Bài tập Các phương pháp giải Vật lí Lớp 12 - Phương pháp số phức

Nội dung text: Bài tập Các phương pháp giải Vật lí Lớp 12 - Phương pháp số phức

1. CHƯƠNG 0 CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẬT LÍ B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRONG BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG. Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình:: x1 5cos t cm ; x2 5cos t cm .Dao động tổng hợp của vật có phương trình. 3 A. x 5 3 cos t cm B. x 5 3 cos t cm 4 6 C. x 5cos t cm D. x 5cos t cm 4 3 Lời giải Cách 1: Phương pháp truyền thống 2 2 Biên độ xác định bởi A A1 A2 2A1 A2 cos 2 1 A sin A sin Pha ban đầu xác đinh thông qua tan 1 1 2 2 A1 cos 1 A2 cos 2 Ở bài toán này 0. Thay số vào ta tính được 3 2 2 A 5 5 2.5.5.cos 5 3 3 3 5.sin 5.sin 0 5. 3 3 tan 2 1 3 6 5cos 5.cos0 5. 1 3 2 Từ đó ta có x 5 3 cos t cm 6 Cách 2: Phương pháp số phức Bước 1: Chọn chế độ tính toán với số phức. Bước 2: Chọn chế độ tính góc là rad. Bước 3: Nhập vào máy tính 5 50 3 15 5 3 Ấn = sẽ hiển thị i 2 2 Đây là dạng đại số, để chuyển sang dạng lượng giác ta bấm SHIFT 2 3 = Khi đó máy tính hiển thị 5 3 6 Trang 1
2. Vậy x 5 3 cos t cm 6 Đáp án B. Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số phương trình: x1 3cos t cm; x2 cos t cm . Phương trình dao động tổng hợp: 2 2 A. x 2cos t cm B. x 2cos t cm 3 3 5 C. x 2cos t cm D. x 2cos t cm 6 6 Lời giải Cách 1: Phương pháp đại số A A2 A2 2A A cos 2cm 1 2 1 2 2 1 2 3 sin 1.sin A sin A sin 3 2 tan 1 1 2 2 2 3 A cos A cos 3 1 1 2 2 3 cos 1.cos 2 3 2 Vậy x 2cos t cm 3 Cách 2: Phương pháp số phức Bước 1: Chọn chế độ tính toán với số phức. Bước 2: Chọn chế độ tính góc là rad. Bước 3: Nhập vào máy tính: 3 1 2 Ấn = sẽ hiển thị 1 3i .Đây là dạng đại số, để chuyển sang dạng lượng giác ta bấm SHIFT 2 3 = 2 2 Khi đó máy tính hiển thị 2 .Vậy x 2cos t (cm) 3 3 Đáp án B. Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 3 cos t cm và x2. Phương trình dao động tổng hợp là x 2cos t cm .Phương trình 2 3 dao động x2 là? 2 A. x2 cos t cm B. x2 2cos t cm 3 Trang 2
3. 5 C. x2 2cos t cm D. x2 2cos t cm 6 6 Lời giải Ta có x1 x2 x nên x2 x x1 . Do đó nhập vào máy tính ta tính được 2 3 1 10 3 2 Từ đó suy ra x2 cos t cm Đáp án A. Ví dụ 4: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động:: x1 2 3 cos 2 t cm, x2 4cos 2 t cm, x3 8cos 2 t cm .Giá trị vận tốc cực đại của 3 6 2 vật và pha ban đầu của dao động lần lượt là: A. 12 cm/s và radB. 12 cm/s và rad 6 3 C. 16 cm/s và radD. 16 cm/s và rad 6 6 Lời giải Cách 1: Phương pháp đại số Ta sẽ tổng hợp x 2+x3= x23 rồi lại tổng hợp x 23 với x1 sẽ được phương trình của dao động tổng hợp. Từ đó suy ra vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động tổng hợp. 4sin 8sin 6 2 Tổng hợp x2 và x3 ta có: tan 3 23 23 3 4cos 8cos 6 2 2 2 A23 4 8 2.4.8.cos 4 3 Từ đó ta suy ra x23 4 3 cos 2 t 3 2 3 sin 4 3 sin 3 3 1 Tổng hợp x23 và x1 ta có: tan 3 2 3 cos 4 3 cos 3 3 2 2 A 2 3 4 3 2.2 3.4 3 cos 6 Từ đó suy ra phương trình của dao động tổng hợp x 6cos 2 t cm 6 Vây ta tính được v A 12 cm / s; rad . max 6 Trang 3
