Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Nguyên hàm tích phân. Diện tích hình phẳng. Thể tích khối tròn xoay (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Nguyên hàm tích phân. Diện tích hình phẳng. Thể tích khối tròn xoay (Có lời giải)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYấN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRềN XOAY VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO I. NGUYấN HÀM TÍCH PHÂN Cõu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f x cú đạo hàm trờn đoạn 0;1 thỏa món 1 1 2 1 2 x e 1 f 1 0 và f x dx x 1 e f x dx . Tớnh tớch phõn I f x dx. 0 0 4 0 e e 1 A. I 2 e. B. I e 2. C. I . D. I . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xột tớch phõn x 1 ex f x dx 0 u f x du f x dx Đặt x x dv x 1 e dx v xe 1 1 1 1 Nờn x 1 ex f x dx f x .xex xex . f x dx xex . f x dx . 0 0 0 0 1 ex 1 Do đú xex . f x dx . Lại cú (theo BĐT tớch phõn) 0 4 2 1 1 1 2 2 1 2 2 x 2 x 2 e 1 x 1 e x.e f x dx x e dx. f x dx xe f x dx . 0 0 0 4 0 4 Dấu " " xảy ra khi f x k.xex . 1 2 2 1 e Suy ra kx2 ex dx k 1 f x xex 0 4 Do đú f x dx xexdx 1 x ex C f 1 C 0 . 1 1 Vậy I f x dx 1 x exdx e 2 . 0 0 Trang 1
2. 1 1 Cõu 2:Cho hàm số y f x liờn tục và thoả món f x 2 f 3x với x ;2 . Tớnh x 2 2 f x dx . 1 x 2 3 3 9 9 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f x Đặt I dx 1 x 2 1 f 1 1 f x x Với x ;2 , f x 2 f 3x 2 3 . 2 x x x 1 2 2 f 2 f x x dx 2 dx 3dx (1) 1 x 1 x 1 2 2 2 1 1 1 1 Đặt t dt dx dt dx . x x2 t x 1 2 f 2 x f t 2 dx 2 dt 2I . 1 x 1 t 2 2 2 3 1 3I 3dx I . 1 2 2 1 Cõu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho ũ f (x)dx = 2018 . Tớnh tớch phõn 0 p 4 ũ f (sin 2x)cos 2xdx 0 A. 2018 .B. - 1009 . C. - 2018 . D.1009 . Lời giải Chọn D Đặt t = sin 2x ị dt = 2cos 2xdx p Đổi cận: x = 0 ị t = 0; x = ị t = 1 4 p 1 4 1 1 ũ f (sin 2x)cos 2xdx = ũ f (t)dt = .2018 = 1009 0 2 0 2 Trang 2
3. Cõu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phỳ Thọ, lần 1 năm 2018] Biết F x ax2 bx c 2x 3 ( 20x2 30x 11 3 a,b,c  ) là một nguyờn hàm của hàm số f x trờn khoảng ; . 2x 3 2 Tớnh T a b c. A. T 11. B. T 10 . C. T 9 . D. T 8. Lời giải Chọn A. 2 2 t 3 20x 30x 11 2 x f x . Đặt 2x 3 t 2x 3 t 2 2x 3 dx tdt 2 2 t 3 2 20 15 t 3 11 2 I f x dx t.dt t 5t 4 15t 2 11 dt t t 4 5t 2 11 C 2x 3 4x2 2x 5 C a 4;b 2;c 5 a b c 11 6 2x 4 dx 5 4 Cõu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phỳ Thọ, lần 1 năm 2018] Biết a bln c ln 0 2x 5 2x 4 8 3 3 (a,b,c Ô ). Tớnh T a b c. A. T 3. B. T 5. C. T 4. D. T 7. Lời giải Chọn A. 6 2x 4 6 2x 4 4 t 2 dx d 2x 4 dt với t 2x 4 . 2 0 2x 5 2x 4 8 0 2x 4 5 2x 4 4 2 t 5t 4 4 5t 4 4 1 4 1 16 4 1 1 5 16 4 . 1 dt 1dt dt dt 2 ln ln 2 t 1 t 4 2 3 2 t 1 3 2 t 4 3 3 3 3 1 16 Suy ra a 2, b , c a b c 3 . 3 3 Cõu 6: [2D3-3] Cho f (x) là một hàm số liờn tục trờn  thỏa món f x f x 2 2cos 2x . 3 2 Tớnh tớch phõn I f x dx . 3 2 A. I 3 .B. I 4 .C. I 6 .D. I 8 . Trang 3
