Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 3: Nhiệt học - Chuyên đề 12: Cơ sở của nhiệt động lực học

Nội dung text: Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 3: Nhiệt học - Chuyên đề 12: Cơ sở của nhiệt động lực học

1. 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Chuyên đề 12. CƠ SỞ CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 1. NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘC LỰC HỌC 39. Người ta nhúng một dây đun bằng mayso vào một bình nước. Biết công suất tỏa nhiệt p của dây đun và nhiệt độ môi trường ngoài không đổi, nhiệt lượng của nước truyền ra môi trường ngoài tỉ lệ thuận với độ chênh lệch nhiệt độ giữa nước trong bình và môi trường. Nhiệt độ của nước trong bình ở thời điểm X được ghi bằng bảng dưới đây: x (phút) 0 1 2 3 4 5 T (°C) 20 26,3 31,9 36,8 41,1 44,7 Hãy dùng cách tính gần đúng và xử lý số liệu trên để trả lời các câu hỏi sau. a) Nếu đun tiếp thì nước có sôi không? Nếu không sôi thì nhiệt độ cực đại của nước là bao nhiêu? b) Nếu khi nhiệt độ của nước là 60°C thì rút dây đun ra. Hỏi nước sẽ nguội đi bao nhiêu độ sau thời gian 1 phút? 2 phút? (Trích đề thi Trại hè Hùng Vương, 2015) Bài giải a) Nhiệt độ cực đại của nước 0 Gọi nhiệt độ của nước tăng thêm trong thời gian 1 phút là ∆T , gọi T là nhiệt độ của nước sau mỗi phút, T0 là nhiệt độ của môi trường, ∆T 0 là hàm của T. Gọi ∆x là khoảng thời gian đun nước, vì nhiệt lượng của nước truyền ra môi trường ngoài tỉ lệ bậc nhất với độ chênh lệch nhiệt độ giữa nước trong bình và môi trường nên ta có: 0 P x k(T T0 ) c T (c là nhiệt dung riêng của nước, k là hệ số tỉ lệ dương) - Theo bảng, chọn x 1phút. Ta có: 0 P. x kT0 kT T a bT c c - Mặt khác, từ bảng số liệu đề bài cho ta có thêm bảng chứa ∆T0 như sau: x(phút) 0 1 2 3 4 5 T(°C) 20 26,3 31,9 36,8 41,1 44,7 ∆T0 0 6,3 5,6 4,9 4,3 3,6
2. - Từ bảng này ta vẽ được đồ thị như hình bên. 6,3 a 26,3b - Từ đồ thị hoặc giải hệ, ta được: a 9;b 0,1 5,6 a 31,9b a 9 - Ta thấy T T khi T 0 0 và T 90C nên nước không thể sôi dù đun mãi. max max b 0,1 Vậy: Nước không thể sôi vì nhiệt độ cực đại của nước khi đun là Tmax 90C b) Nhiệt độ nước nguội đi sau thời gian 1 phút, 2 phút - Khi rút dây đun, công suất bếp cung cấp cho nước là P = 0 và sau 1 phút nước nguội đi: 0 kT0 kT T bT0 bT b(T0 T ) 0,1.(20 60) 4C C C - Ở phút thứ 2 nước nguội đi: 0 T bT0 bT b(T0 T ) 0,1.(20 56) 3,6C Vậy: Sau 1 phút nước nguội đi 4℃ và sau 2 phút nước nguội đi 7,6℃ 40. Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện chu trình biến đổi (1-2-3-4-1) như hình vẽ, trong đó quá trình (2-3) và (4-1) có áp suất tỉ lệ với thể tích, quá trình (1-2) và (3-4) là hai quá trình đẳng nhiệt. Biết p2 kp1 V a) Tính 3 với k = 2. Tỉ số này thay đổi thế nào khi k tăng? V1 b) Tính hiệu suất của chu trình trên theo k. (Trích đề thi Olimpic 30-4,2015) Bài giải
3. V a) Tính 3 với k = 2. V1 p V - Quá trình đẳng nhiệt 1 – 2: 2 1 (1) p1 V2 2 p V T T V - Quá trình 2 – 3: 3 3 3 3 3 (2) p2 V2 T2 T1 V2 2 p V T T V 2 - Quá trình 4 – 1 : 4 4 k 4 3 4 k (3) p1 V1 T1 T1 V1 V V - Từ (2) và (3), ta được: 4 3 k (4) V1 V2 V - Từ (1) và (4), ta được: 3 1(k) nên tỉ số này không thay đổi khi k tăng. V1 V Vậy : Tỉ số 3 1(với k = 2) và tỉ số này không thay đổi khi k tăng. V1 b) Hiệu suất của chu trình trên theo k V2 - Quá trình 1 – 2 (đẳng nhiệt): U12 0;Q12 A12 nRT1 ln 0 V1 ( p p )(V V ) nR nR - Quá trình 2 – 3: A 3 2 3 2 (T T ) (T T ) 23 2 2 3 2 2 3 1 3nR 3nR U (T T ) (T T );Q 2nR(T T ) 0 23 2 3 2 2 3 1 23 3 1 - Quá trình 3 – 4 (đẳng nhiệt): p4 V3 V4 ; U34 0;Q34 A34 nRT3 ln 0 p3 V4 V3 ( p p )(V V ) nR nR - Quá trình 4 – 1: A 4 1 1 4 (T T ) (T T ) 41 2 2 1 4 2 1 3 3nR 3nR U (T T ) (T T );Q 2nR(T T ) 0 41 2 1 4 2 1 3 41 1 3 2 - Từ (2) và (4), ta được: T3 k T1 - Hiệu suất của chu trình: V2 1 2 nRT1 ln 2nR(T1 T3 ) ln 2(1 k ) Q V k H 1 toa 1 1 1 V 2 2 Qthu 4 k ln k 2(k 1) nRT3 ln 2nR(T3 T1) V3
