›
›
›

Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 6+7: Các định luật Niu-tơn và các lực cơ học

doc 20 trang xuanthu 27/08/2022 5240
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 6+7: Các định luật Niu-tơn và các lực cơ học", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docbai_tap_luyen_tap_tong_hop_vat_li_lop_10_tap_1_phan_2_dong_l.doc

Nội dung text: Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 1 - Phần 2: Động lực học chất điểm - Chuyên đề 6+7: Các định luật Niu-tơn và các lực cơ học

  1. 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Chuyên đề 6 – 7: CÁC ĐỊNH LUẬT NIU-TƠN VÀ CÁC LỰC CƠ HỌC 1. Một tấm ván cĩ khối lượng M 10kg nằm trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn và được giữa bằng một sợi dây khơng dãn. Vật nhỏ cĩ khối lượng m 1kg trượt đều với tốc độ v 2m / s từ mép tấm ván dưới tác dụng  của một lực khơng đổi F nằm ngang cĩ độ lớn F 10N như hình vẽ. Khi vật đi được đoạn đường dài l 1m trên tấm ván thì dây bị đứt. a) Tính gia tốc của vật và ván ngay sau khi dây đứt. b) Mơ tả chuyển động của vật và ván sau khi dây đứt trong một thời gian đủ dài. Tính vận tốc, gia tốc của vật và ván trong từng giai đoạn. Coi ván đủ dài. c) Hãy xác định chiều dài tối thiểu của tấm ván để m khơng trượt khỏi ván. Bài giải a) Gia tốc của vật và ván ngay sau khi dây đứt Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của vật m. - Xét chuyển động của vật m: + Trước khi dây bị đứt, m trượt đều nên: Fhl F Fms 0 Fms F . + Ngay sau khi dây đứt: Fhl 0 am 0 : vật m vẫn trượt đều với tốc độ v. - Xét chuyển động của ván M: + Trước khi dây bị đứt: Ván đứng yên. + Ngay sau khi dây đứt: Ván M chuyển động thẳng nhanh dần đều khơng vận tốc đầu với gia tốc: F F 10 a ms 1(m / s2 ) M M M 10 Vậy: Trước khi dây đứt: vật m: am 0 (trượt đều), ván M: aM 0 (đứng yên); ngay sau khi dây đứt: vật m: 2 am 0 (trượt đều), ván M: aM 1(m / s ) (chuyển động nhanh dần đều theo chiều vật m với vận tốc ban đầu bằng 0). b) Mơ tả chuyển động của vật và ván sau khi dây đứt; tính vận tốc, gia tốc của vật và ván trong từng giai đoạn. - Giai đoạn 1: 0 t t0 (từ lúc dây đứt đến lúc vận tốc của hai vật bằng nhau) + Vật m chuyển động thẳng đều với tốc độ v, gia tốc am 0 . 2 + Ván M chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc aM 1(m / s ) và đạt tốc độ v tại thời điểm:
  2. v 2 t0 2s aM 2 - Giai đoạn 2: t t0 (kể từ thời điểm mà hai vật cùng vận tốc) Vật m và ván M cùng chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ ban đầu v0 2(m / s) và gia tốc: F 10 a 0,9(m / s2 ) M m 10 1 Vậy: Chuyển động của vật và ván sau khi dây đứt trong một thời gian đủ dài bao gồm hai giai đoạn được mơ tả như trên. c) Chiều dài tối thiểu của tấm ván để m khơng trượt khỏi tấm ván - Quãng đường vật m đi được trên ván M kể từ khi dây đứt đến thời điểm t t0 là: 1 1 Mv2 a t 2 vt (0 a )t 2 vt (*) S 2 m/M 0 0 2 M 0 0 2F Mv2 10.22 - Chiều dài tối thiếu của ván là: l l s l 1 3m min 2F 2.10 Vậy: Chiều dài tối thiểu của tấm ván để m khơng trượt khỏi ván là lmin 3m * Chú ý: Hệ thức (*) được suy ra từ định lý động năng: 1 1 W A mv2 mv2 A F s . đ 2 2 2 1 ms ms 2. Cho hệ gồm N