Bài tập Vật lí Lớp 12 - Chương 4: Dòng điện xoay chiều - Dạng 5: Bài toán điện trở R biến thiên (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Vật lí Lớp 12 - Chương 4: Dòng điện xoay chiều - Dạng 5: Bài toán điện trở R biến thiên (Có lời giải)

1. CHƯƠNG 4 CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ ĐẦY ĐỦ LỚP 12 V. BÀI TOÁN ĐIỆN TRỞ R BIẾN THIÊN Bài toán: Đặt điện áp xoay chiều u Uo cos(t ) (Uo , không đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở R 0 có giá trị thay đổi được, cuộn cảm thuần L và tụ điện có điện dung C. Gọi I,UR ,UL ,UC ,URL ,URC ,ULC lần lượt là cường độ dòng điện hiệu dụng, hiệu điện thế dụng giữa hai đầu R; hai đầu L; hai đầu C; hai đầu RL (mạch R-L-C nối tiếp); hai đầu RC (mạch R-C-L nối tiếp); hai đầu LC. 1. Thay đổi R để I đạt giá trị lớn nhất. Tìm R khi đó. 2. Thay đổi R để UR ;UL ;UC đạt giá trị lớn nhất. Tìm các giá trị R khi đó. 3. Thay đổi R để cos đạt giá trị lớn nhất. Tìm R khi đó. 4. Thay đổi R R0 để công suất của mạch đạt giá trị lớn nhất. Tìm R0 khi đó. 5. Thay đổi R thì thấy 2 giá trị R R1 và R R2 (R2 R1 ) làm cho mạch có cùng công suất P. Tìm mối liên hệ giữa R1,R2 ,R0 ,P. Gọi độ lệch pha giữa u và i trong trường hợp R R1 là 1, trong trường hợp R R2 là 2 . Tìm mối liên hệ giữa 1, 2 . 6. Thay đổi R để URL đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm R khi đó. 7. Thay đổi R để URC đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm R khi đó. 8. Thay đổi R để ULC đạt giá trị lớn nhất. Tìm R khi đó. Lời giải Phương pháp chung giải các bài toán cực trị là: - Bước 1: Viết biểu thức của đại lượng cần tìm cực trị theo biến. - Bước 2: Dùng các công cụ như đạo hàm, bất đẳng thức để tìm cực trị. 1. Thay đổi R để I đạt giá trị lớn nhất? Ta cần tìm giá trị lớn nhất của I, vậy ta tìm biểu thức của I theo R, sau đó dùng công cụ đạo hàm hoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá. Ta có U I 2 2 R (ZL ZC ) Từ số không đổi, nên để tìm I lớn nhất ta chỉ quan tâm đến mẫu số. U U Ta có R2 0 nên I =const 2 2 Z Z R (ZL ZC ) L C Trang 1
2. U Đẳng thức xảy ra khi R 0 nên giá trị lớn nhất của I là ZL ZC 2. Thay đổi R để UR ;UL ;UC đạt giá trị lớn nhất. Tìm các giá trị R khi đó Ta tìm biểu thức của UR theo R rồi đánh giá. Ta có UR U IR f (R) R 2 2 R (ZL ZC ) Đến đây, cách thứ nhất là ta khảo sát hàm số f (R) với R 0; . Tuy nhiên cách này khá dài dòng. Để ý rằng, cả tử và mẫu đều có R, vậy nên ta mong muốn R chỉ xuất hiện ở tử hoặc chỉ xuất hiện ở mẫu để cho công việc đánh giá dễ dàng hơn. Để có được điều này, ta sẽ chia cả tử và mẫu cho R, khi đó trên tử chỉ còn mỗi mẫu U luôn không đổi, dưới mẫu phụ thuộc R. Lúc này để tìm giá trị lớn nhất của UR thì ta tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu là xong. Chú ý trước khi chia, để ý giả thiết R 0 nên ta phải xét trường hợp R 0 trước. Với R 0 thì UR 0. Với R 0, chia cả tử và mẫu cho R, ta được U U UR U R2 (Z Z )2 (Z Z )2 L C 1 L C R R2 (Z Z )2 Đẳng thức xảy ra khi L C 0 tức là khi R (vì Z và Z không đổi). R2 L C Vậy UR lớn nhất bằng U khi R Thay đổi R để UL đạt giá trị lớn nhất? U.Z Ta tìm biểu thức của U theo R rồi đánh giá. Ta có: U L L L 2 2 R (ZL ZC ) Từ số không đổi, chỉ có mẫu số phụ thuộc R nên ta đánh giá ở mẫu. Vì R2 0 nên ta có: U.Z UZ UZ U L L L const L 2 2 2 Z Z R (ZL ZC ) (ZL ZC ) L C UZL Đẳng thức xảy ra khi R 0 nên giá trị lớn nhất của UL là ZL ZC Thay đổi R để UC đạt giá trị lớn nhất? UZC Tương tự như trên, ta có giá trị lớn nhất của UC là ZL ZC 3. Thay đổi R để cos đạt giá trị lớn nhất. Tìm R khi đó? Trang 2
3. R Ta tìm biểu thức của cos theo R rồi đánh giá. Ta có: cos . 2 2 R (ZL ZC ) Cả tử và mẫu phụ thuộc R, ta chia cả tử và mẫu cho R để chỉ đánh giá ở mẫu thôi! Với R 0 thì cos 0. Với R 0 chia cả tử và mẫu cho R,ta được R 1 cos 1 R2 (Z Z )2 (Z Z )2 L C 1 L C R2 (Z Z )2 Đẳng thức xảy ra khi L C 0 tức là khi R (vì Z và Z không đổi). R2 L C Vậy cos lớn nhất bằng U khi R 4. Thay đổi R R0 để xông suất của mạch đạt giá trị lớn nhất? Ta tìm biểu thức công suất của mạch theo R rồi đánh giá. Công suất của mạch chính là công suất trên U 2 biến trở Ta có: 2 R. P RI R 2 2 R (ZL ZC ) Cả tử và mẫu phụ thuộc R , ta chia cả tử và mẫu cho R để chỉ đánh giá ở mẫu thôi! Với R 0 thì P 0. U 2 Với R 0, chia cả tử và mẫu cho R , ta được P (Z Z )2 R L C R Để tìm giá trị lớn nhất của P ta cần đánh giá mẫu lớn hơn hoặc bằng một hằng số nào đó. Để ý rằng, ở (Z Z )2 mẫu số là tổng của hai số hạng dương có tích là R. L C (Z Z )2 luôn không đổi, nên ta sẽ nghĩ R L C đến sử dụng bất đẳng thức AM GM cho 2 số dương để đánh giá. (Z Z )2 Sử dụng bất đẳng thức AM GM cho 2 số dương R và L C ,ta có R (Z Z )2 (Z Z )2 R L C 2. R. L C 2. Z Z R R L C U 2 Từ đó P const. 2 ZL ZC (Z Z )2 Đẳng thức xảy ra khi R L C , tương đương R Z Z R L C U 2 Vậy giá trị lớn nhất của công suất của mạch là Pmax khi R R0 ZL ZC 2 ZL ZC Trang 3
4. 5. Thay đổi R thì thấy 2 giá trị R R1 và R R2 (R2 R1 ) làm cho mạch có cùng công suất? Công suất tiêu thụ trên mạch chính là công suất tiêu thụ trên R 2 2 U P RI R 2 2 R (ZL ZC ) Suy nghĩ thường thấy khi làm bài này, đó là ta viết P1 theo R1,P2 theo R2 rồi cho P1 P2 , biến đổi tương đương một lúc là tìm được mối liên hệ giữa R1 và R2 .Ta thử xem sao nhé! Ta có U 2 U 2 P1 P2 R1 2 2 R2 2 2 R1 (ZL ZC ) R2 (ZL ZC ) R R2 (Z Z )2 R R2 (Z Z )2 1 1 L C 2 2 L C 2 R1R2 (R2 R1 ) (ZL ZC ) (R2 R1 ) 2 R1R2 (ZL ZC ) (Ở phép biến đổi tương đương cuối, chia cả 2 vế cho R2 R1 được vì R1 R2 ). Từ đó ta có: 2 2 Mặt khác, theo kết quả của câu trên, ta có R0 (ZL ZC ) nên ta có mối quan hệ giữa R1,R2 ,R0 ,P là 2 R0 R1R2 Như vậy, với tư tưởng trên thì ta đã tìm được các mối quan hệ giữa R1,R2 ,R0 ,P . Ngoài cách làm trên, chúng ta còn có một cách làm ngắn gọn hơn, đó là sử dụng định lí Vi-et phương trình bậc 2. Vì P1 P2 P nên ta có thể coi R1 và R2 là hai nghiệm của phương trình trên. Quy đồng khử mẫu, đưa về phương trình bậc hai theo R ta có 2 2 2 PR RU P(ZL ZC ) 0 Vì có 2 giá trị của điện trở khác nhau là R1 và R2 cho cùng một giá trị công suất nên phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2 . Theo định lí Vi-et, ta có mối liên hệ giữa R1 và R2 là b U 2 R R 1 2 a P c R R (Z Z )2 1 2 a L C 2 2 2 Mặt khác, theo kết quả trên, ta có R0 (ZL ZC ) nên ta có mối liên hệ giữa R1,R2 ,R0 là R0 R1R2 Bây giờ ta sẽ tìm mối liên hệ giữa 1 và 2 .Ta có Z Z tan L C 1 2 R1 (Z Z ) tan tan L C 1 Z Z 1 2 R R tan L C 1 2 2 R2 Trang 4
5. Vậy ta có tan 1 tan 2 1, tương đương tan 1 tan 2 tan 2 1 2 k ,k ¢ 2 2 Vì , nên k 1,5 k 0,5 k 1;0 2 1 2 2 1 2 2 Vậy 1 2 2 6. Thay đổi R để URL đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chắc các bạn sẽ hiểu vì sao chúng ta biến đổi như này: U R2 Z 2 U U U IZ L RL RL 2 2 2 2 2 R (ZL ZC ) R (ZL ZC ) ZC 2ZC ZL 2 2 1 2 2 R ZL R ZL Z 2 2Z Z Z 2 2Z Z Z 2 Z 2 2Z Z (Z Z )2 Nếu thì C C L C C L L C L C L C ZC 2ZL 1 2 2 1 2 2 2 R ZL 0 ZL ZL ZL U UZ Từ đó U L const. RL 2 Z Z (ZL ZC ) L C 2 ZL UZL Đẳng thức xảy ra khi R = 0 nên giá trị nhỏ nhất URL trong trường hợp ZC 2ZL là ZL ZC Z 2 2Z Z (Z Z )2 Nếu thì C C L L C ZC 2ZL 1 2 2 2 R ZL ZL U UZ Từ đó U L const. RL 2 Z Z (ZL ZC ) L C 2 ZL UZL Đẳng thức xảy ra khi R = 0 nên giá trị lớn nhất URL trong trường hợp ZC 2ZL thì . ZL ZC 7. Thay đổi R để URC đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất? Làm tương tự như trên, ta thu được kết quả: UZC Nếu ZC ZL thì URC đạt giá trị cực tiểu là khi R = 0. ZL ZC UZC Nếu ZC ZL thì URC đạt giá trị cực đại là khi R = 0. ZL ZC 8. Thay đổi R để ULC đạt giá trị lớn nhất? Trang 5
6. U (Z Z )2 U (Z Z )2 Ta có U IZ L C L C U const LC LC 2 2 2 R (ZL ZC ) (ZL ZC ) Đẳng thức xảy ra khi R = 0 nên giá trị lớn nhất của ULC là U. Trang 6