Đề dự đoán kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 1 - Năm học 2020 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề dự đoán kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 1 - Năm học 2020 (Có lời giải)

1. BỘ ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ DỰ ĐOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho a , b , c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số x x y a , y b , y logc x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. c b a. B. a c b. C. c a b. D. a b c. Câu 2. Số nghiệm thực của phương trình 4x 2x 2 3 0 là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Câu 3. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? x 2 A. y x3 3x2 2. B. y . x 1 C. y x3 3x2 2 . D. y x4 2x3 2 . Câu 4. Hàm số y f x có đạo hàm trên R \ 2;2 , có bảng biến thiên như sau: 1 Gọi k , l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . Tính f x 2018 k l . A. k l 3 . B. k l 4 . C. k l 5 . D. k l 2 . Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M , N , P , SM Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng ABCD . Tính tỉ số để thể SA tích khối đa diện MNPQ.M N P Q đạt giá trị lớn nhất. 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ . Biết rằng đồ thị hàm số y f x như
2. hình 2 dưới đây. Lập hàm số g x f x x2 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g 1 g 1 . B. g 1 g 2 . C. g 1 g 2 . D. g 1 g 1 . Câu 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và AB  BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 7a3 a3 6 a3 6 A. V . B. V a3 6 . C. V . D. V . 8 8 4 Câu 8. Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;3 sao cho M 2m ? A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là: A. 1;2; 3 . B. 3;2; 1 . C. 2; 3; 1 . D. 2; 1; 3 . Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A 3; 4; 2 , B 5; 6; 2 , C 10; 17; 7 . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB . A. x 10 2 y 17 2 z 7 2 8. B. x 10 2 y 17 2 z 7 2 8. C. x 10 2 y 17 2 z 7 2 8. D. x 10 2 y 17 2 z 7 2 8 . Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số y x4 2x2 2 trên 0;3 là A. 61. B. 3 . C. 61. D. 2 . 1 Câu 12. Cho một cấp số cộng u có u , u 26. Tìm công sai d n 1 3 8 3 11 10 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 11 3 3 10 Câu 13. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i 4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I 2; 1 ; R 4 . B. I 2; 1 ; I 2; 1 . C. I 2; 1 ; R 4 . D. I 2; 1 ; R 2 . Câu 14. Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và 1 i z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z 4. B. z 4 2 . C. z 2. D. z 2 2 . Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , AA 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD . a 5 2a 5 A. 2a . B. a 2 . C. . D. . 5 5 Câu 16. Cho f x x3 3x2 6x 1. Phương trình f f x 1 1 f x 2 có số nghiệm thực là
3. A. 4 . B. 6 . C. 7 . D. 9 . Câu 17. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2 . A. V 8 . B. V 12 . C. V 16 . D. V 4 . x x 1 Câu 18. Giá trị của tham số m để phương trình 4 m.2 2m 0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 3 là A. m 2 . B. m 3 . C. m 4 . D. m 1. Câu 19. Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S . Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 341 385 261 899 mx 4 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng x m ;1 ? A. 2 m 2 . B. 2 m 2 . C. 2 m 1. D. 2 m 1. 1 Câu 21. Cho hàm số y ln ex m2 . Với giá trị nào của m thì y 1 . 2 1 A. m e. B. m e. C. m . D. m e. e Câu 22. Kết quả của I xexdx là x2 x2 A. I ex C . B. I ex ex C . 2 2 C. I xex ex C . D. I ex xex C . Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 4 x 2 5 x 3 3 . Số điểm cực trị của hàm số f x là A. 5 . B. 3 . C. 1. D. 2 . z 3 2i 1 Câu 24. Cho hai số phức z , w thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức w 1 2i w 2 i P z w . 3 2 2 3 2 2 5 2 2 A. P . B. P . C. P 2 1. D. P . min 2 min 2 min min 2 1 Câu 25. Tập xác định của hàm số y x 1 5 là: A. 1; . B. ¡ . C. 0; . D. 1; . Câu 26. Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x g x dx f x dx. g x dx . C. 2 f x dx 2 f x dx . D. f x g x dx f x dx g x dx . Câu 27. Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y . A. P 8 . B. P 10 C. P 4 . D. P 6 . Câu 28. Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng ; ? x 2 A. y . B. y x5 x3 10 . C. y x3 1. D. y x 1. x 1