4. 1 ln 2(1 k 2 ) k Vậy: Hiệu suất của chu trình là H 1 k 2 ln k 2(k 2 1) 41. Một khối khí lí tưởng có khối lượng m, khối lượng mol là μ, chỉ số đoạn nhiệt γ và nhiệt dung mol đẳng tích C v. Khối khí thực hiện chu trình 1-2-3-4-1 như hình vẽ. Chu trình gồm hai quá trình đẳng tích 1-2; 3-4 và hai quá trình đẳng áp 2-3; 4-1. Nhiệt độ tuyệt đối tăng n lần (n > 1) cả trong quá trình đốt nóng đẳng tích và dãn nở đẳng áp. a) Quá trình nào hệ nhận nhiệt, truyền nhiệt ra bên ngoài? Tìm nhiệt lượng hệ nhận và truyền ra bên ngoài trong từng quá trình theo n, γ, Cv, T1, m, μ. b) Tìm hiệu suất của chu trình. Áp dụng số với n = 2 và biết khí là khí lí tưởng đơn nguyên tử. (Trích đề thi Trại hè Hùng Vương, 2014) Bài giải a) Nhiệt lượng hệ nhận và truyền ra bên ngoài trong từng quá trình - Quá trình đẳng tích 1 - 2: Đây là quá trình đốt nóng đẳng tích. p2 T2 n T2 nT1 T1 : hệ nhận nhiệt p1 T1 - Quá trình đẳng tích 2 - 3: Đây là quá trình dãn nở đẳng áp. V3 T3 2 n 1 T3 nT2 n T1 T2 : hệ nhận nhiệt V2 T2 - Quá trình đẳng tích 3 – 4: p3 T3 p2 n 1 T3 nT4 p4 T4 p1 T4 nT1 T3 : hệ truyền nhiệt ra bên ngoài. - Quá trình đẳng áp 4 – 1: Ta có: T4 T2 nT1 T1 : hệ truyền nhiệt ra bên ngoài - Nhiệt lượng hệ nhận được trong quá trình 1 – 2: m m m m Q C T C (T T ) C (nT T ) C T (n 1) 12  v  v 2 1  v 1 1  v 1 - Nhiệt lượng hệ nhận được trong quá trình 2 – 3: m m m Q C T  C (T T )  C (nT T ) 23  p  v 3 2  v 2 2
5. m m Q  C (n2T nT )  C T (n 1) 23  v 1 1  v 1 - Nhiệt lượng hệ truyền ra trong quá trình 3 – 4: m m m m Q C T C (T T ) C (nT n2T ) C nT (1 n) 0 34  v  v 4 3  v 1 1  v 1 - Nhiệt lượng hệ truyền ra trong quá trình 4 – 1: m m m Q C T  C (T T )  C T (1 n) 0 41  p  v 1 4  v 1 Vậy: Nhiệt lượng hệ nhận và truyền ra bên ngoài trong từng quá trình như trên. b) Hiệu suất của cả chu trình 5 2 Q Q n  Ta có: H 1 34 41 1 1 3 ; 15,4% Q Q 1 n 5 12 23 1 2. 3 Vậy: Hiệu suất của chu trình là H = 15,4% 42. Một xi lanh tiết diện S đặt dựng đứng chứa một chất khí đơn nguyên tử. Trong xi lanh có hai pittông mỗi pittông có cùng khối lượng m như hình vẽ. Khoảng cách giữa đáy xilanh và pitông phía dưới là H, còn khoảng cách giữa hai pittông là 3H. Thành xilanh và pittông phía trên không dẫn nhiệt. Pittông phía dưới dẫn nhiệt và có thể bỏ qua nhiệt dung của nó. Mỗi pittông sẽ di chuyển được một khoảng là bao nhiêu sau khi cấp từ từ cho khí một nhiệt lượng bằng Q? Áp suất bên ngoài là không đổi và bằng po, gia tốc rơi tự do là g. Bỏ qua ma sát. (Trích đề thi Trại hè Hùng Vương, 2015) Bài giải - Áp suất trong cả hai ngàn của xilanh đều không đổi và tương ứng đối với ngăn trên và ngăn dưới là: mg mg 2mg p p ; p p p (1) 1 0 S 2 1 S 0 S - Nhiệt độ hai phần bằng nhau. Theo phương trình Clapêrôn - Menđêlêép, ta có: p1 V1 n1R T; p2 V2 n2 R T (2) p13HS p2 HS Với n1 ;n2 (3) RT0 RT0 - Thay (3) vào (2), ta được: 3HS V1 T 3 V2 (4) T0
6. - Độ dịch chuyển của pittông dưới và trên tương ứng là: V V V x 2 ; x 1 2 4x (5) 2 S 1 S 2 Theo nguyên lý 1 của Nhiệt động lực học, ta có: 3 Q U A; U (n n )R T 2 1 2 3 3 U (p V p V ) (4 p S 5mg)x 2 1 1 2 2 2 0 2 - Công do khối khí sinh ra: A' p1 V1 p2 V2 4 p0Sx2 5mgx2 5 5 Do đó: Q (3p Sx 4mgx ) (3p S 4mg)x 2 0 2 2 2 0 2 2Q 8Q x2 ; x1 4x2 20 p0S 25mg 20 p0S 25mg Vậy: Độ dịch chuyển của hai pittông là: 2Q 8Q x2 ; x1 20 p0S 25mg 20 p0S 25mg 43. Chu trình Đi-ê-zen Chu trình biểu diễn trên đồ thị p-V trong hình vẽ: 1- 2: nén đoạn nhiệt không khí. 2 - 3: nhận nhiệt đẳng áp (phun nhiên liệu vào xilanh, nhiên liệu cháy). 3- 4: dãn đoạn nhiệt. 4 - 1: (thực ra là 4-5-6-1) thải khí và nạp khí mới, có thể coi như nhả nhiệt. V  1 gọi là tỉ số nén (từ 12 đến 20); V2 V 3 hệ số nổ sớm. V2 Tính hiệu suất H của chu trình theo ε, ρ và theo chỉ số đoạn nhiệt của khí. (Trích đề thi Trại hè Hùng Vương, 2015) Bài giải Xét 1 mol khí. - Quá trình đẳng áp 2 – 3: T3 Q1 C p (T3 T2 ) C pT2 1 (1) T2
