Các chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 1: Các định luật bảo toàn - Chuyên đề 4: Sự va chạm giữa các vật

Nội dung text: Các chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí Lớp 10 - Tập 2 - Phần 1: Các định luật bảo toàn - Chuyên đề 4: Sự va chạm giữa các vật

1. Phần 1. Chuyên đề 4: SỰ VA CHẠM GIỮA CÁC VẬT A - TÓM TẮT KIẾN THỨC I - ĐỊNH NGHĨA. PHÂN LOẠI 1. Định nghĩa, đặc điểm - Va chạm là tương tác giữa các vật xảy ra trong thời gian rất ngắn và vận tốc của các vật thay đổi không đáng kể. - Lực va chạm là xung lực, lực này rất lớn nên làm thay đổi đột ngột động lượng của mỗi vật. - Có thể coi hệ hai vật va chạm là hệ kín trong thời gian va chạm. Do đó có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm. 2. Phân loại - Về năng lượng: Có ba loại: + Va chạm hoàn toàn đàn hồi: động năng của hệ được bảo toàn. + Va chạm hoàn toàn không đàn hồi (va chạm mềm): sau va chạm các vật “dính” vào nhau và chuyển động cùng vận tốc. + Va chạm đàn hồi một phần: động năng của hệ không được bảo toàn. - Về hình học: Có hai loại: + Va chạm xuyên tâm (trực diện): vectơ vận tốc của các vật trước và sau va chạm luôn cùng phương. + Va chạm không xuyên tâm (xiên): vectơ vận tốc của các vật trước và sau va chạm luôn khác phương. II - CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP 1. Va chạm xuyên tâm - Va chạm xuyên tâm đàn hồi: Trường hợp này động lượng và động năng của hệ được bảo toàn:       ' ' + Bảo toàn động lượng: pt ps m1v1 m2 v2  m1v1 m2 v2  4.1 + Bảo toàn động năng: 1 1 1 1 W W m v2 m v2 m v'2 m v'2 + (4.2) đ (t) đ s 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 * Với hệ hai vật m1,m2 :     m v m v m v' m v' 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 m v2 m v2 m v'2 m v'2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 m v m v m v' m v' 1 1 2 2 1 1 2 2 4.3 1 2 1 2 1 '2 1 '2 m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 2 2 2 2
2. ' m1 m2 v1 2m2v2 ' m2 m1 v2 2m1v1 Từ (4.3): v1 và v2 . m1 m2 m1 m2 - Va chạm mềm (hoàn toàn không đàn hồi): Trường hợp này động lượng của hệ được bảo toàn nhưng động năng của hệ không được bảo toàn: + Bảo toàn động lượng:       ' ' pt ps m1v1 m2 v2  m1v1 m2 v2  (4.4) + Động năng chuyển hóa thành nội năng:Wđ t Wđ (s) Q (4.5) (Q thường là nhiệt năng làm nóng vật hoặc tỏa ra môi trường xung quanh). * Với hệ hai vật m1,m2 :   m v m v m m v 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1 m2v2 m1 m2 v Q 2 2 2 m1v1 m2v2 m1 m2 v (4.6) 1 2 1 2 1 2 m1v1 m2v2 m1 m2 v Q 2 2 2 m1v1 m2v2 1 m1m2 2 Từ (4.6): v ;Q v1 v2 . m1 m2 2 m1 m2 2. Va chạm không xuyên tâm Giả sử vật 1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm xiên vào vật 2 đang đứng yên v2 0 . Sau va chạm, hai vật có vận tốc là v1 ,v2 và hợp với phương vận tốc ban đầu của vật 1 là 1,2 . Ta có:       ' ' - Bảo toàn động lượng: pt ps m1v1 m2 v2 m1v1 m2 v2. ' ' m1v1 m1v1 cos1 m2v2 cos2 (4.7) ' ' 0 m1v1 sin1 m2v2 sin2 - Trường hợp va chạm là đàn hồi, động năng bảo toàn: Wd t Wd s . 1 1 1 m v2 m v'2 m v' 2 4.8 2 1 1 2 1 1 2 2 2 B - NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP.  VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG. - Từ đặc điểm của sự va chạm, ta thấy: hệ hai vật va chạm có thể coi là hệ kín trong thời gian va chạm.   Do đó luôn có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm: pt ps
