Đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia - Năm học 2019 - Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh (Có lời giải)

Nội dung text: Đề tham khảo kì thi THPT Quốc gia - Năm học 2019 - Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh (Có lời giải)

1. SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN ĐỀ THAM KHẢO TRƯỜNG THPT CHUYÊN THI THPT QUỐC GIA 2019 LƯƠNG VĂN CHÁNH ïì x2 + 2y2 = 8 Câu 1: Cho hệ phương trình íï . Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hệ phương trình có ï îï 2x + y = m nghiệm ? A. m = 8. B. m = 2. C. m = 4. D. m = 6. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2 - mx + m + 3> 0 có tập nghiệm là ¡ ? A. m - 2. Câu 3: Xét bốn mệnh đề (1) Hàm số y = sin x có tập xác định là ¡ ; (2) Hàm số y = cos x có tập xác định là ¡ ; (3) Hàm số y = tan x có tập xác định là ¡ \{k | k Î ¢}; ïì k ïü (4) Hàm số y = cot x có tập xác định là ¡ \íï | k Î ¢ ýï . îï 2 þï Số mệnh đề đúng là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. 1 Câu 4: Cho hàm số y = x4 + x2 - có đồ thị (C). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 2 có hoành độ x0 = 1 là A. 3. B. 5. C. 6. D. 2. 2 Câu 5: Một cấp số cộng (un ) có tổng n số hạng đầu tiên Sn được cho bởi công thức Sn = 3n + 2n . Số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó là A. un = 9- 4n . B. un = 4n + 5. C. un = 9n- 4 . D. un = 4n + 1. Câu 6: Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu. Xác suất để lấy được hai quả cầu cùng màu là 2 2 3 A. . B. . C. . D. 1. 3 5 5 Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. Hàm số f (x)= tan x liên tục trên tập số thực ¡ . B. Hàm số f (x)= x liên tục trên tập số thực ¡ . C. Hàm số f (x)= x + 1 liên tục trên tập số thực ¡ . 2x + 1 D. Hàm số f (x)= liên tục trên tập số thực ¡ . x Câu 8: Phương trình sin 5x- sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [- 2018 ;2018 ]? A. 20179 . B. 16144. C. 16145. D. 20181. Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trong khoảng (x0 - h; x0 + h) với h > 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f "(x0 ) ¹ 0 . B. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f '(x0 ) = 0. C. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f '(x0 ) không tồn tại. Trang 1
2. D. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f '(x0 ) = 0 hoặc f '(x0 ) không tồn tại. Câu 10: Gọi S là tập tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa điều kiện log (2xy - x + y + 4) = 1. x2 + y2 + 4 Tìm m để tồn tại bốn phần tử của S sao cho x2 + y2 - 4 = - 2mx- m2. A. - 1 1 và thỏa mãn 4 abc = ax = b y = cz . Tìm giá trị nhỏ nhất M của biểu thức x + y + 4z2. A. M = 3. B. M = 10. C. M = 2. D. M = 4 2. 2x + 1 Câu 13: Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1- x A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ¥ ;1) .và (1;+ ¥ ) . B. Hàm số đồng biến trên ¡ \{1}. C. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;1) È(1;+ ¥ ) . D. Hàm số đồng biến trên trên từng khoảng (- ¥ ;1) và (1;+ ¥ ) . Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f (x), trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ dưới đây). Chọn công thức đúng. 0 b 0 b A. S = ò f (x)dx + ò f (x)dx . B. S = - ò f (x)dx + ò f (x)dx . a 0 a 0 0 b 0 b C. S = ò f (x)dx- ò f (x)dx . D. S = ò f (x)dx- ò f (x)dx a 0 a 0 x + 1 Câu 15: Số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = lần lượt là x2 - 1 A. 1 và 1. B. 1 và 2. C. 2 và 1. D. 2 và 2. 2 2 z2 Câu 16: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1, z2 ¹ 0 và z2 - 2z1z2 + 2z1 = 0 . Tính . z1 z z 1 z z A. 2 = 2. B. 2 = . C. 2 = 2 2. D. 2 = 3. z1 z1 2 2 z1 z1 Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? Trang 2
3. 1 1 A. ò x2dx ³ ò x3dx . 0 0 x dt 1 B. Đạo hàm của F (x)= là F '(x)= (x > - 1). ò1+ t 1+ x 1 a a C. Nếu hàm f liên tục trên [- a;a] thì ò f (x)dx = 2ò f (x)dx . - a 0 b c c D. Nếu hàm f trên ¡ thì ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx . a b a Câu 18: Cho hai số phức z1, z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện z + 1+ mi = z + m + 2i và z - 1 = 34 (trong đó m Î ¡ ). Tìm giá trị của P = z1 + z2 khi z1 - z2 đạt giá trị lớn nhất. A. P = 2. B. P = 10. C. P = 2. D. P = 130. æ ö ç ÷ ç ÷+ > Câu 19: Cho bất phương trình log2 çlog2 2 ÷ 2019 0 với ẩn n là số nguyên dương. Tìm ç ÷ èç n dÊu c¨n ø tổng tất cả các nghiệm của bất phương trình. 2017.2019 A. 1. B. 2035153. C. 2037171. D. . 2 Câu 20: Gọi m là số thực lớn nhất để bất phương trình 3x2 - x + 3+ mln(3x2 - x + 1)³ 0 nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m Î (2;3]. B. m Î (34;+ ¥ ). C. m Î (- 6;- 5]. D. m Î (6;34]. 5 2 é ù Câu 21: Cho ò f (x)dx = 10. Khi đó ò ë2- 4 f (x)ûdx bằng: 2 5 A. 34. B. 40. C. 36. D. 32. Câu 22: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai phần, một phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 (đồng). B. 1.948.000 (đồng). C. 2.388.000 (đồng). D. 1.194.000 (đồng). æ1+ iö2018 æ1- i ö2018 Câu 23: Rút gọn z = ç ÷ + ç ÷ , ta được èç1- i ø÷ èç1+ iø÷ A. z = - 2i B. z = 2 C. z = 1+ i D. z = - 2 Câu 24: Số phức - 5+ 3i có phần ảo bằng A. 5 B. - 5 C. 3 D. 3i Trang 3
4. 3 Câu 25: Một vật chuyển động có gia tốc a(t)= (m/s2 ). Biết rằng vận tốc của vật tại thời điểm t + 1 t = 0 là 6m/s. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 10 (s) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 14m/s . B. 12m/s . C. 11m/s. D. 13m/s . 3 Câu 26: Tìm m để phương trình ( 2- x + x + 1) - 6 2+ x- x2 = m có nghiệm thực. A. - 9 £ m £ 6 6 - 9 . B. 3 3 - 9 £ m £ 6 6 - 9 . C. 5 £ m £ 3 6 - 9 . D. 5 £ m £ 6 6 - 9 . Câu 27: Cho hàm số f (x) = 8x4 + ax2 + b , trong đó a , b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [- 1;1] bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng? A. a 0 , b > 0 . C. a 0. D. a > 0 , b < 0 . Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2 x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1. A. m = 1. B. m = - 1. C. m = 1Úm = 3. D. m = 3 . 1 1 1 Câu 29: Gọi x và y là hai số thực thoả mãn đồng thời x + y = 1 và + = . Khi đó tích xy 16x 16y 2 bằng 1 1 1 1 A. . B. - . C. . D. - . 4 2 2 4 Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(1;- 4) và điểm M (x; y) thuộc đường thẳng ïì x = 1- 2t : íï sao cho MA ngắn nhất. Tính xy . îï y = - 2+ t 108 108 A. - 25 . B. 1. C. - . D. . 