120 Bài toán xác suất - Dạng 7: Bài toán liên quan đến cặp đôi (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 7: Bài toán liên quan đến cặp đôi (Có lời giải)

1. DẠNG 7. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẶP ĐÔI Bài 1. Trong một buổi liên hoan cĩ 10 cặp nam nữ, trong đĩ cĩ 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn khơng cĩ cặp vợ chồng nào. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người. 3 Suy ra số phần tử khơng gian mẫu là W= C20 = 1140 . Gọi A là biến cố '' 3 người được chọn khơng cĩ cặp vợ chồng nào '' . Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 người được chọn luơn cĩ 1 cặp vợ chồng. 1 ● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, cĩ C4 cách. 1 ● Chọn thêm 1 người trong 18 người, cĩ C18 cách. W = 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C4 .C18 72 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1140- 72 = 1068 . W 1068 89 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 1140 95 Bài 2. Một lớp học cĩ 40 học sinh trong đĩ cĩ 4 cặp anh em sinh đơi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phĩ và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà khơng cĩ cặp anh em sinh đơi nào. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh. 3 Suy ra số phần tử khơng gian mẫu là W= C40 = 9880 . Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn khơng cĩ cặp anh em sinh đơi nào '' . Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 học sinh được chọn luơn cĩ 1 cặp anh em sinh đơi. 1 ● Chọn 1 cặp em sinh đơi trong 4 cặp em sinh đơi, cĩ C4 cách. 1 ● Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh, cĩ C38 cách. W = 1 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C4 .C38 152 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 9880- 152 = 9728 . W 9728 64 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 9880 65 Bài 3. Một người cĩ 10 đơi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra cĩ ít nhất một đơi. Lời giải Khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày. 4 Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W= C20 = 4845 . Gọi A là biến cố '' 4 chiếc giày lấy ra cĩ ít nhất một đơi '' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 4 chiếc giày được chọn khơng cĩ đơi nào. 4 ● Số cách chọn 4 đơi giày từ 10 đơi giày là C10 . 1 ● Mỗi đơi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc cĩ C2 cách chọn. Suy ra 4 chiếc cĩ 1 4 (C2 ) cách chọn.
2. 4 W = 4 1 = Suy ra số phần tử của biến cố A là A C10 .(C2 ) 3360 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 4845- 3360 = 1485 . W 1485 99 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 4845 323 Bài 4. Một trường THPT cĩ 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp khơng bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. Lời giải Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10 lớp cử ra 30 học sinh. 2 Suy ra số lần bắt tay là C30 (bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau). 2 Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 10.C3 . 2 2 Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau thỏa mãn yêu cầu là C30 - 10.C3 = 405 . Bài 5. Cĩ tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người khơng bắt tay vợ hoặc chồng của mình) trong một buổi gặp mặt, biết rằng cĩ tất cả cĩ 40 cái bắt tay. Lời giải Giả sử cĩ n (n Ỵ ¥ * ) cặp vợ chồng, suy ra cĩ tất cả 2n người. 2 Cứ 2 người trong 2n người bắt tay với nhau thì cĩ C2n cái bắt tay. 2 Số cái bắt tay giữa các cặp vợ chồng với nhau là nC2 . 2 2 Suy ra số cái bắt tay lẫn nhau thỏa mãn yêu cầu bài tốn là C2n - nC2 . 2n! Theo giả thiết, ta cĩ C 2 - nC 2 = 40 Û - n.1 = 40 2n 2 2!(2n - 2)! 2 - 1 2 én = 5 (thoả mãn) ( n ) n 2 ê Û - n = 40 Û n - n - 20 = 0 Û ê . 2 ëên = - 4 (loại) Vậy cĩ tất cả 5 cặp vợ chồng. Cách 2. Giữa hai cặp vợ chồng bất kỳ cĩ tất cả 4 lần bắt tay (hai người đàn ơng, hai người đàn bà và 2 lần chéo nhau). Giả sử số cặp vợ chồng cần tìm là n (n ³ 2). Khi đĩ số cách chọn ra 2 cặp từ n cặp 2 đĩ là Cn . Do đĩ tổng số cái bắt tay được thực hiện lúc này là n! én = 5 (thoả mãn) 2 = Û = Û 2 - - = Û ê 4Cn 40 4 40 n n 20 0 ê . 2!(n - 2)! ëên = - 4 (loại) Vậy cĩ tất cả 5 cặp vợ chồng.