3. - Đối với các va chạm đàn hồi (xuyên tâm và không xuyên tâm), động năng luôn được bảo toàn: Wđ (t) Wđ (s). - Đối với các va chạm không đàn hồi (xuyên tâm và không xuyên tâm), động năng không được bảo toàn, một phần động năng thường được biến thành nhiệt: Wđ (t) Wđ (s) Q hay Wđ (t) Wđ (s) Q  VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  Với dạng bài tập về va chạm xuyên tâm, đàn hồi. Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn hồi): m m v 2m v ' ' v' 1 2 1 2 2 m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 1 m1 m2 1 1 1 1 m v2 m v2 m v'2 m v' 2 m m v 2m v 1 1 2 2 1 1 2 2 v' 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 m1 m2 - Một số chú ý: Vận tốc của hai vật có giá trị đại số: theo chiều dương nếu vectơ vận tốc cùng chiều với chiều dương thì v 0 ; nếu vectơ vận tốc ngược chiều với chiều dương thì v 0 .  Với dạng bài tập về va chạm xuyên tâm, không đàn hồi. Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và độ giảm động năng (không đàn hồi): m v m v m v' m v' 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 '2 1 ' 2 m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 Q 2 2 2 2 ' ' - Với va chạm mềm (hoàn toàn không đàn hồi): v1 v2 v , do đó: m v m v v 1 1 2 2 m1v1 m2v2 m1 m2 v m1 m2 1 2 1 2 1 2 m v m v m m v Q 1 m m 2 1 1 2 2 1 2 Q 1 2 v v 2 2 2 1 2 2 m1 m2 - Một số chú ý: va chạm mềm giữa vật 1 có vận tốc v1 với vật 2 đang đứng yên v2 0 trong thực tế: búa – cọc; búa – đe, ta được: + Vận tốc hệ sau va chạm và nhiệt lượng toả ra: m1v1 1 m1m2 2 v ;Q v1 . m1 m2 2 m1 m2 + Nếu m1 m2 (búa – cọc):
4. 2 v1 m2v1 . 1 2 1 2 v v1;Q m2v1 m1v1 Wd t : nhiệt lượng toả ra rất ít. m2 m 2 2 1 2 1 2 m 1 m1 + Nếu m1 m2 (búa – đe): 2 v1 m1v1 . 1 2 v 0;Q m1v1 Wd t : nhiệt lượng toả ra rất lớn. m2 m 2 1 2 1 1 m 1 m2  Với dạng bài tập về va chạm đàn hồi của quả cầu với mặt phẳng cố định. Phương pháp giải là: - Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn hồi), với m2 ;v2 0 ta được: + Với va chạm xuyên tâm: m v m v' m v' 1 1 1 1 2 2 1 2 1 '2 1 '2 m1v1 m1v1 m2v2 2 2 2 m1 1 ' m1 m2 m2 ' v v v v m v v m v 1 1 1 1 1 1 1 2 2 m m m1 1 2 1 ' ' '2 m m v v v v m v 2 1 1 1 1 1 2 2 ' 2m1 v2 v1 0 m1 m2 + Với va chạm xiên: ' ' 2 2 ' '2 '2 ' v1t v1t ;v1n v1n ;v1 v1t v1n ;v1 v1t v1n ;v1 v1 . ( vt là thành phần tiếp tuyến, vn là thành phần pháp tuyến). - Một số chú ý: Với va chạm xiên, để xác định các thành phần vận tốc ta chiếu hệ thức định luật bảo toàn động lượng dạng vectơ lên hai phương tiếp tuyến và pháp tuyến. Kết hợp với hệ thức bảo toàn động năng ta xác định được các đại lượng cần tìm. C - CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG. 4.1. Quả cầu I chuyển động trên mặt phẳng ngang trơn, với vận tốc không đổi đến đập vào quả cầu II đang đứng yên. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Sau va chạm vận tốc hai quả cầu ngược nhau, cùng độ lớn. Tính tỉ số các khối lượng của hai quả cầu. Bài giải Gọi m1 và m2 lần lượt là khối lượng quả cầu I và II; v0 là vận tốc của quả cầu 1 trước va chạm; v1 và v2 lần lượt là vận tốc của quả cầu I và II sau va chạm.
