120 Bài toán xác suất - Dạng 8: Bài toán liên quan đến hình học (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 8: Bài toán liên quan đến hình học (Có lời giải)

1. DAÏNG 8. BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN HÌNH HOÏC Bài 1. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n ³ 3, n Î ¥ ). Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Lời giải Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo thành từ n + 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d1 và n điểm (thẳng hàng) thuộc 3 3 3 d2 là Cn+ 6 - C6 - Cn . 3 3 3 Theo giả thiết, ta có Cn+ 6 - C6 - Cn = 96 với n ³ 3, n Î ¥ . (n + 6)! n! Û - 20- = 96 3!(n + 3)! 3!(n - 3)! Û (n + 4)(n + 5)(n + 6)- 120- (n - 2)(n - 1)n = 576 én = 4 Û 18n2 + 72n - 576 Û ê . ê ën = - 8 Đối chiếu điều kiện ta chọn n = 4 thỏa yêu cầu bài toán. Bài 2. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt (n ³ 3, n Î ¥ ) khác A, B, C, D . Tìm n , biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439 . Lời giải Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo thành từ n + 6 điểm gồm: 1 điểm trên cạnh AB , 2 điểm trên cạnh BC , 3 điểm (thẳng 3 3 3 hàng) trên cạnh CD và n điểm (thẳng hàng) trên cạnh DA là Cn+ 6 - C3 - Cn . 3 3 3 Theo giả thiết, ta có Cn+ 6 - C3 - Cn = 439 với n ³ 3, n Î ¥ . (n + 6)! n! Û - 1- = 439 3!(n + 3)! 3!(n - 3)! Û (n + 4)(n + 5)(n + 6)- 6- (n - 2)(n - 1)n = 2634 én = 10 Û 18n2 + 72n - 2520 Û ê . ê ën = - 14 Đối chiếu điều kiện ta chọn n = 10 thỏa yêu cầu bài toán. Bài 3. Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm, 4cm, 6cm, 8cm và 10cm . Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác. Lời giải Không gian mẫu là số cách lấy 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C5 = 10 . Gọi A là biến cố '' 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác '' . Để ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp: (4cm, 6cm, 8cm) hoặc (6cm, 8cm, 10cm) hoặc (4cm, 8cm, 10cm). Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 3 . W 3 Vậy xác suất cần tìm P (A)= A = . W 10
2. Bài 4. Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng không thẳng hàng. Giả sử các đường thẳng nối các điểm từng đôi một cắt nhau và 3 trong số các đường thẳng đó chỉ có thể đồng quy tại một trong 10 điểm đã cho. Gọi S là tập hợp các tam giác tạo bởi các đường thẳng đó. Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ tập S , tính xác suất để tam giác được chọn có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã cho. Lời giải 2 Số đường thẳng được tạo thành từ 10 điểm đã cho là C10 = 45 . Nếu cứ 3 đường thẳng bất kỳ trong 45 đường thẳng tạo thành 1 tam giác thì ta có 3 tất cả C45 tam giác. Nhưng thực tế có một trường hợp 3 đường thẳng không tạo thành tam giác đó là khi chúng đồng quy. Xét một điểm bất kỳ trong 10 điểm đã cho, ta gọi điểm đó là A thì ● Có 9 đường thẳng qua A . 3 ● Số cách chọn 3 trong 9 đường thẳng đó là C9 . Tương ứng một cách chọn là có một tam giác bị loại (do 3 điểm trùng nhau tại A ). 3 Vì có 10 điểm như thế nên có tất cả 10.C9 tam giác bị loại. 3 3 Suy ra tập hợp S có C45 - 10.C9 = 13350 tam giác. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 tam giác trong 13350 tam giác. 1 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C13350 = 13350 . Gọi X là biến cố '' Tam giác được chọn có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã cho '' . Số tam giác được tạo thành có 3 đỉnh đều là các điểm trong 10 điểm đã cho là 3 1 C10 = 120 . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C120 = 120 . W 120 4 Vậy xác suất cần tính P (X )= X = = . W 13350 445 Bài 5. Cho một đa giác đều 12 đỉnh A1 A2 A12 nội tiếp đường tròn (O). Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật. Lời giải Không gian mẫu là cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 12 đỉnh. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12 = 495 . Gọi A là biến cố '' 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật '' . Gọi đường chéo của đa giác đều A1 A2 A12 đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã 12 cho có = 6 đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh 2 A1 A2 A12 có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là số cách chọn 2 đường chéo lớn trong 6 đường chéo lớn. 2 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6 = 15 . W 15 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 495 33 Bài 6. Cho một đa giác đều có 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S , tính xác suất để được một hình chữ nhật. Lời giải Đa giác có 30 cạnh nên có 30 đỉnh. Gọi (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. Không gian mẫu là số cách chọn 4 đỉnh bất kỳ trong 30 đỉnh của đa giác đều.
