Đề kiểm tra Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Kèm đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề kiểm tra Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Kèm đáp án và thang điểm)

1. Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Họ và tên học sinh: . Môn: Toán – Lớp 11 – Tự luận Số báo danh: Thời gian làm bài: 90 phút (8 câu) Ban: A – B. Học sinh viết câu này vào giấy làm bài: “Đề thi dành cho các lớp 11CT, 11CL, 11CH, 11CS, 11CTi, 11A, 11B” 2x2 5x 3 Câu 1: (1 điểm) Tính lim . x 1 2x3 7x2 5 Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x2 x 7 2x2 1 (khi x 1) f x x2 1 liên tục trên ¡ . m (khi x 1) Câu 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình x4 x3 mx2 x 2m 1 msin x 1 có nghiệm với mọi tham số m. Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình x2 5x 2 x2 3x 2 0. Câu 5: (1 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau: x2 3x 1 a. f x . b. f x sin x x2 . x 1 Câu 6: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng d : y 9x 7. x Câu 7: (1 điểm) Cho hàm số y . Chứng minh: x 1 a. 2x3 y y3 x 2 0. b. 2x3 y 3y x2 y2 y3 0. Câu 8: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, AD a 2. Gọi H là trung điểm AB. a. Chứng minh SH  ABCD . b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . c. Gọi M là trung điểm của SC . Tính khoảng cách giữa các đường thẳng HC và MD .
2. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm 1 2x2 5x 3 1 Tính lim . x 1 2x3 7x2 5 2x2 5x 3 0.5 lim x 1 2x3 7x2 5 (x 1) 2x 3 lim x 1 x 1 2x2 5x 5 Chú ý: nếu chỉ đúng tử số hay mẫu số thì cho 0.25 2x 3 0.25 lim x 1 2x2 5x 5 1 0.25 8 2 x2 x 7 2x2 1 1 (khi x 1) Định m để hàm số f x x2 1 liên tục m (khi x 1) trên ¡ . f (1) m 0.25 lim f (x) lim m m x 1 x 1 x2 x 7 2x2 1 0.25 lim f (x) lim 2 x 1 x 1 x 1 x2 x 7 3 (2x2 2) lim 2 x 1 x 1 2 x x 2 2 x x 7 3 lim 2 2 x 1 x 1 (x 1)(x 2) lim 2 x 1 x2 x 7 3 x2 1 (x 2) 7 lim 2 x 1 x2 x 7 3 x 1 4
3. f x mx ;1 nên f x liên tục tại mọi x0 ;1 . 0.25 x2 x 7 2x2 1 f x x 1; nên f x liên tục tại mọi x 1; . x2 1 0 f (x) liên tục trên ¡ khi và chỉ khi f (x) liên tục tại x 1. 0.25 lim f (x) lim f (x) f (1) x 1 x 1 7 m 4 Nếu học sinh không lập luận ý liên tục trên 2 khoảng ;1 và 1; mà làm đúng liên tục tại x 1 thì cho tối đa 0.75 3 Chứng minh phương trình x4 x3 mx2 x 2m 1 msin x 1 có 1 nghiệm với mọi m . Cách 1: 0.25 x4 x3 mx2 x 2m 1 msin x 1 x4 x3 x 1 m x2 sin x 2x 0 Đặt f x x4 x3 x 1 m x2 sin x 2x ; 0.25 Ta có: f x liên tục trên ¡ . f 1 3m 0.25 f 1 m f 1 f 1 3m2 0 0.25 Suy ra phương trình luôn có nghiệm. Cách 2: 0.25 x4 x3 mx2 x 2m 1 msin x 1 x4 x3 x 1 m x2 sin x 2x 0 Đặt f x x4 x3 x 1 m x2 sin x 2x ; 0.25 Ta có: f x liên tục trên ¡ . f 0 1 0.25 f 2 9 f 0 f 2 9 0 0.25