5.  - Hai quả cầu đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn nên không có lực ma sát, mặt khác trọng lực P và phản  lực Q cân bằng nhau nên hệ hai quả cầu là hệ kín khi va chạm. - Theo định luật bảo toàn động lượng (theo phương ngang), ta có: m1v0 m1v1 m2v2 (1) - Sau va chạm vận tốc hai quả cầu ngược chiều nhau, cùng độ lớn nên: v2 v1 (2) - Thay (2) vào (1) ta được: m1v0 m1v1 m2v1 m1 m2 v1 m1v0 v1 (3) m1 m2 - Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên động năng bảo toàn: v2 v2 v2 m 0 m 1 m 2 (4) 1 2 1 2 2 2 v2 v2 v2 v2 - Thay (2) vào (4) ta được: m 0 m 1 m 1 m m 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 m1v0 v1 (5) m1 m2 2 2 m1v0 m1v0 m1 1 - Từ (3) và (5) suy ra: 2 m m m m m m 1 2 1 2 m1 m2 1 2 m2 m2 3m1 0 m1 1 Vì m2 0 m2 3m1 0 m2 3 m 1 Vậy: Ti số các khối lương của hai quả cầu là 1 m2 3 4.2. Quả cầu khối lượng M 1kg treo ở đầu một dây mảnh nhẹ chiều dài  1,5m . Một quả cầu m 20g bay ngang đến đập vào M với v 50 (m/s). Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm. Tính góc lệch cực đại của dây treo M. Bài giải Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của quả cầu m và M ngay sau va chạm. - Chọn chiều dương theo chiều của vận tốc v . Theo phương ngang, động lượng được bảo toàn nên: mv mv1 Mv2 (1) - Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn:
6. v2 v2 v2 m m 1 M 2 (2) 2 2 2 M - Từ (1) suy ra: v v v (3) 1 m 2 M - Từ (2) suy ra: v2 v2 v2 (4) 1 m 2 - Chia theo vế (4) cho (3) ta được: v v1 v2 - Giải hệ (3) và (5) ta được: m M v 2mv v ;v (6) 1 m M 2 m M - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật M tại vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng A): v2 M 2 Mgh Mg 1 cos 2 2 2 v2 1 2mv cos 1 1 . (7) 2g 2g m M 2 1 2.0,02.50 0 cos 1 . 0,87 29,5 . 2.10.1,5 0,02 1 Vậy: Góc lệch cực đại của dây treo là 29,50. 4.3. Hai quả cầu m1 200g,m2 100g treo cạnh nhau bởi hai dây song song bằng nhau như hình vẽ. Nâng quả cầu I lên độ cao h 4,5cm rồi buông tay. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng lên độ cao bao nhiêu, nếu va chạm là hoàn toàn đàn hồi? Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m1 tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng); 1 m gh m v2 v2 2gh (1) 1 2 1 0 0 Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vận tốc của vật m1 và vật m2 ngay sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ trước và sau va chạm, với chiều dương theo chiều của v0 : m1v0 m1v1 m2v2 (2) Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn:
7. v2 v2 v2 m 0 m 1 m 2 (3) 1 2 1 2 2 2 Giải hệ (2) và (3) ta được: m1 m2 v0 v1 (4) m1 m2 2m1v0 và v2 (5) m1 m2 - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: 1 v2 * Vật m : m gh m v2 h 1 (6) 1 1 1 2 1 1 1 2g Thay (4) vào (6) và chú ý đến (1) ta được: 2 2 2 2 m1 m2 v0 m1 m2 0,2 0,1 h1 2 2 .h h1 2 .4,5 0,5cm . m1 m2 .2g m1 m2 0,2 0,1 1 v2 * Vật m : m gh m v2 h 2 (7) 2 2 2 2 2 2 2 2g Thay (5) vào (7) và chú ý đến (1) ta được: 2 2 2 2 4m1v0 4m1 v0 4.0,2 h2 2 2 .h h2 2 .4,5 8cm . m1 m2 .2g m1 m2 0,2 0,1 Vậy: Sau va chạm hai vật lên được độ cao cực đại lần lượt là h1 0,5cm và h2 8cm . 4.4. Hai quả cầu giống nhau treo cạnh nhau bởi hai dây song song bằng nhau. Kéo lệch hai quả cầu khỏi phương thẳng đứng về hai phía với cùng góc rồi thả cùng lúc. Coi va chạm giữa hai quả cầu là hoàn toàn đàn hồi. Tính lực tác dụng lên giá treo: a) Tại lúc bắt đầu thả các quả cầu. b) Tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa các quả cầu. c) Tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất. Bài giải a) Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc bắt đầu thả các quả cầu làT1 ; vận tốc của mỗi quả cầu là v1 0 . - Theo định luật II Niu-tơn, ta có:
8.   T 1 P ma (1) - Chiếu (1) xuống phương dây treo với chiều dương hướng về điểm treo O, ta được: v2 T mg cos ma m 1 0 1 ht  T1 mg cos - Hai dây hợp với nhau góc 2 (hình vẽ) nên hợp lực do hai dây tác dụng lên giá treo là: 2 F1 2T1 cos 2mg cos 2 Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu là F1 2mg cos . b) Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa các quả cầu * Tại thời điểm đầu của quá trình va chạm (ngay trước va chạm): Tại thời điểm đầu của quá trình va chạm, 2 quả cầu ở vị trí cân bằng. Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này làT2 , vận tốc của mỗi quả cầu là v2 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi quả cầu (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng): 1 mg 1 cos mv2 v2 2g 1 cos (2) 2 2 2 Phương trình định luật II Niu-tơn (tương tự câu a): v2 v2 T mg m 2 T mg m 2 (3) 2  2  - Thay (2) vào (3) ta được: T2 mg 2gm 1 cos mg 3 2cos - Hợp lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F2 2T2 2mg 3 2cos (4) * Tại thời điểm cuối của quá trình va chạm (ngay sau va chạm): - Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này làT3 , vận tốc của mỗi quả cầu là v3 . - Do va chạm là đàn hồi xuyên tâm và hai quả cầu giống nhau nên sau va chạm, hai quả cầu đổi vận tốc cho nhau. Có nghĩa là hai quả cầu đổi chiều chuyển động nhưng độ lớn vận tốc không đổi so với ngay trước va chạm. - Lực căng của mỗi dây treo là: T3 T2 - Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F3 2T3 2mg 3 2cos F2 (5) Vậy: Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trinh va chạm giữa các quả cầu là F2 F3 2mg 3 2cos . c) Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất
9. - Các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất khi chúng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc v4 0. Gọi lực căng mỗi dây lúc này là T4 . - Tương tự, ta có phương trình định luật II Niu-tơn: T4 mg 0 T4 mg - Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): F4 2T4 2mg Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất là F4 2mg . 4.5. Hai quả cầu khối lượng m và km treo cạnh nhau trên hai dây song song chiều dài 1 và  2 . Kéo dây treo m lệch góc rồi buông tay. Tìm góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I. Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi và bỏ qua ma sát. Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng): 1 mg 1 cos mv2 v2 2g 1 cos (1) 1 2 0 0 1 Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vật m và vật km ngay sau va chạm. Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm, nên ta có: m km v 1 k v v 0 0 (3) 1 m km 1 k 2mv 2v v 0 0 (4) 1 m km 1 k - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật: 1 * Vật m: mv2 mg 1 cos 2 1 1 1 2 2 v1 1 1 k v0 cos 1 1 1 . (5) 2g1 2g1 1 k 2 1 1 k - Thay (1) vào (5) ta được: cos 1 1 . .2g1 1 cos 2g1 1 k 2 1 k cos 1 1 . 1 cos 1 k 2 1 k 1 arccos 1 . 1 cos 1 k
10. 1 * Vật M km : mv2 kmg 1 cos 2 2 2 2 2 2 v2 1 2v0 cos 2 1 1 . (6) 2g 2 2g 2 1 k - Thay (1) vào (6) ta được: 2 1 2 cos 2 1 . .2g1 1 cos 2g 2 1 k 41 cos 2 1 2 . 1 cos  2 1 k 41 2 arccos 1 2 . 1 cos .  2 1 k Vậy: Góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I là: 2 1 k 1 arccos 1 . 1 cos 1 k 41 và 2 arccos 1 2 . 1 cos  2 1 k 4.6. Vật khối lượng m1 được thả không vận tốc đầu và trượt xuống một vòng xiếc bán kính R. Tại điểm thấp nhất nó va chạm đàn hồi với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm, m2 trượt theo vòng xiếc đến độ cao h thì rời khỏi vòng xiếc h R . Vật m1 giật lùi lên máng nghiêng rồi lại trượt xuống lên đến độ cao h của vòng xiếc thì cũng rời vòng xiếc. Tính độ cao ban đầu H của m1 và tính tỉ số các khối lượng. Bỏ qua ma sát. Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm (tại vị trí thấp nhất B). - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m1 tại 2 vị trí A và B: 1 m gH m v2 v 2gH (1) 1 2 1 0 0 Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của hai vật m1 và m2 ngay sau va chạm. - Vì va chạm đàn hồi xuyên tâm nên ta có:
11. m1 m2 v0 v1 (2) m1 m2 2m1v0 v2 (3) m1 m2 * Xét m2 sau va chạm: Giả sử vật m2 rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc của m2 tại C là v2 .   - Các lực tác dụng vào m2 tại C: trọng lực P2 và phản lực Q2 của vòng xiếc, với Q2 0 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m2 cho 2 vị trí B và C: 1 1 m v2 m v'2 m gh 2 2 2 2 2 2 2 2 '2 v2 v2 2gh (4) - Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m2 tại C với Q2 0 ta được: v'2 m g cos m 2 v'2 gR cos g(h R) (5) 2 2 R 2 ' * Xét m1 sau va chạm: Theo đề bài, vật m1 cũng rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc của m1 tại C là v1 .   - Các lực tác dụng vào m1 tại C: trọng lực P1 và phản lực Q1 của vòng xiếc, với Q1 0 . - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m1 cho 2 vị trí B và C: 1 1 m v2 m v'2 m gh v2 v'2 2gh (6) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 - Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m1 tại C với Q1 0 ta được: v' 2 m g cos m 1 1 2 R ' 2 v1 gRcos g(h R) (7) '2 '2 - Từ (5) và (7) suy ra: v1 v2 8 2 2 - Thay (8) vào (4) và (6): v1 v2 (9) 2 2 m1 m2 v0 2m1v0 - Thay (2) và (3) vào (9) ta được: m1 m2 m1 m2 2 2 m1 m2 4m1 m1 m2 2m1 m2 3m1 (loại nghiệm m2 m1 ). m 2 3 (10) m1
12. 2 2 - Thay (5) vào (4) ta được: v2 2gh g h R v2 3gh gR (11) v 2gH - Thay (10) vào (3) và chú ý đến (1) ta được: v 0 2 2 2 gH v2 (12) 2 2 gH - Từ (11) và (12) suy ra: 3gh gR 2 H 2 3h R (13) m2 Vậy: độ cao ban đầu H của m1 và tính tỉ số các khối lượng là H 2 3h R và 3. m1 4.7. Ba vật khối lượng m1,m2 ,m3 có thể trượt không ma sát theo một trục nằm ngang (hình vẽ) và m1,m3 m2 . Ban đầu m1,m3 đứng yên còn m2 có vận tốc v. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Tìm vận tốc cực đại của m1,m3 sau đó. Bài giải Giả sử m2 va chạm vào m3 trước (hình vẽ). Va chạm giữa m2 với m1 và m3 xảy ra liên tiếp nhiều lần làm cho vận tốc của m1 và m3 tăng dần ( m1 dịch chuyển sang trái và m3 dịch chuyển sang phải), ngược lại vận tốc của m2 giảm dần. - Quá trình va chạm sẽ kết thúc khi vận tốc cuối cùng v2 của m2 bắt đầu nhỏ hơn vận tốc của m1 hoặc m3 . Khi đó vận tốc của m1 và m3 đạt cực đại. Gọi các vận tốc cực đại này là v1 và v3 . - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (chiều dương theo chiều của v ): m2v m1v1 m3v3 m2v2 (1) - Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên cơ năng bảo toàn: 1 1 1 1 m v2 m v2 m v2 m v'2 (2) 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2
13. 1 -Vì m ,m m và v' v ;v nên động lượng cuối cùng m v' của m và động năng cuối cùng m v'2 1 3 2 2 1 3 2 2 2 2 2 2 của m2 là rất nhỏ, có thể bỏ qua so với động năng ban đầu của m2 , động lượng và động năng cuối cùng của m1 và m3 . Suy ra: 1 m v'2 0; m v'2 0 (3) 2 2 2 2 2 m2 m1 v v1 v3 m3 m3 - Thay (3) vào (1) và (2) ta được: m m 2 v2 1 v2 v2 1 3 m3 m3 m m - Đặt a 1 ;b 2 1 (4) m3 m3 bv av1 v3 5 2 2 2 bv av1 v3 6 - Từ (5) suy ra: v3 bv av1 (7) 2 2 2 - Thay (7) vào (6) ta được: bv av1 bv av1 2 2 2 2 a a 1 v1 2abvv1 bv b v 0 m Vì b 2 1nên b2 0 b2v2 0 m3 2 2 a a 1 v1 2abvv1 bv 0 (8) - Giải phương trình bậc hai (8) đối với v1 , ta được: ' abv 2 ab a 1 v2 ab a 1 v2 ; vì abv 2 0 abv v ab a 1 bv v ab a 1 v 1 a a 1 a 1 a a 1 m bv Vì b 2 1 nên 0 m3 a 1 v ab a 1 ab a 1 b v1 v v (9) a a 1 a2 a 1 2 a a 1 (Loại nghiệm v2 0 ) m2m3 - Thay (4) vào (9) ta được: v1 v 2 (10) m1m3 m1
14. m1m2 - Thay (4) và (10) vào (7) ta được: v3 v 2 . m1m3 m3 m2m3 m1m2 Vậy: Vận tốc cực đại của m1,m3 sau đó là v1 v 2 và v3 v 2 . m1m3 m1 m1m3 m3 * Chú ý: Nếu m2 va chạm vào m1 trước thì ta vẫn có kết quả như trên. 4.8. Ba quả cầu khối lượng m1,m2 ,m3 đặt thẳng hàng trên sàn trơn. Quả cầu I chuyển động đến quả cầu II với vận tốc nào đó còn quả cầu II và III đang đứng yên (hình vẽ). Tính m2 theo m1 , m3 để sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi), quả cầu III có vận tốc lớn nhất. Bài giải. Gọi v0 là vận tốc ban đầu của vật I; v2 là vận tốc của vật II sau khi vật I va chạm với vật II; v3 là vận tốc của vật III sau khi vật II va chạm với vật III (hình vẽ). - Tương tự bài trên, ta có: 2m1v0 v2 (1) m1 m2 2m2v2 v3 (2) m2 m3 2m2 2m1v0 4m1m2v0 - Thay (1) vào (2) ta được: v3 . m2 m3 m1 m2 m1 m2 . m2 m3 4m m v 4v 4v v 1 2 0 0 0 (3) 3 m m m2 m m m m m m m 1 a 1 2 2 1 3 2 3 1 2 3 3 m1 m2 m1 Suy ra: v3 v3max khi a amin . m2 m3 m3 - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a amin khi m1 m2 m1 m m 2 3 m m 1 2 m m 2 3 6 m1 m1 m m 3 3 m2 m1 - Từ (4) suy ra: m2 m1m3 (7)
