120 Bài toán xác suất - Dạng 5: Bài toán liên quan đến đề thi (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 5: Bài toán liên quan đến đề thi (Có lời giải)

1. DAÏNG 5. BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN ÑEÀ THI Bài 1. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó người ta xây dựng thành hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 . Tính xác suất để xây dựng được hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. Không gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra từ ngân hàng 20 câu hỏi. Lời giải Không gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra từ ngân hàng 20 câu hỏi. ● Chọn ra 10 câu hỏi cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến 10 Câu 10 có C20 .10! cách. ● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 10! cách. 10 2 10 Suy ra số phân tử của không gian mẫu là W= C20 .10!.10! = (10!) .C20 . Gọi A là biến cố '' Xây dựng được hai đề thi mỗi đề gồm 2 câu hỏi khó '' . ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 2 8 C4 .C16 .10! cách. ● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 10! cách. 2 8 2 2 8 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C4 .C16 .10!.10! = (10!) .C4 .C16 . 2 W (10!) .C 2 .C 8 135 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = 4 16 = . W 2 10 323 (10!) .C20 Bài 2. Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là '' Tốt '' nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' . Lời giải 5 Số phần tử của không gian mẫu là W= C30 = 142506 . Gọi A là biến cố '' Đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' '' . Vì trong một đề thi '' Tốt '' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A . 3 1 1 ● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có C15C10C5 đề. 3 1 1 ● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có C15C10C5 đề. 2 1 2 ● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có C15C10C5 đề. Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 1 1 3 1 1 2 1 2 WA = C15C10C5 + C15C10C5 + C15C10C5 = 56875 . W 56875 625 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 142506 1566 Bài 3. Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau.
2. Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là WA = C50 . Gọi X là biến cố '' Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau '' . Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần chọn được 1 cặp trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại. W = 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố X là X C4 .C48 . W- W 3 1 1 WX X C50 - C4 .C48 1213 Vậy xác suất cần tính P (X )= = = 3 = . W W C50 1225 Bài 4. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc. Lời giải Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng 20 câu hỏi. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20 = 4845 . Gọi A là biến cố '' Thí sinh A rút được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc '' . ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc. 2 2 Trường hợp này có C10 .C10 = 2025 khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc. 3 1 Trường hợp này có C10 .C10 = 1200 khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc. 4 Trường hợp này có C10 = 210 khả năng thuận lợi cho biến cố. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 2025+ 1200 + 210 = 3435 . W 3435 229 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 4845 323 Bài 5. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Một trường THPT có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường, tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 40 học sinh. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C40 . Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn môn Hóa học '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A . ● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 2 học sinh chọn môn Hóa học. 1 2 Trường hợp này có C10 .C20 khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Có 2 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học. 2 1 Trường hợp này có C10 .C20 khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học, 1 học sinh chọn các môn khác (Sinh học, Lịch sử và Địa lí). 1 1 1 Trường hợp này có C10 .C20 .C10 khả năng thuận lợi cho biến cố. 1 2 2 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 .C20 + C10 .C20 + C10 .C20 .C10 .
3. 1 2 2 1 1 1 1 WA C10 .C20 + C10 .C20 + C10 .C20 .C10 120 Vậy xác suất cần tính P (A)= = 3 = . W C40 247 Bài 6. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi. Lời giải Không gian mẫu là số phương án trả lời của bài thi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 410 . Gọi A là biến cố '' Học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A . ● Học sinh làm được 8 câu hỏi, tức là làm đúng 8 câu và sai 2 câu. Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. 8 2 Trường hợp này có C10 .(3) khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Học sinh làm được 9 câu hỏi, tức là làm đúng 9 câu và sai 1 câu. 9 Trường hợp này có C10 .3 khả năng thuận lợi cho biến cố. ● Học sinh làm được 10 câu hỏi, tức là làm đúng hết 10 (không sai câu nào). 10 Trường hợp này có C10 khả năng thuận lợi cho biến cố. 8 2 9 10 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 .(3) + C10 .3+ C10 = 436 . W 436 109 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 410 262144 Bài 7. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm. Lời giải Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 410 . Gọi X là biến cố '' Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu nhiên '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X . ● Thí sinh A làm được 5 câu, tức là làm đúng 5 câu và sai 5 câu. Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. 5 5 Trường hợp này có C10 .(3) khả năng thuận lợi cho biến cố. 6 4 ● Thí sinh A làm được 6 câu. Trường hợp này có C10 .(3) khả năng thuận lợi. 7 3 ● Thí sinh A làm được 7 câu. Trường hợp này có C10 .(3) khả năng thuận lợi. 8 2 ● Thí sinh A làm được 8 câu. Trường hợp này có C10 .(3) khả năng thuận lợi. 9 ● Thí sinh A làm được 9 câu. Trường hợp này có C10 .3 khả năng thuận lợi. 10 ● Thí sinh A làm được 10 câu. Trường hợp này có C10 khả năng thuận lợi. Suy ra số phần tử của biến cố X là 5 5 6 4 7 3 8 2 9 10 WX = C10 .(3) + C10 .(3) + C10 .(3) + C10 .(3) + C10 .3+ C10 = 81922 . W 81922 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = » 0,078 . W 410 1 3 Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là , trả lời sai là . Ta có các trường hợp: 4 4
4. æ ö5 æ ö5 5 ç1÷ ç3÷ ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là C10 ç ÷ .ç ÷ ; èç4ø÷ èç4ø÷ æ ö6 æ ö4 6 ç1÷ ç3÷ ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là C10 ç ÷ .ç ÷ ; èç4ø÷ èç4ø÷ æ ö7 æ ö3 7 ç1÷ ç3÷ ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là C10 ç ÷ .ç ÷ ; èç4ø÷ èç4ø÷ æ ö8 æ ö2 8 ç1÷ ç3÷ ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là C10 ç ÷ .ç ÷ ; èç4ø÷ èç4ø÷ æ ö9 9 ç1÷ 3 ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là C10 ç ÷ . ; èç4ø÷ 4 æ ö10 10 ç1÷ ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là C10 ç ÷ . èç4ø÷ Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính P » 0,078 . Bài 8. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên. Lời giải Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50- x là số câu trả lời sai. Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x - 0,1.(50- x)= 4 Û x = 30 . Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 450 . Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu đúng có 30 20 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C50 .(3) khả năng thuận lợi cho biến cố X . 30 20 Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C50 .(3) . 20 W C 30 .(3) Vậy xác suất cần tính P (X )= X = 50 ; 1,3.10- 7. W 450