lị xo nhẹ và (N-1) vật nhỏ ghép nối tiếp như hình vẽ (N 2) . Các lị xo cĩ cùng chiều dài tự nhiên l0 và độ cứng k; các vật nhỏ đều cĩ khối lượng m. Biết rằng các vật đứng cân bằng và các lị xo thẳng đứng; A, B cố định; khoảng cách AB Nl0 . a) Tìm độ biến dạng của lị xo thứ n nào đĩ. b) Tìm điều kiện để lị xo thứ n khơng biến dạng. Bài giải a) Độ biến dạng của lị xo thứ n Gọi ln là độ biến dạng của lị xo thứ n, với quy ước ln 0 khi lị xo đĩ dãn và ln 0 khi lị xo đĩ nén. - Chọn trục Ox trùng với AB, chiều dương từ B đến A. - Xét điều kiện cân bằng của (N 1) vật, ta cĩ hệ phương trình:
  3. k l1 k l2 P 0 k l k l P 0 2 3 (1) k ln k ln 1 P 0 k lN 1 k lN P 0 - Mặt khác: l1 l2 lN AB Nl0 0 (2) - Biến đổi hệ (1) thành: k l2 k l1 P k l k l P k l 2P 3 2 1 (3) k ln k ln 1 P k l1 (n 1)P k lN k lN 1 P k l1 (N 1)P - Cộng từng vế các phương trình của hệ (3), ta được: k( l2 lN ) (N 1)k l1 [1 2 (N 1)]P N(N 1)P k( l l l ) Nk l 1 2 N 1 2 - Kết hợp với điều kiện (2), ta được: N(N 1)P (N 1)P Nk l 0 hay l (4) 1 2 1 2k (N 2n 1)P (N 2n 1)mg - Thay (4) vào (3), ta được: l n 2k 2k (N 2n 1)mg Vậy: Độ biến dạng của lị xo thứ n là l n 2k b) Điều kiện để lị xo thứ n khơng biến dạng (N 2n 1)mg - Để lị xo thứ n khơng biến dạng thì l 0 0 n 2k N 1 n với n là số tự nhiên 2 - Từ đĩ, N phải là số lẻ lớn hơn 1 (N 3,5, ) , khi đĩ, lị xo chính giữa khơng biến dạng. N 1 Vậy: Điều kiện để lị xo thứ n khơng biến dạng là n , N là số lẻ lớn hớn 1. 2
  4. 3. Cho hai chất điểm khối lượng bằng nhau (m1 m2 m) . Ở thời điểm ban đầu chúng cĩ vị trí như hình vẽ. Vật m1 được truyền lực F P 3 hơp với phương BC gĩc . Cho OC h , O· BC , với . Vật m2 được truyền vận tốc ban đầu chuyển động thẳng 4 6 đứng theo phương OC. a) Xác định thời gian để hai vật gặp nhau. b) Vị trí gặp nhau. Cho gia tốc trọng trường là g. Bài giải a) Thời gian để hai vật gặp nhau: Xét vật 1: 1 P - Ta cĩ: tan F sin P cos F P : vật khơng trượt trên mặt nêm. 4 6 3 F y y - Do các lực tác dụng lên vật khơng đổi nên gia tốc a khơng đổi, vật chuyển động theo phương BA (A là điểm gặp nhau): 2 2 2 2 2 Fhl F P 2FP cos(90 2 ) F P 2FPsin 2 2 2 Fhl F P 2FPsin 2 3P2 P2 2P 3Psin 2 P 4 2 3 sin 2 F - Gia tốc của vật: a hl g 4 2 3 sin 2 m - Áp dụng định lí hàm sin cho tam giác cĩ các cạnh F, Fhl : F F F hl hl sin sin(90 2 ) cosin2 F cos 2 sin Fhl P 3cos2 3cos2 P 4 2 3 sin 2 4 2 3 sin 2 3cos2 - Mặt khác:   90 cos  sin 4 2 3 sin 2 h h 4 2 3 sin 2 Với:  cos cos ; OB ; AB . tan tan 3cos2 1 - Thời gian để hai vật gặp nhau: Ta cĩ: AB at 2 2
  5. h 4 2 3 sin 2 2 . 2AB tan 2h t 3cos2 a g 4 2 3 sin 2 g.tan 3cos2 2 3cos2 4 2 3 sin 2 3(1 sin2 2 ) sin  1 cos2 1 4 2 3 sin 2 4 2 3 sin 2 3sin2 2 2 3 sin 2 1 sin  4 2 3 sin 2 2h Vậy: Thời gian để hai vật gặp nhau là t g tan 3cos2 b) Vị trí gặp nhau h 4 2 3 sin 2 3sin2 2 2 3 sin 2 1 Ta cĩ: OA ABsin  . . tan 3cos2 4 2 3 sin 2 h 3sin2 2 2 3 sin 2 1 OA 3 tan cos2 Vậy: Vị trí hai vật gặp nhau cách vị trí ném vật 2 theo phương thẳng đứng một đoạn: h 3sin2 2 2 3 sin 2 1 OA 3 tan cos2 4. Hai vật nhỏ cĩ khối lượng m2 3m1 cùng bắt đầu dịch chuyển từ đỉnh một cái nêm cĩ dạng hình tam giác vuơng ABC vuơng tại A, (hình vẽ) dọc theo hai mặt sườn AB và AC. Bỏ qua ma sát. Lấy g 10m / s2 . a) Giữ nêm cố định, thả đồng thời hai vật thì thời gian trượt đến chân các mặt sườn của chúng lần lượt là t 1 và t2 với t2 2t1 . Tính . b) Để t2 t1 cần phải cho nêm chuyển động theo phương ngang với gia tốc khơng đổi a0 như thế nào? Bài giải a) Khi nêm cố định - Gia tốc chuyển động của các vật trên mặt phẳng nghiêng khơng ma sát là: a1 g sin ; a2 g cos
  6. - Thời gian các vật trượt tới chân các mặt sườn là: 1 1 AB g sin .t 2 và AC g cos .t 2 2 1 2 2 - Theo đề bài, ta cĩ: AC 4 t 2t (1) 2 1 AB tan AC - Mặt khác: tan (2) AB tan 2; 63,4 Vậy: Khi nêm được giữ cố định, 63,4 . b) Khi nêm chuyển động. - Để cĩ t2 t1 thì nêm M phải chuyển động về phía bên trái nhanh dần đều với gia tốc a0.   - Trong hệ quy chiếu gắn với nêm, các vật m1 và m2 chịu tác dụng thêm lực quán tính f qt1 và f qt 2 nên gia tốc của các vật lúc này là: a1 g sin a0cos ; a2 gcos a0 sin AC a2 AC gcos a0 sin g a0 tan - Vì t2 t1 nên ; tan AB a1 AB g sin a0cos g tan a0 3g 3.10 a 7,5m / s2 0 4 4 2 Vậy: Để t2 t1 cần phải cho nêm chuyển động theo phương ngang với gia tốc khơng đổi a0 7,5m / s 5. Cho hệ như hình vẽ, D là rịng rọc động luơn được kéo xuống thẳng đứng với tốc độ khơng đổi 2m / s . C và E là hai rịng rọc cố định. Lúc t 0 , vật A bắt đầu đi xuống từ vị trí M ( v0 0 ) với gia tốc khơng đổi. Khi tới N ( MN 4m ), A cĩ tốc độ 8m / s . Coi rịng rọc nhỏ, dây khơng dãn. Tìm sự thay đổi độ cao của B, vận tốc và gia tốc của B. (Trích đề thi Olympic 30/4, 2010) Bài giải Chọn chiều (+) hướng xuống. v2 82 - Xét vật A: v2 2a .MN a A 8m / s2 A A A 2MN 2.4
  7. vA 8 Và vA aAt t 1s aA 8 - Xét rịng rọc D (chuyển động thẳng đều): sD vDt 2.1 2m (1) - Xét vật B: Do dây khơng dãn, nên ta cĩ: xA 2xD xB const - Sau khoảng thời gian t : xA 2 xD xB 0 (2) Với xA 4m (đề bài); xD 2m (theo (1)). Suy ra: xB 8m ; nghĩa là: từ vị trí đầu B đi lên 8m. - Từ (2) ta được: vA 2vD vB 0 (3) Và: aA 2aD aB 0 (4) - Thay vA 8m / s và vD 2m / s vào (3) ta được: vB 2m / s (B đi lên). 2 2 - Thay aA 8m / s và aD 0 (D chuyển động thẳng đều) vào (4) ta được: aB 8m / s (B chuyển động nhanh dần đều đi lên). 2 Vậy: B đi lên một đoạn 8m với gia tốc aB 8m / s và vận tốc điểm cuối là vB 12m / s . 6. Cho một hệ cơ học như hình vẽ, sợi dây dài 2L (khơng dãn, khơng khối lượng). Một đầu buộc chặt vào A, đầu kia nối với vật cĩ khối lượng m2, vật m2 cĩ thể di chuyển khơng ma sát dọc theo thanh ngang. Tại trung điểm I của dây cĩ gắn chặt một vật cĩ khối lượng m 1. Ban đầu giữ vật m2 đứng yên, dây hợp với phương ngang một gĩc . Xác định gia tốc của vật cĩ khối lượng m 2 và lực căng của sợi dây ngay sau khi thả vật m2? Bài giải    - Ngay sau khi thả m2, m2 chịu tác dụng của các lực Q2 ,T2 ', P2 , cịn m1 chịu tác dụng của các lực    T1,T2 , P1 (hình vẽ). Khi đĩ m2 chuyển động sang trái, chỉ cĩ thành phần gia tốc theo phương ngang là  a2 ; cịn m1 chuyển động quay quanh A. Ngay sau khi thả m2, vận tốc của m1 bằng 0 nên thành phần
  8. gia tốc của m1 theo phương hướng tâm bằng 0. Do đĩ m1 chỉ cĩ thành phần gia tốc theo phương tiếp  tuyến là a1 . - Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. - Do dây khơng dãn, khơng khối lượng nên: T1 T1 '; T2 T2 ' - Theo phương dây treo, ta cĩ: a2cos =a1cos 2 a1 sin 2 2a1 sin cos 2 a2 2a1 sin (1) - Áp dụng định luật II Niu – tơn cho các vật, ta được:     + Với vật m1: T1 T2 P1 m1 a1 (2)     + Với vật m2: T2 ' P2 Q2 m2 a2 (3) - Chiếu (2) lên trục Ox và Oy, ta được: (T1 T2 )cos =m1a1x m1a1 sin (4) (T1 T2 )sin P1 m1a1cos (5) - Chiếu (3) lên trục Ox, ta được: T2 'cos =m2a2 (6) - Thay (1) vào (6), ta được: T2 T2 '=2m2a1 tan (7) - Từ các phương trình trên, ta được: m1g cos + Vật m1: a1 2 m1 4m2 sin 2m1g cos m1g cos 2 + Vật m2: a2 2a1 sin 2 .sin 2 m1 4m2 sin m1 4m2 sin 2m1m2 g sin - Lực căng các đoạn dây: T2 T2 ' 2m2a1 tan 2 m1 4m2 sin (m1 2m2 )m1g sin Và T1 T1 ' 2 m1 4m2 sin Vậy: Gia tốc của vật cĩ khối lượng m2 và lực căng của sợi dây ngay sau khi thả vật m2 là m1g sin (m1 2m2 )g sin 2m1m2 g sin a2 2 và T1 2 , T2 2 m1 4m2 sin m1 4m2 sin m1 4m2 sin 7. Trên một mặt phẳng nằm ngang cĩ hai cái nêm với mặt nghiêng 45và khối lượng m1, m2. Nêm m2 dựa vào tường cố định, nêm m1
  9.  chịu tác dụng bởi lực F nằm ngang. Một vật cĩ khối lượng m cĩ hai mặt nghiêng 45đặt lên hai nêm (hình vẽ). a) Xác định gia tốc (hướng và độ lớn) của nêm m1 và vật m. b) Tính áp lực của m lên m2. Bài giải a) Gia tốc (hướng và độ lớn) của nêm m1 và vật m - Xét nêm m1:     + Các lực tác dụng lên nêm m1: trọng lực P1 ; phản lực Q ; áp lực N1 ; lực F . + Phương trình chuyển động của nêm m1:      P1 Q N1 F m1 a1 (1) + Chiếu (1) lên phương nằm ngang, ta được: F N1cos45=m1a1 2 F N =m a (2) 2 1 1 1 - Xét vật m:    + Các lực tác dụng lên vật m: trọng lực P ; các phản lực Q1;Q2    + Phương trình chuyển động của vật m: P Q1 Q2 ma (3) + Chiếu (3) lên phương mặt nêm m2, ta được: 2 Q P cos 45 ma N mg ma 1 1 2 a 2 a Với a N mg m 1 (4) 2 1 2 2 2F mg m(a1 g) 2(F m1g)m - Từ (2) và (4), suy ra: a1 ; N1 2m1 m 2 2m1 m 2F mg Vậy: Gia tốc của nêm m1 cĩ hướng từ trái sang phải, cĩ độ lớn a1 ; gia tốc của vật m cĩ hướng 2m1 m 2F mg lên dọc theo mặt nghiêng của nêm m2, cĩ độ lớn a 2(2m1 m) b) Áp lực của m lên m2 2 mg Ta cĩ: N P cos 45 mg. 2 2 2
  10. mg Vậy: Áp lực của vật m lên nêm m2 là N 2 2 8. Cho hệ như hình vẽ. Khối lượng ba vật bằng nhau và bằng m. Sợi chỉ nối vật 1 và vật 2 nhẹ, khơng dãn. Đoạn giữa hai rịng rọc nằm ngang, hai đoạn cịn lại thẳng đứng. Các rịng rọc nhẹ và khơng ma sát. Vật 3 chuyển động trên mặt phẳng ngang và khơng lật. Tìm gia tốc của vật. Biết gia tốc trọng trường là g. Bài giải  Gọi T là lực căng dây; a 1, a2, a3 là gia tốc của ba vật: vật 1 chuyển động theo phương thẳng đứng, vật 3 chuyển động theo phương nằm ngang, vật 2 vừa chuyển động theo phương thẳng đứng với gia tốc a2 y vừa chuyển động theo phương ngang với gia tốc a2x a3 (a2x a2 y ) - Chọn hệ toạ độ Oxy (hình vẽ). Phương trình định luật II Niu – tơn cho các vật: + Vật 1: Theo trục Oy, ta cĩ: P1 T m1a1 mg T ma1 (1) + Vật 2:  Theo trục Oy: P2 T m2a2 y mg T ma2 y (2)  Theo trục Ox: m3a3 T m2a2x T 2ma2x (3) - Dây khơng dãn: y1 y2 x2 const y y x 1 2 2 0 v v v 0 t t t 1 2 y 2x v v v 1 2 y 2x 0 a a a 0 (4) t t t 1 2 y 2x - Từ (1) và (2), ta cĩ: T a a g 1 2 y m - Từ (3), ta cĩ: T a 2x 2m T T - Thay các giá trị a2x và a2 y vào (4), ta được: 2 g 0 m 2m 4mg T 5
  11. 4mg 4mg 4g g T 2g - Từ đĩ: a a g 5 g ; a a 5 1 2 y m 5 5 2x 3 2m 2m 5 2 2 2 2 2g g g a2 a2x a2 y 5 5 5 g g 2g Vậy: Gia tốc của mỗi vật là: a ; a ; a ( a3 ngược chiều Ox). 1 5 2 5 3 5 Về hướng thì a1 hướng thẳng đứng xuống dưới; a3 hướng ngang sang trái; a2 hợp với phương ngang một a2 y 1 gĩc , với tan tan tan 2633 . a2x 2 9. Ba vật cĩ khối lượng như nhau m 5kg được nối với nhau bằng các sợi dây khơng dãn, khối lượng khơng đáng kể trên mặt bàn nằm ngang. Biết rằng dây sẽ đứt khi lực căng là T0 20N . Hệ số ma sát giữa mặt bàn và các vật tương ứng là 1 0,3; 2 0,2; 3 0,1.  Người ta kéo vật với một lực F nằm ngang và tăng dần độ lớn của lực này. a) Hỏi sợi dây nào sẽ đứt và điều này sẽ xảy ra khi lực F nhỏ nhất là bao nhiêu?  b) Kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào nếu lực F tác dụng lên vật (3)? (Trích đề thi Olympic 30/4, 1995) Bài giải a) Sợi dây nào sẽ đứt?      - Các lực tác dụng lên vật (1): Lực kéo F ; lực căng T1 ; lực ma sát f1 ; trọng lực P1 ; phản lực N1 . - Áp dụng định luật II Niu – tơn cho vật (1), ta được:       F T1 f1 P1 N1 ma1 (1) - Chiếu (1) xuống hai trục Ox và Oy, ta được:
  12. F T1 f1 m1a1 ma và N1 mg f1 1N1 1mg Và F T1 1mg ma (2) - Tương tự: Với vật (2): T1 T2 2mg ma (3) - Với vật (3): T2 3mg ma (4) (a1 a2 a3 a) F 1 - Từ (2), (3) và (4) ta được: a (   )g 3m 3 1 2 3 F - Theo đề:  3 và  2 a 2 g 1 3 2 3 3m 3 - Các lực căng dây: F 2F T F  mg ma F 3 mg 2 mg  mg 1 1 3 3 3 3 3 F F T ma  mg 2 mg  mg  mg 2 3 3 3 3 3 3 - Ta thấy T1 T2 do đĩ khi lực kéo tăng lên thì dây nối giữa các vật (1) và (2) sẽ bị đứt trước. Theo giả thiết 2F dây nối (1) và (2) sẽ bị đứt khi: T  mg T 1 3 3 0 F 3 F (T  mg) (20 0,1.5.10) 37,5N 3 0 3 2 Vậy: Dây nối hai vật (1) và (2) sẽ bị đứt và lực kéo F nhỏ nhất để cho dây nối bị đứt là: F 37,5N  b) Trường hợp lực kéo F tác dụng vào vật (3) F - Tương tự, ta được: a 2 g 3m 3 - Lực căng của dây nối giữa (3) và (2) là: F 2F T F  mg ma F  mg 2 mg  mg 2 3 3 3 3 3 3 - Lực căng của dây nối giữa (2) và (1) là: F F F T ma  mg 2 mg 3 mg  mg  mg 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2F - Vì T T nên dây nối (2) và (3) sẽ đứt trước khi: T  mg T 2 1 2 3 3 0 3 3 F (T  mg) (20 0,1.5.10) 22,5N 2 0 3 2
  13. Vậy: Dây nối hai vật (2) và (3) sẽ bị đứt và lực kéo F nhỏ nhất để cho dây nối bị đứt là: F 22,5N 10. Trong một bình đựng ba chất lỏng khơng trộn lẫn vào nhau cĩ khối lượng riêng lần lượt là 1, 2 , 3 và độ cao tương ứng là h1, h2, h3. Từ bề mặt chất lỏng trên cùng ta thả quả cầu nhỏ với vận tốc ban đầu v0 thẳng đứng xuống dưới. Biết rằng khi chạm đáy bình, vận tốc quả cầu bằng v, tính khối lượng riêng quả cầu. Suy rộng kết quả khi trong bình đựng n chất lỏng cĩ khối lượng riêng 1, 2 , , n và độ cao h1,h2 , ,hn (Bỏ qua ma sát). (Trích đề thi Olympic 30/4, 1995) Bài giải Gọi là khối lượng riêng, m là khối lượng và V là thể tích của quả cầu. Trong mỗi chất lỏng, quả cầu chịu  lực đẩy Acsimet F A của các chất lỏng này. - Trong chất lỏng thứ nhất; Gọi a1 là gia tốc của quả cầu, ta cĩ:       P F A ma1 mg F A ma1 Với m V và FA V 1g - Chọn chiều dương đi xuống, ta cĩ: 1 1 V g V 1g V a1 a1 g 1 g p - Gọi v1 là vận tốc quả cầu khi tới mặt chất lỏng thứ hai, ta cĩ: 2 2 1 v1 v0 2a1.h1 2 1 gh1 (1) p - Tương tự, với chất lỏng thứ hai và thứ ba, ta được: 2 2 2 v2 v1 2a2 h2 2 1 gh2 (2) p 2 2 3 v3 v2 2a3 h3 2 1 gh3 (3) p Với v3 v vận tốc quả cầu khi chạm đáy bình. - Cộng (1) + (2) + (3) ta được: 2 2 1 2 3 v3 v0 2g 1 h1 1 h2 1 h3 v2 v2 1 3 0 h h h ( h h h ) 2g 1 2 3 1 1 2 2 3 3
  14. 1h1 2h2 3h3 Và 2g 2 2 2g(h1 h2 h3 ) v0 v Vậy: 1h1 2h2 3h3 - Khối lượng riêng của quả cầu là: 2g 2 2 2g(h1 h2 h3 ) v0 v - Suy rộng cho trường hợp trong bình đựng n chất lỏng cĩ khối lượng riêng 1, 2 , n và độ cao h1,h2 , hn , 1h1 2h2 nhn ta cĩ: 2g 2 2 2g(h1 h2 hn ) v0 v 11. Một xe nhỏ thấp được buộc vào một vật nặng bằng dây. Thả x era, nĩ chuyển động với một gia tốc nào đĩ. Khi chèn chặt một trục của bánh xe (bánh xe gắn liền với trục) thì gia tốc của xe giảm k lần so với thí nghiệm trên. Hỏi nếu chèn chặt cả hai trục và làm lại thí nghiệm thì gia tốc của xe giảm bao nhiêu lần so với lần đầu? (Trích đề thi Olympic 30/4. 1996) Bài giải - Gọi P là độ lớn của lực kéo cho hệ chuyển động (khối lượng của cả hệ là M); Fl là ma sát lăn tác dụng lên tất cả các bánh; Ft là ma sát trượt tác dụng lên tấ cả các bánh. - Lúc đầu, xe chuyển động lăn nên: P Fl Ma (1) - Khi chèn một trục, hai bánh lăn cịn hai bánh trượt nên: F F Ma a P l t Ma (2) (do a ) 2 2 1 k 1 k 2(k 1) - Từ (1) và (2), ta được: F F Ma (3) t l k - Khi chèn cả hai trục, cả bốn bánh xe đều trượt nên: P Ft Ma2 (4) 2(k 1) - Thay (3) vào (4), chú ý (1) ta được: Ma 1 Ma2 k a k a2 2 k k Vậy: Nếu chèn chặt cả hai trục và làm lại thí nghiệm thì gia tốc của xe giảm lần so với ban đầu. 2 k
  15. 12. Ba quả cầu giống nhau 1, 2, 3 cĩ khối lượng m được treo nối tiếp trên các lị xo sao cho khoảng cách giữa chúng bằng nhau. Nếu cắt sợi dây đỡ quả cầu 1 thì cả hệ thống rơi tự do với gia tốc của trọng tâm là g. Nhưng lị xo I kéo quả cầu 2 lên phía trên mạnh hơn lị xo II kéo nĩ xuống phía dưới (ban đầu lực kéo của lị xo I là 2mg, của lị xo II là mg) cho nên quả cầu 2 bắt đầu rơi với gia tốc nhỏ hơn g. a) Tìm gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt dây. b) Giữ nguyên dây, cắt lị xo II. Tìm gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt lị xo. (Trích đề thi Olympic 30/4, 1997) Bài giải a) Gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt dây - Trước khi cắt dây: + Quả cầu 1: mg T F1 0 + Quả cầu 2: mg F1 F2 0 (1) + Quả cầu 3: mg F2 0    ( T là lực căng của dây treo, F1, F2 là lực đàn hồi của lị xo I và lị xo II) - Từ hệ (1) ta được: F1 2mg; F2 mg;T 3mg (3) - Khi cắt dây T 0 , phương trình chuyển động của các quả cầu là: mg F1 ma1 mg F1 F2 ma2 (3) mg F2 ma3 Từ (2) vào hệ (3) ta cĩ: a1 3g; a2 a3 0 . Vậy: Gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt dây là a1 3g; a2 a3 0 . b) Gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt lị xo - Khi cắt lị xo II: F2 0 , phương trình chuyển động của các quả cầu là mg T F1 ma1 mg F1 ma2 (4) mg ma3 - Thay các giá trị của T, F1 từ hệ (2) vào hệ (4), ta được: a1 0; a2 g; a3 g . Vậy: Gia tốc mỗi quả cầu ngay sau khi cắt lị xo II là a1 0; a2 g; a3 g .