15. - Từ (5) suy ra: m2 m3 (8) - Từ (6) suy ra: m1 m2 (9) - Từ (8) và (9) ta có: m1 m2 m3 . Đây là trường hợp đặc biệt của (7). Vậy: Điều kiện tổng quát để quả cầu III có vận tốc lớn nhất là: m2 m1m3 . 4.9. Cho hệ như hình vẽ. Hai vật cùng khối lượng m đặt trên sàn nhẵn nằm ngang và nối với nhau bằng lò xo độ cứng k. Vật thứ ba cùng khối lượng m đến đập vào một trong hai vật với vận tốc v dọc theo phương song song với trục lò xo. Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi. a) Chứng minh rằng hai vật nối bằng lò xo luôn chuyển động cùng hướng. b) Tính vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa. Bài giải a) Chứng tỏ hai vật nối bằng lò xo luôn chuyển động cùng hướng. Gọi v1 và v3 lần lượt là vận tốc của vật 1 và vật 3 ngay sau va chạm. Chọn chiều dương hướng sang phải theo chiều của v (hình vẽ). Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ hai quả cầu 1 và 3, ta có: mv mv3 mv1 v v3 v1 m 2 m 2 m 2 2 2 2 v v3 v1 v v3 v1 2 2 2 v v3 v1 v1 v 2 2 2 v v3 v1 v3 0 - Ngay sau va chạm, vật 3 đứng yên và vật 1 chuyển động sang phải với vận tốc bằng v. Lúc này lò xo chưa kịp biến dạng. Gọi u1 và u2 là vận tốc của vật 1 và vật 2 tại thời điểm bất kì sau va chạm của vật 3 vào vật 1, và x là độ biến dạng của lò xo khi đó. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng cho hệ hai vật 1, 2 và lò xo ta được: mv mu mu v u u (1) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 mv2 mu2 mu2 kx2 v2 u2 u2 kx2 (2) 2 2 1 2 2 2 1 2 m v2 u2 u2 2u u 1 2 1 2 kx2 1 u1u2 (3) 2 2 2 2 2m v u1 u2 kx m
16. kx2 - Vì 0 nên u và u luôn cùng dấu, nghĩa là sau va chạm hai vật 1 và 2 luôn chuyển động cùng 2m 1 2 hướng, tức là về cùng một phía. b) Vận tốc của mỗi vật khi lò xo dãn tối đa kx2 Vì u u v không đổi nên theo bất đẳng thức Cô-si thì u u đạt cực đại khi: 1 2 1 2 2m v u u (4) 1 2 2 v2 kx2 m - Khi đó (3) trở thành: max x v . 4 2m max 2k v Vậy: Vận tốc mỗi vật khi lò xo dãn tối đa là u u . 1 2 2 * Chú ý: Có thể giải câu b theo cách khác như sau: Gọi G là khối tâm của hệ hai vật 1 và 2; vG là vận tốc của khối tâm G. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm vật 1 và vật 2 sau khi vật 3 va chạm vào vật 2, ta có: mv v m v m v hay mv 2mv v 1 1 G G G G 2m 2 v Như vậy, khối tâm G chuyển động sang phải với vận tốc v . G 2 - Khi lò xo dãn tối đa thì hai vật đứng yên trong hệ quy chiếu khối tâm, tức là đứng yên so với khối tâm G. Suy ra vận tốc của hai vật (đối với mặt đất) bằng nhau và bằng vận tốc của khối tâm. Ta có: v u u (4’) 1 2 2 m - Thay (4’ ) vào (3) ta cũng được: x v . max 2k 4.10. Một viên đạn khối lượng m1 1kg bay với vận tốc v1 100 m / s đến cắm vào một toa xe chở cát có khối lượng m2 1000kg đang chuyển động với vận tốc v2 10 m / s Tính nhiệt lượng toả ra trong hai trường hợp: a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều. b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều. Bài giải Gọi v là vận tốc của hệ (đạn + xe cát) sau va chạm.
17. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ (các vectơ   vận tốc v1 của đạn và v2 của xe trước va chạm cùng phương): m1v1 m2v2 m1 m2 v m v m v v 1 1 2 2 (1) m1 m2 - Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình va chạm: 1 1 1 Q W W m v2 m v2 m m v2 (2) 0d d 2 1 1 2 2 2 2 1 2 - Thay (1) vào (2) ta được: 2 1 2 1 2 1 m1v1 m2v2 Q m1v1 m2v2 m1 m2 . 2 2 2 m1 m2 2 1 2 1 2 1 m1v1 m2v2 Q m1v1 m2v2 (3) 2 2 2 m1 m2 a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều: Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ). Ta có: v1 100 m / s ; v2 10 m / s Thay số vào (3) ta được: 2 1 1 1 1.100 1000.10 Q .1.1002 .1000.102 . =4046J 2 2 2 1 1000 Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm làQ 4046J. b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều: Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ). Ta có: v1 100 m / s ; v2 10 m / s Thay số vào (3) ta được: 2 1 1 2 1 1.100 1000. 10 Q .1.1002 .1000. 10 . =6044J 2 2 2 1 1000 Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm làQ 6044J . 4.11. Búa máy khối lượng m1 1000kg rơi từ độ cao h 3,2m vào một cái cọc khối lượng m2 , va chạm là mềm. Tính: a) Vận tốc của búa và cọc sau va chạm. b) Tỉ số (phần trăm) giữa nhiệt tỏa ra và động năng của búa trước va chạm.