4. Câu 29. Cho hàm số y f x liên tục trên các khoảng ;0 và 0; , có bảng biến thiên như sau Tìm m để phương trình f x m có 4 nghiệm phân biệt. A. 3 m 2 . B. 3 m 3 . C. 4 m 2 . D. 4 m 3 . 2 Câu 30. Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z 16z 17 0. Trên mặt phẳng 3 tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w 1 2i z i ? 1 2 A. M 3;2 . B. M 2;1 . C. M 2;1 . D. M 3; 2 . Câu 31. Cho mặt phẳng P đi qua các điểm A 2; 0; 0 , B 0; 3; 0 , C 0; 0; 3 . Mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A. 3x 2y 2z 6 0 . B. x y z 1 0 . C. x 2y z 3 0. D. 2x 2y z 1 0 . Câu 32. Cho hai số thực x , y thoả mãn phương trình x 2i 3 4yi . Khi đó giá trị của x và y là: 1 1 1 A. x 3, y . B. x 3, y 2 . C. x 3i , y . D. x 3, y . 2 2 2 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 , đường thẳng x 15 y 22 z 37 d : và mặt cầu S : x2 y2 z2 8x 6y 4z 4 0 . Một đường thẳng 1 2 2 thay đổi cắt mặt cầu S tại hai điểm A , B sao cho AB 8 . Gọi A , B là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng P sao cho AA , BB cùng song song với d . Giá trị lớn nhất của biểu thức AA BB là 8 30 3 24 18 3 12 9 3 16 60 3 A. . B. . C. . D. . 9 5 5 9 Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B . Biết SA  ABCD , AB BC a , AD 2a , SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E . a 6 a 3 a 30 A. a . B. . C. . D. . 3 2 6 3 Câu 35. Cho hàm số y f x liên tục, luôn dương trên 0;3 và thỏa mãn I f x dx 4 . Khi đó 0 3 giá trị của tích phân K e1 ln f x 4 dx là: 0 A. 3e 14 . B. 14 3e . C. 4 12e . D. 12 4e . Câu 36. Cho x , y là các số thực thỏa mãn 1 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 y P log y 1 8 log . x y x x A. 30 B. 18. C. 9 . D. 27 .
5. 2 Câu 37. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x2 2x với x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f x2 8x m có 5 điểm cực trị? A. 16 B. 18 C. 15. D. 17 . Câu 38. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là 2 2 2 8 A. A10 . B. C10 . C. 10 . D. A10 . 8 4 8 Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H 2;2;1 , K ; ; , O lần lượt là 3 3 3 hình chiếu vuông góc của A , B , C trên các cạnh BC , AC , AB . Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là 8 2 2 x y z x y 6 z 6 A. d : . B. d : 3 3 3 . 1 2 2 1 2 2 4 17 19 x y z x 4 y 1 z 1 C. d : 9 9 9 . D. d : . 1 2 2 1 2 2 Câu 40. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh AB ,CD đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin . Biết AB 2 m , AD 2 m . Tính diện tích phần còn lại. A. 4 1. B. 4 1 . C. 4 2 . D. 4 3.  Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA 2i 2 j 2k , B 2; 2;0 và C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C . 3 1 3 1 3 1 3 1 A. N ; 0; . B. P ; 0; . C. Q ; 0; . D. M ; 0; . 4 2 4 2 4 2 4 2 Câu 42. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OB OC a 6 , OA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và OBC . A. 45. B. 90 . C. 60 . D. 30 . 3x 4 Câu 43. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y . x 1 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P : 4x z 3 0 . Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d ? A. u 4; 1; 3 . B. u 4; 0; 1 . C. u 4;1; 3 . D. u 4;1; 1 . Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C . Viết phương trình mặt phẳng P sao cho M là trực tâm của tam giác ABC . x y z A. 3 . B. 6x 3y 2z 6 0 . 1 2 3 C. x 2y 3z 14 0 . D. x 2y 3z 11 0 .