4. Lời giải Chọn C. 3 3 2 0 2 Ta cú I f x dx f x dx f x dx . 3 3 0 2 2 0 3 3 Xột f x dx Đặt t x dt dx ; Đổi cận: x t ; x 0 t 0 . 3 2 2 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f x dx f t dt f t dt f x dx . 3 3 0 0 2 2 3 3 2 2 Theo giả thiết ta cú: f x f x 2 2cos 2x f x f x dx 2 2cos xdx 0 0 3 3 3 2 2 2 f x dx f x dx 2 sin x dx 0 0 0 3 3 2 0 2 f x dx f x dx 2 sin x dx 2 sin x dx 3 0 0 0 2 3 2 f x dx 6. 3 2 Cõu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f x liờn tục trờn 1;2018 và : 2017 2017 f (2018 x) f (x) x [1;2018] , f (x)dx 10 . Tớnh I x. f (x)dx . 1 1 A. I 10100. B. I 20170. C. I 20180. D. I 10090. Lời giải Chọn.D. Đặt t 2018 x dt dx . x 1 t 2017, x 2017 t 1 1 2017 I (2018 t )f (2018 t )dt (2018 t )f (t )dt 2017 1 Trang 4
5. 2017 2017 2018 f (x )dx xf (x )dx 1 1 I 2018.10 I I 10090. Cõu 8:[2D3-3] Hàm số f x liờn tục trờn 0; và : f ( x) f (x) x [0; ] , f (x)dx . Tớnh 0 2 I x. f (x)dx . 0 2 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 4 4 Lời giải Chọn.D. Đặt t x dt dx . x 0 t , x t 0 0 I ( t )f ( t )dt ( t )f (t )dt 0 f (x )dx xf (x )dx 0 0 2 I . I I . 2 4 b Cõu 9:[2D3-3] Hàm số f x liờn tục trờn a;b và : f (a b x) f (x) x [a;b] ; f (x)dx a b a b Tớnh I x. f (x)dx . a a b a b 2 a b a b 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn.D. Đặt t a b x dt dx . x a t b, x b t a. a I (a b t )f (a b t )dt b b (a b t )f (t )dt a Trang 5
6. b b (a b) f (x )dx xf (x )dx a a 2 a b I (a b).(a b) I I . 2 y f x 1;2 Cõu 10: [2D3-3] [Chuyờn ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số cú đạo hàm liờn tục trờn   f 1 4 f x x. f x 2x3 3x2 f 2 thỏa món và . Tớnh giỏ trị . A. 5 . B. 20 . C. 10. D. 15 . Lời giải Chọn B f x f x Cỏch 1: + x 1;2 : f x x. f x 2x3 3x2 2x 3. x2 x f x f x 1 2 2x 3 f x . 2x 3. x x x 1 f x 2 Vậy f x . dx 2x 3 dx x 3x C . x x + Vỡ f 1 4 C 0 . Do đú f x x3 3x2 f 2 20 . xf x f x Cỏch 2: Từ giả thiết f x xf x 2x3 3x2 2x 3 x2 f x 2 x 3x . x 2 2 2 f x 2 f 2 f 1 2 dx x 3x dx x 3x f 2 20 . 1 1 x 1 2 1 Nhận xột: Đặc điểm chung của cỏc bài toỏn này là đi từ khai thỏc đạo hàm của một thương, tớch cỏc hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta cú thể nờu một số dạng tổng quỏt sau: 1) Cho trước cỏc hàm g x ,u x ,v x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b, g x 0,x a;b và hàm f x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b thỏa món: f x g x f x g x u x v x u x v x . Khi đú, u b v b u a v a f x g x u x v x f b f a . g b g a Trang 6
7. 2) Cho trước cỏc hàm g x ,u x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b, g x 0,x a;b và hàm f x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b thỏa món: f x g x f x g x u x g 2 x . f x Khi đú, u x f b f a u b g b u a g a . g x 3) Cho trước cỏc hàm g x ,u x ,v x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b và hàm f x cú đạo hàm liờn tục trờn a;b thỏa món: u x f x f u x v x g x g v x . Khi đú, f u x g v x f u b f u a g v b g v a . Cõu 11: [2D3-3] Một ụ tụ bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 7t m/s . Đi được 5 s , người lỏi xe phỏt hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ụ tụ tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 70 m/s2 . Tớnh quóng đường S m đi được của ụ tụ từ lỳc bắt đầu chuyển bỏnh cho đến khi dừng hẳn. A. S 87,50 m . B. S 94,00 m . C. S 95,70 m . D. S 96,25 m . Lời giải Chọn D. Vận tốc ụ tụ tại thời điểm bắt đầu phanh là: v1 5 35 m / s . Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: v2 t 70t C . Do v2 0 35 C 35 v2 t 70t 35 . 1 Khi xe dừng hẳn tức là v t 0 70t 35 0 t . 2 2 Quóng đường S m đi được của ụ tụ từ lỳc bắt đầu chuyển bỏnh cho đến khi dừng hẳn là: 1 5 2 S m 7t.dt 70t 35 dt 96,25 m . 0 0 2 Cõu 12: [2D3-2] Giả sử 2x 1 ln xdx aln 2 b , a;b Ô . Tớnh a b . 1 5 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D Đặt Trang 7
8. 1 u ln x du dx x dv 2x 1 dx 2 v x x 2 2 2 2 2 2 2 x x x 1 2x 1 ln xdx x x ln x dx 2ln 2 x 2ln 2 nờn a 2 , 1 x 2 2 1 1 1 1 b . 2 3 Vậy a b . 2 Cõu 13: [2D3-3] [Chuyờn Lờ Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] 1 x3 3x Biết dx a bln 2 c ln 3 với a,b,c là cỏc số hữu tỉ , tớnh S 2a b2 c2. 2 0 x 3x 2 A. S 515. B. S 164 . C. S 436 . D. S 9 . Lời giải Chọn A. 1 x3 3x 1 10x 6 1 4 14 Xột : I dx x 3 dx x 3 dx 2 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 2 1 x 1 1 1 1 I 3x 4ln x 1 14ln x 2 3 4ln 2 14ln 3 14ln 2 0 0 0 2 0 2 5 a 2 5 2 2 I 18ln 2 14ln 3 b 18 S 2a b c 515 . 2 c 14 Cõu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Húa- KSCL 14/4- Mó đề 101] Cho hàm số f x liờn tục trờn Ă và thỏa 2 16 f x 1 f 4x món cot x. f sin2 x dx dx 1. Tớnh tớch phõn I dx. 1 x 1 x 4 8 3 5 A. I 3. B. I . C. I 2 . D. I . 2 2 Lời giải Chọn D. dt Đặt t sin2 x dt 2sin x cos xdx cot xdx 2t Trang 8
9. 2 1 dt 1 1 f x 1 f x 1 cot x. f sin2 x dx f t dx dx 2 1 2t 2 1 x 1 x 4 2 2 2 2tdt dx t x Đặt 2 x t 16 f x 4 f t 4 f x 4 f x 1 1 dx 2tdt 2 dx dx 2 1 x 1 t 1 x 1 x 2 Đặt t 4x dt 4dx 1 f 4x 4 f t dt 4 f x 1 f x 4 f x 5 I dx dx dx dx t 1 x 1 4 1 x 1 x 1 x 2 8 2 4 2 2 Phõn tớch: Dạng bài này là dạng bài toỏn tỡm tớch phõn của hàm f x nào đú khụng biết, nhưng sẽ cho thờm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tớch phõn cần tỡm, yờu cầu là đưa cỏc tớch phõn đó biết về giống dạng chưa biết. 2 e f ln x Cõu 15: [2D3-3] Cho hàm số f x liờn tục trờn Ă và thỏa món dx 1 và e x ln x 3 2 f x f cos x tan xdx 2 . Tớnh dx. 0 1 x 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A. dx Đặt t ln x dt x 2 e f ln x 2 f t 2 f x 1 dx dt dx e x ln x 1 t 1 x Đặt t cos x dt sin xdx 1 3 sin x 2 f t 1 f x 2 f cos x dx dt dx 0 cos x 1 t 1 x 2 Do đú Trang 9
10. 2 f x 1 f x 2 f x dx dx dx 3 1 x 1 x 1 x 2 2 /4 Cõu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thộp Thỏi Nguyờn Lần 3 – 2018) Tớnh tớch phõn I ln(tan x 1)dx 0 a ta được kết quả là I ln 2 c với với a,b,c Ơ ,b 0,(a,b) 1 . Khi đú P abc nhận giỏ b trị A. 9.B. 8. C. 1.D. 0. Lời giải Chọn D Đặt x t , ta cú 4 0 4 1 tant I ln tan( t) 1 dt ln 1 dt 4 0 1 tant 4 4 2 4 4 ln dt ln 2dt ln tant 1 dt 0 1 tant 0 0 ln 2 I 4 I ln 2 a 1,b 8,c 0 P 0 8 2 2 Cõu 17:Cho hàm số y f x cú đạo hàm liờn tục trờn 0; và f 0 0 , f x dx , 2 0 4 2 2 sin x. f x dx . Tớnh I f x dx ? 0 4 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B. 2 2 2 Ta cú f x dx f x d f x . 0 0 4 2 2 2 sin x. f x dx f x d cos x cos x. f x 2 f x cos x dx 0 0 0 0 4 2 2 2 2 1 cos 2x 1 sin 2x Mặt khỏc ta tớnh được: cos xdx dx x 0 0 2 2 2 0 4 Trang 10