4. Suy ra phương trình luôn có nghiệm. 4 Giải bất phương trình x2 3x 2 x2 3x 2 0 . 1 Cách 1: 0.25 Đặt f x x2 3x 2 x2 3x 2 Tập xác định: D ; 30; . f x liên tục trên ; 3 và 0; . f x 0 x 1 x 2  x 4 0.25 Bảng xét dấu: 0.25 Kết luận: x 4  x 2  x 1 . 0.25 Cách 2: x2 3x 2 x2 3x 2 0 0.25 2 2 x 3x 2 0 x 3x 2 0  2 2 x 3x 2 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 0.5  x 4  x 1 4 x 3  0 x 1 x 4  x 1 x 2 0.25 Học sinh giải đúng mỗi hệ cho 0,25, giao nghiệm được 0,25 Học sinh giải đúng 2 bất phương trình bậc 2 cho thêm 0,25 (tổng điểm là 0.5) 5a Tính đạo hàm các hàm số sau: 0.5 x2 3x 1 a. f x . x 1 x2 2x 2 0.5 f x x 1 2 Chú ý: học sinh không cần thu gọn vẫn cho đủ điểm
5. 5b b. f x sin x x2 0.5 cos x 2x 0.5 f x 2 sin x x2 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 biết tiếp 1 tuyến song song đường thẳng d : y 9x 7. Ta có: y 3x2 6x 0.25 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, 0.25 Tiếp tuyến song song d y x0 9 Chú ý: nếu học sinh ghi dấu “ ” thì tha không trừ điểm ở đây 2 3x0 6x0 9 x0 1 x0 3 0.25 ➢ x0 1 : Phương trình tiếp tuyến là: y 9x 7 (loại). 0.25 ➢ x0 3 : Phương trình tiếp tuyến là: y 9x 25 (nhận). Chú ý: nếu học sinh không loại thì tối đa là 0.75 7.a x 0.5 Cho hàm số y . Chứng minh: 2x3 y y3 x 2 0. x 1 1 x 1 x 0.25 x 2 y 2 x 1 ; x 1 2 x 1 x 1 x 2 x3 0.25 2x3 y y3 x 2 2x3 x 2 0 2 x 1 x 1 x 1 x 1 7.b Chứng minh: 2x3 y 3y x2 y2 y3 0. 0.5 2x3 y y3 x 2 0 0.25 6x2 y 2x3 y 3y2 y x 2 y3 0 Chú ý: Nếu học sinh tính tiếp y và đúng thì cho 0.25 2x3 y 3y 2x2 y2 x 2 y3 0 0.25 2x3 y 3y 2x2 y2 x 1 y2 y3 0 2x3 y 3y 2x2 x2 y2 y3 0 2x3 y 3y x2 y2 y3 0 8a. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết tam giác 1
6. SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, AD a 2. Gọi H là trung điểm AB. Chứng minh SH  ABCD . SAB đều SH  AB 0.5 SAB  ABCD 0.5 SAB  ABCD AB Ta có: SH  ABCD . SH  AB SH  SAB 8b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . 1 0.25 Ta có: HC là hình chiếu của SC lên ABCD S·C, ABCD S·C; HC S· CH (vì S· CH 90o ). 3a Ta có: HC BH 2 BC 2 0.25 2 a 3 0.25 SH 2 SH 1 tan S· CH S· CH 30o . 0.25 HC 3 8c. Gọi M là trung điểm của SC . Tính khoảng cách giữa các đường thẳng 1 HC và MD .
7. 0.25 Dựng DF / /CH , F AB . Dựng ME / /SH , E CH Ta có: CH / / MDF , MD  MDF . d MD,CH d CH, MDF d E; MDF . Chú ý: Học sinh dựng mặt phẳng và chuyển khoảng cách giữa 2 đường thẳng thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25. Dựng EG  FD tại G , EK  MG tại K . 0.25 Ta có: DF  EG , DF  ME DF  MEG DF  EK Ta có: EK  DF, EK  MG EK  MDF d E; MDF EK Chú ý: Học sinh dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25. 3a Ta có: FD CH , S S a2 2 0.25 2 CDFH ABCD
8. S 2 2a EG CDFH DF 3 1 1 1 9 16 155 Ta có: 0.25 EK 2 EG2 EM 2 8a2 3a2 24a2 24 d MD,CH EK a . 155