7. - Quá trình đoạn nhiệt 1 – 2:  1  1  1 V1  1 T1V1 T2V2 T2 T1 T1 V2 T V - Quá trình đẳng áp 2 – 3: 3 3 T2 V2 - Thay vào (1), ta được:  1 Q1 C pT1 ( 1) (2) - Quá trình đẳng tính 4 – 1: ' T4 Q2 Cv (T4 T1) Cv T1 1 (3) T1 - Quá trình đoạn nhiệt 3 – 4 và 1 – 2:  1  1  1  1 T4V4 T3V3 ;T1 V1 T2V2  1  1  1  1 T4V4 T3V3 ; T1 V1 T2V2  1 T T V  - Chia hai vế của phương trình cho nhau, ta được: 4 3 3 T1 T2 V2 '  - Thay vào (3), ta được: Q2 Cv T1( 1) (4) ' '  A' Q1 Q2 Q2 1 - Hiệu suất của chu trình: H 1 1  1 Q1 Q1 Q1  ( 1) Vì hiệu suất phụ thuộc vào cả ε và ρ nên, hiệu suất sẽ táng nếu tăng ε và giảm ρ. Ghi chú : Chu trình Ôt-tô dùng cho động cơ đốt trong có bugi, cuối quá trình nén 1 - 2 bugi đánh lửa tạo nên sự cháy nổ, vì thế tỉ số nén ε không cần lớn lắm (khoảng 7 - 9). Chu trình Đi-ê-zen dùng cho động cơ Đi-ê- zen không có bugi, cuối quá trình nén 1 - 2 nhiên liệu tự cháy, cần có nhiệt độ cao, vì thế tỉ số nén ε cần khá lớn (khoảng 12 - 20) để tạo ra được nhiệt độ đủ cao cho sự tự cháy của nhiên liệu. 44. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử từ trạng thái ban đầu 1 với nhiệt độ T1 = 100K dãn qua tuabin vào chân không. Khí sinh ra công và chuyến không thuận nghịch sang trạng thái 2 có thể tích V 2 = 3V1, trong quá trình này khí không nhận nhiệt từ bên ngoài. Sau đó khí bị nén theo quá trình thuận nghịch mà áp suất phụ thuộc tuyến tính vào thể tích đến trạng thái 3 với V3 = V1 và T3 = T2 (T2 là nhiệt độ của khí ở trạng thái 2). Tiếp theo khí biến đổi đẳng tích về trạng thái ban đầu 1 (hình vẽ). Tính công mà chất khí sinh ra khi dãn qua tuabin và chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2. Biết rằng trong quá trình 2 – 3 – 1 tổng đại số nhiệt lượng mà khí nhận được là Q = 72J (Q = nhiệt nhận được – nhiệt tỏa ra)
8. Bài giải ' - Quá trình 1 – 2 (đoạn nhiệt): Q12 0; A12 U Cv (T1 T2 ) 1 - Quá trình 2 – 3: U 0 Q A' (p p )(V V ) 23 23 23 2 2 3 3 2 1 1 4 4 Q (p 3p )( V V ) p V RT 23 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 - Quá trình 3 – 1 (đẳng tích): A31 0 ' Và Q31 U31 Cv (T1 T3 ) Cv (T1 T2 ) A12 4 - Theo đề: Q Q Q 72J RT C (T T ) Q 23 31 3 2 v 1 2 4 - Cộng RT vào hai vế của phương trình trên, ta được: 3 1 4 Q RT 4 4 1 R C (T T ) Q RT T T 3 V 1 2 1 1 2 4 3 3 R C 3 V ' - Thay vào biểu thức tính A12 , ta được: 4 4 Q RT Q RT 1 3 1 A' C 3 R 3 12 v 4 4 3 R C 2 R R 3 v 3 2 4 72 .8,31.100 3 A' .8,31 3 625J 12 4 3 2 .8,31 .8,31 3 2 ' Vậy: Công mà chất khí sinh ra khi dãn qua tuabin và chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 là A12 625J 45. Cho n mol khí lí tưởng biến đối trạng thái được biểu diễn như hình vẽ. Các quá trình biến đổi từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 và từ trạng thái 2 sang trạng thái 3 biểu thị bằng các đoạn thẳng. Quá trình biến đổi từ trạng thái 3 sang trạng thái 1 biểu thị bằng biểu T thức: T 1 (3 bV )bV 2 Trong đó T 1 là nhiệt độ ban đầu đã biết, b là hằng số chưa biết. Tìm công thức của khối khí thực hiện trong một chu trình? Bài giải