11. 4 2 2 2 Vậy  f '(x)2 dx 2 cos x. f (x)dx cos2 xdx  f '(x) cos x2dx 0 0 0 0 0 Suy ra f x cos x f x sin x C . Do f 0 0 C 0 . 2 2 Vậy I f x dx sin xdx cos x 2 1. 0 0 0 Cõu 18: [2D3-3] [THPT chuyờn Phan Bội Chõu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Cõu 35] ln 2 1 Biết rằng dx= lna 2 bln 3 ln 5c . Trong đú a , b , c là cỏc số nguyờn. Khi đú x 0 2e 1 S a b c bằng bao nhiờu. A. S 4 . B. S 3. C. S 5. D. S 2 . Lời giải Chọn B ln 2 1 ln 2 ex Ta cú dx= dx x x x 0 2e 1 0 e 2e 1 Đặt ex t dt=exdx Đổi cận: khi x 0 thỡ t 1, khi x ln 2 thỡ t 2. ln 2 ex 2 1 2 2t 1 2t 2 1 2 Vậy dx dt= dt= dt x x 0 e 2e 1 1 t 2t 1 1 t 2t 1 1 t 2t 1 2 ln t ln 2t 1 ln 2 ln 5 ln1 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5 1 1 Vậy S 3. Hướng 2. Phõn tớch x x ln 2 1 ln 2 2e 1 2e ln 2 2ex ln 2 dx dx 1 dx x ln 2ex 1 x x x 0 2e 1 0 2e 1 0 2e 1 0 ln 2 1 1 1 Cõu 19: Biết rằng dx= ln 2a ln 2 3 . Trong đú a , b là cỏc số nguyờn. 2x 0 2e 1 2 b Khi đú S a 2b bằng bao nhiờu. A. S 2 . B. S 3. C. S 1. D. S 0 . Lời giải Trang 11
12. Chọn B ln 2 1 ln 2 2e2x Ta cú dx= dx 2x 2x 2x 0 2e 1 0 2e 2e 1 Đặt 2e2x 1 t 2e2x t 2 1 d 2e2x =d t 2 1 4e2xdx=2tdt Đổi cận: khi x 0 thỡ t 3 , khi x ln 2 thỡ t 3 . ln 2 2e2x 3 t Vậy dx dt 2x 2x 2 0 2e 2e 1 3 t t 1 3 1 1 1 1 3 dt ln t 1 ln t 1 3 2 3 t 1 t 1 2 1 1 1 1 ln 2 ln 4 ln 3 1 ln 3 1 ln 2 1 ln 2 3 2 2 2 2 Vậy S 3. 1 x2 x ex Cõu 20:Biết rằng dx=a.e+bln e c . Trong đú a , b , c là cỏc số nguyờn. Khi đú x 0 x e S a 2b c bằng bao nhiờu. A. S 1. B. S 2 . C. S 1. D. S 0 . Lời giải. Chọn B 1 x2 x ex 1 xex x 1 ex Ta cú dx= dx x x 0 x e 0 xe 1 Đặt xex 1 t dt= x 1 exdx Đổi cận: khi x 0 thỡ t 1, khi x 1 thỡ t e 1. 1 2 x e 1 x x e t 1 e 1 Vậy dx= dt t ln t e ln e 1 x 1 0 x e 1 t Vậy S 2 . Trang 12
13. Cõu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x cú đạo hàm liờn tục trờn 1; thỏa món f 1 1 và f x 3x2 2x 5 x 1; . Tỡm số nguyờn dương m lớn nhất sao cho min f x m với mọi hàm số y f x thỏa đề bài. x 3;10 A. m 15 . B. m 20 . C. m 25. D. m 30 . Lời giải Chọn C. Do giả thiết cho một bất đẳng thức liờn quan đến y f ' x nờn ta sẽ lấy tớch phõn hai vế để được một bất đẳng thức liờn quan đến y f x . Ta cú t t f (x)dx (3x2 2x 5)dx f t f 1 t3 t 2 5t 3 t 1. 1 1 Suy ra f x x3 x2 5x 4 min f x min x3 x2 5x 4 25. x 3;10 x 3;10 Vậy m 25. Cõu 22:Cho cỏc hàm số y f x cú đạo hàm liờn tục trờn 0; 1 thỏa món 1 3 f x xf x x2018 x 0; 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của f x dx .   0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2019.2020 2019.2021 2020.2021 2018.2020 Cõu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x cú đạo hàm trờn Ă 7 3 2 2x thỏa món 3 f x .e f x x 1 0 và f 0 1. Tớch phõn x. f x dx bằng 2 f x 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. 3 4 8 4 Lời giải Chọn C. 3 Phõn tớch: Nhận thấy e f x 3. f x . f 2 x nờn ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tớch phõn 2 vế Trang 13