4. Cách 2: Sử dụng phương pháp số phức Sử dụng máy tính ta tính được luôn phương trình của dao động tổng hợp 2 3 4 8 3 3 3i 6 3 6 2 6 Từ đó suy ra phương trình của dao động tổng hợp là x 6cos 2 t cm 6 Vậy ta tính được v A 12 cm / s; rad . max 6 Đáp án A. * VIẾT BIỂU THỨC CƯỜNG ĐỘ DÒNG ĐIỆN VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ TỨC THỜI. Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm ba phần tử mắc nối tiếp với nhau, điện trở thuần, R 8  1 10 4 cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm L H , một tụ điện có điện dung C F . Đặt vào hai đầu 80 8 đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có biểu thức u 34 2 cos 2000 t V . 1. Tìm biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong đoạn mạch. 2. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai đầu tụ điện Lời giải Cách 1: Sử dụng phương phấp số phức. 1. Tìm biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong đoạn mạch. Các giá trị cảm kháng và dung kháng 1 Z L .2000 25  L 80 1 1 Z 40  C C 10 4 .2000 8 * Tổng trở phức của đoạn mạch là: Z AB R ZL ZC i 8 25 40 i 8 15i u 34 20 2 2 Đinh luật Ôm dạng phức: it * 8 15i 2 21,08 Z AB 8 15i 17 Từ đó suy ra phương trình cường độ dòng điện là i cos 2000 t 1,08 A 2. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai đầu tụ điện. Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở là uR iR 2 2 cos 2000 t 1,08 .8 cos 2000 t 1,08 Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu cuộn cảm là (dùng định luật Ôm dạng phức) u i.Z * 2 21,08 . 25i 50 22,65 L L Trang 4
5. Có kết quả trên là ta nhập vào máy tính 2 2 1,08 . 25i (chú ý, nhập i bằng cách ấn SHIFT ENG ) sau đó ấn nút = được dạng đại số của số phức, sau đó chuyển sang dạng lượng giác của số phức, được 50 22,65 . Vậy phương trình uL là uL cos 2000 t 2,65 V Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu tụ điện là (dùng định luật Ôm dạng phức) u iZ * 2 21,08 . 40i 80 2 0,49 C C Do đó phương trình uC là uC 80 2 cos 2000 t 0,49 V Cách 2: Dùng phương pháp đại số thông thường Tổng trở của mạch là 2 2 2 Z R ZL ZC 64 25 40 64 225 289 17  U 34 Cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch I 2 A Z 17 Độ lệch pha giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện là Z Z 15 tan L C 1,08rad R 8 Suy ra cường độ dòng điện sớm pha hơn hiệu điện thế góc 1,08 rad. Phương trình cường độ dòng điện chạy trong mạch là: i 2 2 2000 t 1,08 A Vì uR cùng pha với i nên ta có uR i.R 2 2 cos 2000 t 1,08 .8 16 2 cos 2000 t 1,08 Vì uL sớm pha so với cường độ dòng điện nên 2 uL 2 2 cos 2000 t 1,08 .25 50 2 cos 2000 t 2,65 V 2 Vì uC trễ pha so với cường độ dòng điện nên 2 UC 2 2 cos 2000 t 1,08 .40 80 2 cos 2000 t 0,49 V 2 Ví dụ 2: Một mạch điện gồm điện trở thuần R 75  mắc nối tiếp với cuộn cảm có độ tự cảm 5 10 3 L H và với một tụ điện có điện dung C (F) . Dòng điện xoay chiều chạy trong mạch có 4 5 biểu thức i 2cos 100 t A 1. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn cảm, giữa hai đầu tụ điện. 2. Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch. Trang 5
