Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 3: Nhiệt học - Chuyên đề 8: Chất khí

Nội dung text: Bài tập luyện tập tổng hợp Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 3: Nhiệt học - Chuyên đề 8: Chất khí

1. 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Chuyên đề 8. CHẤT KHÍ 1. Cho một ống hình trụ tiết diện S nằm ngang được ngăn với bên ngoài bằng hai pittông. Pittông thứ nhất được nối với lò xo như hình vẽ. Ban đầu lò xo không biến dạng, áp suất khí giữa hai pittông bằng áp suất bên ngoài po. Khoảng cách giữa hai pittông là H và bằng nửa chiều dài hình trụ. Tác dụng lên pittông thứ hai một lực F để nó chuyển động từ từ sang bên phải. Tính F khi pittông thứ hai dừng lại ở biên phải của ống hình trụ. (Trích đề Olimpic 30-4, 2007) Bài giải Gọi x là độ dịch chuyển của pittông trái, p áp suất khí giữa hai pittông. Điều kiện cân bằng của hai pittông: + Pittông trái: po S pS kx 0 (1) + Pittông phải: F pS po S 0 (2) - Vì quá trình là đẳng nhiệt nên áp dụng định luật Bôilơ – Mariot: poVo pV po SH p(2H x)S (3) p H - Từ (3): p o (4) 2H x p kH - Từ (1) và (2): F kx , thay vào (4) ta được: p o 2kH F p kH p kH - Thay p o vào (2), ta được: F o S p S 0 2kH F 2kH F o 2 F ( po S 2kH ) F po SkH 0 p S p2S - Giải phương trình trên theo F, ta được: F o kH o k 2 H 2 2 4 Vậy: Để pittông thứ hai dừng lại ở biên phải của ống hình trụ thì p S p2S F o kH o k 2 H 2 2 4
2. 2. Một xilanh đặt thẳng đứng có tiết diện thay đổi như hình vẽ. Giữa hai pittông có n mol không khí. Khối lượng và diện tích tiết diện các pittông lần lượt là m1, m2, S1, S2. Các pittông được nối với nhau bằng một thanh nhẹ có chiều dài không đổi và trùng với trục của xilanh. Khi tăng nhiệt độ khí trong xilanh thêm ∆T thì các pittông dịch chuyển bao nhiêu. Cho áp suất khí quyển là po và bỏ qua khối lượng khí trong xilanh so với khối lượng pittông. Bỏ qua ma sát giữa xilanh và pittông. (Trích đề thi Trại hè Hùng Vương, 2015) Bài giải - Các lực tác dụng lên hệ (khí + hai pittông) gồm: + Trọng lực: Fg (m1 m2 )g + Áp lực của không khí lên hai pittông: F1 po S1; F2 po S2 + Phản lực của phần thành pittông nằm ngang: F p(S1 S2 ) + Khi trạng thái cân bằng của hệ được thiết lập: Fg F1 F F2 (m1 m2 )g po S1 po S2 p(S1 S2 ) m1 m2 p po const (1) S1 S2 g - Nhận xét: Áp suất khí trong xilanh không đổi vì trạng thái cân bằng được duy trì. - Vì áp suất khí trong xilanh không đổi nên khi tăng nhiệt độ, thể tích khí tăng, do đó hệ đi lên một đoạn x. Ta có: h S h S (h x)S (h x)S 1 1 2 2 1 1 2 2 T T T (h1S1 h2S2 ) T T (S1 S2 )x (2) (h S h S ) p (h S h S ) p - Mặt khác: 1 1 2 2 nR T 1 1 2 2 (3) T nR nR T - Giải hệ (1), (2) và (3), ta được: x po (S1 S2 ) (m1 m2 )g nR T Vậy : Độ dịch chuyển của các pittông là : x po (S1 S2 ) (m1 m2 )g 3. Một lượng khí lí tưởng thực hiện một chu trình được biểu diễn trong hệ tọa độ p – T có dạng là một đường tròn như hình vẽ. Đơn vị của các trục được lựa chọn là pc và Tc. Nhiệt độ thấp nhất trong chu trình là T o. Tìm tỉ số giữa khối
3. lượng riêng lớn nhất ρ1 và nhỏ nhất ρ2 của lượng khí đó khi thay đổi trạng thái theo chu trình trên. Bài giải - Từ O, kẻ các đường đẳng tích qua 2 điểm A và B trên đường tròn. Ta thấy, thể tích lớn nhất của chất khí này là VB và nhỏ nhất là VA. V - Với lượng khí xác định: m pV A 1 VB 2 p V p V - Theo phương trình trạng thái của khí lí tưởng, ta có: A A B B TA TB p T B A p T p T 1 B A C C tan2  2 pATB T p B A TC pC - Mặt khác:  4 2 1 2 1 tan tan 2 4 1 tan CB r - Từ hình vẽ, ta có: tan , (r : bán kính vòng tròn) OB OB - Ngoài ra : OC 2 OB 2 r 2 1 r 2 r 2 - Thay vào công thức trên : 1 2 2 1 r 2 r To - Ngoài ra, từ hình vẽ ta thấy bán kính ra của chu trình và nhiệt độ thấp nhất To còn có quan hệ: r 1 TC 2 T T T 1 1 o 1 2 o o TC TC TC 1 2 2 T T T 1 1 o 1 2 o o TC TC TC - Vậy : tỉ số giữa khối lượng riêng lớn nhất ρ1 và nhỏ nhất ρ2 của lượng khí đó là : 2 T T T 1 1 o 1 2 o o TC TC TC 1 2 2 T T T 1 1 o 1 2 o o TC TC TC