14. 3 2 2x 3 2 Ta cú: 3 f x .e f x x 1 0 3. f 2 x . f x .e f x 2x.ex 1 f 2 x 3 2 2 Lấy nguyờn hàm 2 vế ta được: 3. f 2 x . f x .e f x dx 2x.ex 1dx ex 1d x2 1 3 2 e f x ex 1 C 0 Mặt khỏc: f 0 1 C 0 nờn f 3 x x2 1 f x 3 x2 1 7 7 45 Tớnh: x. f x dx x.3 x2 1.dx . 0 0 8 1 2 1 Cõu 24: Cho hàm số f x cú đạo hàm liờn tục trờn 0;1 thỏa món f 1 0, f x dx và 0 11 1 1 1 x4 f x dx . Tớch phõn f x dx bằng 0 55 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 1 5 1 5 1 4 x x 5 1 Ta cú x f x dx f x f x dx x f x dx 5 5 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 5 2 1 2 5 5 2 5 2 mà x dx nờn f x dx 2 x f x dx x dx 0 f x x dx 0 . 0 11 0 0 0 0 1 Suy ra f x x5 f x x6 C . 6 1 1 1 x6 1 1 Vỡ f 1 0 nờn C . Vậy f x dx dx . 6 0 0 6 7 1 2 3 Cõu 25: Cho hàm số f x cú đạo hàm liờn tục trờn 0;1 thỏa món f 1 0, f x dx 2ln 2 0 2 1 f x 3 1 và dx 2ln 2 . Tớch phõn f x dx bằng 2 0 x 1 2 0 1 2ln 2 3 2ln 2 3 4ln 2 1 ln 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Trang 14
15. Chọn A. 1 1 f x 1 1 1 1 1 Ta cú 2 dx f x d 1 1 f x 1 f x dx x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 0 0 1 1 3 Suy ra 1 f x dx 2ln 2 . 0 x 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 Mặt khỏc 1 dx 1 2 2 dx x 2ln x 1 2ln 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 1 Do đú f x dx 2 1 f x dx 1 dx 0 0 0 x 1 0 x 1 2 3 1 f x 1 dx 0 . 0 x 1 1 f x 1 f x x ln x 1 C , vỡ f 1 0 nờn C ln 2 1. x 1 1 1 1 Ta được f x dx x ln x 1 ln 2 1 dx ln 2 . 0 0 2 Cõu 26: Xột hàm số f x liờn tục trờn 0;1 và thỏa món điều kiện 4x. f x2 3 f 1 x 1 x2 . Tớch 1 phõn I f x dx bằng: 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 20 16 6 4 Lời giải: ChọnA. Vỡ f x liờn tục trờn 0;1 và 4x. f x2 3 f 1 x 1 x2 nờn ta cú 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4x. f x 3 f 1 x dx 1 x dx 4x. f x dx 3 f 1 x dx 1 x dx 1 . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4x. f x2 dx 2 f x2 d x2 t x  2 f t dt 2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f 1 x dx 3 f 1 x d 1 x u 1 x 3 f u du 3I 0 0 0 Trang 15
16. 1 2 2 1 2 Đồng thời 1 x2 dx x sint 1 sin2 t.costdt cos2 tdt 1 cos2t dt . 0 0 0 2 0 4 Do đú, 1 2I 3I hay I . 4 20 Cõu 27: Cho hàm số f (x) xỏc định, liờn tục và cú đạo hàm trờn Ă thỏa món f (x) 0,x Ă và 3 f '(x) 2 f 2 (x) 0. Tớnh f (1) biết rằng f (0) 1. 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C. Nhận xột: Từ giả thiết bài toỏn ta biến đổi về cụng thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tớch phõn. Phõn tớch: Từ giả thiết 3 f '(x) 2 f 2 (x) 0 và f (x) 0,x Ă suy ra: 1 f '(x) 1 2 1 1 2 3 dx dx f (1) . 2 0 f (x) 0 3 f (1) f (0) 3 5 Cõu 28: Cho hàm số f (x) xỏc định, liờn tục và cú đạo hàm trờn (0; ) thỏa món f (x) xf '(x) 2x và f (1) 2 . Giỏ trị f (2) bằng: 5 e A. . B. 2. C. e. D. . 2 2 Lời giải Chọn A. Từ giả thiết f (x) xf '(x) 2x (xf (x))' 2x (xf (x))'dx 2xdx Suy ra xf (x) x2 C , thay x 1 vào hai vế ta được 1. f (1) 12 C 2 1 C C 1. x2 1 5 Khi đú xf (x) x2 1 f (x) . Vậy f (2) . x 2 Cõu 29: Cho hàm số f (x) xỏc định, liờn tục và cú đạo hàm trờn Ă thỏa món f (x) f '(x) 2ex và f (0) 1. Giỏ trị f (2) bằng: A. e. B. ln 2 .C. e2. D. 1. Trang 16
17. Lời giải Chọn C. Từ f (x) f '(x) 2ex ex f (x) ex f '(x) 2e2x (ex f (x))' 2e2x Suy ra (ex f (x))'dx 2e2xdx ex f (x) e2x C . Thay x 0 vào hai vế ta được C 0. Suy ra f (x) ex . Vậy f (2) e2. f x Ă \ 0; 1 f 1 2ln 2 Cõu 30:Cho hàm số liờn tục trờn  thỏa món điều kiện và x x 1 f x f x x2 x f 2 a bln 3 . Giỏ trị , a,b Ô .Tớnh a2 b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B. x 1 x Ta cú x x 1 f x f x x2 x f x f x x 1 x 1 2 x 1 x x f x . x 1 x 1 2 x 2 x Lấy tớch phõn từ 1 đến 2 hai vế ta được f x dx dx 1 x 1 1 x 1 2 x 2 2 1 f x x ln x 1 f 2 f 1 2 ln 3 1 ln 2 1 x 1 1 3 2 2 3 3 3 3 f 2 ln 2 1 ln 3 ln 2 f 2 ln 3 . Suy ra a và b . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 Vậy a b . 2 2 2 2 1 1 1 a a Cõu 31: Biết 3 x 2 3 dx 3 c , với a,b,c nguyờn dương, tối giản và c a . Tớnh 2 8 11 1 x x x b b S a b c . A. S 51. B. S 67 . C. S 39 . D. S 75 . Lời giải Chọn B 2 1 1 1 2 1 2 Ta cú I 3 x 2 3 dx 3 x 1 dx . 2 8 11 2 3 1 x x x 1 x x Trang 17
18. 7 3 1 2 4 21 Đặt t 3 x 3t 2dt 1 dx nờn I 3t3dt 3 14 . 2 3 x x 0 32 Suy ra S 67 . Cõu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f x liờn tục và cú đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa món điều kiện: 3 2 f x x sin x f x cos x và f x sin xdx 4 . Khi đú, f nằm trong khoảng nào? 2 A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết: f x x sin x f x cos x f x xsinx x f x cos x f x .x x . f x xsin x cos x f x .x x . f x (cos x) x x cos x (*). f x .x x . f x (cos x) x x cos x Vỡ x 0; , ta chia 2 vế của (*) cho x2 ta được x2 x2 f x cos x f x cos x c f x cos x cx . x x x x 3 2 Mặt khỏc lại cú f x sin xdx 4 . 2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xột f x sin xdx cos xsin x c xsin x dx cos x d cos x c xsin x dx 2 2 2 2 3 2 2 3 cos x 2 c x cos x sin x 2c . 2 2 2 3 2 Mà f x sin xdx 4 2c 4 c 2 f x cos x 2x . 2 Ta cú: f 1 2 5,28 . Tổng quỏt: Gặp những bài toỏn mà giả thiết cho dạng a x . f x b x . f x g x 1 Ta sẽ nhõn một lượng thớch hợp để đưa 1 về dạng u x . f x u x . f x h x 2 Trang 18
19. u (x) a x u x Với , kết hợp với giả thiết ta tỡm được u(x) suy ra biểu thức nhõn thờm là . u(x) b x b x Khi cú 2 ta sẽ tỡm được f x . Cõu 33: Cho hàm số y f x cú đạo hàm và liờn tục trờn Ă thỏa món 2 f x 2xf x 2x.e x và f 0 1. Tớnh f 1 . 1 2 2 A. e .B. .C. .D. . e e e Cõu 34: Cho hàm số f x cú đạo hàm trờn Ă thỏa món x 2 f x x 1 f x ex và 1 f 0 . Tớnh f 2 . 2 e e e2 e2 A. f 2 . B. f 2 . C. f 2 . D. f 2 . 3 6 3 6 2 x3 Cõu 35:Biết dx a 5 b 2 c, với a,b,c là cỏc số hữu tỷ. Tớnh P a b c. 2 1 x 1 1 5 7 5 A. P B. P C. P D. P 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2 3 2 2 x 1 3 1 5 2 3 Ta cú dx x x2 1 1 dx x2 1 x2 5 2 . 2 1 x 1 1 1 3 2 1 3 3 2 5 2 3 5 Vậy a ,b ;c P . 3 3 2 2 3 ln sin x 3 3 Cõu 36: Cho tớch phõn I dx a 3 ln ln 2 a,b,c  . Tớnh giỏ trị của biểu thức 2 cos x 2 b c 6 S a b c. A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 Lời giải Chọn B. u ln sin x dx cos x du dx Đặt 1 sin x v 2 cos x v tan x 3 ln sin x 3 3 3 3 1 Suy ra dx tan x.ln sin x dx 3 ln ln 2 cos x 2 3 2 6 6 6 6 Trang 19