9. - Từ các phương trình: T T 1 (3 bV )bV 2 pV nRT T 3 T p 1 (3 bV )bnR T bnR 1 b2nRV 2 2 1 2 Ta thấy: p là hàm bậc nhất của V với hệ số a < 0 nên đồ thị của nó được biểu diễn trong hệ trục (p, V) có dạng đoạn thẳng 3 - 1 (hình vẽ). - Từ phương trình trạng thái ứng với các đẳng quá trình, ta được: T2 2T1,V2 2V1, p2 p1 p T T ,V V 2V , p 1 3 1 3 2 1 3 3 Từ đó: A12 p1 V p1(V1 V2 ) nR(T1 T2 ) nRT1 0 : khí sinh công; A23 0 1 3 A ( p p )(V V ) nRT 0: khí nhận công 31 2 1 3 2 1 4 1 - Chuyển sang hệ tọa độ (p, V): hình vẽ. Vậy: Công do khí thực hiện được trong một chu trình là: 3 1 A A A A nRT nRT nRT 12 23 31 1 4 1 4 1 46. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện chu trình có sơ đồ như hình vẽ. Cho V3 3V1 3V0 ; p2 6 p1 6 p0 a) Tính theo (po, Vo) Tmax và Tmin của chu trình. Từ đó tính hiệu suất cực đại của chu trình. b) Tính theo (po, Vo) công mà khí thực hiện trong cả chu trình. Từ đó tính hiệu suất của chu trình. Bài giải a) Tính Tmax và Tmin và Hmax của chu trình p V Ta có: T T T 0 0 min 0 1 R p aV - Quá trình 3 – 1: p3 3p1 3p0 V3 3V1 3V0
10. p aV b 3 p0 15 - Quá trình 2 – 3: 6 p0 aV0 b p V p0 2 V0 2 3p0 a.3V0 b RT 3 p0 15 Mà: pV RT p . V p0 V 2 V0 2 3p 2 15 p T 0 V 0 V f (V ) 2RV0 2 R b 15 - Đồ thị T = f(V) có dạng parabol lồi, có đỉnh T khi V V max 2a 6 0 75 p V Và T T 0 0 T max 4a 8 R C - Hiệu suất cực đại: 75 p V p V . 0 0 0 0 T T H max min .100% 8 R R .100% 89% max T 75 p V max . 0 0 8 R p V 75 p V Vậy: T 0 0 ; T 0 0 và H 89% min R max 8 R max b) Công mà khí thực hiện và hiệu suất của chu trình - Công mà khí thực hiện trong cả chu trình: 1 1 A S ( p p )(V V ) (6 p p )(3V V ) 5p V 123 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 0 0 - Hiệu suất của chu trình: Ta có: + Qnhan Q12 Q2C (vì hai quá trình nhiệt độ tăng) + Q12 U12 (đẳng tích) 3 p0V0 p0V0 15 Q12 Cv (T2 T1) R 6 p0V0 2 R R 2 + Q23 U23 A23 , với: 3 3 75 p V p V 81 U R(T T ) R( . 0 0 6 0 0 ) p V 23 2 3 2 2 8 R R 16 0 0 1 1 15 5 117 A S ( p p )(V V ) ( p 6 p )( V V ) p V 23 hthang 2 3 2 3 1 2 4 0 0 2 0 0 16 0 0 15 81 117 159 Q Q U A ( ) p V p V nhan 12 2C 2C 2 16 16 0 0 8 0 0
11. A 5p V + H 0 0 25% Q 159 nhan p V 8 0 0 Vậy: Công mà khí thực hiện trong cả chu trình và hiệu suất của chu trình là A 5p0V0 và H 25% 47. Một mol khí lưỡng nguyên tử hoạt động theo một chu trình kín được mô tả bởi đồ thị T V 2 như hình vẽ bên. Hãy biến đổi thành đồ thị p - V từ đó tính công và hiệu suất của chu trình. (Trích Đề thi Olimpic Italia - 2000) Bài giải V 2 - Trên đoạn 1 – 2: const T V2 2V1 và p2 2 p1 1 - Trên đoạn 2 – 3: T T T 3 2 2 1 1 1 p p p 3 2 2 2 1 - Lập bảng các thông số trạng thái như sau: Trạng thái Áp suất Thể tích Nhiệt độ 1 p1 V1 T1 2 2 p1 2V1 2T1 1 3 p1 2V1 T1 2 1 1 4 p1 V1 T1 2 2 - Vẽ lại chu trình trên theo sơ đồ p – V như hình bên: Ta có: + Công của chu trình: 1 1 1 A ( p p )(V V ) ( p p )(V V ) RT 2 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 + Nhiệt lượng khối khí nhận được (quá trình 1 – 2 và 4 – 1): Q U A 5 1 5 Q Q Q R(T T ) ( p p )(V V ) R(T T ) 12 41 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 5 1 5 1 Q R(2T T ) ( 2 p p )( 2V V ) R(T T ) 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1
12. 17 17 Q RT .8,31.300 10595,25J 4 1 4 A 623 - Hiệu suất: H 0,059 5,9% Q 10595,25 Vậy: Công và hiệu suất của chu trình là A 623J và H 5,9% 48. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện quá trình biến đổi trạng thái theo chu trình 1 - 2 - 3 - 1 được biểu diễn trên hệ tọa độ (p, V) là các đoạn thẳng như hình vẽ. Biết ở trạng thái 1, khí có thể tích Vo và áp suất po. a) Hãy biểu diễn quá trình biến đổi trạng thái đã cho trên hệ tọa độ (T, V). Với thể tích khí bằng bao nhiêu thì nhiệt độ của khí đạt giá trị cực đại? b) Trên những giai đoạn nào của quá trình biến đổi thì khí nhận nhiệt, tỏa nhiệt? Bài giải a) Biểu diễn quá trình biến đổi trạng thái đã cho trên hệ tọa độ (T, V) Gọi To là nhiệt độ của khí ở trạng thái 1: T1 = T0. p1 p2 - Quá trình 1 - 2 (đẳng tích): T2 3T0 , đồ thị là đoạn thẳng song song với OT. T1 T2 V3 V1 - Quá trình 3 - 1 (đăng áp): T3 3T0 T2 , đồ thị là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ O. T3 T1 - Quá trình 2-3: Áp suất phụ thuộc vào thể tích theo hàm bậc nhất: p = aV + b. Tại các điểm 1, 2 ta có p0 aV0 b;3p0 a.3V0 b p0 a và b 4 p0 V0 p0 p V 4 p0 (1) V0 - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho mol khí này, ta được: p0 2 pV RT V 4 p0V RT (2) V0 p0V0 và p0V0 RT0 R T0 T0 2 4T0 - Thay giá trị R vào (2), ta được: T 2 V V (3) V0 V0
13. b Và T T 4T đạt được khi V 2V max 4a 0 2a 0 Vậy: Khi V = 2Vo thì nhiệt độ khí đạt giá trị cực đại. b) Giai đoạn nào của quá trình biến đổi thì khí nhận nhiệt, tỏa nhiệt - Quá trình 1 - 2 (đẳng tích): A12 = 0 và nhiệt độ khí tăng nên khí nhận nhiệt. - Quá trình 3 - 1 (đẳng áp); Nhiệt độ giảm nên nội năng giảm (∆U < 0), do thể tích cũng giảm nên khí nhận công (A < 0). Quá trình này khí tỏa nhiệt. - Quá trình 2-3: + Xét một giai đoạn rất nhỏ, thể tích khí biến thiên một lượng ∆V. Áp dụng nguyên lí I của Nhiệt động lực học, ta có: Q A U (4) + Công do khí thực hiện được: A p U p0 p0 A 4 p0 V (4V0 V ) V (5) V0 V0 3 3 + Độ biến thiên nội năng: U R T pV (6) 2 2 + Thay (2) và (6), ta được: 3 p0 2 3p0 U V 4 p0V (4V0 2V ) V (7) 2 V0 2V0 + Thay (5) và (7) vào (4) ta được: p0 3 p0 Q (4V0 V ) (4V0 2V ) V (10V0 4V ) V V0 2 V0 Vậy: Trong quá trình 2 - 3: - Khí nhận nhiệt khi: (10V0 4V ) 0 V0 V 2,5V0 - Khí tỏa nhiệt khi: (10V0 4V ) 0 2,5V0 V 3V0 49. Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử chứa trong một bình trụ thẳng đứng cân bằng nhiệt với môi trường ngoài. Khối khí được đậy bằng một pittông nặng. Nâng pittông lên một đoạn H và giữ cho đến khi khối khí cân bằng nhiệt với môi trường. Sau đó, làm cách nhiệt bình với môi trường và thả pittông ra. Tìm vị trí cân bằng mới của pittông. Bài giải - Ban đầu, pittông nằm ở trạng thái cân bằng nên áp suất khí trong pittông là: mg p p (1) 1 0 S
14. (po, m, S là áp suất khí quyển, khối lượng và tiết diện pittông). - Khi nâng pittông lên đoạn H và khối khí cân bằng nhiệt với môi trường nên cỏ cùng nhiệt độ T o với môi trường: p1V1 p2V2 nRT0 (2) - Khi thả pittông ra, pittông di chuyển một đoạn h đến vị trí cân bàng mới. Áp dụng nguyên lí I của Nhiệt động lực học, ta có: 3 Q U A n R(T T ) p Sh mgh 2 3 0 0 3 3 p V p V p Sh mgh 0 (3) 2 3 3 2 2 2 0 - Tại vị trí cân bằng (3) của pittông: p3 p1 và V3 V2 S(H h) (4) - Thay (1), (2), (4) vào (3), ta được: 3 3 V1 mg p1V3 p1 V2 (p1 )Sh mgh 0 2 2 V2 S 3 3 p V p V p Sh 0 2 1 3 2 1 1 1 3 3 p S(H h) p Sh 0 p S(H h) p Sh 0 2 1 1 2 1 1 3 (H h) h 0 h 0,6H 2 Vậy: Vị trí cân bằng mới của pittông là h = 0,6H. 50. Một bình hình trụ cách nhiệt được chia thành hai ngăn nhờ một pittông nhẹ. Pittông này có khả năng truyền nhiệt yếu và có thể trượt không ma sát dọc theo thành bình. Biết rằng một ngăn của bình có chứa 10g hêli ở nhiệt độ 500K, còn ngăn kia chứa 3g khí hiđro ở nhiệt độ 400K. Hỏi nhiệt độ trong bình khi hệ cân bằng là bao nhiêu và áp suất thay đổi bao nhiêu lần? Xác định nhiệt dung của mỗi khí ở lúc đầu của quá trình cân bằng nhiệt độ. Bỏ qua nhiệt dung của pittông và thành bình. Bài giải ' ' ' ' Gọi V1,T1,V1 ,T1 ,V2 ,T2 ,V2 ,T2 là các thông số của hai khối khí ở trạng thái đầu và cuối, V o là thể tích của bình, áp suất của hai khí luôn bằng nhau. Khi hệ cân bằng nhiệt ta có: ' ' T1 T2 T 25 5 p ' 36 - Từ các phương trình trạng thái, ta được: V V ,V ' V ; 1 37 0 1 8 0 p 37