4. 4. Một ống nghiệm chứa khí hidro có nút đậy là một pittông khối lượng không đáng kể, dịch chuyển không ma sát trong ống. Lúc đầu ống ở ngoài không khí có áp suất po. Chiều dài phần ống chứa khí hidro là l o. Người ta đặt ống thẳng đứng vào một chậu thủy ngân có khối lượng riêng d, đáy ống cách mặt thoáng thủy ngân một đoạn h > lo. a) Tính chiều dài mới l của phần ống chứa khí hidro? Coi rằng nhiệt độ của khí hidro giữ không đổi và gia tốc trọng trường là g. b) Khi ống ở trong chậu thủy ngân thì cân bằng của pittông là bền hay không bền? (Trích đề thi chọn đội tuyển đi thi Quốc tế - 1987) Bài giải a) Chiều dài mới l của phần ống chứa khí hidro - Áp suất khí trong ống: p po dg(h l) - Áp dụng định luật Bôilơ – Mariốt, ta được: po Slo [po dg(h l)]Sl 2 2 dgl ( po dgh)l polo 0, ( po dgh) 4dgpolo Vì h lo 0 nên phương trình có 2 nghiệm: 1 l ( p dgh) ( p dgh)2 4dgp l 1 2dg o o o o 1 Và l ( p dgh) ( p dgh)2 4dgp l 2 2dg o o o o 2 Xét hàm f (l) dgl (po dgh)l polo 2 Khi l h thì f (h) dgh ( po dgh)h polo po (lo h) 0 nên l1 h l2 (loại nghiệm l2) Vậy: chiều dài mới l của phần ống chứa khí hidro là: 1 l ( p dgh) ( p dgh)2 4dgp l 2dg o o o o b) Loại cân bằng? - Xét cân bằng của pittông, ta có: + Áp suất bên ngoài: pn  po dg(h l) + Áp suất trong ống ứng với chiều dài l là: p l p o o t l - Khi pittông cân bằng pn pt , đồ thị p n và pt trong hệ tọa độ pOl như hình vẽ. Hai đồ thị này cắt nhau khi l l1 l2
5. - Khi l tăng lên một lượng nhỏ thì pn pt và khi l giảm thì pn pt nên cân bằng của pittong là cân bằng bền. 5. Một xilanh thẳng đứng kín hai đầu, trong xi lanh có một pittông khối lượng m có thể trượt không ma sát trong lòng xilanh. Ở trên và ở dưới pittông có hai lượng khí như V nhau. Ban đầu ở nhiệt độ 27°C thì tỉ số thể tích phần trên và phần dưới 1 n 4 V2 V ' Hỏi nếu nhiệt độ tăng lên đến 327°C thì tỉ số thể tích phần trên và phần dưới 1 là bao V '2 nhiêu? Bài giải V p V ' p ' Ta có: 1 2 n 4 , (định luật Bôilơ – Mariốt). Đặt 1 2 m V2 p1 V '2 p '1 p1S mg p2S - Vì pittông cân bằng nên: ' ' p1S mg p2S ' ' ' p2 p1 p2 p1 (n 1) p1 (m 1) p1 p' n 1 1 (1) p1 m 1 n 1 m 1 - Mặt khác: V V V ' V ' V V ' 1 2 1 2 n 1 m 1 V ' m n 1 1 . (2) V1 n m 1 - Áp dụng phương trình trạng thái cho lượng khí trên, ta được: p V p'V ' T p' V ' 1 1 1 1 2 1 . 1 (3) T1 T2 T1 p1 V1 T n 1 m n 1 3 5m - Thay (1), (2) vào (3): 2 . . 2 . T1 m 1 n m 1 m 1 4(m 1) 8m2 15m 8 0 m 2,3 Vậy: Khi nhiệt độ tăng lên đến 327°C thì tỉ số thể tích phần trên và phần dưới là ' V1 m ' 2,3 V2
6. 6. Trong một bình kim loại hình trụ tròn có hai pittông a và b có thể chuyển động không ma sát dọc theo thành bình. Pittông có khối lượng không đáng kể. Tiết diện của mỗi pittông là S 10 3 m2 . Hai pittông chia thành bình thành hai ngăn A và B như hình vẽ. Hai ngăn A, B chứa cùng một loại khí lí tưởng ở cùng một nhiệt độ. Ở trạng thái cân bằng ở độ cao mỗi ngăn tương ứng là hA = 10 cm, hB = 20cm.  Tác dụng lên pittông a một lực F làm nó chuyển động từ từ đi lên (hình vẽ). Khi pittông a di chuyển được một đoạn ∆h = 3cm thì hai pittông a và b trở lại trạng thái cân bằng. Nhiệt độ khí trong các 5 ngăn A và B không đổi, áp suất khí quyển po 10 Pa. .  a) Tìm độ lớn của lực F . b) Tìm độ dịch chuyển của pittông b. Bài giải  a) Độ lớn của lực F - Hai khối khí trong hai ngăn A và B luôn có cùng áp suất và nhiệt độ nên áp dụng định luật Bôilơ - Mariốt cho tổng khối khí trong hai ngăn, ta được: p1V1 p2V2 po (10 20)S p '(10 20 3)S 10 p ' p 11 o  - Xét pittông a lúc có tác dụng của lực F . Khi pittông cân bằng, ta có:    F F ' F 0 0 F p 'S po S 0 p 105 F ( p p ')S o S .10 3 9,1N o 11 11  Vậy: Độ lớn của lực F tác dụng lên pittông A là F = 9,1N. b) Độ dịch chuyển của pittông b - Vì hai khối khí trong ngăn A và B luôn có cùng áp suất và nhiệt độ nên áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép, ta được: mA mB VA mA pVA RT; pVB RT hằng số   VB mB ' VA VA hA hA ( h hB ) - Mặt khác: ' VB VB hB hB hB hA. hB hB h hB hB hB 20 hB h .3 2cm hA hB 10 20