6. Lời giải Cách 1: Phương pháp số phức 5 Z L .100 125  L 4 Cảm kháng, dung kháng của mạch là 1 1 Z 50  C C 10 3 .100 5 Áp dụng định luật Ôm dạng phức, ta có: Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu R là uR it .R 20 .75 1500 150cos 100 t Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu cuộn cảm là * uL i.ZL 2.125i 250i 250cos 100 t V 2 Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu tụ điện là * uC iZC 2. 50i 100i=100cos 100 t V 2 Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu đoạn mạch: Tổng trở phức là * Z AB R ZL ZC i 75 125 50 i 75 75i  Định luật Ôm dạng phức * uAB it Z AB 20 75 75i 150 150i 150 2 cos 100 t V 4 Cách 2: Phương pháp đại số 5 Z L .100 125  L 4 Cảm kháng, dung kháng của mạch là 1 1 Z 50  C C 10 3 .100 5 U0R I0 R 2.75 150 Ta có U0C I0ZC 2.20 100 U0L I0ZL 2.125 250 Vì hiệu điện thế giữa hai đầu R cùng pha cường độ dòng điện nên uR 150cos 100 t Vì uc trễ pha so với cường độ dòng điện nên uC =100cos 100 t V 2 2 Vì uL sớm pha so với cường độ dòng điện nên uL 250cos 100 t V 2 2 Trang 6
7. 2 2 2 2 2 Tổng trở của mạch: Z R ZL ZC 75 125 50 75 2 ZL ZC 125 75 Độ lệch pha cúa uAB so với i: tan 1 R 50 4 Suy ra uAB sớm pha so với i. Ta có U I Z 2.75 2 150 2 suy ra biểu thức hiệu điện thế giữa 4 0 AB 0 AB hai đầu đoạn mạch là: uAB 150 2 cos 100 t V 4 * XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG MẠCH Ví dụ 1: Điện áp giữa hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây là: u 80cos 100 t ;i 2 cos 100t . Điện trở thuần R và độ tự cảm L của cuộn dây là: 8 8 A. 40 và 0,368H.B. 40 và 0,127 H. C. 40 2 và 0,127 H. D. 40 2 và 0,048 H. Lời giải Áp dụng định luật Ôm dạng phức, ta có tổng trở phức của đoạn mạch là 80 u Z * 8 40 40i R Z i L t 2 8 Từ đó suy ra R 40;ZL =40 . Có ZL =40 suy ra L 0,127 Đáp án B. Ví dụ 2: Điện áp và cường dộ dòng điện tức thời giữa hai đầu một đoạn mạch X chỉ gồm 2 trong 3 phần tử mắc nối tiếp (điện trở R, cuộn cảm thuần L, tụ điện có điện dung C) có phương trình: u 80cos 100 t ;i 2 cos 100t . Hỏi trong đoạn mạch X có phần tử nào, và giá trị của 4 6 chúng là bao nhiêu? A. Chứa R và C, R 20;ZC =20 3 B. Chứa R và C, R 20 3 1 ;ZC 20 3 1  C. Chứa R và L, R 20 2;ZL 20 3 D. Chứa R và L, R 20 2;ZL 20 2 Lời giải Áp dụng định luật Ôm dạng phức, ta có tổng trở phức của đoạn mạch là Trang 7
8. 80 u Z * 4 20 3 1 20 3 1 i i t 2 6 Vì mạch chỉ có 2 phần tử, mà tổng trở phức là 20 3 1 20 3 1 i nên suy ra 2 phần tử của mạch phải là R và C, từ đó suy ra R 20 3 1 ;ZC 20 3 1  Đáp án B. Chú ý Bài toán này cho ta thấy được ưu việt của phương pháp số phức: Dùng định luật Ôm dạng phức tính tổng trở phức, ta biết ngay được trong đoạn mạch X chứa những phần tử nào và giá trị của chúng là bao nhiêu. Dùng phương pháp thông thường (dựa vào độ lệch pha để suy ra đoạn mạch chứa gì, dùng công thức tính tổng trở và tính được giá trị của các phần tử) ta cũng sẽ ra kết quả nhưng lâu hơn. Ví dụ 3: Đặt một điện áp xoay chiều vào hai đầu một cuộn dây chỉ có độ tự cảm thì cường độ dòng điện qua cuộn dây có biểu thức: i 3 2 cos 100 t A 6 1 Nếu đặt điện áp nói trên vào hai bản tụ của tụ điện có điện dung C 10 4 F thì biểu thức nào trong các biểu thức sau đúng với biểu thức dòng điện? 7 7 A. i 1,5 2 cos 100 t A B. i 1,5cos 100 t A 6 6 7 7 C. i 1,5 2 cos 100 t A D. i 1,5cos 100 t A 6 6 Lời giải Theo bài ra ta có uL uC , ZL 50, ZC 100 Theo định luật Ôm dạng phức, ta có * uL i1ZL * 3 2 x50i i1ZL 6 3 6 3 2 3 2 5 u u i2 i  i C L * 2 * * ZC 100i 4 4 2 6 ZC ZL 5 7 Vì pha ban đầu là nên pha ban đầu cũng có thể viết . Từ đó ta có biểu thức của cường độ dòng 6 6 7 điện lúc sau là i 1,5 2 cos 100 t A 6 Trang 8
