Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 10: Cân bằng của vật rắn khi không có chuyển động quay

Nội dung text: Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 10: Cân bằng của vật rắn khi không có chuyển động quay

1. 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Chuyên đề 10. CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHI KHÔNG CÓ CHUYỂN ĐỘNG QUAY 1. Ba người khiêng một khung sắt hình chữ nhật ABCD có khối tâm ở giao điểm các đường chéo. Khung được giữ cho luôn nằm ngang, cạnh AD không có người đỡ vì mới sơn (trừ hai đầu A và D). Một người đỡ khung ở M1 cách A một khoảng AM1 = d. Tìm vị trí M2 và M3 của hai người kia để ba người cùng chịu lực bằng nhau. Biện luận. Bài giải Chọn hệ tọa độ Gxy (hình vẽ, G là khối tâm của hệ). Giả sử người thứ hai đỡ ở cạnh BC, người thứ ba đỡ ở b a cạnh CD: x ; y . 3 2 2 2 Đặt: AB CD a; AD BC b. Ta có: F1x1 F2 x2 F3 x3 xG 0 (1) F1 F2 F3 F1 y1 F2 y2 F3 y3 yG 0 (2) F1 F2 F3 P với F F F (3) 1 2 3 3 x1 x2 x3 0 Từ (1), (2) và (3), ta được: y1 y2 y3 0 b b x 0 2 2 2 a a d y3 0 2 2 x2 0 y3 d b a a b M1 ; d ;M 2 0; ;M 3 ; d . 2 2 2 2 Vậy M2 ở trung điểm cạnh BC; M3 ở cách trung điểm cạnh CD một đoạn d về phía D. Biện luận: + M1  A M 3  trung điểm cạnh CD. + M1 trung điểm AB M 3 D
2. a + d do M3 không thể vượt quá D. 2 2. Một khung thép nhẹ, cứng có dạng tam giác vuông ABC với góc nhọn µA ; cạnh AB = a được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng, cạnh huyền nằm ngang. Trên hai cạnh góc vuông có xuyên hai viên bi thép nhỏ (coi là chất điểm) khối lượng lần lượt là m1 và m2. Chúng được nối với nhau bằng thanh nhẹ, có chiều dài l (l < AC), thanh nhẹ có thể trượt không ma sát trên hai cạnh góc vuông. Thả hệ hai viên bi và thanh nhẹ từ đỉnh góc vuông B. Khi thanh nhẹ nối hai vật hợp với cạnh AB một góc  thì hệ vật đạt trạng thái cân bằng bền. Tìm hệ thức liên hệ giữa m1 ,m2 , và  . Bài giải Gọi M x1 , y1 và N x2 , y2 là tọa độ của hai viên bi. - Khối tâm của hệ gồm hai viên bi và thanh nối là: m1x1 m2 x2 xG ; m1 m2 m1 y1 m2 y2 yG . m1 m2 m1 y1 m2 y2 Xét yG (1) m1 m2 Với y1 a l cos  sin 2 y2 l sin  y1 a sin l sin  cos 3 Thay (2) và (3) vào (1) ta được: m1 a l cos  sin m2 a sin l sin  cos yG m1 m2 m2l cos m1 yG a sin tan cos  sin  m1 m2 m2 m m Xét biểu thức X 1 tan cos  sin  bcos  sin  , với b 1 tan . m2 m2 - Áp dụng bắt đẳng thức Bunhia-cấpxki, ta được: bcos  sin  2 b2 1 cos2  sin2  b2 1 cos  m Dấu “=” xảy ra khi: sin  cot  b 1 tan . b m2
3. - Khi cot  b thì biểu thức X đạt giá trị lớn nhất, khi đó yG đạt giá trị nhỏ nhất, hay khối tâm ở vị trí thấp nhất, do đó hệ ở trạng thái cân bằng bền. m Vậy: Hệ ở trạng thái cân bằng bền khi: cot  1 tan . m2 3. Treo một cây compa trên một sợi dây như hình vẽ. Cho rằng hai nhánh của compa là cùng chiều dài, khối lượng phân bố đều và bằng nhau. Bỏ qua khối lượng của các ốc vặn và khớp nối. Hãy tính góc mở của hai nhánh compa sao cho khớp nối đạt cao độ lớn nhất khi treo. Bài giải Gọi góc mở của compa là ·AOB 2 ; chiều dài của một nhánh compa là l; là góc hợp giữa phương dây treo và nhánh AO của compa là  . - Khi thay đổi góc mở, quỹ tích khối tâm G của compa sẽ chuyển động trên một cung tròn tâm I, đường kính OG1 - Treo đầu A của compa vào dây, khi cân bằng, khối tâm G của compa luôn nằm trên đường thẳng đứng đi qua dây treo. - Khớp nối O sẽ đạt độ cao lớn nhất khi góc  đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phương dây treo phải trở thành tiếp tuyến với đường tròn tâm I, đường kính OG1. l IG 1 Ta có: sin  4 . max l IA 3 3 4 max 19,47; 90 max 70,53. - Góc mở của compa là: ·AOB 2 2 70,53. 2 Vậy: Góc mở của hai nhánh compa sao cho khớp nối đạt cao độ lớn nhất khi treo là·AOB 70,53. 4. Một thanh đồng chất tiết điện đều, chiều dài a được đặt trong một lòng cối hình bán cầu bán kính R. Giữa thanh và cối không có ma sát. a) Trường hợp thanh có cân bằng, xác định vị trí cân bằng của thanh (góc hợp bởi thanh và phương ngang) b) Tìm điều kiện của a để thanh có cân bằng. Bài giải a) Vị trí cân bằng của thanh
4.    - Các lực vào thanh: trọng lực P ; các phản lựcQ1 ,Q2 . - Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của thanh, là góc hợp bởi thanh và mặt phẳng ngang khi có cân bằng. Ta có: a a AB 2R cos ;KB AB 2R cos 2 2 a HB KB cos 2R cos2 cos 2 OH R cos 2 R 2cos2 1 2R cos2 R a Mà R OH HB 2R cos2 R 2R cos2 cos 2 a a2 128R2 8R cos2 a cos 4R 0 cos 16R a a2 128R2 ar cos 16R a a2 128R2 Vậy: Khi thanh có cân bằng, xác định vị trí cân bằng của thanh là ar cos . 16R b) Điều kiện của a đề thanh có cân bằng Thanh chỉ cân bằng khi K (trung điểm của thanh) luôn nằm trong khoảng AB: a AK AB 2R cos 2 a a a2 128R2 a a2 128R2 2R a 4R 2 16R 8R Vậy: Điều kiện của a đề thanh có cân bằng là a 4R. 5. Thanh đồng chất AB, dài l = 2m, trọng lượng P, đứng yên trên mặt sàn nằm ngang, tựa vào một con lăn nhỏ không ma sát C gắn vào đầu bức tường độ cao h = 1m (hình vẽ). Thanh luôn cân bằng với bất kì giá trị nào của  70 , nhưng sẽ trượt nếu  70. Hãy tính hệ số ma sát nghỉ giữa thanh và sàn. Bài giải h l h l Đặt AC x ;GC x . sin 2 sin 2     - Các lực tác dụng vào thanh: trọng lực P ; các phản lựcQA ,QC ; lực ma sát nghỉ F msn .    - Phân tích trọng lực P làm hai thành phần PA ,PC . Theo quy tắc hợp lực song song, ta có:
5. P PA PC P P P P P sin P GC A C A C A h l l h h P GA C sin 2 2 sin l sin Pl sin PA P 1 ;PC 2h 2h    - Phân tích trọng lực PC làm hai thành phần P1 ,P2 (hình vẽ). Ta có: P2 PC sin .    - Phân tích trọng lực P2 làm hai thành phần P3 ,P4 (hình vẽ). Ta có: Pl sin3  P P sin 3 2 2h Pl sin2  cos P P cos 4 2 2h - Áp lực vuông góc thanh AB tác dụng lên sàn tại A: N PA P3 . l sin Pl sin3  Pl sin cos2  N P 1 P 2h 2h 2h - Để thanh không trượt: Fms P4 kN P4 . Pl sin cos2  Pl sin2  cos k P 2h 2h Pl sin2  cos l sin2  cos k 2h Pl sin cos2  2h l sin cos2  P 2h l sin2  cos k ứng với  70 min 2h l sin cos2  2 sin2 70cos70 và k 0,336 k 0,336. min 2.1 2.sin70cos2 70 Vậy: Hệ số ma sát nghỉ giữa thanh và sàn là k 0,336. 6. Một vòng trượt nhỏ A, trượt tự do dọc theo một thanh nhẵn B có dạng một nửa đường tròn bán kính R. Tất cả lại quay với vận tốc góc  không đổi xung quanh một trục thẳng đứngOO . Xác định góc ứng với vị trí cân bằng của vòng trượt. (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 1996) Bài giải - Chọn hệ quy chiếu gắn với thanh B (hệ quy chiếu không quán tính).
6.    - Tại góc lệch , vòng trượt A cân bằng nên: P Fq N 0 (1) 2 với Fq mr mR2 .sin - Chiếu hệ thức (1) lên phương tiếp tuyến tại A, ta được: mR 2 sin cos mg sin 0 sin R 2 cos g 0 - Các vị trí cân bằng của vòng A ứng với các giá trị sau đây của góc : + sin 0 0 g g g + R 2 cos g 0 cos ar cos , với  . R 2 R 2 R 7. Trên một tấm ván nghiêng một góc so với mặt phẳng nằm ngang có vật nhỏ. Ván đứng yên thì vật cũng đứng yên. Cho ván chuyển động sang phải với gia tốc a song song với đường nằm ngang. Tính giá trị cực đại của a để vật vẫn đứng yên trên ván. Biết hệ số ma sát k. (Trích để thi Olympic 30⁄4, 1998) Bài giải Chọn hệ quy chiếu gắn với tấm ván. - Các lực tác dụng vào vật là:   Trọng lực P ; lực quán tính Fq ma (ngược chiều   với a ); phản lực Q và lực ma sát Fms . - Để vật còn ở trên tấm ván: Q 0 (1) - Để vật đứng yên thì lực ma sát phải là ma sát nghỉ: Fms kN kQ (2) - Vật nằm cân bằng nên:     P Fq Q Fms 0. - Chiếu hệ thức vectơ trên lên hai trục Ox và Oy, ta được: mg.sin ma.cos Fms 0 Fms mg.sin ma.cos (3) và mg.cos ma.sin Q 0 Q mg.cos ma.sin (4)
7. - Từ (1) và (4) suy ra: a g cot g (5) - Từ (2) và (4) suy ra: g sin a cos k g cos a sin g k cos sin a (6) k sin cos k cos sin cos g k cos sin Mặt khác: a k sin cos sin max k sin cos Vậy: Giá trị cực đại của a để vật vân đứng yên trên ván là g k cos sin a . max k sin cos 8. Trên một tấm ván nghiêng một góc so với mặt phẳng nằm ngang, có một vật nhỏ đứng yên. Cho ván chuyển động sang phải với gia tốc a song song với đường nằm ngang. Tính giá trị cực đại của a để vật vẫn đứng yên trên ván. Biết hệ số ma sát là . (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2015) Bài giải Chọn hệ quy chiếu Oxy gắn với tâm ván.     - Các lực tác dụng lên vật: trọng lực P ; phản lựcQ ; lực ma sát Fms ; lực quán tính Fq Fq ma . - Vật đứng yên trên tấm ván nên:     P Q Fms Fq 0. (1) - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy, ta được: Fms mg sin ma cos 0 Fms mg sin ma cos Q ma sin mg cos 0 Q m g cos a sin - Vật còn nằm trên ván thì: Q 0 a g cot . - Để vật không trượt trên ván là: Fms N Q. g sin a cos  g cos a sin g cos sin g cos sin a a cos  sin max cos  sin
8. g cos sin Vậy: Giá trị cực đại của a để vật vẫn đứng yên trên ván là a . max cos  sin 9. Ba thanh nhẹ không trọng lượng có cùng độ dài l được liên kết bằng các bản lề tại các điểm C và D. Hai đầu còn lại của hai thanh ngoài được gắn vào các điểm A và B bằng các bản lề ở cùng độ cao. Khoảng cách AB = 2l. Tại bản lề C người ta treo một vật khối lượng m. Xác định lực nhỏ nhất Fmin đặt vào bản lề D để giữ cho thanh giữa luôn luôn nằm ngang. Bài giải - Với bản lề C:   + Các lực tác dụng: các trọng lực P ; Pb tác dụng vào vật m và   vào bản lề; các lực căng T1 ,T2 của hai thanh AC và CD. + Điều kiện cân bằng:     P Pb T1 T2 0 (1) + Chiếu (1) lên trục vuông góc với AC, ta được: P sin Pb sin T cos 0 T cos m mb g sin 1 - Với bản lề D:     + Các lực tác dụng: lực F ;trọng lực Pb tác dụng vào bản lề; các lực căngT3 ,T2 của hai thanh BD và CD.     + Điều kiện cân bằng: F Pb T3 T2 0 (2) + Chiếu (2) lên trục vuông góc với BD, ta được: F cos  Pb sin T cos 0 T cos F cos  mb sin 2 T cos m sin mg sin - Từ 1 và 2 , ta được: F b mg sin cos  cos  mg  F F mg sin và F vuông góc với thanh BD. min 2 mg Vậy: Lực nhỏ nhất đặt vào bản lề D để giữ cho thanh giữa luôn luôn nằm ngang là F . min 2
9. 10. Buộc quả cầu khối lượng m = 500g vào hai sợi dây. Hai đầu còn lại của chúng buộc vào hai đầu một thanh thẳng đứng quay với vận tốc góc  . Khi quả cầu quay trong mặt phẳng nằm ngang thì các sợi dây tạo thành góc 90 . Chiều dài của dây trên là a = 30cm, của dây dưới là b = 40cm. Sợi dây nào sẽ đứt trước và khi đó vận tốc góc  là bao nhiêu? Biết rằng dây đứt khi lực căngT 12,6 N. Bài giải Chọn hệ quy chiếu gắn với vật quay (hệ quy chiếu phi quán tính).     - Các lực tác dụng lên vật: Trọng lực P ; các lực căng Ta ,Tb ; lực quán tính Fqt .     - Điều kiện cân bằng của vật: P Ta Tb Fqt 0 - Chiếu hệ thức trên lên phương các sợi dây, ta được: mg.cos Ta Fqt .cos  0 1 mg.cos  Tb Fqt .cos 0 2 2 2 ab R a b Với Fqt m R m . ;cos ;cos  a2 b2 b a2 b2 a2 b2 Ta mg.cos Fqt .cos  1 - Từ (1) và (2) suy ra: Tb mg.cos Fqt .cos 2 - Thay các giá trị này vào 1 và 2 , ta được: 2 a 2 ab Ta mg m 2 2 a2 b2 a b 2 b 2 a b Tb mg m 2 2 a2 b2 a b Vì b a nênTa Tb : dây a sẽ đứt trước. Khi Ta T dây a sẽ đứt và khi đó vận tốc góc  là: T a2 b2 mga a2 b2  2 mab2 T a2 b2 mga a2 b2 12,6. 0,32 0,42 0,5.10.0,3. 0,32 0,42  mab2 0,5.0,3.0,42 12,6. 0,32 0,42 0,5.10.0,3. 0,32 0,42  12,75 rad s . 0,5.0,3.0,42
10. Vậy: Dây a sẽ đứt trước và khi đó vận tốc góc 12,75 rad s . 11. Một thanh cứng được uốn thành hình thước nhựa BAC (vuông tại A). Cạnh AB đặt nghiêng góc 30 so với phương ngang. Hai quả cầu có khối lượng m1 và m2 được nối với nhau bằng dây không dãn l. Các quả cầu có thể trượt trên AB và AC với hệ số ma sát 1 2 0,2. a) Tìm mối quan hệ giữa m1 và m2 để có thể giữ các quả cầu đứng yên ở mọi vị trí mà dây nối chúng bị căng theo phương nằm ngang. b) Giữ nguyên khối lượng các quả cầu đã tính ở câu a, cho hệ quay tròn đều quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc sao cho khi quay dây nối các quả cầu vẫn căng theo phương nằm ngang. Xác định: - Trục phải nằm trong khoảng nào? - Quan hệ giữa và vị trí của trục . Bài giải a) Mối quan hệ giữa m1 và m2 để có thể giữ các quả cầu đứng yên ở mọi vị trí mà dây nối chúng bị căng theo phương nằm ngang - Các lực tác dụng lên các quả cầu:     + Quả cầu 1: trọng lực P1 ; phản lực Q1 ; lực căng T ; lực ma sát F ms1 .     + Quả cầu 2: trọng lực P2 ; phản lực Q2 ; lực căng T ; lực ma sát F ms2 . - Điều kiện cân bằng của hai quả cầu:     + Quả cầu 1: P1 Q1 F ms1 T 0 (1)     + Quả cầu 2: P2 Q2 F ms2 T 0 (2) - Chiếu (1) và (2) lên hai tục Ox và Oy, ta được: + Quả cầu 1: T Fms1 cos 30 Q1 sin30 0 Q1 cos 30 Fms1 sin30 P1 0 T 1Q1 cos 30 Q1 sin30 0 T 3,059P1 (3) Q1 cos 30 1Q1 cos 30 P1 0 T 2Q2 cos60 Q2 cos 30 0 + Quả cầu 2: T 1,137P2 (4) Q2 cos60 2Q2 cos 30 P2 0 Từ (3) và (4) Suy ra: m1 0,371m2 .
11. Vậy: Để có thể giữ các quả cầu đứng yên ở mọi vị trí mà dây nối chúng bị căng theo phương nằm ngang thì m1 0,371m2 . b) Trường hợp hệ quay tròn đều quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc  Gọi R1 và R2 là bán kính quỹ đạo của các quả cầu, ta có: R1 R2 l (5) - Phương trình định luật II Niu-tơn cho hai quả cầu:      + Quả cầu 1: P1 Q1 F ms1 T m1 a1 1      + Quả cầu 2: P2 Q2 F ms2 T m2 a2 2 - Chiếu 1 và 2 lên hai trục Ox và Oy, ta được: Q1 1,0531P1 + Lên Oy: (6) Q2 1,458P2 2 T 1Q1 cos 30 Q1 sin30 m1 R1 + Lên Ox: 2 T u2Q2 cos60 Q2 sin60 m2 R2 9,91  (7) 0,371R1 R2 - Từ (6), để 0 thì 0,371R1 R2 0 (8) 1 - Từ (5) và (8) suy ra: R 0,729l. 1 0,371 Vậy: Trục phải nằm cách quả cầu 1 một đoạn l R1 0,729l và mối quan hệ giữa tốc độ góc và khoảng 9,91 cách R1 là  . 0,371R1 R2 12. Cái “điều tiết li tâm” ở hình bên dùng để hãm máy khi trục có tốc độ vượt quá n = 120 vòng/phút. Nó gồm một vòng C khối lượng 4kg có thể trượt không ma sát trên trục AB, hai vật D có cùng khối lượng m. Khung ADCD hình thoi, cạnh dài 30cm, khối lượng không đáng kể quay cùng với trục. Bỏ qua mọi ma sát. Tính m để có động tác hãm khi đoạn AC bằng 43cm. Tính lực tác dụng lên các thanh lúc đó. Bài giải Chọn hệ quy chiếu gắn với khung quay. Khi AC 43cm 30 2cm , hình thoi ADCD trở thành hình vuông.     - Các lực tác dụng vào mỗi vật D: trọng lực P ; các phản lực T1 ,T2 của các thanh nối; lực quán tính li tâm Fq . - Mỗi vật D cân bằng trong hệ quy chiếu này nên:
12.     P T1 T2 Fq 0 (1) - Chiếu (1) lên hai trục nằm ngang và thẳng đứng, ta được: T1 cos 45 T2 cos 45 Fq 0 2 2 T T F 0 (2) 2 1 2 2 q Và T1 sin45 T2 sin45 P 0 2 2 T T mg 0 (3) 2 1 2 2 - Tương tự, với vật M, ta có: Mg 2T2 (4) M 2m g Mg - Từ (2), (3) và (4), ta được: F m M g;T ;T . q 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - Mặt khác: Fq m r m.4 n r m M g m.4 n r. Mg 4.9,8 2 m 1,7kg;r 30. 21cm 0,21m. 4 2n2r-g 4.3,142.22.0,21-9,8 2 4 2.1,7 .9,8 4.9,8 Và T 39,5N;T 27,7N. 1 2 2 2 Vậy: Đề có động tác hãm khi đoạn AC bằng 43cm thì m = 1,7kg và lực tác dụng lên các thanh lúc đó là T1 39,5N;T2 27,7N. 13. Hai vật nặng A, B có kích thước như nhau và đều nặng 100N. Chúng nối với nhau bằng hai thanh nhẹ AC, BC và các bản lề. Vật A chỉ có thể trượt ngang, vật B chỉ trượt trên mặt nghiêng góc 30 so với phương nằm ngang. Để duy trì sự cân bằng như hình vẽ, cần tác dụng vào điểm C  một lực F theo phương thắng đứng hướng xuống dưới.  Nếu hệ số ma sát giữa A, B với các mặt trượt đều là  0,5 thì độ lớn của lực F sẽ nằm trong phạm vi nào? Bài giải - Vì  0,5 tan30 0,577 nên khi F = 0, B sẽ trượt xuống dưới. Do đó lực F phải có giá trị tối thiểu nào đó để B không trượt xuống: F = F1. - Khi F tăng dần từ F1 thì B có xu hướng đi lên cho đến khi F = F2 thì sự cân bằng bị phá vỡ. Ta xét hai trạng thái tới hạn này. - Trường hợp vật B có xu hướng trượt xuống: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình định luật II Niu-tơn cho vật B trên hai trục Ox và Oy:
13. • Trên Ox: P sin30 fmsB FCB cos 30 0 (1) • Trên Oy: P cos 30 FCB sin30 QB 0 (2) Và fmsB NB QB (3) P sin30 QB FCB cos 30 0 P cos 30 FCB sin30 QB 0 100 sin30 0,5QB FCB cos 30 0 1 100 sin30 FCB sin30 QB 0 2 + Từ 1 , 2 ta được: FCB 6,0023N. Suy ra: F1 FCB tan30 6,0023.tan30 3,4774N. - Trường hợp vật B có xu hướng đi lên: Tương tự, ta có các phương trình: 100 sin30 0,5QB FCB cos 30 0 4 100 cos 30 FCB sin30 QB 0 5 Từ 4 và 5 ta được: FCB 151,4569N. Suy ra: F2 FCB tan30 151,4569.tan30 87,4437N. - Trường hợp A có xu hướng chuyển động sang trái: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình định luật II Niu-tơn cho vật B trên hai trục Ox và Oy: • Trên Ox: fmsA FAC cos 30 0 (6) • Trên Oy: P FAC sin30 QA 0 (7) Và fmsA N A QA (8) QA FAC cos 30 0 P FAC sin30 QA 0 0,5QA FAC cos 30 0 6 100 FAC sin30 QA 0 7 + Từ 6 và 7 , ta được: FAC 81,1655N. -Từ quan hệ cân bằng đối với bản lề C, suy ra: F3 FAC sin30. F3 81,1655.sin30 40,5827N
14. Vậy: Độ lớn của lực F để hệ cân bằng là: 3,4774N F 40,5827N. 14. Một quả tạ đôi được đặt thẳng đứng trên mặt sàn nằm ngang. Tạ đôi gồm hai quả cầu giống nhau gắn vào một thanh có khối lượng không đáng kể, dài  l. Tại một thời điểm nào đó, quả cầu trên nhận được một vận tốc đầu v0 theo  phương ngang. Hỏi v0 có giá trị tối thiểu bằng bao nhiêu để quả câu dưới này lên ngay khỏi sàn và tạ đôi sẽ chạm sàn ở tư thê nằm ngang? Bài giải - Điều kiện để cầu dưới không nảy lên:    P1 T1 Q1 0 (1) T1 Q1 P1 0 Q1 mg T1 0 T mg - Khi ấy, quả cầu trên quay quanh quả cầu dưới:    P2 T2 maht (2) mv2 mv2 T P 0 T 0 mg mg v2 2gl 2 2 l l 0 2 - Từ đó, điều kiện để quả cầu dưới nảy lên là: v0 2gl - Khi quả cầu dưới nảy lên thì quả tạ đôi chuyển động vừa tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm. Khi quả cầu   v trên nhận được vận tốc v thì khối tâm nhận được vận tốc 0 và chuyển động giốg như một vật bị ném ngang. 0 2 2h 1 1 - Thời gian để khối tâm rơi đến sàn là: t ;h BG . g g 2 - Vì momen lực đối với khối tâm G của tạ đôi M = 0 nên tạ đôi: quay với vận tốc góc không đổi quanh khối 1 tâm. Muốn cho tạ đôi chạm sàn ở tư thế nằm ngang thì trong thời gian t , tạ đôi phải quay được một g góc tối thiểu bằng . 2 1 g - Từ t   . 2 g 2 l 1 v -Mặt khác: v  G v gl . AG 2 2 0 min 2 Vậy: Để qua cầu dưới này lên ngày khỏi sàn và tạ đôi sẽ chạm sàn ở tư thế nằm ngang thì v gl . 0 min 2