15. - Do xilanh cách nhiệt nên: U1 U2 0 T1 T2 0 T T 500 400 T 1 2 450K 2 2 3 10 15 5 3 15 Và C C C;C R. R;C R. R 1 2 v1 2 4 4 v2 2 2 4 - Xét một trạng thái rất gần trạng thái ban đầu, ta có: n R(T T ) n R(T T ) V nV n V 1 1 2 2 1 2 2 1 (1) V1 V V2 V T n1T1 n2T2 - Theo nguyên lí 1 của Nhiệt động lực học, ta có: Q1 U1 A1 V 15 n1n2 RT2 n1n2 RT1 C1 Cv1 p R T 4 n1T1 n2T2 10 3 10 3 . .8,31.400 . .8,31.500 15 825 C .8,31 4 2 4 2 R 1 10 3 4 .500 .400 148 4 2 Vậy: Nhiệt dung của mỗi khí ở lúc đầu của quá trình cân bằng nhiệt độ là 825 C C C R 1 2 148 51. Cắm dựng đứng một ống thủy tinh đầu trên kín, đầu dưới hở vào chậu thủy ngân. Biết rằng độ dài phần ống thủy tinh bên trên mặt thủy ngân là l 76cm , trong ống bịt kín có n 10 3 mol không khí. Giữ yên chậu thủy ngân và ống thủy tinh nhưng làm giảm nhiệt độ không khí trong ống thủy tinh xuống 10°C. Hỏi trong quá trình này nhiệt lượng tỏa ra hay thu vào của không khí trong ống là bao nhiêu? Biết áp suất ngoài ống là 76cmHg, nội năng mỗi mol không khí là U = CvT, trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, C v = 20,5(J/mol.K), hằng số khí R = 8,3(J/mol.K). Bài giải Gọi độ dài cột khí trong ống thủy tinh là h, áp suất khí quyển là p o, áp suất khí trong ống là p, khối lượng riêng thủy ngân là ρ. Ta có: V p l g;p gh g (1) 0 S (S là diện tích mặt cắt ngang ống thủy tinh, V là thể tích cột khí trong ống) - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép, ta có: pV = nRT. V 2 g nRT (2) S
16. - Từ (2) ta thấy, khi nhiệt độ giảm, thể tích và áp suất khí trong ống giảm. Khi nhiệt độ khí trong ống giảm từ T1 đến T2 thể tích khí giảm từ V 1 đến V2, môi trường thực hiện công dương đối với chất khí và trị số công này là: 2 2 1 V1 V2 V1 V2 W g (V1 V2 ) V (3) 2 S S 2S - Sự biến đổi nội năng chất khí trong ống là: U nCv (T2 T1) (4) Gọi Q là nhiệt lượng môi trường truyền cho chất khí trong ống, theo nguyên lí 1 của Nhiệt động lực học, ta có: Q U W (5) 2 2 V1 V2 nR(T1 T2 ) Q nCv (T2 T1) V nCv (T2 T1) 2S 2 R 8,31 Q n(T T )(C ) 10 3.10.(20,5 ) 0,247J 2 1 v 2 2 Vậy: Nhiệt lượng khí tỏa ra môi trường là Q = 0,247J. 52. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện một quá trình biến đổi từ trạng thái 1 có áp suất p l = 2atm, thể tích V1 = 1l sang trạng thái 2 có áp suất p2 = 1 atm, thể tích V2 = 3l. Đường biếu diễn sự thay đối của áp suất theo thế tích của quá trình đó trong hệ tọa độ (p, V) là một đoạn thẳng. Chứng tỏ rằng trong quá trình này khí luôn nhận nhiệt và tính công của khí lí tưởng. Bài giải - Phương trình của đoạn BC có dạng: p = aV + b. Vì B, C nằm trên BC nên: 2 a b 1 3a b 2 a b a 0,5 1 3a b b 2,5 p 0,5V 2,5 - Gọi M là một trạng thái có thể tích x, áp xuất px trên BC, ta có: p x p 0,5x 2,5;T x x x R 1 1 - Công của khí: A ( p p )(x V ) (2 0,5x 2,5)(x 1) BM 2 1 x 1 2 2 ABM 0,25x 2,5x 2,25(atm.l) - Độ biến thiên nội năng:
17. 3 Px x p1V1 3 U BM Cv (Tx T1) R ( px x p1V1) 2 R R 2 3 U ( 0,5x2 2,5x 2) 0,75x2 3,75x 3(atm.l) BM 2 - Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: Q U BM ABM Q x2 6,25x 5,25 b 625 Từ đó: Q Q x x 3,125l V max m 2a 2 2 Vậy: Trong quá trình từ 1 đến 2, Q luôn tăng nên khí luôn nhận nhiệt và công của khí trong quá trình đó là: 1 1 A A ( p p )(V V ) (2 1).1,013.105 (3 1).10 3 303,9J BC 12 2 1 2 2 1 2 53. Trong một xilanh hình trụ thể tích V đặt thẳng đứng, có một pittông cách nhiệt có thể chuyển động không ma sát trong xilanh. Bỏ qua bề dày của pittông. Ngăn dưới chứa khí lí tưởng đơn nguyên tử.Khi pittông cân bằng thì áp suất của khí trong ngăn 5 V dưới là 2po (po = 10 Pa là áp suất của khí quyển). Đổ một chất lỏng thể tích lên 4 V trên pittông, thể tích khí trong ngăn dưới còn là (hình vẽ). Xác định nhiệt lượng 2 cần cung cấp cho khí ở ngăn dưới để pittông chuyển động lên trên sao cho pittông và toàn bộ chất lỏng thoát p hết ra khỏi xilanh. Cho V 1l , áp suất cột chất lỏng ban đầu khi đổ vào xi lanh là 0 . 