20. 3 3 3 ln ln 2 a 1;b 3;c 6 2 3 6 Do đú S a b c 2 2 2 1 Cõu 37: Cho tớch phõn I 2x 1 .cos2 xdx a,b,c  . Tớnh giỏ trị của biểu 0 a b c thức S a b c. A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C. 2 2 2 1 1 x 1 1 2 Ta cú I x x cos 2x cos 2x dx x sin 2x x cos 2xdx 0 2 2 2 2 4 0 0 2 J 8 4 du dx u x Đặt 1 dv cos 2xdx v sin 2x 2 2 1 2 1 1 2 1 Suy ra J xsin 2x sin 2xdx cos 2x 2 2 0 4 2 0 0 2 1 Do đú I a 8;b 4;c 2 S 2 8 4 2 4 Cõu 38: Cho tớch phõn I x tan2 xdx a 2 b c ln 2 a,b,c Ô . Tớnh giỏ trị của biểu thức 0 S a b c. 9 7 5 1 A. B. C. D. 32 31 16 32 Lời giải Chọn C. 4 1 2 4 x Ta cú I x 1 dx dx 2 2 0 cos x 16 0 cos x 4 x Đặt J dx 2 0 cos x u x du dx Đặt 1 dv dx v tan xdx cos2 x Trang 20
21. 4 4 4 2 Suy ra J x tan x tan xdx ln cos x ln 0 4 4 2 0 0 2 1 1 1 1 5 Vậy I ln 2 S 16 4 2 16 4 2 16 2 Cõu 39: Cho hàm số y f x cú đạo hàm liờn tục trờn Ă và thỏa món f 2 1, f 2x 4 dx 1. 1 0 Tớnh I x. f x dx . 2 A. I 1. B. I 0 . C. I 4 . D. I 4 . Cõu 40: [THPT Chuyờn Hựng Vương Phỳ Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số y f x xỏc 2 2 2 2 định trờn 0; thỏa món f x 2 2. f x sin x dx . Tớnh f x dx . 2 0 4 2 0 A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải ChọnB. 2 2 2 2 1 2 +) Ta cú 2 sin x dx 1 cos 2x dx x sin 2x . 4 2 2 2 2 0 0 0 +) Từ đú 2 2 2 f x 2 2. f x .sin x dx . 0 4 2 2 2 2 2 2 2 f x 2 2. f x .sin x dx 2sin x dx 0 4 0 4 2 2 2 2 f x 2 sin x dx 0. 0 4 2 2 2 Do f x 2 sin x 0, x 0; nờn f x 2 sin x dx 0 . 4 2 0 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x 2 sin x . 4 2 2 2 +) Vậy f x dx 2 sin x dx 2 cos x 0 . 0 0 4 4 0 Nhận xột: để đảm bảo tớnh khả tớch, ta cần thờm điều kiện “ y f x liờn tục trờn 0; ” ở đề 2 bài. Khi đú điều kiện “xỏc định” khụng cần nữa. Trang 21
22. 1 9 1 e2 2 x Cõu 41: Cho hàm số y f x liờn tục trờn 0;1 thỏa món f x 6. f x .e dx . 0 2 1 Tớnh x 1 f x dx . 0 A. .e 1 B. . 2e 5 C. . e D. . 3e Lời giải ChọnD. +) Ta cú 1 9 1 e2 2 x f x 6. f x .e dx 0 2 1 1 9 1 e2 1 2 x 2x 2x f x 6. f x .e dx 9e dx 9e dx 0 0 2 0 1 x 2 f x 3e 0 0 f x 3ex . 1 1 1 +) Vậy x 1 f x dx 3 x 1 exdx 3xex 3e . 0 0 0 1 1 Cõu 42: Cho hàm số y f x liờn tục trờn ; thỏa món 2 2 1 1 2 2 2 109 f x f x 2. f x . 3 x dx . Tớnh dx . 2 1 12 x 1 0 2 2 5 7 8 A. .l n B. . ln C. . ln D. . ln 9 9 9 9 Lời giải ChọnA. +) Ta cú 1 2 2 109 f x 2. f x . 3 x dx 1 12 2 1 1 1 2 2 2 2 2 109 2 f x 2. f x . 3 x dx 3 x dx 3 x dx 1 1 12 1 2 2 2 1 2 2 f x 3 x dx 0 1 2 f x 3 x. Trang 22
23. 1 1 1 2 f x 2 3 x 2 1 2 1 2 +) Vậy dx dx dx ln x 1 2ln x 1 2 ln . 2 2 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 9 ộ ự Cõu 43: Cho hàm số f (x) liờn tục trờn đoạn ở0;1ỷ và thỏa món điều kiện 1 4x. f (x2 )+ 3. f (1- x) = 1- x2 . Tớch phõn I = ũ f (x)dx bằng. 0 p A. .IB. I . C. I = .D. . I 4 6 20 16 Lời giải Chọn C 1 1 1 Lấy tớch phõn hai vế ta cú: ũ 4x. f (x2 )dx+ũ 3 f (1- x)dx = ũ 1- x2 dx 0 0 0 1 1 1 Û 2ũ f (x2 )d(x2 ) - 3ũ f (1- x)d(1-x) = ũ 1- x2 dx 0 0 0 1 1 p Û 2ũ f (t)d(t) + 3ũ f (u)d(u) = 0 0 4 1 p 1 p Û 5ũ f (x)d(x) = ị ũ f (x)d(x) = 0 4 0 20 Cõu 44: [ THPT chuyờn Quang Trung, Bỡnh Phước, lần 4, năm 2018 - Cõu 47] 1 1 a2 ln 2 bc ln 3 c Cho x ln x 2 dx , với a,b,c Ơ . Tớnh T a b c . 