18. Xét hai trường hợp: a) m2 100kg . b) m2 5000kg . Bài giải Gọi v1 là vận tốc của búa ngay trước khi va chạm vào cọc. - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho búa tại 2 điểm A và B (gốc thế năng trọng lực tại mặt mặt đất (hình vẽ)). 1 m gh m v2 v 2gh (1) 1 2 1 1 1  (Vectơ v1 hướng thẳng đứng xuống dưới). - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (phương thẳng đứng cho va chạm mềm): m1v1 m1 2gh m1v1 m1 m2 v v (2) m1 m2 m1 m2 - Động năng của hệ ngay trước va chạm (bằng động năng của búa ngay trước va chạm): 1 W m v2 0d 2 1 1 - Động năng của hệ ngay sau va chạm: 2 2 2 2 1 m1v1 1 m1 v1 Wđ m1 m2 v m1 m2 . . 2 m1 m2 2 m1 m2 2 2 1 2 1 m1 v1 - Nhiệt tỏa ra khi va chạm: Q W0đ –Wđ Wđ m1v1 . 2 2 m1 m2 m2 1 2 m2 Q . m1v1 .W0đ m1 m2 2 m1 m2 - Tỉ số (phần trăm) giữa nhiệt lượng tỏa ra và động năng của búa trước va chạm: Q m 2 (3) W0đ m1 m2 a) Với m1 1000kg;m2 100kg . Thay số vào (2) và (3) ta được: 1000 2.10.3,2 Q 100 v 7,3 m / s và 0,09 9% . 1000 100 W0đ 1000 100
19. b) Với m1 1000kg;m2 5000kg . Thay số vào (2) và (3) ta được: 1000 2.10.3,2 Q 5000 v 1,3 m / s và 0,83 83% 1000 5000 W0đ 1000 5000 * Nhận xét: Phần động năng của búa biến thành nhiệt ở trường hợp a nhỏ hơn nhiều so với trường hợp b, tức là hiệu suất đóng cọc ở trường hợp a cao hon nhiều so với trường hợp b. 4.12. Hai quả cầu nhỏ giống nhau được nối với nhau bằng một dây ngắn thẳng đứng. Quả cầu ở trên được truyền vận tốc v hướng lên. Hệ sẽ đạt độ cao cực đại bao nhiêu? Biết tương tác của hai quả cầu khi dây bị căng ra giống như một va chạm mềm. Bài giải Gọi vG là vận tốc của khối tâm G của hệ hai vật vật khi bắt đầu đi lên. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ hai quả cầu (coi như va chạm mềm): v mv 2mv v (1) G G 2 - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ hai vật với gốc thế năng trọng lực tại mặt đất (hình vẽ). v2 1 2m G 2mgh h v2 (2) 2 2g G 1 v2 v2 - Thay (1) vào (2) ta được: h . = 2g 4 8g v2 Vậy: Hệ đạt độ cao cực đại là h 8g * Chú ý: Có thể tính h theo công thức của chuyển động chậm dần đều đi lên thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc đầu là vG và gia tốc a g như sau: v2 v2 1 v2 h G = G v2 . 2a 2 g 2g G 8g 4.13. Khối gỗ M 4kg nằm trên mặt phẳng ngang trơn, nối với tường bằng lò xo k 1 N / cm . Viên đạn m 10g bay theo phương ngang với vận tốc v0 song song với lò xo đến đập vào khối gỗ và dính vào trong gỗ (hình vẽ). Tìm v0 biết sau va chạm, lò xo bị nén một đoạn tối đa là  30cm . Bài giải
20. Gọi v là vận tốc của hệ m M ngay sau va chạm. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ “đạn + gỗ” khi va chạm mềm: mv mv m M v v 0 1 0 m M - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ sau va chạm: 1 1 k 2 m M v2 (2) 2 2 2 2 2 1 2 1 mv0 1 m v0 - Thay (1) vào (2) ta được: k  m M . 2 2 m M 2 m M  0,3 v k m M 100 0,01 4 600 m / s 0 m 0,01 Vậy: Vận tốc ban đầu của đạn là v0 600 m / s . 