8 Bài giải P P - Khi chưa đổ chất lỏng: p 2 p p p : áp suất do trọng lượng pittông gây ra. 0 S 0 p S 0 - Sau khi đổ chất lỏng: + Nhiệt lượng cung cấp cho khí làm biến thiên nội năng ∆U của khí và làm sinh công A đẩy chất lỏng và pittông ra khỏi xi lanh. + Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho trạng thái đầu của khí (nhiệt độ T1) và trạng thái cuối của khí (nhiệt độ T2), ta được: p0 V 17 V p0 p0 nRT1 p0 nRT1 8 2 8 2 Và p0V nRT2 3 3 + Độ biến thiên nội năng của khí: U nC (T T ) nRT nRT v 2 1 2 2 2 1
18. 3 3 17 V 3 U p V . p p V 0 2 0 2 8 0 2 32 0 + Công do khí thực hiện: A (A1 A2 ) , (A1: công để chống lại trọng lực của chất lỏng và trọng lực của pittông; A2: công để chống lại áp suất bên ngoài). V V p 4 8 V 35 V 1 Với: A 0 S p S p V; A p p V 1 8 S 0 2S 64 0 2 0 2 2 0 35 1 67 A (A1 A2 ) p0V p0V p0V 0 64 2 64 + Theo nguyên lí 1 của Nhiệt động lực học, ta có: U Q A Q U A 3 67 61 61 Q p V p V p V 105.10 3 95,3125J 32 0 64 0 64 0 64 Vậy: Nhiệt lượng cần cung cấp cho khí là Q = 95,3125J. 54. Một lượng khí lí tưởng lưỡng nguyên tử ở áp suất p 1, thể tích V1 và nhiệt độ T 1. Cho khí dãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch đến thể tích V 2. Sau đó được làm nóng đẳng tích đến nhiệt độ ban đầu T 1 rồi lại dãn đoạn nhiệt thuận nghịch đến thể tích V3. a) Biểu diễn định tính các quá trình biến đổi trạng thái khí bằng đồ thị trong hệ tọa độ p-V. b) Tính công mà khí sinh ra trong ba quá trình trên theo p1, V1, V2, V3. c) Nếu V1 và V3 cho trước, với giá trị nào của V2 thì công mà khí sinh ra cực đại. Bài giải a) Biểu diễn định tính các quá trình biến đổi trạng thái khí bằng đồ thị trong hệ tọa độ p – V. - Quá trình 1 – 2: đoạn nhiệt - Quá trình 2 – 2’: đẳng tích - Quá trình 2’ – 3: đoạn nhiệt b) Công mà khí sinh ra trong ba quá trình trên theo p1, V1, V2, V3. Ta có: A A1 A2 A3    V1 p2 - Quá trình 1 – 2(đoạn nhiệt): Q1 0; p1V1 p2V2 V2 p1  1 p1V1 p2V2 p2 V2 V1 Và T2 . .T1 .T1 T1 T2 p1 V1 V2 C p Cv R R  Cv Cv Cv  1
19.  1  1 R V1 RT1 V1 A1 U Cv (T2 T1) T1 T1 1  1 V  1 V 2 2  1 p1V1 V1 Vì p1V1 RT1 A1 1  1 V 2 - Quá trình 2 – 2’ (đẳng tích): A2 = 0  1 p1V1 V2 - Quá trình 2’ – 3 (đoạn nhiệt): Tương tự, ta được: A3 1  1 V 3  1 ' ' p1V1 V2 Vì T1 T2 nên p1V1 p2V2 ; A3 1  1 V 3  1  1 p V V p V V - Công tổng cộng: A 1 1 1 1 1 1 1 2  1 V  1 V 2 3  1  1 p V V V A 1 1 2 1 2  1 V V 2 3 Vậy: Công mà khí sinh ra trong ba quá trình trên là  1  1 p V V V A 1 1 2 1 2  1 V V 2 3 3) Giá trị nào của V2 thì công mà khí sinh ra cực đại  1  1 V1 V2 Đặt y A Amax y ymin V2 V3  1  1 V V Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 1 , 2 , ta được: V2 V3  1  1  1 V V V V 1 2 2 1 . 2 V2 V3 V2 V3  1  1 V1 V2 Dấu “=” xảy ra khi V2 V1V3 V2 V3 Vậy: Để công mà khí sinh ra cực đại thì V2 V1V3