  16. 13. Trên mặt bàn nằm ngang rất nhẵn cĩ một tấm ván khối lượng M 1,6kg , chiều dài l 1,2m . Đặt ở đầu tấm ván một vật nhỏ khối lượng m 0,4kg . Hệ số ma sát giữa vật và ván là  0,3.  Đột ngột truyền cho ván một vận tốc v0 song song với mặt bàn. Tính giá trị tối thiểu của v0 để vật m trượt khỏi ván. Lấy g 10m / s2 . (Trích đề thi Olympic 30/4, 2013) Bài giải - Các lực tác dụng:   + Lên m: Trọng lực p ; phản lực q ; lực ma sát f ms .    + Lên M: Trọng lực P ; phản lực Q ; áp lực n ; lực ma sát f 'ms - Áp dụng định luật II Niu – tơn cho các vật:   + Vật m: p q f ms ma1 (1)    + Vật M: P Q n f 'ms ma2 (2) - Chiếu (1) và (2) lên chiều chuyển động ta được: f mg g + Vật m: f ma a ms g 0; v gt; s t 2 ms 1 1 m m 1 1 2 f ' mg + Vật M: f ' Ma a ms 0; ms 2 2 M M mg mg v v t; s v t t 2 2 0 M 2 0 2M - Do vật m trượt trên ván nên v2 v1 . Gọi vận tốc của vật đối với ván là v, ta cĩ: M m v v2 v1 v0t gt M Mv - Khi vật dừng lại trên ván: v 0 t 0 1 g(M m) - Vật m sẽ trượt khỏi ván nếu: s2 (t1) s1(t1) l 2 mg 2 g 2 Mv0 mg Mv0 v0t t t l v0 l 2M 2 g(M m) 2M g(M m) 2gl(M m) 2.0,3.10.1,2.(1,6 0,4) v 3m / s 0 M 1,6 v0min 3m / s Vậy: Giá trị tối thiểu của v0 để vật m trượt khỏi ván là 3m/s.
  17. 14. Một hộp chứa cát ban đầu đứng yên, được kéo trên sàn bằng một sợi dây với lực kéo F 1000N . Hệ số ma sát giữa hộp với sàn là k 0,35 . a) Hỏi gĩc giữa dây và phương ngang phải là bao nhiêu để kéo được lượng cát lớn nhất? b) Khối lượng cát và hộp trong trường hợp đĩ bằng bao nhiêu? Lấy g 10m / s2 Bài giải a) Gĩc giữa dây và phương ngang để kéo được lượng cát lớn nhất Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ.   - Các lực tác dụng lên hộp: trọng lực P ; phản lực Q ; lực ma sát   F ms và lực kéo F . - Phương trình định luật II Niu – tơn cho hộp cát:     P Q F ms F ma (1) - Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy, ta được: - Fms F cos ma (1') - P Q F sin 0 (1'') Mà: Fms kN kQ - Từ (1’’): Q P F sin Fms k(P F sin ) kmg kF sin - Từ (1’): Fms F cos ma F(cos +ksin ) Từ đĩ: F cos ma kmg kF sin m (2) kg a (cos +ksin )max - Để m mmax : a 0 (kg a)min - Vì F const; g const;k const nên theo bất đẳng thức Bunhia-cốpxki, ta cĩ: F 1 k 2 1.cos ksin 1 k 2 m kg sin Dấu “=” xảy ra khi: k tan 0,35 19,3 cos Vậy: Để kéo được lượng cát lớn nhất thì gĩc giữa dây treo và phương ngang phải bằng 19,3 . b) Khối lượng cát và hộp Khi đĩ, khối lượng cát và hộp là: F 1 K 2 100 1 0,352 m m 303kg max Kg 0,35.10 Vậy: Khối lượng cát và hộp lớn nhất cĩ thể kéo được là m 303kg .
  18. 15. Sườn đồi cĩ dạng một mặt phẳng nghiêng gĩc so với mặt phẳng ngang. Một ơ tơ khởi hành từ A đi theo đường thẳng đến vị trí B nằm trên cùng một độ cao trên sườn đồi. Hãy tìm thời gian ngắn nhất để thực hiện điều đĩ. Biết hệ số ma sát giữa các bánh xe với sườn đồi là k tan , cho rằng trọng lượng xe được phân bố đều trên 4 bánh xe và cả 4 bánh xe đều là bánh phát động. Bài giải - Theo các điều kiện ở đề bài, xe được xem là chất điểm và lực phát động ở các bánh xe chính là lực ma sát nghỉ    - Tác dụng lên xe cĩ 3 lực: trọng lực P , phản lực Q và lực ma sát nghỉ F ms    - Theo định luật II Niu – tơn, ta cĩ: P Q F ms ma (1) - Chiếu (1) lên trục Ox (trùng với AB) và Oy (vuơng gĩc với AB), ta được: F2 ma; Psin F1 0 (2)    2 2 - Mặt khác: F ms F1 F 2 Fms F1 F2 (3) - Điều kiện cho ma sát nghỉ: Fms kN kQ kmg cos 2 2 F1 F2 kmg cos (4) - Từ (2) và (4): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F2 k m g cosh m g sin mg cos k tan a g cos k 2 tan2 (5) 1 2l - Mặt khác: AB l at 2 t 2 a 2l - Từ (5): t g cos k 2 tan2 2l tmin , với k tan . g cos k 2 tan2 Vậy: Thời gian ngắn nhất để xe đi từ A đến B là 2l tmin g cos k 2 tan2
  19.  16. Một vật khối lượng m đang nằm yên trên sàn ngang. Lúc t 0 vật chịu tác dụng một lực F phụ thuộc  thời gian theo quy luật F Ct , C là hằng số cĩ đơn vị Niu – tơn trên giây và t cĩ đơn vị giây. Lực F hợp với phương ngang một gĩc khơng đổi. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là . Hãy khảo sát các giai đoạn chuyển động của vật và tính vận tốc khi vật bắt đầu rời sàn. Bài giải     Các lực tác dụng vào xe: trọng lực P , phản lực Q và lực ma sát nghỉ F ms ; lực tác dụng F - Giai đoạn I: Khi vật chưa chuyển động.     + Điều kiện cân bằng: F Q P F msn 0 (1) + Chiếu (1) lên hai phương thẳng đứng và nằm ngang, ta được: Q P F sin mg F sin mg C sin .t Fmsn F cos C cos .t + Mặt khác: Fmsn N Q C cos .t (mg C sin .t) mg t C(cos +sin ) mg + Thời gian vật cịn nằm yên trên sàn là: t (2) 1 C(cos +sin ) - Giai đoạn II: Vật trượt trên sàn.     + Phương trình định luật II Niu - tơn: F Q P F mst ma (3) + Chiếu (3) lên hai phương thẳng đứng và nằm ngang, ta được: Q P sin mg F sin mg C sin .t F cos Fmst ma C cos .t Q ma C cos .t (mg C sin .t) ma Ct(cos +sin ) a g (4) 2 m Giai đoạn III: Khi vật bắt đầu rời sàn. + Lúc đĩ: Q 0 mg C sin .t 0 mg + Thời gian từ khi tác dụng lực (t 0) đến lúc vật rời sàn: t (5) 2 C sin + Gia tốc của vật khi nĩ bắt đầu rời sàn: Thay (5) vào (4) ta được: mg C. .(cos +sin ) a C sin g g cot (6) 3 m + Trong quá trình chuyển động của vật, gia tốc phụ thuộc bậc nhất vào thời gian nên:
  20. a v at; với t t t và a 3 3 2 1 2 a + Vận tốc của vật ngay khi rời sàn là: v 3 (t t ) (7) 3 2 2 1 g cot mg mg + Thay (2), (5), (6) vào (7), ta được: v3 2 C sin C cos  sin mg 2 cot2 v 3 2C(cos  sin ) mg 2 cot2 Vậy: Khi vật bắt đầu rời sàn, vận tốc của vật là v . 3 2C(cos  sin )