6. Câu 46. Các giá trị x thỏa mãn bất phương trình log2 3x 1 3 là : 10 1 A. x . B. x 3 . C. x 3. D. x 3 . 3 3 Câu 47. Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA , OA như hình vẽ bên dưới. Đặt SO h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA. Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất. h h h h A. MN . B. MN . C. MN . D. MN . 3 4 6 2 4 Câu 48. Biết x ln x2 9 dx a ln 5 bln 3 c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T a b c là A. T 9 . B. T 8. C. T 11. D. T 10 . Câu 49. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 27 3 9 3 9 3 27 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Câu 50. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 1. D. m 0 . HẾT
7. MA TRẬN ĐỀ THI Lớp Chương Nhận Biết Thông Hiểu Vận Dụng Vận dụng cao Đại số C28 C29 C4 C6 C16 C20 C23 C27 C40 Chương 1: Hàm Số C3 C11 C43 C8 C37 C50 Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và C25 C1 C2 C18 C46 C36 Hàm Số Lôgarit Chương 3: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng C26 C22 C35 C48 Dụng Lớp 12 Chương 4: Số Phức C13 C32 C14 C30 C24 (92%) Hình học Chương 1: Khối Đa C7 C42 C49 C5 C15 C34 Diện Chương 2: Mặt Nón, C17 C47 Mặt Trụ, Mặt Cầu Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không C9 C10 C44 C31 C41 C39 C45 C33 Gian Đại số Chương 1: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Chương 2: Tổ Hợp - C38 C19 Xác Suất Lớp 11 (8%) Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số C12 Nhân Chương 4: Giới Hạn Chương 5: Đạo Hàm C21 Hình học
8. Chương 1: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng • Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Đại số Chương 1: Mệnh Đề Tập Hợp Chương 2: Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai Chương 3: Phương Trình, Hệ Phương Lớp 10 Trình. (0%) Chương 4: Bất Đẳng Thức. Bất Phương Trình Chương 5: Thống Kê Chương 6: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Hình học Chương 1: Vectơ Chương 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Tổng số câu 11 16 19 4 Điểm 2.2 3.2 3.8 0.8
9. ĐÁP ÁN ĐỀ THI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B A C C C C D A B B B C A D A A C D C A C B D A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C A A A D D B A D D C B D B B D C B C B A B D D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Lời giải x x Vì hàm số y logc x nghịch biến nên 0 c 1, các hàm số y a , y b đồng biến nên a 1;b 1 nên c là số nhỏ nhất trong ba số. Đường thẳng x 1 cắt hai hàm số y a x , y bx tại các điểm có tung độ lần lượt là a và b , dễ thấy a b . Vậy c b a Câu 2. Lời giải x 2 t 1 Đặt t 2 ,t 0 ta được phương trình t 4t 3 0 t 3 x x Với 2 1 x 0 và với 2 3 x log2 3 . Câu 3. Lời giải Dạng đồ thị hình bên là đồ thị hàm đa thức bậc 3 y ax3 bx2 cx d có hệ số a 0 . Do đó, chỉ có đồ thị ở đáp án A. là thỏa mãn. Câu 4. Lời giải 1 Vì phương trình f x 2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y có ba đường f x 2018 tiệm cận đứng. Mặt khác, ta có: 1 1 1 lim y lim nên đường thẳng y là đường tiệm cận ngang của đồ thị x x f x 2018 2019 2019 1 hàm số y . f x 2018