25 25 Câu 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(1;- 1) , B(2;0),C(11;- 6) . Gọi H (x; y) là trực tâm tam giác ABC . Tính giá trị của 700x- 40y . A. 2021. B. 2018. C. 2020. D. 2019. Câu 32: Nếu tan + cot = 2 thì tan2 + cot2 bằng bao nhiêu? A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6. Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 4a , BC = 3a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng 45°. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AC ? 7 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 7 30 15 10 Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Biết thể tích khối chóp bằng a3 2 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và SC ? 6 a 6 a 6 a A. . B. a. C. . D. . 6 3 2 Trang 4
5. Câu 35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm O . Gọi M là trung điểm AC , gọi H, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C . Đường tròn đi qua ba điểm M , H, K có phương 2 2 25 trình là (x- 1) + (y + 2) = . Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 4 A. (x- 2)2 + (y + 4)2 = 25 . B. x2 + (y - 1)2 = 50 . C. (x- 1)2 + (y + 2)2 = 25 . D. x2 + (y - 1)2 = 25 . Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAD). B. Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác. C. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAB). D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC) là IO . Câu 37: Cho hình trụ có chiều cao h = 3, bán kính đáy r = 2. Một mặt phẳng(P) không vuông góc với đáy của hình trụ, lần lượt cắt hai đáy theo hai đoạn giao tuyến AB vàCD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD . A. S = 12,5. B. S = 12,5 . C. S = 9. D. S = 9 . Câu 38: Trong không gian Oxyz , lập phương trình đường thẳng d đi qua M (2;3;5) vuông góc với ì x = - 3 ï x + 1 y + 4 z + 2 ï đường thẳng d1 : = = và cắt đường thẳng d2 :í y = 2- t . 1 3 1 ï îï z = 1+ t x- 2 y - 3 z - 5 x- 2 y - 3 z - 5 A. d : = = . B. d : = = . 1 - 2 - 1 - 1 1 2 x- 2 y - 3 z - 3 x- 2 y - 3 z - 5 C. d : = = . D. d : = = . 1 - 1 2 1 - 1 2 Câu 39: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích bằng 2110 . Biết A'M = MA ; DN = 3ND '; CP = 2PC ' . Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng 7385 8440 5275 5275 A. . B. . C. . D. . 18 9 6 12 Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y - z - 1= 0 và hai điểm A(2;2;0), B(2;0;- 2) . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB và góc ·AMB có số đo lớn nhất. 14 1 1 2 4 1 A. M ( ;- ; ). B. M ( ; ;- ). C . M (2;- 1;- 1). D. M (- 2;2;1). 11 11 11 11 11 11 Câu 41: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ? A. 3. B. 2. C. 4. D. 6. Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u 0; 2; 2 và v 2; 2;0 . Góc giữa hai vectơ đã cho bằng A. 1200. B. 900 .C. 600 D. 300 . Câu 43: Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30°. Khi đó thể tích khối lăng trụ là 9 27 3 27 9 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Trang 5
6. Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60° . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1),C(1;0;1) . Tập hợp tất cả    2 các điểm M trên mặt phẳng Oxz sao cho MA.MB MC 2 là A. tập rỗng. B. một đường thẳng. C. một điểm. D. một đường tròn. Câu 46: Hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm , AD = 5 cm . Thể tích tích khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng A. 45 cm3. B. 25 cm3. C. 50 cm3. D. 75 cm3. Câu 47: Cho hình cầu tâm O , đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy xác định bán kính của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. R 6 2R 2R 2R A. r = B. r = C. r = D. r = 3 3 3 3 Câu 48: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 3, AC = 4 . Gọi V1, V2 , V3 lần lượt là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh mỗi cạnh AB, AC , BC . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? A. V1 > V3 > V2 . B. V3 > V1 > V2 . C. V3 = V1 + V2 . D. V1 > V2 > V3 . Câu 49: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:       é ù é ù êAB, ACú.AD 1 êAB, ACú.AD A. h = ë  û . B. h = ë  û . AB.AC 3 AB.AC       éAB, ACù.AD éAB, ACù.AD ëê ûú 1 ëê ûú C. h =   . D. h =   . éAB.ACù 3 éAB.ACù ëê ûú ëê ûú Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình của mặt cầu tâm I (1;2;0) và tiếp xúc với trục Oz là A. (z - 1)2 + (y - 2)2 + x2 = 5. B. (x- 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 5. C. (x- 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 3. D. (x + 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 3. HẾT Trang 6
7. SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN ĐỀ THAM KHẢO THI THPT 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHẦN 1. MÔ TẢ CẤP ĐỘ NHẬN THỨC VÀ ĐÁP ÁN CẤP ĐỘ NHẬN THỨC Nhận Thông Vận Vận Đáp Câu CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC GHI CHÚ biết hiểu dụng dụng án thấp cao 1 Phương trình và hệ x D 2 phương trình x B Góc lượng giác và công 32 x B thức lượng giác 3 Hàm số và phương trình x C 8 lượng giác x C 6 Tổ hợp – Xác suất x B 5 Dãy số - Cấp số x D 7 Giới hạn x B 4 Đạo hàm x C 9 x D 11 x D 13 x D 15 Ứng dụng đạo hàm x B 26 x D 27 x A 28 x A 10 x A 12 x A 19 Hàm số mũ và logarit x C 20 x D 29 x A 14 x B 17 x C 21 Tích phân x A 22 x B 25 x D 16 x A 18 x A Số phức 23 x D 24 x C 30 Phương pháp tọa độ trong x C 31 mặt phẳng x C Phép dời hình và phép 35 x A đồng dạng trong mặt phẳng 33 x B Quan hệ song song – Quan 34 x C hệ vuông góc 36 x B 39 x C Khối đa diện 41 x C Trang 7
8. 43 x C 44 x B 37 x A 46 x D Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 47 x A 48 x D 38 x D 40 x A Phương pháp tọa độ trong 45 x D không gian 49 x C 50 x B CỘNG 13 17 11 9 PHẦN 2. LỜI GIẢI VÀ GIẢI THÍCH CÁC PHƯƠNG ÁN NHIỄU (Lưu ý: Không phải mọi câu đều có phương án nhiễu hợp lý, nhất là những câu ở cấp độ nhận biết hoặc vận dụng cao) ì 2 2 ï x + 2y = 8 (1) Câu 1. Ta có:íï , từ (2)Þ y = m- 2x . ï îï 2x + y = m (2) Thay vào (1), ta được: x2 + 2(m- 2x)2 = 8 Û 9x2 - 8mx + 2m2 - 8 = 0 (3) Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm. Dẫn đến:16m2 - 9(2m2 - 8)³ 0 Û - 6 £ m £ 6 Chọn D. Câu 2. Đặt: f (x)= x2 - mx + m + 3 ,ta có: = m2 - 4m- 12 f (x)> 0, " x Î ¡ Û m2 - 4m- 12 < 0 Û - 2 < m < 6 Chọn B. Câu 3. Hàm số y = sin x và y = cos x có tập xác định là ¡ . ïì ïü Hàm số y = tan x có tập xác định là ¡ \íï + k | k Î ¢ ýï . îï 2 þï Hàm số y = cot x có tập xác định là ¡ \{k | k Î ¢}. Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn C. Câu 4. Ta có y ' = 4x3 + 2x . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là: y '(1)= 6 Chọn C . Câu 5. Ta có u1 = S1 = 5, u1 + u2 = S2 = 14, suy ra u2 = 9 . Do đó d = 4 Vậy un = 4n + 1 . Chọn D. 2 Câu 6. Không gian mẫu: Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu n()= C5 = 10 Biến cố A: Được 2 quả cầu cùng màu 2 2 n(A)= C3 + C2 = 4 2 Xác suất để lấy được hai quả cầu cùng màu bằng P(A)= . 5 Chọn B. Câu 7. Chọn B Trang 8
9. Câu 8: Ta có sin 5x- sin x = 0 Û sin 5x = sin x é k êx = é k ê 2 êx = ê é5x = x + k2 ê 2 ê 5 Û ê Û ê Û êx = + m với k,m,n Î ¢ . ê5x = - x + k2 ê ê 6 ë êx = + k ê ëê 6 3 ê êx = + n ë 6 ïì k ïì ï - 2018 £ £ 2018 ï ï 2 ï - 4036 £ k £ 4036 ï ï ï 5 ï 12113 12103 Vì x Î [- 2018 ;2018 ] nên íï - 2018 £ + m £ 2018 Û íï - £ m £ ï 6 ï 6 6 ï ï ï ï 12109 12107 ï - 2018 £ + n £ 2018 ï - £ n £ îï 6 îï 6 6 Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 nghiệm. Chọn C. Câu 9. Giả sử hàm số y = f (x) có điểm cực trị là x0 . Khi đó hàm số y = f (x) hoặc không có hoặc có đạo hàm tại x0 . Theo định lí, nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì f ¢(x0 ) = 0 . Chọn D. Câu 10. Ta có log (2xy - x + y + 4) = 1Û x2 + y2 - 2xy + x- y = 0. x2 + y2 + 4 Điều kiện tồn tại bốn cặp (x; y) thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi hệ sau có bốn nghiệm thực phân biệt: ì 2 2 ï x + y - 2xy + x- y = 0 í (*) ï 2 2 2 îï x + y - 4 = - 2mx- m éïì x- y = 0 êíï (1) ì êï 2 2 ï (x- y)(x- y + 1) = 0 êîï (x + m) + y = 4 Hệ trên tương đương với hệ í Û ê ï 2 2 îï (x + m) + y = 4 êïì x- y + 1= 0 êíï (2) êï 2 2 ëîï (x + m) + y = 4 Gọi đường thẳng d1 : x- y + 1= 0 ; đường thẳng d2 : x- y = 0 ; (C) là đường tròn tâm I(- m;0) , bán kính R = 2 . Hệ (*) có 4 nghiệm thực phân biệt khi hệ (1) và hệ (2) cùng có 2 nghiệm phân biệt và không trùng nhau. Do đường thẳng d1 song song d2 nên điều kiện cần tìm tương đương điều kiện: đường thẳng d1 và đường thẳng d2 đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt . ì ïì m- 1 < 2 ï d(I;d1) < R ï Câu 1: Û íï Û í ï < ï îï d(I;d2 ) R îï m < 2 Û m Î (- 1;2) . Chọn A. Câu 11. Nhận xét đồ thị của hàm số y = x4 - mx2 + m nhận trục Oy làm trục đối xứng nên đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm x1 , x2 , x3 , x4 đối xứng qua O . Giả sử x1 = - x3 , x2 = - x4 . Trang 9
10. 4 4 4 4 4 4 Ta suy ra x1 + x2 + x3 + x4 = 30 Û x1 + x2 = 15 . Phương trình hoành độ giao điểm x4 - mx2 + m = 0. Đặt t = x2 ,t ³ 0 ta được t2 - mt + m = 0 . Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t2 - mt + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt thỏa ì ï m2 - 4m > 0 ï ì m > 4 2 2 ï ï t1 + t2 = 15. Khi đó í m > 0 Û í Û m = 5 . ï ï m2 - 2m- 15 = 0 ï 2 îï îï (t1 + t2 ) - 2t1t2 = 15 Chọn D. Câu 12. Với a,b,c > 1, ta có 1 4 abc = ax = b y = cz Û (ln a + ln b + ln c)= x ln a = y ln b = z ln c 4 ïì 1 p + q + r ï x = ï 4 p ï ï 1 p + q + r Û íï y = (p = ln a,q = ln b,r = ln c) ï 4 q ï ï 1 p + q + r ï z = îï 4 r Bài toán đã cho tương đương với bài toán sau: æ ö æ ö 2 1 çp + q + r ÷ 1 çp + q + r ÷ 1 æp + q + r ö “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ç ÷+ ç ÷+ ç ÷ , trong đó p,q,r là 4èç p ø÷ 4èç q ø÷ 4èç r ø÷ các số thực dương” Không mất tính tổng quát, xét p + q + r = 1, ta đưa về bài toán: 1 æ1 1 1 ö “Xét các số thực dương p,q,r có tổng bằng 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ç + + ÷” 4èçp q r2 ø÷ 1 1 1 4 1 4 1 Mà + + ³ + = + p q r2 p + q r2 1- r r2 4 1 Xét hàm f (r)= + , với r Î (0;1) 1- r r2 4 2 1 f '(r)= - , f '(r)= 0 Û r = . Lập bảng biến thiên, ta được min f (r) = 12 . (r - 1)2 r3 2 Vậy M = 3. Chọn A. 3 Câu 13. y¢= > 0, " x ¹ 1. Vậy hàm số đồng biến trên (- ¥ ;1) và (1;+ ¥ ) . (1- x)2 Chọn D. Câu 14. Nhìn đồ thị ta thấy: Đồ thị (C) cắt trục hoành tại O(0;0) Trên đoạn [a;0], đồ thị (C) ở dưới trục hoành nên f (x) = - f (x) Trên đoạn [0;b], đồ thị (C) ở trên trục hoành nên f (x) = f (x) b 0 b 0 b Do đó: SD = ò f (x) dx = ò f (x) dx + ò f (x) dx = - ò f (x)dx + ò f (x)dx a a 0 a 0 Trang 10
11. Chọn B. Câu 15. TXĐ: D = (- ¥ ;- 1)È(1;+ ¥ ) x + 1 x + 1 - (- x- 1)2 - (- x- 1) lim = + ¥ và lim = lim = lim = 0. x® 1+ x2 - 1 x® - 1- x2 - 1 x® - 1- (- x- 1)(1- x) x® - 1- (1- x) Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = 1. 1 1+ 1 Ta có lim y = lim x = = 1Þ tiệm cận ngang y = 1. x® + ¥ x® + ¥ 1 1 1- x2 1 1+ 1 Lại có lim y = lim x = = - 1Þ tiệm cận ngang y = - 1. x® - ¥ x® - ¥ 1 - 1 - 1- x2 x + 1 Đồ thị hàm số y = có tất cả 3 tiệm cận gồm: 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang. x2 - 1 Chọn B. z2 z2 2 2 Câu 16. Đặt x = Þ = x .Từ giả thiết z2 - 2z1z2 + 2z1 = 0 z1 z1 z2 z Û 2 - 2 + = ¹ 2 - + = Û = + Ú = - Þ = 2 2 2 0 ( vì z1, z2 0 ), ta được : x 2x 2 0 x 1 i x 1 i x 2 . z1 z1 Chọn A. Câu 17. 1 1 + Do x Î [0;1]Þ x2 ³ x3 Þ ò x2dx ³ ò x3dx . Do đó A đúng. 0 0 x + Áp dụng tính chất F '(x)= ò f (t)dt là một nguyên hàm của f (x). a 1 Suy ra F / (x)= . Do đó B đúng. 1+ x + Mệnh đề C sai vì tính chất này chỉ đúng nếu f (x) là hàm chẵn hoặc ta có thể lấy ví dụ cụ thể cho hàm f (x)= x và a = 2 chẳng hạn. 2 2 1 2 1 2 + Khi đó xdx = x2 = (4- 4)= 0 nhưng 2 xdx = x2 = 4 . ò 2 2 ò - 2 - 2 0 0 Mệnh đề D đúng theo tính chất tích phân. Chọn C. Câu 18. Giả sử M (x; y)là điểm biểu diễn số phức z = x + yi,(x, y Î ¡ ), vì z - 1 = 34 Þ (x- 1)2 + y2 = 34 nên thuộc đường tròn (C) :(x- 1)2 + y2 = 34 . Vì Trang 11
12. z + 1+ mi = z + m + 2i Þ (x + 1)2 + (y + m)2 = (x + m)2 + (y + 2)2 Þ 2(1- m)x + 2(m- 2)y - 3 = 0 nên M nằm trên đường thẳng (d) : 2(1- m)x + 2(m- 2)y - 3 = 0 Để tồn tại hai số phức z1, z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện đã cho nghĩa là tồn tại hai điểm biểu diễn M1, M 2 của hai số phức lần lượt nằm trên hai giao điểm của (C) và (d) , và để z1 - z2 lớn nhất khi và chỉ khi M1M 2 là đường kính của (C) hay (d) qua tâm I(1;0) của (C). 1 Suy ra : 2(1- m).1+ 2(m- 2).0- 3 = 0 Þ m = - . 2 Từ đó : M1 (6;3), M 2 (- 4;- 3). Chọn A. Câu 19. Ta có : æ ö ç ÷ ç ÷+ > log2 çlog2 2 ÷ 2019 0 ç ÷ èç n dÊu c¨n ø æ 1 ö 1 ç n ÷ n Û log çlog 22 ÷> - 2019 Û log 22 > 2- 2019 Û 2- n > 2- 2019 Û n 0 m 11 é11 ö ¢ ÷ Có f (t)= 1+ > 0 " t ³ Þ hàm số luôn đồng biến trên ê ;+ ¥ ÷. t 12 ëê12 ø æ11ö 35 11 - 35 Þ f (t)³ f ç ÷Þ + mln ³ 0 Û m £ < 33,6 . èç ø÷ 11 12 12 12 12ln 12 Vậy số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m Î (6;34]. Chọn D. Câu 21. Ta có 2 2 2 2 5 é ù ò ë2- 4 f (x)ûdx = 2ò dx- 4ò f (x)dx = 2x + 4ò f (x)dx = 2.(2- 5)+ 4.10 = 34 . 5 5 5 5 2 Chọn A. Câu 22. Trang 12
13. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là 2 y = R2 - x2 = (2 5) - x2 = 20- x2 . Phương trình parabol (P) có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y = ax2 . Mặt khác (P) qua điểm M (2;4) do đó: 4 = a(- 2)2 Þ a = 1. Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và nửa đường tròn.( phần tô màu) 2 2 2 2 Ta có công thức S1 = ò( 20- x - x )dx @11,94m . - 2 1 Vậy phần diện tích trồng cỏ là S = S - S » 19,47592654 trongco 2 hinhtron 1 Vậy số tiền cần có là Strongxo ´ 100000 » 1.948.000 (đồng). Chọn B. 1+ i 1- i Câu 23. Ta có: = i; = - i . 1- i 1+ i 2018 2018 æ1+ iö æ1- i ö 2018 2018 Suy ra : ç ÷ + ç ÷ = i + (- i) = - 2 èç1- i ø÷ èç1+ iø÷ Chọn D. Câu 24. Chọn C, Nhiễu D. 3 Câu 25. Ta có v(t)= a(t)dt = dt = 3ln t + 1 + C . ò ò t + 1 Tại thời điểm ban đầu (t = 0) thì v(0)= 3ln1+ C = 6 Û C = 6 . Suy ra v(t)= 3ln t + 1 + 6. Tại thời điểm t = 10 s Þ v(10)= 3ln11+ 6 » 13(m/s). Chọn D. Câu 26. Ta có 3 3 2 ( 2- x + x + 1) - 6 2+ x- x2 = m Û ( 2- x + x + 1) - 3( 2- x + x + 1) = m- 9 . Điều kiện: - 1£ x £ 2 . Đặt t = 2- x + x + 1 ( 3 £ t £ 6) Ta được phương trình t3 - 3t2 = m- 9 3 Phương trình ( 2- x + x + 1) - 6 2+ x- x2 = m có nghiệm thực khi phương trình Trang 13
14. t3 - 3t2 = m- 9 có nghiệm t Î é 3; 6ù . ëê ûú Xét hàm số f (t) = t3 - 3t2 . Dựa vào đồ thị suy ra phương trình t3 - 3t2 = m- 9 có nghiệm t Î é 3; 6ù khi: ëê ûú - 4 £ m- 9 £ f ( 6)Û 5 £ m £ 6 6 - 9. Chọn D. Câu 27. Đặt t = x2 , khi đó: max 8x4 + ax2 + b = max 8t2 + at + b = 1 xÎ [- 1;1] tÎ [0;1] Xét g(t) = 8t2 + at + b ,t Î [0;1] æ1ö a Ta có: g(0)= b ; g(1)= 8+ a + b ; gç ÷= 2+ + b èç2ø÷ 2 Theo giả thiết, ta có: ì ï ï ì ï 1³ b ï 1³ - b ï ï íï 1³ 8+ a + b Û í 1³ - 8- a- b Þ 4 ³ - b + - 8- a- b + 4+ a + 2b ³ 4 ï ï ï ï ï a ïî 2 ³ 4+ a + 2b ï 1³ 2+ + b îï 2 é- 2b = - 16- 2a- 2b = 4+ a + 2b = 2 ïì a = - 8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: ê Û íï ëê- 2b = - 16- 2a- 2b = 4+ a + 2b = - 2 îï b = - 1 Chọn A. Câu 28. TXĐ: D = ¡ . Ta có: y ' = 3x2 - 4mx + m2 ® y '' = 6x- 4m . Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số x3 thì: ì ì ì 2 ï m = 1Úm = 3 ï y '(1)= 0 ï m - 4m + 3 = 0 ï í Û í Û í 3 Û m = 1. ï y ''(1)> 0 ï 6- 4m > 0 ï m < î î îï 2 Chọn A. Câu 29. Ta có: x + y = 1Þ y = 1- x và 1 Thế vào ta được 16- x + 16x- 1 = đặt t = 16x 2 1 t 1 Phương trình tương đương + = Û 16+ t2 = 8t Û t = 4 Û 16x = 4 t 16 2 1 1 1 Þ x = Þ y = Þ x.y = . 2 2 4 Chọn A. Câu 30. Theo giả thiết, dẫn đến MH .Suy ra H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ). min   Gọi H (1- 2t;- 2+ t) Î , do MH ^ nên MH.u = 0 . Trang 14