7. Vậy: Độ dịch chuyển của pittông b là hB 2cm 7. Ba pittông cách nhiệt A, B, C có tiết diện lần lượt là 2S, S và 3S nằm ngang được nối với nhau bằng hai thanh rắn (hình vẽ). Các pittông có thể chuyển động không ma sát với xilanh, chia xilanh làm hai phần. Ban đầu, phần AB có thể tích V chứa 1 mol khí; phần BC có thể tích 2V chứa 3 mol của cùng một loại khí ở cùng một nhiệt độ T, hệ cân bằng. Áp suất không khí là Po. a) Tính áp suất khí trong mỗi phần. b) Nung nóng khí trong phần BC lên nhiệt độ 2T. Tính độ dịch chuyển của các pittông khi có cân bằng mới. Bài giải a) Áp suất khí trong mỗi phần Gọi p1, p2 lần lượt là áp suất khí trong phần AB và BC lúc đầu. p1 2 Ta có: p1V RT; p2 2V 3RT (1) p2 3 - Khi hệ cân bằng, ta có: po 2S p1S p2 3S po 3S p2S p1 2S 2 p2 p1 po (2) p 3p - Từ (1) và (2): p o và p o (3) 1 2 2 4 p 3p Vậy: Áp suất khí trong mỗi phần là p o và p o 1 2 2 4 b) Độ dịch chuyển của các pittông khi có cân bằng mới ' ' Gọi x là độ dịch chuyển của các pittông khi có sự cân bằng mới; p1, p2 là áp suất khí trong phần AB và BC; ' ' V1 ,V2 là thể tích của phần AB và BC lúc sau, ta có: ' V1 V 2Sx Sx V Sx ' V2 2V 3Sx Sx 2(V Sx) - Áp dụng định luật Bôilơ - Mariốt cho khí trong phần AB, ta được: p V p V p V p' (V Sx) p' 1 o (4) 1 1 1 V Sx 2(V Sx) - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho khí trong phần BC, ta được: ' p2 2V 3RT; p2 2(V Sx) 3R.2T 2 p V 3p V p' 2 o (5) 2 V Sx 2(V Sx) ' ' - Khi có sự cân bằng mới, ta có: 2 p2 p1 po (6)
8. 3p V p V - Thay (4), (5) vào (6) ta được: 2 o o p V Sx 2(V Sx) o 2 2 2 2 6V 6VSx V VSx 2 V (Sx) V 3V 2(Sx)2 7VSx 3V 2 0 x ; x 1 2S 2 S V V - Với x V ' V Sx 0 (nhận) 1 2S 1 1 2 3V - Với x V ' V Sx 2V 0 (loại) 2 S 1 1 V Vậy: Độ dịch chuyển của các pittông khi có cân bằng mới là x 2 8. Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình dãn nở từ trạng thái 1 (po, Vo) p đến trạng thái 2 ( o ,2V ) có đồ thị trên hệ tọa độ p-V như hình vẽ. Biểu 2 o diễn quá trình ấy trên hệ tọa độ OTp và xác định nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trình đó. Bài giải - Đồ thị p-V là đoạn thẳng nên ta có: p V  + Điểm 1 (po, Vo) thuộc đồ thị nên: po Vo  (1) p p + Điểm 2 ( o ,2V ) thuộc đồ thị nên: o 2 V  (2) 2 o 2 o p 3p p 3p - Từ (1) và (2), ta được: o ; o p o V o (3) 2Vo 2 2Vo 2 - Mặt khác, phương trình trạng thái của 1 mol khí lí tưởng là: pV RT (4) ( 2 p 3p )V pV - Từ (3): V o o , từ (4): T po R p( 2 p 3p )V 2V 3V T o o o p2 o p po R Rpo R - Vì T là hàm bậc hai của p nên đồ thị p-T là một phần của parabol: p p V + Khi p p và p o thì T T o o o 2 1 2 R 3p + Khi T 0 thì p 0 và p o 2
9. ' 3Vo 4Vo ' 3po - Ta có: T( p) p T( p) 0 p . Lúc đó: R Rpo 4 2 2Vo 3po 3Vo 3po 9Vo po T Tmax . Rpo 4 R 4 8R Vậy: 9V p + Nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trìn trên là T o o max 8R + Đồ thị biểu diễn quá trình đó trên hệ tọa độ p-T có dạng như đồ thị sau: p V T T o o 1 2 R 9V p T o o m 8R p 3p p o ; p p ; p o 1 2 2 o m 4 9. Trong một xilanh hình trụ như hình vẽ, được bịt kín bởi một pittông có trọng lượng P chứa một lượng khí có khối lượng mol là μ và khối lượng M. Tại tâm của pittông người ta có gắn một thanh B nối với đòn bẩy L và đòn bẩy này có khớp nối tại A. Đốt nóng khối khí sao cho nhiệt độ của nó tăng đều theo thời gian, theo hệ thức: T To const(t to ) , để pittông vẫn đứng yên vật m cần phải dịch chuyển sang bên trái. Biết độ cao của pittông so với đáy bình là h. Bỏ qua áp suất khí quyển và mọi ma sát. a) Hãy xác định vị trí của m. T b) Tìm vận tốc chuyển động của m, biết tốc độ đốt nóng t Bài giải a) Xác định vị trí của m - Khi đốt nóng khí, lực do khí tác dụng lên pittông sẽ tăng nên vật m phải dịch chuyển sang trái để hệ có cân bằng.