10. 1 Và lim y lim 0 nên đường thẳng y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x x f x 2018 1 y . f x 2018 Vậy k l 5 . . Câu 5. Lời giải SM Đặt k với k 0;1. SA MN SM Xét tam giác SAB có MN // AB nên k MN k.AB AB SA MQ SM Xét tam giác SAD có MQ // AD nên k MQ k.AD AD SA Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có: MM AM SA SM SM MM // SH nên 1 1 k MM 1 k .SH . SH SA SA SA 2 Ta có VMNPQ.M N P Q MN.MQ.MM AB.AD.SH.k . 1 k . 1 2 Mà V SH.AB.AD V 3.V .k . 1 k . S.ABCD 3 MNPQ.M N P Q S.ABCD 2 Thể tích khối chóp không đổi nên VMNPQ.M N P Q đạt giá trị lớn nhất khi k . 1 k lớn nhất. 3 2 2 1 k .k.k 1 2 2k k k 4 Ta có k . k 1 . 2 2 3 27 2 SM 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 1 k k k . Vậy . 3 SA 3 Câu 6. Lời giải Xét hàm số h x f x 2x 1 . Khi đó hàm số h x liên tục trên các đoạn  1;1, 1;2 và có g x là một nguyên hàm của hàm số y h x . y 5 S2 3 S1 -1 O 1 2 x -1
11. x 1 x 1 Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi là y f x y 2x 1 1 1 1 S f x 2x 1 dx f x 2x 1 dx g x g 1 g 1 . 1 1 1 1 Vì S1 0 nên g 1 g 1 . x 1 x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi là y f x y 2x 1 2 2 2 S f x 2x 1 dx 2x 1 f x dx g x g 1 g 2 . 2 1 1 1 Vì S2 0 nên g 1 g 2 . Câu 7. Lời giải Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm B . Khi đó tam giác ACE vuông tại A . AE 4a2 a2 a 3 . Mặt khác, ta có BC B E AB nên tam giác AB E vuông cân tại B . AE a 3 a 6 AB . 2 2 2 2 a 6 a 2 2 Suy ra: AA a . 2 2 a 2 a2 3 a3 6 Vậy V . . 2 4 8 Câu 8. Lời giải Xét hàm số g x x4 4x3 4x2 a . x 0 3 2 3 2 g x 4x 12x 8x ; g x 0 4x 12x 8x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên
12. Do 2m M 0 nên m 0 suy ra g x 0 x 0;2 . a 1 0 a 1 Suy ra . a 0 a 0 Nếu a 1 thì M a , m a 1 2 a 1 a a 2 . Nếu a 0 thì M a 1, m a 2a a 1 a 1. Do đó a 2 hoặc a 1, do a nguyên và thuộc đoạn  3;3 nên a 3; 2;1;2;3 . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. Câu 9. Lời giải Ta có: a i 2 j 3k a 1;2; 3 . Câu 10. Lời giải Ta có AB 2 2 . Phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB : x 10 2 y 17 2 z 7 2 8. Câu 11. Lời giải Ta có: y 4x3 4x . x 0 0;3 3 Cho y 0 4x 4x 0 x 1 0;3 . x 1 0;3 y 0 2; y 1 3; y 3 61. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 . Câu 12. Lời giải 1 11 u u 7d 26 7d d . 8 1 3 3 Câu 13. Lời giải Gọi số phức z x iy x, y ¡ Ta có: z 2 i 4 x 2 y 1 i 4 x 2 2 y 1 2 16 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i 4 là đường tròn có tâm I 2; 1 và có bán kính R 4 . Câu 14. Lời giải Ta có OA z , OB 1 i z 2 z , AB 1 i z z iz z . Suy ra OAB vuông cân tại A (OA AB và OA2 AB2 OB2 ) 1 1 2 Ta có: S OA.AB z 8 z 4 . OAB 2 2
13. Câu 15. Lời giải AC Gọi O, O lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác COO C là hình bình hành và C O a 2 Do BD // B D BD // CB D nên d BD;CD d O; CB D d C ; CB D . B D  A C Ta có : B D  COO C CB D  COO C B D  CC Lại có CB D  COO C CO . Trong CC O hạ C H  CO C H  CB D d BD;CD C H 1 1 1 1 1 5 2 5a Khi đó : C H . C H 2 CC 2 C O 2 2a 2 a2 4a2 5 Câu 16. Lời giải Đặt t f x 1 t x3 3x2 6x 2 . Khi đó f f x 1 1 f x 2 trở thành: t 1 t 1 f t 1 t 1 2 3 2 f t 1 t 2t 1 t 4t 8t 1 0 t 1 t t1 2; 1 t t2 1;1 . t t 1;1 2 t t3 5;6 t t 1;6 3 Vì g t t3 4t 2 8t 1; g 2 7 ; g 1 4 ; g 1 10 ; g 5 14 ; g 6 25 . Xét t x3 3x2 6x 2 Ta có Dựa vào bảng biến thiên, ta có + Với t t2 1;1 , ta có d cắt tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm. + Với t t3 5;6 , ta có d cắt tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm.
14. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 17. Lời giải Thể tích khối trụ V r 2h .22.2 8 . Câu 18. Lời giải Đặt t 2x , t 0 . Phương trình trở thành: t 2 2mt 2m 0 1 . Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 3 khi và chỉ khi phương trình 1 có hai x1 x2 x1 x2 3 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1.t2 2 .2 2 2 8 . m2 2m 0 S 2m 0 Khi đó phương trình 1 có: m 4 . P 2m 0 P 2m 8 Câu 19. Lời giải 4 Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 4 đỉnh trong 32 đỉnh để tạo thành tứ giác,  C32 . Gọi A là biến cố "chọn được hình chữ nhật". Để chọn được hình chữ nhật cần chọn 2 trong 16 đường chéo đi qua tâm của đa giác, do đó số phần tử 2 của A là C16 . 2 C16 3 Xác suất biến cố A là P A 4 . C32 899 Câu 20. Lời giải m2 4 Tập xác định D ¡ \ m . Ta có y . Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 y 0, x m 2 m2 4 0 x ;1 2 m 1. 1 m Câu 21. Lời giải ex e Ta có y y 1 . ex m2 e m2 1 e 1 Khi đó y 1 2e e m2 m e . 2 e m2 2 Câu 22. Lời giải Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có I xexdx x dex xex exdx xex ex C. Cách 2: Ta có I xex ex C ex xex ex xex . Câu 23. Lời giải x 1 Ta có f x 0 x 2 . x 3 Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :
15. Ta có bảng biến thiên của hàm số f x : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số f x là 3 . Câu 24. Lời giải Giả sử z a bi ; w x yi a,b, x, y ¡ . Ta có 2 2 z 3 2i 1 a 3 b 2 1. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I 3;2 , bán kính R 1. w 1 2i w 2 i x 1 2 y 2 2 x 2 2 y 1 2 x y 0 . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng : x y 0 không chứa I 5 Ta có d I, . Gọi H là hình chiếu của I trên . 2 5 2 5 2 Khi đó z w MN d I, R 1. Suy ra P 1. 2 min 2 Câu 25. Lời giải Hàm số xác định khi: x 1 0 x 1. Vậy tập xác định: D 1; . Câu 26. Lời giải Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 27. Lời giải Chọn C 2y3 7y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . 2 y3 3y2 3y 1 y 1 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1 x . 3 2 y 1 3 y 1 2 1 x 1 x 1 .
16. Xét hàm số f t 2t3 t trên 0; . Ta có: f t 6t 2 1 0 với t 0 f t luôn đồng biến trên 0; . Vậy 1 y 1 1 x y 1 1 x . P x 2y x 2 2 1 x với x 1 . Xét hàm số g x 2 x 2 1 x trên ;1 . 1 1 x 1 Ta có: g x 1 . g x 0 x 0 . 1 x 1 x Bảng biến thiên g x : Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g x 4 . ;1 Câu 28. Lời giải x 2 Vì hàm số y có tập xác định D ¡ \ 1 nên hàm số không đồng biến trên ; x 1 Câu 29. Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 3 m 2 . Câu 30. Lời giải 1 z1 2 i 2 2 Ta có: 4z 16z 17 0 . 1 z 2 i 2 2 3 1 3 Khi đó: w 1 2i z1 i 1 2i 2 i i 3 2i tọa độ điểm biểu diễn số phức w là: 2 2 2 M 3;2 . Câu 31. Lời giải x y z Phương trình mặt phẳng P theo đoạn chắn: 1 3x 2y 2z 6 0 . 2 3 3 Dễ thấy mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng có phương trình 2x 2y z 1 0 vì tích vô hướng của hai vec-tơ pháp tuyến bằng 0 . Câu 32. Lời giải x 3 x 3 Từ x 2i 3 4yi 1 . 2 4y y 2
17. 1 Vậy x 3, y . 3 Câu 33. Lời giải Mặt cầu S có tâm I 4;3; 2 và bán kính R 5. Gọi H là trung điểm của AB thì IH  AB và IH 3 nên H thuộc mặt cầu S tâm I bán kính R 3 . Gọi M là trung điểm của A B thì AA BB 2HM , M nằm trên mặt phẳng P . 4 5 Mặt khác ta có d I; P R nên P cắt mặt cầu S và sin d; P sin . Gọi K là 3 3 3 hình chiếu của H lên P thì HK HM.sin . Vậy để AA BB lớn nhất thì HK lớn nhất 4 4 3 3 HK đi qua I nên HKmax R d I; P 3 . 3 3 4 3 3 3 3 24 18 3 Vậy AA BB lớn nhất bằng 2 . . 3 5 5 Câu 34. Lời giải S D A E B C * Do SA  ABCD SA  AC S· AC 90 . * Do BC  SAB BC  SC S· BC 90 . * Do CE//AB CE  SAD CE  SE S· EC 90 .
18. Suy ra các điểm A , B , E cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là mặt cầu đường kính SC . SC Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là: R . 2 Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: AC AB 2 a 2 SC AC 2 2a SC R a . 2 Câu 35. Lời giải Chọn D 3 3 3 3 3 3 Ta có K e1 ln f x 4 dx e1 ln f x dx 4dx e. f x dx 4dx 4e 4x 4e 12 . |0 0 0 0 0 0 Vậy K 4e 12 . Câu 36. Lời giải y 1 y 1 log y 1 log y 1 2log y 1 Ta có log log . x x x . y x 2 y x 2 1 log y 2 2log y 2 x x log y 1 x x 2 x 2 2 2log y 1 Suy ra P 2log y 1 8 x . x 2log x y 2 Đặt t 2log x y , do 1 x y log x 1 log x x log x y t 2 . 2 2 t 1 Ta có hàm số f t t 1 8. với t 2. t 2 2 2 t 1 t 4 t 2t 4 t 1 f t 3 ; f t 0 . t 2 t 4 Lập bảng biến thiên trên 2; ta được 2 2 y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log y 1 8 log là 27 đạt được khi x y x x 2 4 t 4 2log x y 4 y x y x . Câu 37. Lời giải Đặt g x f x2 8x m 2 2 f x x 1 x2 2x g x 2x 8 x2 8x m 1 x2 8x m x2 8x m 2
19. x 4 2 x 8x m 1 0 1 g x 0 x2 8x m 0 2 2 x 8x m 2 0 3 2 Các phương trình 1 , 2 , 3 không có nghiệm chung từng đôi một và x2 8x m 1 0 với x ¡ Suy ra g x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 2 và 3 có hai nghiệm phân biệt khác 4 2 16 m 0 m 16 3 16 m 2 0 m 18 m 16 . 16 32 m 0 m 16 16 32 m 2 0 m 18 Vì m nguyên dương và m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm. Câu 38. Lời giải Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M . Do đó số 2 tập con gồm 2 phần tử của M là C10 . Câu 39. Lời giải Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn suy ra O· KB O· CB 1 Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn suy ra D· KH O· CB 2 Từ 1 và 2 suy ra D· KH O· KB . Do đó BK là đường phân giác trong của góc O· KH và AC là đường phân giác ngoài của góc O· KH . Tương tự ta chứng minh được OC là đường phân giác trong của góc K· OH và AB là đường phân giác ngoài của góc K· OH . Ta có OK 4 ; OH 3 ; KH 5 . Gọi I , J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc O· KH và K· OH . IO KO 4  4  Ta có I AC  HO ta có IO IH I 8; 8; 4 . IH KH 5 5 JK OK 4  4  Ta có J AB  KH ta có JK JH J 16;4; 4 . JH OH 3 3
20.  16 28 20 4 Đường thẳng IK qua I nhận IK ; ; 4;7;5 làm vec tơ chỉ phương có phương trình 3 3 3 3 x 8 4t IK : y 8 7t . z 4 5t  Đường thẳng OJ qua O nhận OJ 16;4; 4 4 4;1; 1 làm vec tơ chỉ phương có phương trình x 4t OJ : y t . z t Khi đó A IK OJ , giải hệ ta tìm được A 4; 1;1 .     Ta có IA 4;7;5 và IJ 24;12;0 , ta tính IA, IJ 60;120; 120 60 1; 2;2 . Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có véc tơ chỉ phương u 1; 2;2 x 4 y 1 z 1 nên có phương trình . 1 2 2 Câu 40. Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxy . Khi đó Diện tích hình chữ nhật là S1 4 . Diện tích phần đất được tô màu đen là S 2 sin xdx 4 . 2 0 Tính diện tích phần còn lại: S S1 S2 4 4 4 1 . Câu 41. Lời giải 3 21 Ta có: A 2;2;2 và PA PB PC . 4 Câu 42. Lời giải Gọi I là trung điểm của BC AI  BC . Mà OA  BC nên AI  BC .
21. OBC  ABC BC · · Ta có: BC  AI OBC , ABC OI, AI O· IA. BC  OI 1 1 Ta có: OI BC OB2 OC 2 a 3 . 2 2 OA 3 Xét tam giác OAI vuông tại A có tan O· IA O· IA 30 . OI 3 Vậy · OBC , ABC 30 . Câu 43. Lời giải Ta có tập xác định: D ¡ \ 1 . Do lim y 3 và lim y , lim y nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. x x 1 x 1 Câu 44. Lời giải Do d  P nên vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d là vec-tơ pháp tuyến của P .  Suy ra một một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d là u n P 4; 0; 1 . Câu 45. Lời giải Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 và C 0;0;c với abc 0 . x y z Phương trình mặt phẳng P đi qua ba điểm A , B , C là 1. a b c 1 2 3 Vì M 1;2;3 P nên ta có: 1. a b c   AM  BC AM .BC 0 Điểm M là trực tâm của ABC   . BM  AC BM . AC 0     Ta có: AM 1 a;2;3 , BC 0; b;c , BM 1;2 b;3 , AC a;0;c . 3 b c 2b 3c 0 2 a 14 Ta có hệ phương trình: a 3c 0 a 3c b 7 . 1 2 3 1 2 3 14 1 1 c 3 a b c 3c c c 3 2 x y 3z Phương trình mặt phẳng P là 1 x 2y 3z 14 0 . 14 7 14 Câu 46. Lời giải Ta có log2 3x 1 3 3x 1 8 x 3 . Câu 47. Lời giải
22. Đặt MN x, x 0 và OA a, a 0 , a là hằng số. MN NA MN.OA xa xa Ta có NA NA ON a . SO OA SO h h Khối trụ thu được có bán kính đáy bằng ON và chiều cao bằng MN . 2 2 3 2 2 h x 2 1 2 a 2h Thể tích khối trụ là V .ON .MN .x.a a 2 2x h x 2 . h 2h 2h 3 h Dấu bằng xảy ra khi 2x h x x . 3 Câu 48. Lời giải 2x du dx 2 2 u ln x 9 x 9 Đặt dv xdx x2 9 v 2 4 4 x2 9 4 x2 9 2x Suy ra x ln x2 9 dx ln x2 9 . dx 25ln 5 9ln 3 8 . 2 0 2 0 0 2 x 9 Do đó a 25 , b 9 , c 8 nên T 8. Câu 49. Lời giải. 1 9 3 27 3 Diện tích đáy: S .3.3.sin 60 . Thể tích V S .AA . ABC 2 4 lt ABC 4 Câu 50. Lời giải Ta có: y 3x2 6x m . Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 y 2 0 m 0 . Thử lại: với m 0 thì y 3x2 6x y 6x 6 y 2 6 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . HẾT