20. 55. Một khối khí nitơ (μ = 28(g/mol)) đựng trong một xilanh. Người ta cho khối khí đó dãn đoạn nhiệt từ thể tích V1 1l tới thể tích V2 3l , rồi dãn đẳng áp từ V 2 tới V3 5l , sau đó dãn đẳng nhiệt từ V 3 tới V4 7l . 2 Nhiệt độ và áp suất ban đầu của khí là T1 = 290K, p1 = 6,58.105(N/m ). a) Tính công của khối khí sinh ra, độ biến thiên nội năng và nhiệt lượng nhận được trong mỗi quá trình biến đổi đó. b) Tìm nhiệt độ T4 và áp suất p4 ở trạng thái sau cùng của khí. Cho nhiệt dung riêng đẳng tích của nitơ là cv = 710(J/kg.K). Bài giải a) Công của khối khí sinh ra, độ biến thiên nội năng và nhiệt lượng nhận được - Quá trình dãn đoạn nhiệt: Q1 0 1  ' p1V1 V2 + Công do khối khí sinh ra: A1 A1 1  1 V 1 5 3 3 1 1,4 7 ' 6,58.10 .10 3.10 Với  1,4 A1 1 3 584J 5 1,4 1 10 ' + Độ biến thiên nội năng của khí: U1 A1 584J - Quá trình dãn đẳng áp: Ta có:  3 V1 5 10 5 2 p2 p1 6,58.10 3 1,42.10 (N / m ) V2 3.10  1 3 1.4 1 V1 10 T2 T1 290 3 187K V2 3.10 ' 5 3 3 + Công do khối khí sinh ra: A2 p2 (V3 V2 ) 1,42.10 .(3.10 10 ) 284J + Độ biến thiên nội năng: U2 mcv (T3 T2 )  p1V1 V3 5 Với m ;T3 T2 187. 312K RT1 V2 3 5 3  p1V1 28.6,58.10 .10 U2 cv (T3 T2 ) .710.(312 187) 678J RT1 8,31.290 + Nhiệt lượng khí nhận được: Q2 mcp (T3 T2 ) m cv (T3 T2 ) 5 3  p1V1 28.6,58.10 .10 Q2  cv (T3 T2 ) .1,4.710(312 187) 962J RT1 8,31.290 - Quá trình dãn đẳng nhiệt: U3 0,(T4 T3 312K)
21. ' V4 5 3 7 + Công do khối khí sinh ra: A3 p3V3 ln 1,42.10 .3.10 .ln 238J V3 5 ' + Nhiệt lượng khí nhận được: Q3 A3 238J Vậy: Công của khối khí sinh ra, độ biến thiên nội năng và nhiệt lượng nhận được trong mỗi quá trình biến ' ' ' đổi là: A1 584J,Q1 0, U1 584J; A2 284J,Q2 962J, U2 678J; A3 238J, U3 0,Q3 238J c) Nhiệt độ T4 và áp suất p4 ở trạng thái sau cùng của khí Ta có: T4 T3 312K : đẳng nhiệt. V3 5 5 5 2 Và p4 p3 1,42.10 . 1,01.10 (N / m ) V4 7 Vậy: Nhiệt độ và áp suất ở trạng thái sau cùng của khí là 5 2 T4 312K, p4 1,01.10 (N / m ) 56. Một chất khí lí tưởng đơn nguyên tử biến đổi theo chu trình ABICDIA được biểu diễn trên tọa độ p, V là đường vòng qua góc một phần tư thứ hai và thứ tư của vòng tròn (hình vẽ). Tính hiệu suất của chu trình đó. Bài giải Đặt p1 pD p0 ; p2 pB 2 p0 V1 VA V0 ;V2 VC 2V0 1 - Công do khí thực hiện trong cả chu trình là: A IA.IB 2 1 1 A ( p p )(V V ) p V 2 B A B A 8 0 0 - Trong chu trình trên khí nhận nhiệt trong các quá trình AB, IC và DI. + Xét quá trình AB: Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học: Q1 A1 U1 với: 1 1 p1 p2 V2 V1 3 A1 A pA (VB VA ) A . p0V0 2 2 2 2 16 4 3 3 9 U nR(T T ) ( p V p V ) p V 1 2 B A 2 A A B B 4 0 0 3 9 Q1 p0V0 p0V0 3 p0V0 16 4 4 16 - Xét quá trình IC (đẳng áp):
22. 5 5 15 Q nC (T T ) nR(T T ) ( p V p V ) p V 2 p C 1 2 C 1 2 C C 1 1 18 0 0 - Xét quá trình DI (đẳng tích): 3 3 9 Q nC (T T ) nR(T T ) ( p V p V ) p V 3 v 1 D 2 1 D 2 1 1 D D 8 0 0 - Nhiệt lượng khí nhận được trong cả chu trình là: Q Q1 Q2 Q3 15 9 Q 3 p0V0 p0V0 p0V0 6 p0V0 16 18 8 16 1 p V A 0 0 2 - Hiệu suất của chu trình là: H 8 6,33% Q 96 6 p0V0 16 Vậy: Hiệu suất của chu trình là: H ≈ 6,33%. 57. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử khi biển đổi trạng thái theo chu trình như hình vẽ thì thực hiện công A. Chu trình gồm ba quá trình: đẳng áp 1 - 2, đoạn nhiệt 2-3 và đẳng nhiệt 3 - 1. Độ biến thiên nhiệt độ cực đại có được trong chu trình là ∆T. Tính công của quá trình đẳng nhiệt. Bài giải - Từ đồ thị ta thấy: Quá trình 1-2 (đẳng áp): V2 V1 T2 T1 ; quá trình 3-1 (đẳng nhiệt): T1 T3 T2 nên T2 Tmax ,T1 Tmin T T2 T1 - Công thực hiện trong quá trình 1 - 2 (đẳng áp): A12 p1(V2 V1) p2V2 p1V1 R T 3 - Công thực hiện trong quá trình 2-3 (đoạn nhiệt): A U R T 23 23 2 - Công thực hiện trong một chu trình: A A12 A23 A31 - Công trong quá trình 3 - 1 (đẳng nhiệt): A31 A A12 A23 A31 A RT 1,5RT A 2,5RT Vậy: Công của quá trình đẳng nhiệt là A31 A 2,5RT 58. Một mol khí hêli thực hiện được một công A trong một chu trình gồm quá trình đẳng áp 1 - 2, quá trình đẳng tích 2 - 3 và quá trình đoạn nhiệt 3 - 1. Xác định lượng nhiệt mà khí nhận được trong quá trình đẳng áp, biết hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí trong chu trình là ∆T.