0 x 2 4 A. T 13 . B. .T 15 C. . T 17D. . T 11 Lời giải. Chọn A. Phõn tớch: Biểu thức trong tớch phõn cú tổng của hàm logarit và hàm phõn thức nờn ta tỏch thành 2 tớch phõn dạng thường gặp. Một là tớch phõn của hàm đa thức và hàm logarit ta dựng tớch phõn từng phần, một là tớch phõn của hàm phõn thức bậc nhất trờn bậc nhất cơ bản. 1 1 1 1 x Ta cú I x ln x 2 dx x ln x 2 dx dx 0 x 2 0 0 x 2 1 1 1 2 2 ln x 2 d x 2 1 dx 0 2 0 x 2 2 1 1 2 x 4 x 4 1 1 ln x 2 . dx x 2ln x 2 0 2 0 0 2 x 2 1 3 x2 7 7 42 ln 2 2.7ln 3 7 ln 3 2ln 2 x 1 2ln 3 2ln 2 ln 3 4ln 2 . 2 4 2 4 4 0 Trang 23
24. Ta cú a 4 , b 2 , c 7 . Vậy T a b c 4 2 7 13 . 3 1 abc ln 2 bln 5 c Cõu 45: Cho I x ln x 1 dx , với a,b,c Ơ . Tớnh 2 0 x 1 4 T a b c . A. .T 13 B. T 15 . C. T 10 . D. .T 11 Lời giải. Chọn C. 3 1 3 3 x Ta cú I x ln x 1 dx x ln x 1 dx dx 2 2 0 x 1 0 0 x 1 2 3 3 x2 1 1 3 d x 1 x2 1 3 x 1 1 3 ln x 1 d ln x 1 dx ln x2 1 2 0 2 2 0 x 1 2 0 0 2 2 0 3 1 5.2.3ln 2 2ln 5 3 4ln 4 ln10 . 4 2 4 Vậy T a b c 10 . 1 1 abln 2 bc ln 3 c Cõu 46: ChoI x ln x 2 dx , với a,b,c Ơ . Tớnh T abc . 2 0 x 1 4 A. T 18 . B. .T 16 C. . T 18D. . T 16 Lời giải. Chọn A. 1 1 1 1 x Ta cú I x ln x 2 dx x ln x 2 dx dx 2 2 0 x 1 0 0 x 1 2 1 1 x2 4 1 1 d x 1 x2 4 1 x2 4 1 1 1 ln x 2 d ln x 2 . dx ln x2 1 2 0 2 2 0 x 1 2 0 0 2 x 2 2 0 3 3 1 3.2ln 2 2. 3 ln 3 3 ln 3 2ln 2 ln 2 2 4 2 4 Vậy T a.b.c 3.2. 3 18 . Cõu 47: Cho f (x) là hàm liờn tục và a 0. Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta cú f (x) 0 và a dx f x f a x 1. Tớnh được kết quả bằng: 0 1 f (x) a a A. . B. . 2a C. a ln a 1 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D. Trang 24
25. a dx a f (a x) Ta cú: .I dx 1 f (a x) 1 0 1 0 f (a x) Đặt: a x t thỡ dx dt . Đổi cận 0 f (t) a f (x) Ta được: .I dt dx a f (t) 1 0 f (x) 1 a dx a f (x)dx a 1 f (x) dx a a Do đú: I I + = = dx a . Vậy: .I 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 2 4 Cõu 48: Cho hàm số f x liờn tục trờn Ă và 3 f x 2 f x tan2 x . Tớnh f x dx . 4 A. .1 B. . 1 C. 1 . D. 2 . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D. 3 f x 2 f x tan2 x 1 Thay x x. 1 3 f x 2 f x tan2 x tan2 x 2 1 .2 2 .3 5tan2 x 5 f x f x tan2 x 4 4 4 4 2 2 2 I f x dx tan x dx 2 tan x dx 2 1+tan x 1 dx 0 0 4 4 I 2 tan x x 4 2 . 0 2 Cõu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Thỏp 2018) Cho hàm số f x cú đạo hàm và liờn tục trờn 0;1 và thỏa 1 1 món x f x 2 dx f 1 . Giỏ trị của I f x dx bằng 0 0 A. 1 . B. 2 . C. 1. D. . 2 Trang 25
26. Lời giải Chọn C u x du dx Đặt dv f x 2 dx v f x 2x 1 1 1 Khi đú f 1 x f x 2 dx x f x 2x f x 2x dx f 1 2 I 1 0 0 0 Suy ra I 1 . 1 Cõu 50: Cho hàm số f x cú đạo hàm và liờn tục trờn 0;1 và thỏa món x f x 4 dx f 1 . Giỏ trị 0 1 của I f x dx bằng 0 A. 0 . B. 2. C. . 1 D. . 2 Lời giải Chọn B u x du dx Đặt dv f x 4 dx v f x 4x 1 1 1 Khi đú f 1 x f x 4 dx x f x 4x f x 4x dx f 1 4 I 2 0 0 0 Suy ra I 2 . 1 Cõu 51: Cho hàm số y f x liờn tục trờn Ă thỏa món x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . 0 1 Tớnh I f x dx 0 A. I 12. B. I 8. C. I 12. D. I 8. Lời giải Chọn D u x 1 du dx Đặt dv f x dx v f x Trang 26