10. - Xét trục quay đi qua điểm A, điều kiện để hệ cân bằng là: M F M p M m pSl Pl mgr (1) - Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng, ta được: M MRT MRT pV RT p (2)  V Sh MRT 1 - Từ (1) và (2) ta được: r p h mg MR 1 - Theo đề: T To const(t to ) nên r (To const t) p h mg Vậy: Để hệ cân bằng, m phải cách A một đoạn MR 1 r (To const t) p h mg b) Vận tốc chuyển động của m r Ta có: v và T T const t t o T const t MR 1 MR 1 Và r r ro (To t) p To p h mg h mg MR 1 r t h mg r MRl v t hmg MRl Vậy: Vận tốc chuyển động của m là v hmg 10. Một bình chứa không khí nén ở áp suất P 1 = l,5atm có dung tích không đổi V1 30l . Nhờ một ống ngắn có khóa, bình được nối với một quả bóng hình cầu, vỏ mỏng và đàn hồi, lúc đầu chứa không khí ở áp suất 1,2 atm và có thể tích là 10l. Áp suất khí quyển bên ngoài là 1 atm. Nhiệt độ của toàn bộ hệ cân bằng với nhiệt độ của bên ngoài và không đổi. Thể tích của quả bóng phụ thuộc vào áp suất theo hệ thức: p po V Vo 1 0,1. , với po và p là áp suất và áp suất cuối của khí trong quả bóng, V o là thể tích của quả po bóng ứng với áp suất p o (po và p đo bằng atm). Người ta mở khóa của ống nối để không khí nén từ bình tràn sang quả bóng cho đến khi cân bằng. Tính áp suất cuối cùng của hệ và thể tích của bóng khi đó.
11. Bài giải Gọi bình khí nén là vật 1, quả bóng đàn hồi là vật 2. - Trước khi mở khóa, áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho khí trong bình và bóng, ta được: m m p V 1 RT; p V 2 RT 1 1  2 2   m m m ( p V p V ) (1) 1 2 RT 1 1 2 2 m - Khi cân bằng được thiết lập, ta có: pV RT (2)  Với p là áp suất cuối cùng của hệ, V là thể tích của cả bình khí và quả bóng. Ta có: ' V V1 V2 (3) ' p p2 Và V2 V2 1 0,1 (4) p2 - thay (1), (3) và (4) vào (2), ta được: p p2  RT p V1 V2 1 0,1 ( p1V1 p2V2 ) p2 RT  0,1V2 2 p p(V1 0,9V2 ) (p1 V1 p2V2 ) 0 p2 0,1.10 p2 p(30 0,9.10) (1,5.30 1,2.10) 0 1,2 1 p2 39 p 57 0 p 1,4atm 1,2 ' 1,4 1,2 Và V2 10 1 0,1 10,2l 1,2 ' Vậy: Áp suất cuối cùng của hệ và thể tích của bóng khi đó là p 1,4atm và V2 10,2l 11. Một bình kín được chia làm hai phần có thể tích bằng nhau bằng vách xốp. Ban đầu, phần bên trái có hỗn hợp hai chất khí argon (Ar) và hiđro (H) ờ áp suất toàn phần p; phần bên phải là chân không và chỉ có hiđro mới khuếch tán được qua vách xốp. Sau khi quá trình khuếch tán 2 kết thúc, áp suất trong phần bên trái là p ' p 3 a) Tìm tỉ lệ các khối lượng m A và mH của các khí argon và hiđro trong bình.