4.14. Đĩa cân của một cân lò xo có khối lượng m1 120g , lò xo có độ cứng k 20 N / m . Vật khối lượng m 60g rơi xuống đĩa từ độ cao h 8cm (so với đĩa) không vận tốc đầu. Coi va chạm là hoàn toàn không đàn hồi. Hỏi vật dời xa nhất đến đâu so với vị trí ban đầu? Bỏ qua sức cản của không khí. Bài giải Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước khi va chạm với đĩa m1 . Ta có: v0 2gh 1 Gọi v là vận tốc của hệ (m + m1 ) ngay sau va chạm. Theo định luật bảo toàn động lượng theo phương thẳng đứng khi va chạm mềm, ta có: mv0 mv0 (m m1)v v (2) m m1 Gọi O là vị trí cân bằng của hệ (m + m1 ) , khi đó lò xo bị nén thêm đoạn x0 do có thêm vật m. Ta có: mg 0,06.10 mg kx x 0,03m 3cm 0 0 k 20 Gọi M là vị trí của đĩa cân m1 khi va chạm và N là vị trí thấp nhất của đĩa cân m1 (khi lò xo bị nén tối đa). Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ. - Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng O của hệ m1 m lò xo)): WM WN 1 1 1 kx2 m m v2 kx2 2 M 2 1 M 2 N 2 2 2 kxM m m1 vM kxN (3)
21. mv0 với: xM OM x0 ;vM v ; xN ON . m m1 2 2 mv0 2 - Thay vào (3), ta được: kx0 m m1 . kxN m m1 2 2 2 m v0 2 kx0 kxN m m1 2 2 2 m v0 xN x0 (4) k m m1 - Thay (1) vào (4): 2 2 2 2ghm 2 2.10.0,08.0,06 xN x0 = 0,03 0,05m 5cm. k m m1 20 0,06 0,12 - Khoảng cách xa nhất của vật so với vị trí ban đầu: hmax h x0 xN 8 3 5 16cm Vậy: Khoảng cách xa nhất của vật so với vị trí ban đầu là 16cm. 4.15. Vật nặng của búa máy có trọng lượng P1 900N được dùng để đóng một chiếc cọc P2 300N vào đất. Mỗi lần đóng cọc lún sâu h 5cm . a) Búa rơi từ độ cao H 2m xuống đầu cọc và lực cản của không khí vào búa khi rơi F 0,1P1 . Coi va chạm là tuyệt đối không đàn hồi. Tìm lực cản của đất. b) Tính phần trăm năng lượng của búa bị tiêu hao để làm nóng và biến dạng trong va chạm giữa búa, cọc. c) Tính phần năng lượng của búa bị tiêu hao để thắng lực cản của đất. Bài giải a) Lực cản của đất: P P Ta có: m 1 90kg;m 2 30kg . 1 g 2 g F 0,1P1 0,1.900 90N . Gọi v1 là vận tốc của búa ngay trước va chạm. - Áp dụng định lý động năng cho chuyển động của búa: A A W P1 F 1d 1 m gH F.H m v2 0 1 2 1 1 F 90 v1 2H g 2.2 10 6 m / s m1 90
22. Gọi v là vận tốc của hệ búa và cọc ngay sau va chạm. - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho va chạm mềm: m1v1 m1 m2 v m v 90.6 v 1 1 4,5 m / s m1 m2 90 30 Gọi Fd là lực cản của đất. Áp dụng định lý động năng cho hệ búa và cọc: A A A W P1 P2 F 2d 1 m gH m gH F H 0 m m v2 1 2 d 2 1 2 v2 4,52 Fd m1 m2 . g 90 30 . 10 25500N . 2h 2.0,05 Vậy: lực cản của đất là 25500N. * Chú ý: Có thể tính v1 và Fđ theo định luật bảo toàn năng lượng như sau: Chọn gốc thế năng trọng lực tại mặt đất. - Công của lực cản F của không khí (không phải lực thế) bằng độ biến thiên năng lượng của búa: 1 A W F.H m v2 m gH F 2 1 1 1 F v1 2H g 6 m / s m1 - Công của lực cản Fđ của đất (không phải lực thế) bằng độ biến thiên năng lượng của hệ búa và cọc: 1 A W F .h m m gh m m v2 F đ 1 2 2 1 2 v2 Fđ m1 m2 . g 25500N . 2h b) Phần năng lượng của búa đã tiêu hao để làm nóng và biến dạng trong va chạm giữa búa và cọc - Động năng của hệ ngay trước va chạm (bằng động năng của búa ngay trước va chạm): 1 W m v2 0đ 2 1 1 - Động năng của hệ ngay sau va chạm: 2 2 2 1 2 1 m1v1 1 m1 v1 Wđ m1 m2 v m1 m2 . . 2 2 m1 m2 2 m1 m2 - Phần năng lượng của búa đã tiêu hao để làm nóng và biến dạng trong va chạm giữa búa và cọc: