›
›
›

Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 12: Cân bằng tổng quát của vật rắn

doc 21 trang xuanthu 27/08/2022 5260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 12: Cân bằng tổng quát của vật rắn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docbai_tap_luyen_tap_tong_hop_vat_li_lop_10_tap_1_phan_2_dong_l.doc

Nội dung text: Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 12: Cân bằng tổng quát của vật rắn

  1. Chuyên đề 12: CÂN BẰNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 23.Một thanh mỏng đồng chất OA, khối lượng m, có thể quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh trục cố định O nằm ngang. C là điểm tiếp xúc của thanh với khối trụ đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Khối trụ khối lượng m được giữ cân bằng bởi một tấm chắn thẳng đứng như hình vẽ. Biết góc nghiêng của thanh 1 là . Đoạn AC dài bằng chiều dài l của thanh. Bỏ qua mọi 4 ma sát. Hỏi tấm chắn tác dụng lên khối trụ một lực là bao nhiêu? (Giải theo các hằng số m,g, ). Bài giải    - Các lực tác dụng lên thanh OA: trọng lực P ; phản lực Q của hình trụ tại C và phản lực R của bản lề O (hình vẽ). - Điều kiện cân bằng của thanh với trục quay qua O: M P O M Q O (1) 1 3 l 3 P cos Q l mg cos Q l 2 4 2 4 2 Q mg cos 3    - Các lực tác dụng lên khối trụ: trọng lực P ; các phản lực Q1 ,Q2 của tấm chắn và mặt phẳng nằm ngang; và  áp lực N của thanh OA (N = Q). - Khối trụ cân bằng nên:     P Q1 Q2 N 0 (2) - Chiếu (2) lên phương nằm ngang, ta được: 2 1 Q N sin Q sin mg sin cos mg sin 2 1 3 3 Vậy: Lực do tấm chắn tác dụng lên hình trụ là 1 Q mg sin 2 . 1 3 24.Thanh AB có khối lượng không đáng kể. Đầu A gắn vật nặng m 1 = 600g, đầu B gắn vật nặng m 2 = 400g. Buộc một sợi dây không dẫn vào hai đầu AB rồi treo vào một điểm C cố định không ma sát sao cho thanh cân bằng. Biết AC + CB = 30cm.
  2. a) Tính chiều dài mỗi đoạn CA và CB. b) Biết thanh AB hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc 10 . Tính chiều dài của AB. Bài giải a) Chiều dài mỗi đoạn CA và CB     - Các lực tác dụng lên thanh AB: các trọng lực P1 ,P2 ; các lực căng T1 ,T2 . - Vì thanh AB cân bằng nên: M M ;M M . T1 B P1 B T2 A P2 A T1 AB sin 1 P1 AB cos T1 sin 1 P1 cos (1) Và T2 AB sin 2 P2 AB cos T2 sin 2 P2 cos (2) - Vì T1 T2 T (không có ma sát tại điểm treo C) P1 m1g 0,6.10 6 N và P2 m2 g 0,4.10 4N. 3 sin - Từ (1) và (2), ta được: sin 2 (3) 1 2 - Áp dụng định lí hàm sin cho ABC , ta được: CB AC CB sin 3 1 sin 1 sin 2 AC sin 2 2 - Mặt khác: AC + CB = 30cm, suy ra: AC = 12cm; CB = 18cm. Vậy: AC = 12cm; CB = 18cm. b) Chiều dài thanh AB     - Thanh AB cân bằng nên: T1 P1 T2 P2 0 (4) - Chiếu (4) lên phương nằm ngang, ta được: T1 cos 1 T2 cos 2 1 2 1 2 2 2 20 3 sin - Từ(3): sin 20 2 2 2 2 31,38 và 1 51,38.  180 1 2 180 51,38 31,38 97,24 - Áp dụng định lí hàm số sin cho ABC , ta được: AB BC . sin  sin 1
  3. sin  sin97,24 AB BC. 18. 22,89cm. sin 1 sin51,38 Vậy: Chiều dài thanh AB là 22,89cm. 25.Một thanh đồng chất BC tựa vào tường thẳng đứng ở B nhờ dây AC dài l hợp với tường góc . Cho BC = d. Hỏi hệ số ma sát giữa thanh và tường phải thỏa mãn điều kiện nào đề thanh cân bằng? (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 1995) Bài giải  - Các lực tác dụng lên thanh: Phản lực R của tường đặt vào đầu B; trọng   lượng thanh P ; lực căng dây T .    - Thanh nằm cân bằng nên: P T R 0 và: M P MT (đối với trục quay qua B)     hay: P T N f 0 (1) d và: mg. sin  Th sin (2) 2    (Phân tích R làm hai phần: Phản lực vuông góc N và phản lực ma sát f ; đặtAB=h và góc·ABC  , hệ quy chiếu là Bxy; trọng lượng thanh là P = mg). - Chiếu (1) lên hai trục Bx và By, ta được: N T sin ; f mg T cos 1 mgd.sin  -Từ (2)suy ra: T 2 2h.sin - Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC: d l h (3) sin sin  sin  d.sin  mg.sin  h và T (4) sin 2 sin  mg sin .sin  Suy ra: N 2 sin  cos .sin  2 sin .cos  cos .sin  và: (5) f mg. 1 mg. 2.sin  2 sin  - Để có cân bằng thì ma sát phải là ma sát nghỉ và ta có: f kN với k là hệ số ma sát.
  4. 2 sin .cos  cos .sin  mg.sin .sin  mg k 2 sin  2 sin  2 sin .cos  sin  .cos 2 l k (6) sin sin  tan  tan 1 d 2 l 2 sin2 - Từ (3) ta có: sin  sin cos  d d 2 d 2 l 2 sin2 l - Thay vào (6) ta được: k . l sin tan 2 d 2 l 2 sin2 l Vậy: Để thanh cân bằng thì k . l sin tan 26.Thanh AB đồng chất. Đầu A tựa lên sàn nhám. Đầu B giữ cân bằng bởi sợi dây treo vào C. Hệ số ma sát giữa thanh và sàn là k. Góc giữa thanh và sàn là 45 . Hỏi đáy BC nghiêng với phương ngang góc bằng bao nhiêu thì thanh bắt đầu trượt? (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2000) Bài giải   - Các lực tác dụng lên thanh AB: Trọng lực P ; lực căng T ; phản   lực Q và lực ma sát nghỉ Fms .     -Thanh nằm cân bằng khi: P T Q Fms 0 (1) và M M M (với trục quay qua B) (2) Fms B FQ B FP B - Chiếu (1) xuống hai trục nằm ngang và thẳng đứng, ta được: Fms T cos (1) P Q T sin (2) 1 - Từ (2): F .AB.sin45 Q.AB.cos 45 P.AB.cos 45 ms 2 1 1 Q P F Q T sin F 2 ms 2 ms Q T sin 2T cos T sin 2cos - Thanh nằm cân bằng nênma sát phải là ma sát nghỉ, do đó: Fms kN kQ. T cos kT sin 2cos 1 2k cos 1 2k k sin tan k
  5. 1 2k Vậy: Thanh sẽ bắt đầu trượt khi: arctan . k 27.Một thanh đồng chất AB khối lượng phân bố đều, trọng lượng P. Đầu A tựa lên sàn nằm ngang tại vị trí có một gờ thẳng đứng. Đầu B tựa lên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng so với phương ngang. Khi cân bằng, thanh hợp với phương ngang một góc  . Bỏ qua mọi ma sát. Xác định áp lực do thanh nén lên mặt ngang, mặt nghiêng và gờ thẳng đứng. (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2001) Bài giải    GọiQA ,QB ,QD là phản lực do mặt ngang, mặt nghiêng và gờ thẳng đứng tác dụng lên thanh.     - Thanh AB cân bằng nên: P QA QB QD 0 (1) và M th M ng (trục quay qua A) (2) -Từ(1): QD QB sin ;P QA QB cos 1 1 - Từ(2): P cos  Q AK Q l cos  2 2 B B P cos  - Từ 2 : Q . B 2cos  P sin cos  - ThayQ vào 1 ta được:Q . B D 2cos  cos cos  - Từ 1 : Q P 1 . A 2cos  Vậy: Áp lực do thanh nén lên mặt ngang, mặt nghiêng và gờ thẳng đứng là cos cos  P cos  P sin cos  N Q P 1 ; N Q ; N Q . A A B B D D 2cos  2cos  2cos  28.Thanh AB đồng chất tiết diện đều, khốilượng m = 100kg. Thanh được đặt nằm nghiêng một góc 20 với phương nằm ngang. Đầu B của thanh tựa trên mặt sàn nằm ngang với hệ số ma sát k1 = 0.5.
  6. Đầu A của thanh tựa trên mặt phẳng nghiêng với hệ số ma sát k 2 = 0,1, góc hợp bởi mặt phẳngnghiêng với  phương ngang là 30 . Tác dụng lên đầu A củathanh một lực kéo F hướng lên dọc theo mặt phẳng nghiêng.  Tính giá trị cực đại của lực kéo F để thanh vẫn nằm yên cân bằng. (Trích đề thi Olimpic 30⁄4, 2003) Bài giải   - Các lực tác dụng lên thanh AB: lực kéo F ; trọng lực P ; các lực     ma sát fms1 , fms2 ; các phản lựcQ1 ,Q2 . - Giá trị cực đại của F ứng với thanh AB có xu hướng trượt lên, đồng thời các lực ma sát nghỉ có trị cực đại: Fms1 k1N1 và Fms2 k2 N2 N1 Q1 ; N2 Q2 . - Thanh nằm cân bằng khi:       F P Q1 Q2 fms1 fms2 0 (1) M th M ng (với trục quay qua A) (2) -Chiếu (1) lên phương nằm ngang và phương thẳng đứng, ta được: - F cos Q2 sin k2Q2 cos k1Q1 0 (3) F sin Q2 cos k2Q2 sin Q1 P 0 (4) 1 - Từ (2): Pl cos Q l cos k Q sin 0 (5) 2 1 1 1 mg 100.10 - Từ (5) suy ra: Q1 423N 2 1 k1 tan 2 1 0,5tan30 - Từ (3) và (4) ta được: Q2 394N và F 511N. Vậy: Giá trị cực đại của lực kéo F để thanh vẫn nằm cân bằng là Fmax 511N. 29.Thanh AB có trọng lượng P = 2N, chiều dàiAB =20cm; đầu A  tựa vào mặt đất, đầu B chịu tác dụng của lực F vuông gócvới thanh tại B. Tại đầu A của thanh người ta đặt lên nó một hình hộp có  trọng lượng P1 = 1N, phương trọnglực của vật P1 đi qua điểm A như hình vẽ. Hệthống cân bằng tại vị trí thanh hợp với mặt phẳng ngang một góc 20. Gọi hệ số ma sát giữa thanh và mặt đất là k 1, giữa 2 thanh và vật hình hộp là k2. Lấy g = 10m/s .  a) Tìm độ lớn của lực F .
  7. b) Tìm điều kiện của k1 ,k2 để hệ cân bằng. (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2004) Bài giải 1. Độ lớn của lực F    - Các lực tác dụng lên vật hình hộp: Trọng lực P1 ; phản lựcQ1 ; lực ma sát Fms1 . - Để vật hình hộp không trượt trên thanh AB thì: P1 sin Fms2 . P1 sin k2 P1 cos k2 tan 20 0,364 - Xét hệ gồm thanh AB và vật hình hộp. Điều kiện cân bằng của hệ:      P P1 Q12 Fms F 0 (1)   M F A M P A (trục quay qua A) (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox (nằm ngang) và Oy (thẳng đứng), ta được: Fms F sin (3) và P P1 Q12 F cos 0 (4) AB - Từ (2): F.AB P. cos (5) 2 1 F 2. .cos 20 0,94N 2 Vậy: Độ lớn của lực F = 0.94N. 2. Điều kiện của k1 ,k2 để hệ cân bằng - Từ(3): Fms F sin 0,94.sin 20 0,32N. - Từ (4): Q12 P P1 F cos 2 1 0,94.cos 20 2,12N. Để hệ cân bằng thì: Fms k1N12 k1Q12 . Fms 0,32 k1 0,15 Q12 2,12 Vậy: Để hệ cân bằng thì k1 0,15;k2 0,364. 30.Một vật có khối lượng 10kg hình lăng trụ đồng chất có tiết diện thẳng là tam giác đều ABC cạnh a = 60cm. Vật được kê trên một giá đỡ cố định D sao cho mặt BC thẳng đứng, mặt AB tiếp xúc với giá đỡ tại E, với EB = 40cm. Coi hệ số ma sát giữa vật với giá đỡ và giữa vật với sàn là như nhau. Biết hệ nằm cân bằng, tìm hệ số ma sát giữa vật và sàn.
  8. (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2010) Bài giải - Các lực tác dụng vào vật:  + Trọng lực P .   + Phản lực Q1 , lực ma sát Fms1 của sàn.   + Phản lực Q2 , lực ma sát Fms2 của giá đỡ.      - Vật nằm cân bằng: P Q1 Fms1 Q2 Fms2 0 (1) và M th M ng (trục quay qua B) (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox (nằm ngang) và Oy (thẳng đứng), ta được: Q2 sin30 Fms2 cos 30 Fms1 0 3 Q1 Q2 cos 30 Fms2 sin30 P 0 4 - Từ (2): Q2 .BE P.GH 0 a 3 2a 3P Với: GH ;BE Q . 6 3 2 4 3P - ThayQ vào (3) và (4) ta được: 2 4 3P 1 3 3P 3 . Fms2 . Fms1 0 Fms2 Fms1 0 4 2 2 8 2 3P 3 1 5P 1 Q . F . P 0 Q1 Fms2 0 1 4 2 ms2 2 8 2 3P 3 5P 3P 2Q1 Fms1 0 Fms1 3Q1 8 2 4 2 5P 5P F 2Q Fms2 2Q1 ms2 4 1 4 3P 3 P - Vật không trượt: Fms1 3Q1 Q1  3 . 2 2 Q1 Fms1 Q1 5P 1 3P - Khi xảy ra sự trượt: Q1 . 3P 8 2 3 Fms2 Q2 . 3 3 1 8  3  2  1 0 1 2 5  3 3 8
  9. 4 13  3 3 4 13  3 3 4 13 - Chọn điều kiện:   0,23 vì điều kiện trên không thỏa Fms1 Q1 . 3 3 a 3 GH 3 - Từ (5) suy ra: Q P 6 P .10.10 43,3N. 2 BE 2a 4 3 2 - ThayQ2 43,3N vào các phương trình (3) và (4), ta được: 2,65 100 21,65 0 , với điều kiện  1  0,22. Vậy: Hệ số ma sát giữa vật và sàn là  0,22. 31. Một kiện hàng hình hộp chữ nhật đồng chất thả trượt trên mặt phẳng nghiêng nhờ hai con lăn rất nhỏ A và B. Hình hộp có chiều cao h gấp  lần chiều dài l. Hệ số ma sát giữa các con lăn A, B với mặt phẳng nghiêng là k. Mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang một góc nhọn (hình vẽ). Để kiện hàng vẫn h trượt mà không bị lật thì hệ số  phải thỏa mãn điều kiện l gì? (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2011) Bài giải      - Các lực tác dụng lên kiện hàng: Trọng lực P ; các phản lựcQA ,QB ; các lực ma sát fmsA , fmsB . - Phương trình định luật II Niu-tơn chuyển động của kiện hàng:      P QA QB fmsA fmsB 0 (1) - Để kiện hàng trượt mà không bị lật thì đối với tâm quay là khối tâm: M th M ng (2) - Chiều (1) lên phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng, ta được: P cos QA QB 0 (3) 1 h h 1 - Từ (2): Q f f Q A 2 msA 2 msB 2 B 2
  10. QAl kQAh kQBh QBl 1 kh 1 k Q Q Q (4) A B 1 kh B 1 k 1 k 1 k - Từ (3) và (4), ta được: Q mg cos ;Q mg cos . A 2 B 2 - Nhận xét: QB 0 nên để kiện hàng không bị lật chỉ cần điều kiện củaQA là QA 0. 1 k 1 Q mg cos 0  A 2 k h l Vậy: Để kiện hàng vẫn trượt mà không bị lật thì hệ số  . l k 32. Trên mặt bàn nằm ngang có một khối bán trụ cố định bán kính R. Trong mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với trục O của bán trụ (hình vẽ) có một thanh đồng chất AB chiều dài bằng R tựa đầu A lên bán trụ, đầu B ở trên mặt bàn. Trong lượng của thanh là P. Bỏ qua ma sát giữa bán trụ của thanh. Hệ số ma sát giữa thanh và mặt bàn là 3  . Góc (góc hợp bởi thanh AB và mặt bàn) phải thỏa mãn điều kiện gì để thanh ở trạng thái cân 3 bằng? (Trích đề thi Olympic 30⁄4, 2011) Bài giải    - Thanh AB chịu tác dụng của các lực: Trọng lực P , phản lực Q1 của bán trục ở A, phản lực Q2 của mặt bàn  ở B, lực ma sát Fms . - Điều kiện cân bằng của thanh AB:     P Q1 Q2 Fms 0 (1) M th M ng (đối với trục quay qua B) (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox, Oy ta được: Q1 cos Fms 0 (3) Q1 sin Q2 P 0 (4) R cos - Từ (2): P Q R sin 2 (5) 2 1 ( OAB cân, nên·BAN 2 )
  11. 3 - Mặt khác: F Q Q (6) ms 2 3 2 R cos P - Từ (5) ta được: Q 1 2 sin 2 4 sin Thay biểu thức Q1 vào (3) và (4) ta được: P 3P F ;Q P Q sin (7) ms 4tan 2 1 4 3 P 3 3P 3P - Từ đó: F Q . ms 3 2 4tan 3 4 4 1 tan 30 3 - Mặt khác, do đầu A của thanh luôn tựa trên bán trụ nên giá trị lớn nhất của góc đạt được khi thanh AB trùng với phương tiếp tuyến vơi bán trụ tại A. Suy ra: max 45 Vậy: Trạng thái cân bằng của thanh ứng với điều kiện: 30 45. 33.Thanh AB đồng chất tiết diện đều, dài 2m, trọng lượng của thanh 50N. Đầu A tựa vào tường nhẵn thẳng đứng, đầu B nối với dây mảnh BC để thanh cân bằng. Thanh AB cân bằng ứng với góc ·DBA 30. a) Tính độ dài đoạn AC. b) Tính lực căng dây BC và phản lực của tường tác dụng lên thanh tại A. c) Giả sử bây giờ giữa tường và thanh có ma sát. Để thanh AB cân bằng như trên 30 thì đáy BC hợp với phương ngang BD một góc  60 . Tìm điều kiện của hệ số ma sát k giữa tường và thanh. Bài giải Ta có: AB 2m;P 50N; ·DBA 30; ·CBD. a) Độ dài đoạn AC    - Các lực tác dụng lên thanh AB: trọnglực P ; lực căng dây T ; phản lực Q của tường lên thanh.    - Thanh cân bằng nên: P T Q 0 (1)  Vì Fhl 0 nên điểm đồng quy O của 3 lực trên phải ở trên dây BC. Do đó:
  12. OG GE sin mà GA GB AG GB OG GE 1 1 và OG AC;GE AD AD AC 2 2 1 Vì 30 AD AB 1m AC 1m 2 Vậy: Độ dài đoạn AC = 1m. b) Lực căng dây BC và phản lực của tường tác dụng lên thanh tại A - Chiếu (1) lên hai trục Dx và Dy (hình vẽ), ta được: Q T cos  0 Q T cos  T sin  P 0 P T sin  AB 3 2 3 Ta có: DB AB.cos 3m. 2 2 2 BC 2 DB2 DC 2 3 22 7 BC 7m. DC 2 P 50 50 sin  mà T 7 25 7 66,14N BC 7 sin  2 2 7 2 2 và Q T cos  25 7 1 25 3 43,3N. 7 Vậy: Lực căng dây BC và phản lực của tường tác dụng lên thanh tại A là T = 66,14N và Q = 43,3N. c) Điều kiện của hệ số ma sát k giữa tường và thanh     - Các lực tác dụng lên thanh AB: trọng lực P ; lực căng dâyT ; phản lực Q ; lực ma sát nghỉ Fms     - Thanh cân bằng nên: P T Q Fms 0 (2)   Và M P A MT A (3) - Chiếu (2) lên hai trục Dx và Dy, ta được: T cos  Q 0 Q T cos  2 P T sin  Fms 0 Fms P T sin  2 - Để thanh AB không trượt: Fms kN kQ (4) Thay 2 và 2 vào (3), ta được:
  13. P T sin  kT cos  . P T sin  k (5) T cos  AK - Từ (3): AK.P T.AH T P (6) AH AH Với:sin AB AH AB.sin 2.sin 30 1m  30; 60 . AK 3 3 cos AK AG.cos 1 m AG 2 2 3 - Thay vào (6), ta được: T .50 25 3N. 2 3 50 25 3. 12,5 1 - Từ (5), ta được: k 2 1 25 3. 12,5 3 3 2 1 Vậy: Điều kiện của hệ số ma sát k giữa tường và thanh là k . 3 34.Một con lắc gồm một thanh nhẹ chiều dài l và một quả nặng ở đầu. Đầu kia của con lắc gắn một ống lót hình trụ nhẹ có bán kính r áp vào trục quay nằm ngang. Hệ số ma sát giữa ống và trục là  . Hãy xác định góc lệch cực đại của thanh khỏi phương thắng đứng khi cân bằng. Bài giải   - Các lực tác dụng lên hệ “con lắc + ống lót”: trọng lực P tác dụng vào vật m ; phản lực Q của trục quay; lực  ma sát với trục Fms . - Khi con lắc cân bằng: + Đối với trục quay qua điểm tiếp xúc của ống lót con lắc với trục:  M 0 (1)    + P Q Fms 0 (2) - Từ(2): Q N 1 Fms sin  Q cos  tan  (3) Fms Fms  - Trên hình vẽ: r cos  l sin (4)
  14. 1  Mà cos  (5) 1 tan2  1  2 r  r  - Từ (4) và (5): sin . arcsin . . 2 2 l 1  l 1  r  Vậy: Góc lệch cực đại của thanh khỏi phương thẳngđứng khi cân bằng là arcsin . . 2 l 1  35.Một ròng rọc có trọng lượng Q, bán kính R, trục ròng rọc có bán kính r. Trục ròng rọc được đặt lênhai giá có dạng máng hình trụ bán kính R 0 có đường sinh song song với trục hình trụ như hình bên. Một sợi dây không dãn khối lượng không đáng kể vắt quaròng rọc hai đầu mang hai trọng lượng P1 và P (sợi dây không trượt trên rãnh của ròng rọc). Hệ số ma sát giữa trục ròng rọc và giá đỡ là  . a) P1 phải có giá trị trong khoảng nào để ròng rọc còn cân bằng? b) Kích thước bé nhất của máng trụ (cung AB) là bao nhiêu để ròng rọc không bị lăn ra khỏi máng? c) Áp dụng: P = 100N, Q= 10N, R= 10cm, r= 1cm, R0 = 20cm,  0,2. Bài giải a) Giá trị của P1 - Trường hợp P1 P + Ròng rọc bị lăn sang phải đến vị trí C và cân bằng.      Ta có: P1 P Q N Fms 0 (1) M th M ng (2) + Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy. ta được: N cos Fms sin P1 P Q 0 (3) Fms cos N sin 0 (4) Fms N tan N tan  (5) R + Từ (2): P P R F r 0 F P P (6) 1 ms ms r 1 R + Từ (5) và (6): N P P r tan 1 +Thay N và F vào (3), ta được:
  15. R P 1 Q r sin P 1 R 1 r sin + Từ (6) ta thấy P1max ứng với Fms N tan  R 1  2 P 1 Q r  và P1max R 1  2 . 1 r  - Trường hợp P1 P Tương tự như trên nhưng thay P1 bởi P và P bởi P1, ta được: P1min khi tan . R 1  2 P Q r  Và P1min R 1  2 . 1 r  Từ đó: P1min P1 P1max R 1  2 R 1  2 P Q P 1 Q r  r  P1 . R 1  2 R 1  2 . 1 . 1 r  r  Vậy: Để ròng rọc cân bằng thì P1phải nằm trong khoảng: P1min P1 P1max . b) Kích thước bé nhất của máng trụ để ròng rọc không bị lăn ra khỏi máng » Ta có: AB 2R0 .tan 2R0 . » Vậy: Kích thước bé nhất của mảng trụ là AB 2R0 . c) Áp dụng Với P = 100N, Q = 10N, R = 10cm, r = 1cm, R0 = 20cm,  0,2 , ta được: 10 1 0,22 100. 1 . 10 1 0,2 P1max 104N R 1  2 . 1 r 
  16. 10 1 0,22 100. . 10 1 0,2 P1min 96 N R 1  2 . 1 r  »ABmin 2.20.0,2 40cm. » Vậy: Với các giá trị đã cho trên thì P1min 96 N;P1max 104N và ABmin 40cm. 36. Một thanh rắn đồng chất, tiết diện đều BC tựa vào tường thẳng đứng tại B nhớ dây AC có chiều dài L hợp với tường một góc như hình vẽ. Biết thanh BC có độ dài d. Xác định hệ số ma sát giữa thanh và tường để thanh cân bằng. Bài giải Đặt AB h và ·ABC      - Các lực tác dụng vào thanh BC: trọng lực P ; lực căngT ; phản lựcQ ; lực ma sát Fms .     - Điều kiện cân bằng của thanh: P T Q Fms 0 (1) và: M th B M ng B (trục quay qua B) (2) - Chiếu (1) lên các trục tọa độ của hệ tọa độ Bxy (hình vẽ), ta được: Q T sin 0 (3) Fms P T cos 0 (4) d d.sin  - Từ (2): P .sin  Th.sin T mg. (5) 2 2h.sin - Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được: d L h sin sin  sin  d.sin  h (6) sin - Từ (5), (6) và (3) ta được: mg.sin  mg.sin sin  T ;Q (7) 2 sin  2 sin  cos sin  - Từ (4): F mg 1 (8) ms 2 sin  - Để thanh cân bằng thì lực ma sát phải là ma sát nghỉ nên: Fms kN kQ , với k là hệ số ma sát.
  17. cos sin  mg.sin sin  (9) mg 1 k 2 sin  2 sin  2 sin cos  sin  cos 2 1 k (10) sin cos  tan  tan L.sin - Từ định lý hàm số sin ở trên, ta có: sin  . d d 2 L2 sin2 cos  (11) d 2 d 2 L2 sin2 1 - Từ (l0): k (12) L.sin tan 2 d 2 L2 sin2 1 Vậy: Để thanh cân bằng thì hệ số ma sát giữa thanh và tường phải là k . L.sin tan 37.Một thanh đồng chất, trọng lượng Q 2 3N có thể quay quanh chốt ở đầu O (hình vẽ). Đầu A của thanh được nối bằng dây không dãn, vắt qua ròng rọc S, với một vật có trọng lượng P = 1N. S ở cùng độ cao với O và OS = OA. Khối lượng của ròng rọc và dây nhỏ không đáng kể. a) Tính góc ·SOA ứng với cân bằng của hệ thống và tìm phản lực của chốt O. b) Cân bằng này là bền hay không bền? Bài giải a) Tính góc ·SOA ứng với cân bằng của hệ thống và tìm phản lực của chốt O  - Các lực tác dụng lên thanh OA: trọng lực Q ; lực căng   T (T= P); phản lực R (của chốt O).    - Thanh OA cân bằng nên: Q T R 0 (1) Và: M P O M Q O (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy của hệ tọa độ Oxy, ta được: R P cos  P sin (3) x 2
  18. R Q P sin  Q P cos (4) y 2 1 - Từ (2): Pl cos Q cos (5) 2 2 (  90 ; l là chiều dài của thanh OA) 2 Q Đặt cos x ta được Px 2x2 1 . 2 2 Thay P 1N và Q 2 3N vào ta được: 1 5 4 3x2 2x 2 3 0 x 4 3 3 - Vì0 x cos 60 : SOA là tam giác đều. 2 2 2 Từ đó: R P sin 1.sin30 0,5N; x 2 3 3 R Q P cos 2 3 1.cos 30 N. y 2 2 2 2 3 3 R R2 R2 0,5 7N. x y 2 Vậy: Góc 60 và phản lực của chốt O lên thanh là R 7N. b) Loại cân bằng? Thanh OA đang cân bằng với góc 60 : - Khi làm cho thanh OA quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O một góc nhỏ (tức điểm A dịch lên trên) thì góc giảm khi đó cos sẽ tăngnhanh hơn cos làm cho M M . Kết quả này làm cho 2 Q O P O thanh OA quay trở về vị trí cân bằng. - Ngược lại, khi làm cho thanh OA quay theo cùng chiều kim đồng hồ quanhtrục O một góc nhỏ (tức điểm A dịch xuống dưới) thì góc tăng khi đó cos sẽgiảm nhanh hơn cos làm cho M M . Kết quả này 2 Q O P O làm thanh OA quay trởvề vị trí cân bằng. Vậy: Cân bằng của thanh OA là cân bằng bên. 38.Một đoạn dây thép đồng chất, tiết diện đều được uốn thành nửa vòng tròn bán kính R. Đầu trên được gắn chặt với một vòng nhỏ khối lượng không đáng kể rồi treo vào đỉnh A đóng nằm ngang trên tường nhẵn, thẳng đứng. Vòng được đỡ bởi đỉnh B đóng trên tường, hai
  19. đỉnh cùng nằm trên đường thẳng đứng và cách nhau một khoảng bằng R. Nửa vòng dây nằm cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng. Cho biết khối tâm G của nửa vòng dây nằm cách tâm O của nó một 2R khoảngOG . Bỏ qua ma sát. Tìm lực do nửa vòng đây thép tác dụng lên đỉnh A. Bài giải  Gọi P là trọng lượng nửa vòng dây thép. Các lực tác dụng lên nửa vòng dây thép: trọng lực P ; các phản lực   của đỉnh A và B:QA ,QB . - Nửa vòng dây thép nằm cân bằng nên:    P QA QB 0 (1)     M QB A M P A (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy, ta được: 3 Q Q sin 60 Q 1 Ax B B 2 Q Q P Q cos60 P B 1 Ay B 2 - Từ (2): QB sin 60 P R OG cot 60 sin 60 2R 1 2 QB R P R . QB P 1 (3) 3 3 P 3 2 QAx 1 2 3 - Thay (3) vào (1) và (2) ta được: (4) P 2 Q 1 Ay 2 3 2 2 - Phản lực do đỉnh A tác dụng lên nửa vòng dây thép: QA QAx QAy . 2 2 P 3 2 P 2 2 4 QA 1 1 P 1 2 2 3 2 3 3 3 2 4 - Lực do nửa vòng dây thép tác dụng lên đỉnh A: N Q P 1 . A A 3 3 2 2 4 Vậy: Lực do nửa vòng dây thép tác dụng lên đỉnh A: N P 1 . A 3 3 2
  20. 39.Trên mặt phẳng nằm ngang đặt một thanh AB đồng chất. Người ta nâng thanh một cách từ từ bằng cách  tác dụng một lực F không đổi vào đầu B và luôn vuông góc với thanh. Xác định hệ số ma sát giữa thanh và mặt ngang để nâng thanh đến vị trí thẳng đứng mà đầu dưới của nó không bị trượt? Bài giải Gọi l và m là chiều dài và khối lượng của thanh. Do nâng thanh từ từ nên có thể coi rằng thanh luôn cân bằng ở mọi vị trí.   - Tại vị trí thanh hợp với phương ngang một góc , các lực tác dụng lên thanh: trọng lực P ; phản lực QA ;   lực ma sát Fms ; lực nâng F . - Thanh luôn cân bằng nên:     P QA Fms F 0 (1)   Và M P A M F A (2) - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy, ta được: F sin Fms 1 QA P F cos 1 1 P - Từ(2): P. .cos F1 F cos 2 2 2 P P 2 Từ 1 , 1 và 2 ta được: Fms .sin cos ;QA 1 sin 2 2 P P 2 - Để thanh không trượt thì: Fms N A QA sin cos  1 sin 2 2 sin cos tan 1 1  . 2 2 1 1 sin 1 2 tan 2 tan 2 2 tan 1 Vậy: Để nâng thanh đến vị trí thẳng đứng mà đầu dưới không bị trượt thì:  . 2 2 40. Một vật khối lượng m = 10kg hình lăng trụ đứng có tiết diện thẳng là tam giác đều ABC cạnh a = 60cm, được kê trên một giá đỡ cố định D sao cho mặt BC thẳng đứng, mặt AB tiếp xúc với giá đỡ tại E mà EB = 35cm. Coi hệ số ma sát tại giá đỡ và sàn là như nhau. Tìm hệ số ma sát giữa vật và sàn. Xác định phản lực của giá đỡ và của sàn tác dụng lên vật. Lấy g = 10m/s2. Bài giải
  21.      - Các lực tác dụng vào vật: trọng lực P ; các phản lựcQ1,Q2 ; các lực ma sát Fms1, Fms2. - Điều kiện cân bằng của vật:      P Q1 Q2 Fms1 Fms2 0 (1) Và M  M  (2) P B Q2 B - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy, ta được: Q2 sin 30 Fms2 cos30 Fms1 0 1 P Q1 Q2 cos30 Fms2 sin 30 0 1 a 6 EB 2EB - Từ (2): P.GH Q .BN P. Q . Q . 2 2 3 2 cos30 2 3 a 3 2EB - Từ 2 , ta được: mg. Q . 6 2 3 a 0.6 Q mg. 10.10. 43,3N. 2 4EB 4.0.35 - Từ 1 , 1 , ta được: 1 3 .43,3 .43,3 .43,3 0 2 2 3 1 10.10 Q .43,3 .43,3 0 1 2 2 21,65 2 100 21,65 0  0,22. - Thay  0,22 vào phương trình trên tính được: Q1 57,75N. Vậy: Hệ số ma sát giữa vật và sàn là  0,22 ; phản lực của sàn và giá đỡ tác dụng lên vật là Q1 57,75N và Q2 43,3N.