12. b) Tìm áp suất riêng phần ban đầu pA và PH của argon và hiđrô. Cho biết các khí argon và hiđrô không tương tác hóa học với nhau; khối lượng mol của argon và hiđrô là A 40(g / mol);H 2(g / mol) . Coi quá trình là đẳng nhiệt. Bài giải a) Tỉ lệ các khối lượng của các khí argon và hiđro trong bình Gọi V là thể tích của mỗi nửa bình, phương trình cho các áp suất riêng phần p A và pH khi hỗn hợp hai chất khí chưa khuếch tán là: mA mH pAV RT (1); pHV RT (2) A H - Phương trình cho áp suất toàn phần: p pA pH m m m  m pV ( A H )RT ( A A ) H RT (3) A H mH H A m  Đặt x A ; A 20 , (3) trở thành: mH H m pV (x ) H RT (4) A mH - Sau khi khuếch tán, trong nửa bên trái khối lượng các khí là mA và , do đó: 2 m  m  m p 'V ( A A ) H RT (x ) H RT (5) mH 2H A 2 A p 3 2(x ) - Từ (4) và (5): 6x 3 4x 4 x 10 p ' 2 2x  m Vậy: Tỉ lệ các khối lượng của các khí argon và hiđro trong bình là x A 10 mH b) Áp suất riêng phần ban đầu của các khí argon và hiđrô pA x 1 p 2 p Từ (1) và (2): pA ; pH pH  2 3 3 p 2 p Vậy: Áp suất riêng phần ban đầu của các khí argon và hiđrô là p ; p A 3 H 3 12. Trong bình có hỗn hợp khí gồm m 1 gam N2 và m2 gam H2. Ở nhiệt độ T thì N 2 phân li hoàn toàn thành khí đơn nguyên tử còn độ phân li của H2 không đáng kể, lúc này áp suất trong bình là p. Ở nhiệt độ 2T thì cả N2 và H2 đều phân li hoàn toàn thành khí đơn nguyên tử, áp suất trong binh là 3p. m Tính tỉ số 1 , biết N = 14, H = 1. m2
13. Bài giải - Ở nhiệt độ T: N 2 phân li hoàn toàn thành khí đơn nguyên tử, H 2 phân li không đáng kể nên trong bình có m1 m2 (mol) khí N2 và (mol) khí H2; áp suất khí trong bình là p. Áp dụng phương trình Clapêrôn - 14 2 Menđêlêép cho hỗn hợp khí, ta được: m1 m2 pV RT (1) 14 2 m1 - Ở nhiệt độ 2T: Cả N 2 và H2 đều phân li hoàn toàn thành khí đơn nguyên tử nên trong bình có (mol) khí 14 m2 N2 và (mol) khí H2; áp suất khí trong bình là 3p. Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho hỗn 1 hợp khí, ta được: m1 m2 3pV R.2T (2) 14 1 m 2. 1 28 2m 28m m - Lấy (2) : (1), ta được: 3 1 2 2 (3) m 7m m 1 2 1 7 m2 m Đặt x 1 , ta được 3(x 7) 2x 28 x 7 m2 m Vậy: Tỉ số x 1 7 m2 13. Ba bình có thể tích V1 22,4l;V2 2V1;V3 3V1 thông với nhau nhưng cách nhiệt với nhau. Ban đầu các bình chứa khí nitơ lí tưởng ở cùng nhiệt độ T o = 273K và áp suất p o = 1at. Người ta hạ nhiệt độ bình (1) To xuống T , nâng nhiệt độ bình (2) lên T2 = 2To và 1 2 bình (3) lên T3 = 3To. Bỏ qua thể tích các ống nối. a) Tính áp suất cuối cùng của khí. b) Tính khối lượng khí trong bình (2) ứng với nhiệt độ T2 và áp suất cuối cùng. (Trích đề thi Olimpic 30-4, 1995) Bài giải a) Áp suất cuối cùng của khí Gọi n1, n2, n3 lần lượt là số mol khí trong mỗi bình. - Áp dụng phương trình Clapêrôn-Menđêlêep cho trạng thái đầu của khí, ta được:
14. poV1 + Bình (1): poV1 n1RTo n1 RTo 2 poV1 + Bình (2): poV2 n2 RTo 2 poV1 n2 RTo n2 RTo 3poV1 + Bình (3): poV3 n3RTo 3poV1 n3RTo n3 RTo 6 poV1 - Tổng số mol khí trong ba bình: N n1 n2 n3 (1) RTo ' ' ' Sau khi nhiệt độ trong ba bình đã thay đổi như đề bài cho biết, số mol trong các bình lần lượt bằng n1;n2 ;n3 Ta có các phương trình: Áp dụng phương trình Clapêrôn-Menđêlêep cho trạng thái đầu của khí, ta được: ' ' n1RTo ' 2 pV1 + Bình (1): pV1 n1RT1 pV1 n1 2 RTo ' ' ' pV1 + Bình (2): pV2 n2 RT2 2 pV1 2n2 RT2 n2 RTo ' ' ' poV1 + Bình (3): pV3 n3RT3 3poV1 3n3RTo n3 RTo ' ' ' 4 poV1 - Tổng số mol khí trong ba bình: N ' n1 n2 n3 (2) RTo 4 pV 6 p V - Vì số mol khí bảo toàn nên: N ' N 1 o 1 RTo RTo p 1,5po 1,5at Vậy: áp suất cuối cùng của khí là p 1,5at b) Khối lượng khí trong bình (2) ứng với nhiệt độ T2 và áp suất cuối cùng - Ban đầu, bình (1) ở trạng thái To = 273K; po = 1 at; V1= 22,4l nên: m poV1 1.22,4 n1 1mol  RTo 0,084.273 - Số mol khí trong bình (2) dưới áp suất p 1,5at và nhiệt độ T2 = 2To là: ' pV1 1,5poV1 n2 1,5.1 1,5mol RTo RTo ' - Khối lượng khí nito trong bình (2) lúc này là: m2 n2 1,5.18 42g Vậy: Khối lượng khí trong bình (2) ứng với nhiệt độ T2 và áp suất cuối cùng là m2 42g
15. 14. Một xilanh kín hai đầu đặt thẳng đứng, bên trong có một pittông cách nhiệt chia xilanh thành hai phần, mỗi phần chứa cùng một lượng khí ở nhiệt độ T 1 = 400K, áp suất p2 của phần khí nằm dưới pittông gấp hai lần áp suất p1 của phần khí nằm trên pittông. Cần nung nóng khí ở phần dưới đến nhiệt độ T 2 bằng bao nhiêu để thể tích khí trong hai phần xi lanh bằng nhau? (Trích đề thi Olimpic 30-4.1996) Bài giải Gọi n là số mol khí trong mỗi phần trước khi nung, áp dụng phương trình Clapêrôn-Menđêlêep cho mỗi phần, ta được: p1V1 nRT1; p2V2 nRT1 p1V1 2 p1V2 V1 2V2 - Theo đề, sau khi nung, ta có: V V 3 V ' V ' 1 2 V 1 2 2 4 1 - Vì nhiệt độ khí ở phần trên không đổi nên áp dụng định luật Bôilơ- Mariốt, ta được: 4 p V p'V ' p' p 1 1 1 1 1 3 1 ' ' - Mặt khác, áp suất gây ra bởi pittông là: p p2 p1 p2 p1 7 p' p' ( p p ) p' p p 2 1 2 1 1 1 3 1 - Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng đổi với lượng khí ở dưới pittông ta được: p' V ' p V p V 2 2 2 2 1 1 T2 T1 T1 7 3 ' ' p1. V1T1 p2V2T1 3 4 7 7 T2 T1 .400 700K p1V1 p1V 4 4 Vậy: Phải nung nóng khí ở phần dưới đến nhiệt độ T 2 = 700K để thể tích khí trong hai phần xi lanh bằng nhau. 15. Một bơm nén khí như hình bên, với VA là thể tích của thân bơm; V là thể tích của vòi bơm; VB là thể tích của bình không đổi B. Van K1 chỉ cho khí từ khí quyển vào bơm khi áp suất trong bơm nhỏ hơn áp suất khí quyển po, van K2 chỉ cho khí vào bình B khi áp suất trong bơm lớn hơn áp suất trong bình B. Nhiệt độ khí xem như không đổi.
16. a) Tìm áp suất của khí trong bình B sau lần bơm thứ nhất, thứ hai. b) Áp suất cực đại đạt được bằng bao nhiêu? (Trích đề thi Olimpic 30-4, 1999) Bài giải a) Áp suất của khí trong bình B sau lần bơm thứ nhất, thứ hai - Sau lần bơm thứ (n - 1), pittông ở vị trí (1), K 1 mở, K 2 đóng: áp suất trong bình B là pB pn 1 , áp suất trong bơm là p0. - Đẩy pittông đến vị trí (2), thể tích trong bơm là V’, K 2 vẫn đóng, áp suất khí là pn 1 , nhiệt độ khí không đổi. - Áp dụng định luật Bôilơ - Mariôt cho hai trạng thái trên của khí trong bơm, ta được: p0 (VA V ) pn 1(V ' V ) p (V V ) V ' 0 A V (1) pn 1 - Đẩy pittông vào trong vị trí (2) khóa K 2 bắt đầu mở. Khi pittông vào đến vị trí (3), khí trong bình B có áp suất pn. Áp dụng định luật Bôilơ - Mariôt cho hai trạng thái trên của khí trong “vòi bơm và bình”, ta được: pn (VB V ) pn 1(V ' V VB ) (2) - Thay (1) vào (2) ta được: V VA V pn pn 1 1 p0 (3) VB V VB V - Từ (3), ta có: + Với lần bơm thứ nhất (n =1): VA p1 p0 1 VB V 2VA VBV + Với lần bơm thứ hai ( n = 2): p2 p0 1 2 VB V (VB V ) Vậy: Áp suất của khí trong bìn B sau lần bơm thứ nhất, thứ hai là: VA 2VA VBV p1 p0 1 ; p2 p0 1 2 VB V VB V (VB V ) b) Áp suất cực đại đạt được - Áp suất cực đại đạt được khi pn pn 1 V VA V - Từ (3): pn pn 1 pn 1 1 p0 pn 1 VB V VB V
17. V VA V VA V pn 1 p0 pn 1 p0 pmax VB V VB V V V V Vậy: Áp suất cực đại đạt được là p A p max V 0 16. Một bình có thể tích V chứa 1 mol khí lí tưởng và một cái van bảo hiểm là một xilanh rất nhỏ so với bình. Trong xilanh có một pittông diện tích S giữ bằng lò xo có độ cứng k. Khi nhiệt độ của khí là T1 thì pittông ở cách lỗ thoát khí một đoạn l. Hỏi khi nhiệt độ của khí tăng lên tới giá trị T2 nào thì khí thoát ra ngoài? (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2000) Bài giải RT1 - Ở nhiệt độ T1, khí có áp suất là p . Ta có: 1 V Fk Fd p1S kx (1) (Fk là áp lực của khí cân bằng với lực đàn hồi của lò xo, x là độ co của lò xo) RT2 - Ở nhiệt độ T2 > T1 khí có áp suất là p p làm lò xo có độ co (x l) và khí thoát ra ngoài. 2 V 1 Ta có: p2S k(x l) (2) - Từ (1), (2) ta được: S( p2 p1) kl (3) RT2 RT1 klV S kl T2 T1 V V RS klV Vậy: Khi nhiệt độ của khí tăng lên với giá trị T T thì khí thoát ra ngoài. 2 1 RS 17. Một xilanh kín hình trụ chiều cao h, tiết diện S = 100cm2 đặt thẳng đứng. Xilanh được chia làm hai phần nhờ một pittông cách nhiệt khối lượng m = 500g. Khí trong hai phần là cùng loại, ở cùng nhiệt độ 27°C và có khối lượng là m 1, m2, 3h với m2 = 2m1. Pittông cân bằng khi ở cách đáy dưới của xilanh đoạn h 2 5 a) Tính áp suất khí trong hai phần của xi lanh? Lấy g = 10m/s2. b) Để pittông cách đều hai đáy xi lanh thì phải nung nóng phần nào, đến nhiệt độ bao nhiêu? Biết phần còn lại giữ ở nhiệt độ không đổi. (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2002) Bài giải a) Áp suất khí trong hai phần của xi lanh
18. - Áp dụng phương trình Clapêrôn-Menđêlêep cho khí trong hai phần ở nhiệt độ T1 = 300K, ta được: m m p V 1 RT p .0,4V 1 RT 1 1 M 1 1 M 1 m m p V 2 RT p .0,6V 2 RT 2 2 M 2 2 M 2 0,4 p m 1 - Chia vế theo vế hai phương trình của hệ trên, ta được 1 1 0,6 p2 m2 2 4 p p (1) 2 3 1 - Khi pittông cân bằng: p1S mg p2S (S: tiết diện của pittông) mg p p (2) 2 1 S 3mg 3.0,5.10 2 2 p1 15.10 (N / m ) S 0,01 - Từ (1) và (2), ta được: 4mg 4.0,5.10 2 2 p2 20.10 (N / m ) S 0,01 2 2 2 2 Vậy: Áp suất khí trong hai phần của xilanh là p1 15.10 (N / m ) và p2 20.10 (N / m ) b) Nhiệt độ phải nung nóng một phần khí - Do h1 < h2 nên ta phải nung nóng phần khí ở trên (phần 1). Lúc đó, phần khí ở dưới có nhiệt độ không đổi, áp dụng định luật Bôilơ-Mariôt, ta được: ' ' ' ' p2V2 p2V2 p2Sh2 p2Sh2 ' ' 6 6 2 2 2 - Với h2 = 0,6h và h 0,5h p p .20.10 24.10 (N / m ) 2 2 5 2 5 mg 0,5.10 - Từ (2) suy ra: p' p' 24.102 19.102 (N / m2 ) 1 2 S 0,01 - Áp dụng phương trình trạng thái cho khối khí ở trên, ta được: ' ' ' ' p1V1 p1V1 ' p1V1 ' T1 .T1 T1 T1 p1V1 ' 2 ' p1 0,5V 19.10 0,5 T1 . T1 2 . 475K p1 0,4V 15.10 0,4 - Nhiệt độ của phần ở trên sau khi nung nóng: ' ' t1 T1 273 475 273 202C ' Vậy: Để pittông cách đều hai đáy xilanh thi phải nung nóng phần trên đến nhiệt độ t1 202C
19. 18. Trong xilanh như hình vẽ, pittông nặng có thể chuyển động không ma sát, đồng thời chia xilanh thành hai phần A và B. Phía dưới xilanh nối với một bình C thông qua một ống nhỏ có khóa T. C có cùng tiết diện với B. Pittông được nối với thành trên của xilanh bằng một lò xo nhẹ. Khi pittông nằm sát thành dưới của xilanh thì lò xo không biến dạng. Lúc đầu khóa T đang đóng. Trong B chứa một lượng khí; trong A và C là chân không. Chiều cao của phần B là l 1; thể tích của hai phần B và C là bằng nhau. Lực do lò xo tác dụng lên pittông khi ấy có độ lớn bằng trọng lượng của pittông. Mở khóa T đồng thời lật ngược hệ lại. Hỏi khi pittông cân bằng thì chiều cao l 2 của phần B là bao nhiêu? Cho biết nhiệt độ khí không đổi. (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2009) Bài giải Gọi m là khối lượng của pittông; k là độ cứng của lò xo; S là tiết diện của xilanh; p o là áp suất của khí trong phần B lúc đầu. - Lúc đầu, khi pittông cân bằng: p0S mg kl1 Theo đề: kl1 mg (1) 2kl p S 2kl p 1 (2) 0 1 0 S - Khi mở khóa T và lật ngược hệ lại. Lúc đó, B và C có cùng áp suất khí là p. Áp dụng định luật Bôilơ – Mariốt, ta được: l1 p0l1S p(l1 l2 )S p p0 (3) l1 l2 2kl 2 - Thay (2) vào (3) ta được: p 1 (4) (l1 l2 )S - Khi pittông cân bằng: pS mg kl2 (5) 2 2kl1 - Thay (1) và (4) vào (5), ta được: kl1 kl2 (l1 l2 ) 2 2l1 l1 l2 l2 l1 3 l1 l2 Vậy: Khi pittông cân bằng thì chiều cao l2 của phần B là l2 l1 3 19. Một pittông nặng ở vị trí cân bằng trong một bình hình trụ kín. Phía trên và phía dưới pittông có khí, khối lượng và nhiệt độ của khí ở trên và ở dưới pittông là như nhau. Ở nhiệt độ T thì thể tích khí ở phần trên gấp 3 lần thể tích khí ở phần dưới. Nếu tăng nhiệt độ lên 2T thì tỉ số hai thể tích ấy là bao nhiêu? Bỏ qua ma sát giữa thành bình và pittông.