9. Đáp án A. Ví dụ 4: Một đoạn mạch gồm một tụ điện có dung kháng ZL 100 cuộn dây có cảm kháng ZL 200 mắc nối tiếp nhau. Điện áp tại hai đầu cuộn cảm có dạng uL 100cos 100 t V .Biểu thức điện áp 6 ở hai đầu tụ điện có dạng là A. uC 100cos 100 t V B. uC 50cos 100 t V 6 3 5 C. uC 100cos 100 t V D. uC 50cos 100 t V 2 6 Lời giải uL Cường độ dòng điện qua mạch là it * ZL 100 * uL * 6 5 Điện áp ở hai đầu tụ điện là uC it ZC * ZC x 100i 50 ZL 200i 6 5 Từ đó suy ra uC 50cos 100 t V 6 Đáp án Ví dụ 5: Cho đoạn mạch gồm các phần tử nối tiếp:cuộn cảm thuần nối tiếp với đèn Đ nối tiếp với tụ điện. 1 50 Gọi D là điểm nằm giữa đèn Đ và tụ C. Biết Đ: 100 V − 100 W; L H,C F , uAD 200 2 cos 100 t V . Biểu thức uAB có dạng 6 A. uAB 200 2 cos 100 t V B. uAB 200cos 100 t V 4 4 C. uAB 200 2 cos 100 t V D. uAB 200cos 100 t V 3 3 Lời giải Ta có RD 100;ZL 100, ZC 200 * Tổng trở phức đoạn mạch AD là Z AD 100 100i 200 2 uAD 6 Cường độ dòng điện qua mạch là it * 2 Z AD 100 100i 12 Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch là * uAB it Z AB 2 x 100 100 200 i 200 2 12 3 Trang 9
10. Vậy uAB 200 2 cos 100 t V 3 Đáp án C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số x1 cos 2 t cm , x2 3.cos 2 t cm .Phương trình của dao động tổng hợp: 2 2 A. x 2cos 2 t cm 3 B. x 4cos 2 t cm 3 C. x 2cos 2 t cm 3 4 D. x 4cos 2 t cm 3 Câu 2: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x'Ox có li độ 4 4 x cos 2 t cm cos 2 t cm 3 6 3 2 Biên độ và pha ban đầu của dao động là: A. 4 cm; rad.B. 2 cm; rad. 3 6 8 C. 4 3 cm; rad.D. cm; rad. 6 3 3 Câu 3: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là: x1 4cos t cm ; x2 6cos t cm ; x3 2cos t cm 2 2 Dao động tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là A. 2 2cm; rad B. 2 3cm; rad 4 4 C. 12cm; rad D. 8cm; rad 2 2 Câu 4: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: Trang 10
11. x1 a cos t cm ; x2 a cos t cm 3 có phương trình dao động tổng hợp là 2 2 A. x a 2 cos t B. x a cos t 3 3 3a 2a C. x cos t D. x cos t 2 4 3 6 Câu 5: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: 5 x1 3 cos 5 t cm và x2 3 cos 5 t cm 2 6 Phương trình dao động tổng hợp là: A. x 3cos 5 t cm 3 2 B. x 3cos 5 t cm 3 2 C. x 3cos 5 t cm 3 D. x 4cos 5 t cm 3 Câu 6: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình: x1 4cos t cm ; x2 4cos t cm 2 Phương trình của dao động tổng hợp A. x 4 2 cos t cm 4 B. x 8cos t cm 6 C. x 8cos t cm 3 D. x 8cos t cm 6 Câu 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình: Trang 11
12. x1 a cos t cm ; x2 a 3 cos t cm 2 Phương trình của dao động tổng hợp: A. x 2a cos t cm 6 B. x 2a cos t cm 6 C. x 2a cos t cm 3 D. x 2a cos t cm 3 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-A 4-B 5-B 6-A 7-A Trang 12