120 Bài toán xác suất - Dạng 9: Bài toán tìm n (Có lời giải)

Nội dung text: 120 Bài toán xác suất - Dạng 9: Bài toán tìm n (Có lời giải)

1. DAÏNG 9. BAØI TOAÙN TÌM n Bài 1. Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để 12 tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số 29 học sinh nữ của lớp. Lời giải Gọi số học sinh nữ của lớp là n (n Î ¥ * ,n £ 28). Suy ra số học sinh nam là 30- n . Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh. 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C30 . Gọi A là biến cố '' Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ '' . 2 ● Chọn 2 nam trong 30- n nam, có C30- n cách. 1 ● Chọn 1 nữ trong n nữ, có Cn cách. 2 1 Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C30- n .Cn . 2 1 WA C30- n .Cn Do đó xác suất của biến cố A là P (A)= = 3 . W C30 2 1 12 C30- n .Cn 12 Theo giả thiết, ta có P (A)= Û 3 = 29 C30 29 é = 14 thoaû maõn ên ( ) 2 ê Û (n - 14)(n - 45+ 240)= 0 Û ê 45± 1065 . . ên = (loaïi) ëê 2 Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh. Bài 2. Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện (TNTN) gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ 2 bằng lần xác suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn 5 viên. Lời giải Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là n (n ³ 7,n Î ¥ * ). Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là n - 3 . 3 1 C3 .Cn- 3 Xác suất để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ là 4 . Cn 4 Cn- 3 Xác suất để lập đội TNTN có toàn nam là 4 . Cn 3 1 4 C3 .Cn- 3 2 Cn- 3 1 2 4 Theo giả thiết, ta có 4 = . 4 Û Cn- 3 = .Cn- 3 Cn 5 Cn 5 Û n3 - 152 + 74n - 180 = 0 Û n = 9 . Vậy cho đoàn có 9 đoàn viên. Bài 3. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu 5 thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn . 6 Lời giải Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và số 8), 7 thẻ còn lại ghi số không chia hết cho 4. Giả sử rút ra x thẻ (1£ x £ 9, x Î ¥ * ).
2. Không gian mẫu là số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp. x Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C9 . Gọi A là biến cố '' Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 '' . Để tìm số phần tử của biến cố A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là trong số x thẻ rút ra không có thẻ nào chia hết cho 4. Do đó x thẻ rút ra được rút từ bộ 7 thẻ. W = x Suy ra số phần tử của biến cố A là A C7 . W = W- W = x - x Suy ra số phần tử của biến cố A là A A C9 C7 . x x x WA C9 - C7 C7 Do đó xác suất của biến cố A là P (A)= = x = 1- x . W C9 C9 x 5 C7 5 2 Theo giả thiết, ta có P (A)> Û 1- x > Û x - 17x + 60 < 0 Û 5 < x < 12 . 6 C9 6 Do x Î ¥ * nên suy ra 6 £ x £ 9 . Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6. Bài 4. Trong một lớp có 2n + 3 học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến 2n + 3, mỗi học sinh ngồi 1 ghế thì xác suất để số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và số ghế của 12 Chi là × Tính số học sinh trong lớp. 575 Lời giải Không gian mẫu là số cách xếp 2n + 3 học sinh vào 2n + 3 vị trí. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= (2n + 3)!. Gọi A là biến cố '' Số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và Chi '' . Do số ghế là nguyên nên để số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và số ghế của Chi thì số ghế của An và Chi cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ta thấy 2n + 3 ghế thì sẽ có n + 1 ghế mang số chẵn và n + 2 ghế mang số lẻ. Cứ mỗi cách chọn vị trí cho An và Chi thì chỉ có duy nhất 1 cách chọn vị trí cho Bình. 2 ● Số cách chọn vị trí cho An và Chi khi ghế chọn là số chẵn, có An+ 1 cách. 2 ● Số cách chọn vị trí cho An và Chi khi ghế chọn là số lẻ, có An+ 2 cách. A W = éA2 + A2 ù2n ! Suy ra số phần tử của biến cố là A ëê n+ 1 n+ 2 ûú( ) . é 2 2 ù W êAn+ 1 + An+ 2 ú(2n)! Suy ra xác suất của biến cố A là P (A)= A = ë û . W (2n + 3)! 12 2n2 + 4n + 2 12 Theo giả thiết, ta có P (A)= Û = Û n = 11 . 575 (n + 1)(2n + 2)(2n + 3) 575 Vậy lớp học có tất cả 2.11+ 3 = 25 học sinh.