3. 4 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C30 = 27405 . Gọi A là biến cố '' tứ giác được chọn là hình chữ nhật '' . Gọi đường chéo của đa giác 30 đều đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có = 15 đường 2 chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 30 đỉnh có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là số cách chọn 2 đường chéo 2 lớn trong 15 đường chéo lớn, tức là có tất cả C15 = 105 hình chữ nhật. 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C105 = 105 . W 105 1 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 27405 261 * Bài 7. Cho một đa giác đều 2n đỉnh A1 A2 A2n (n ³ 2, n Î ¥ ) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n . Lời giải 3 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh là C2n . Gọi đường chéo của đa giác đều A1 A2 A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo 2n lớn thì đa giác đã cho có = n đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 2 đỉnh trong 2n đỉnh A1 A2 A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là số cách chọn 2 đường chéo lớn trong 2n đường chéo lớn, tức là 2 có tất cả C2n hình chữ nhật. (2n)! n! Theo giả thiết, ta có C 3 = 20C 2 Û = 20 2n n 3!(2n - 3)! 2!(n - 2)! 2n(2n - 1)(2n - 2) n(n - 1) Û = 20 Û 2n - 1 = 15 Û n = 8 . 6 2 Vậy n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 8. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n ³ 2, n Î ¥ ). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong 1 số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là . 5 Tìm n . Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn 3 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C2n . Gọi A là biến cố '' Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông '' . Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong 2n số (2n - 2) đỉnh còn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có = n đường kính. 2 1 ● Số cách chọn 1 đường kính là Cn = n . 1 ● Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong (2n - 2) đỉnh là C2n- 2 = 2n - 2 . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = n(2n - 2). WA n(2n - 2) Do đó xác suất của biến cố A là P (A)= = 3 . W C2n
4. n(2n - 2) 1 6n(2n - 2) 1 Theo giả thiết, ta có 3 = Û = Û n = 8 . C2n 5 2n(2n - 1)(2n - 2) 5 Vậy n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập tương tự. Cho đa giác (H ) có n đỉnh (n Î ¥ , n > 4). Tìm n , biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H ) và không có cạnh nào là cạnh của (H ) gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H ) và có đúng 1 cạnh là cạnh của (H ). Lời giải 3 Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là Cn . Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n . Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n(n - 4). Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là 3 Cn - n - n(n - 4). 3 Theo giả thiết, ta có Cn - n - n(n - 4)= 5.n(n - 4) n! Û C 3 = 6.n(n - 4)+ n Û = 6.n(n - 4)+ n n 3!.(n - 3)! (n - 2)(n - 1) én = 35 Û = 6 n - 4 + 1 Û n2 - 39n + 140 = 0 Û ê . ( ) ê 6 ën = 4 Do n > 4 nên ta chọn n = 35 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(- 2;0), B(- 2;2), C (4;2), D(4;0). Chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ (x; y) với x, y là các số nguyên nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các điểm nằm trên các cạnh). Tính xác suất để điểm (x; y) được chọn thỏa mãn x + y < 2 . Lời giải y = 1 Dựng thêm các đường thẳng và y x = - 1, x = 1, x = 2 , x = 3 . Các đường thẳng C B 2 trên cùng với các cạnh và các trục tọa độ cắt nhau tại 21 điểm có tọa độ nguyên. Do đó ta 1 có W= (x; y)- 2 £ x £ 4,0 £ y £ 2 & x, y Î ¢ . D { } A -2 -1 O 2 3 4 x Suy ra số phần tử của không gian mẫu 1 W= 21. Gọi A là biến cố '' Chọn được điểm (x; y) thỏa mãn x + y < 2 '' . Ta có những kết quả thuận lợi cho biến cố A là WA = {(- 2;0), (- 2;1), (- 2;2), (- 1;0), (- 1;1), (- 1;2), (0;0), (0;1), (1;0)} . Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 9 . W 9 3 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = = . W 21 7 Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho. 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C14 = 91.
5. Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' . Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư. 1 1 ● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C2C4 cách. 1 1 ● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C3C5 cách. 1 1 1 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C2C4 + C3C5 = 23 . W 23 Vậy xác suất cần tính P (A)= A = . W 91