20. (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2010) Bài giải Gọi po là áp suất của khí ở phía trên pittông, áp suất của phần khí ở phía dưới pittông là (p o + p) khi nhiệt độ khí là T, với p là áp suất tạo nên do trọng lượng của pittông. - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép đối với mỗi phần khí ta được: m + Đối với phần khí ở phía trên: p 3V RT (1) 0 0  m + Đối với phần khí ở phía dưới: ( p p)V RT (2) 0 0  - Từ (1) và (2), ta được: p0 3V0 ( p0 p)V0 p 2 p0 Gọi p’ là áp suất của khí ở phía trên pittông khi nhiệt độ khí là 2T, khi đó áp suất của phần khí ở phía dưới pittông là (p’ + p). Khi nhiệt độ khí 2T thì thể tích khí p phía trên và phía dưới lần lượt là Vt, Vd - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho hai trạng thái (trạng thái 1: nhiệt độ khí là T, trạng thái 2: nhiệt độ khí là 2T): p 'V p 3V 6 p + Đối với phần khí ở phía trên: t 0 0 V 0 V 2T T t p ' 0 ( p ' 2p0 )Vd p0 3V0 6 p0 + Đối với phần khí ở phía dưới: Vd V0 2T T p ' 2p0 - Vì thể tích khí không đổi nên: Vt Vd V0 3V0 4V0 V 6 p0 6 p0 2 2 V0 V0 4V0 p p ' p0 3p0 0 p ' p ' 2p0 1 p ' ( p 13p ) với p’ > 0 2 0 0 1 p ' ( p 13p ) 2,3p 2 0 0 0 - Tỉ số thể tích phần khí phía trên và dưới pittông là: 6 p 0 V V p ' 0 p ' 2 p 4,3p t 0 0 1,87 6 p Vd 0 p ' 2,3p0 V0 p ' 2 p0 V Vậy: Tỉ số thể tích phần khí phía trên và dưới pittông là t 1,87 Vd
21. 20. Một xilanh thẳng đứng kín hai đầu, trong xilanh có một pittông khối lượng m có thể trượt không ma sát trong lòng xi lanh. Ở trên và dưới pittông có hai lượng khí như nhau. Ban đầu nhiệt độ khí trong hai phần là 27°C thì tỉ số thể tích khí ở phần trên và phần V dưới là 1 4 . Hỏi nếu nhiệt độ khí trong hai phần tăng lên đến 327°C thì tỉ số thể tích V2 ' V1 khí ở phần trên và phần dưới ' là bao nhiêu? V2 (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2012) Bài giải - Vì các quá trình là đẳng nhiệt nên ta có thể đặt ' ' V1 p2 V1 p2 n 4; ' ' m V2 p1 V2 p1 p1S mg p2S - Vì pittông nằm cân bằng nên: ' ' p1S mg p2S ' ' ' ' p1 p1 p2 p2 p2 p1 p2 p2 ' ' p1 n 1 (n 1) p1 (m 1) p1 (1) p1 m 1 ' ' 1 ' 1 - Mặt khác, V1 V2 V1 V2 V1 1 V1 1 n m ' n 1 m 1 ' V1 m n 1 V1 V1 . (2) n m V1 n m 1 - Áp dụng phương trình trạng thái cho lượng khí trên, ta được: p V p'V ' T p' V ' 1 1 1 1 2 1 . 1 (3) T1 T2 T1 p1 V1 T n 1 m n 1 - Thay (1), (2) vào (3) ta được: 2 . . T1 m 1 n m 1 327 273 4 1 m 4 1 . . 27 273 m 1 4 m 1 3 5m 2 . 8m2 15m 8 0 m 2,3 m 1 4(m 1) ' V1 Vậy: Tỉ số ' 2,3 V2
22. 21. Một bình bằng kim loại hình trụ tròn đặt cố định trên mặt sàn nằm ngang, bên trong có hai pittông (1) và (2) nhẹ, có thể chuyển động tự do. Các pittông chia bình chứa thành hai ngăn A và B. Các ngăn cùng chúa một loại khí lí tưởng ở cùng nhiệt độ. Khi cân bằng, độ cao của cột khí ở ngăn A và ngăn B lần lượt là h A = 10cm và hB = 20cm. Diện tích tiết diện ngang của mỗi pittông là S = 10cm 2. Dưới tác dụng của lực kéo F không đổi, pittông (1) di chuyển lên trên theo phương thẳng đứng một đoạn ∆h A = 3cm. Cho 5 biết lúc pittông (1) di chuyển, nhiệt độ của các khối khí luôn không đổi và áp suất khí quyển là po = 10 Pa. a) Xác định độ lớn lực kéo F. b) Trong quá trình pittông (1) dịch chuyển lên thì pittông (2) dịch chuyển một đoạn bằng bao nhiêu? (Trích đề thi Olimpic 30-4, 2013) Bài giải a) Độ lớn lực kéo F Ta có: pA pB p(m2 0) - Áp dụng phương trình Clapêrôn - Menđêlêép cho hai khối khí, ta được: pAVA nART + Ban đầu: p(V1 V2 ) pV (nA nB )RT (1) pBVB nB RT + Sau khi pittông (1) dịch chuyển đoạn h : p 'V ' (nA nB )RT (2) ' ' (V VA VB ;V ' VA VB ) - Vì các quá trình là đẳng nhiệt nên từ (1) và (2), ta được: pV p 'V ' p(hA hB )S p '(hA hB h)S 10 (10 20) p (10 20 3) p ' p' p 11 10 - Khi chưa tác dụng lực F thì: p p (m 0) p' p 0 A 1 11 0 - Trạng thái cân bằng sau khi pittông (1) dịch chuyển đoạn ∆h: 10 1 1 F ( p p ')S (1 ) p S p S .105.10 3 9,1N 0 11 0 11 0 11 Vậy: Độ lớn của lực kéo F 9,1N b) Độ dịch chuyển của pittông (2) ' ' VA VA nA hA hA hA 1 Ta có: ' ' VB VB nB hB hB hB 2 hB 2 hA 2.3 6cm Vậy: Độ dịch chuyển của pittông (2) là hB 6cm