 1 1 2 9 (C3 C6 .C6 ) Bài 3. An và Bình tham gia một kỳ thi THPT, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật Lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi. Lời giải Trường hợp 1. An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí. ● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6 . ● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 6 . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 6.6 = 36 . Gọi A là biến cố '' An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí '' . ● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6 . ● Để trùng mã đề với An nên số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 1. Suy ra số phần tử của biến cố A là 6.1 = 6 . 6 1 Xác suất để An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí là = . 36 6 1 5 Xác suất để An và Bình không cùng mã đề thi môn Hóa là 1- = . 6 6 1 5 5 Vậy xác suất của biến cố A là P (A)= . = . 6 6 36 Trường hợp 2. An và Bình chung một mã đề thi môn Hóa học. Tương tự như trường hợp 1, xác suất để trong 2 môn thi An và Bình có chung đúng 1 5 5 một mã đề môn Hóa học là . = . 6 6 36 5 5 5 Vậy xác suất cần tính P = + = . 36 36 18 Bài 4. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 16 học sinh được xếp vào 4 dãy bàn, mỗi dãy 4 bàn. Môn Hóa có 4 mã đề thi, giám thị phát đề thi cho học sinh thỏa mãn yêu cầu mỗi dãy ngang và dọc phải có đủ 4 mã đề. Hai thí sinh A và B thi chung phòng, tính xác suất để A và B chung mã đề thi. Lời giải ● Xác suất về chỗ ngồi. Không gian mẫu là số cách chọn chổ ngồi của A và số cách chọn chổ ngồi của B . Giả sử A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách, B còn lại 15 chỗ ngồi để chọn nên có 15 cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 16.15 = 240 . Không gian biến cố: Do A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách. Để B ngồi ở vị trí thỏa mãn cùng chung mã đề với A thì B không được ngồi cùng hàng và cùng dãy với A nên B có 9 cách chọn chỗ ngồi. Suy ra số phần tử của biến cố là 16.9 = 144 . 144 3 Xác suất về chọn chỗ ngồi là = . 240 5
3. ● Xác suất về cùng mã đề thi. Không gian mẫu là cách chọn tùy ý mã đề thi của A và cách chọn tùy ý mã đề thi của B . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 4.4 = 16 . Không gian biến cố: Giả sử A chọn đề thi trước nên có 4 cách chọn mã đề. Để B trùng mã đề thi với A thì B phải chọn mã đề giống như A đã chọn nên B chỉ có 1cách chọn. Suy ra số phần tử của biến cố là 4.1 = 4 . 4 1 Xác suất về cùng mã đề thi là = . 16 4 3 1 3 Vậy xác suất cần tính là P = . = . 5 4 20