15.  2 Với MH = (- 2t;t + 2),u = (- 2;1).Ta được phương trình: 4t + t + 2 = 0 Û t = - 5 9 12 - 108 Do đó H ( ;- ) , xy = 5 5 25 Chọn C.     Câu 31. Ta có: AH = (x- 1; y + 1); BC = (9;- 6); BH = (x- 2; y); AC = (10;- 5)   ì ïì AH ^ BC ï AH.BC = 0 Vì H là trực tâm của ABC nên íï Û í   ï BH ^ AC ï îï îï BH.AC = 0 ì ï 9(x- 1)- 6(y + 1)= 0 ïì x = 3 Dẫn đến:í Û íï ï ï îï 10(x- 2)- 5y = 0 îï y = 2 Do đó: 700x- 40y = 2020 Chọn C. Câu 32. Ta có: tan2 + cot2 = (tan + cot )2 - 2 tan .cot = 2 . Chọn B. Câu 33. S D A H B C Ta có: AD ^ (SAB)Þ (SD,(SAB))= (SD, SA)= 450 .   SD.AC cos(SD, AC)= SD.AC               SD.AC = (SH + HD)(AB + AD)= SH.AB + SH.AD + HD.AB + HD.AD =           - AB2 = HD.AB + HD.AD = (HA+ AD)AB + (HA+ AD)AD = + AD2 = a2 2 AC = AB2 + AC2 = 5a , SD = 2AD = 3a 2 .   SD.AC a2 2 cos(SD, AC)= = = . SD.AC 5a.3a 2 30 Chọn B. Câu 34. Trang 15
16. S K D A O H B C Gọi O là tâm hình vuông S.ABCD suy ra SO ^ (ABCD). 1 1 a3 2 a 2 Ta có: V = SO.S = SO.a2 = Þ SO = S.ABCD 3 ABCD 3 6 2 Do AB / /CD nên AB / /(SCD) Do đó: d (AB;SC)= d (AB;(SCD))= d (B;(SCD))= 2d (O;(SCD)) . Gọi H là trung điểm của CD ,kẻ OK ^ SH . SO.OH a 6 Khi đó: d (O;(SCD))= OK = = . SO2 + OH 2 6 a 6 Vậy d (AB;SC)= . 3 Chọn C. Câu 35. A H M K O B C Ta có M là trung điểm của AC ; H; K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C . Đường tròn đi qua ba điểm M ; H; K là đường tròn Euler. Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là ảnh của đường tròn Euler qua phép vị tự tâm là O , tỷ số k = 2 . Gọi I và I ¢ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK và tam giác ABC . Gọi R và R¢ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK và tam giác ABC .   Ta có I (1;- 2) và do đó OI ¢= 2OI Þ I ¢(2; - 4). 5 Mặt khác R = Þ R¢= 5 . 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x- 2)2 + (y + 4)2 = 25 . Chọn A. Trang 16
17. Câu 36. S A đúng vì IO // SA Þ IO // (SAD). C đúng vì IO // SA Þ IO // (SAB). D đúng vì (IBD)Ç(SAC)= IO . I D B sai vì mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết A diện là tam giác IBD . O Chọn B. B C Câu 37. Kẻ đường sinh BB/ của hình trụ. Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là x , x > 0. ïì CD ^ BC Do íï Þ CD ^ B/C Þ B/CD vuông tại C . ï / îï CD ^ BB Khi đó , B/ D là đường kính của đường tròn (O/ ) . Xét B/CD vuông tại C ,có: B/ D2 = CD2 + CB/2 Þ 4r2 = x2 + CB/2 (1) Xét tam giác BB/ C vuông tại B có BC2 = BB/2 + CB/2 Þ x2 = h2 + CB/2 (2) 4r2 + h2 25 Từ (1) và (2) Þ x2 = = . 2 2 Suy ra diện tích hình vuông ABCD là S = 12,5. Chọn A. Phương án nhiễu: Đáp án C: khi xác định cạnh hình vuông sai: x = h = 3 Câu 38. Gọi A là giao điểm của d với d2 , do đó A(- 3;2- t;1+ t)  + AM = (5;1+ t;4- t)    + AM.u = 2t + 12 = 0 Þ t = - 6 Þ AM = (5;- 5;10) d1 x- 2 y - 3 z - 5 Nên phương trình d là d : = = . 1 - 1 2 Chọn D. Nhiễu B, C Câu 39. D C V æ ö MNPQ.A¢B¢C¢D¢ 1 çA¢M C¢P ÷ 1 æ1 1ö÷ 5 A Ta có: = ç + ÷= ç + ÷= . B èç ¢ ¢ ø÷ èç ø÷ N VABCD.A¢B¢C¢D¢ 2 A A C C 2 2 3 12 P 5 5 5275 V = V = V = ×2110 = nho MNPQ.A¢B¢C¢D¢ 12 ABCD.A¢B¢C¢D¢ 12 6 M Chọn C. Q Câu 40. Do MA = MB nên M nằm trên mặt phẳng(Q) là mặt D C phẳng trung trực của AB . A B Trang 17
18. Mặt phẳng (Q): y + z = 0 ,do M Î mp(P) và M Î mp(Q) nên M (3t + 1;- t;t) Trung điểm H của AB là H (2;1;- 1) Số đo góc ·AMB lớn nhất khi MH nhỏ nhất. Ta có: MH = (3t - 1)2 + (t + 1)2 (t + 1)2 = 11t2 - 2t + 3 1 14 1 1 MH khi t = ,lúc đó M ( ;- ; ). min 11 11 11 11 Chọn A. Câu 41. Đó là các mặt phẳng (SAC) , (SBD), (SHJ ), (SGI) với G , H , I , J là các trung điểm của các cạnh đáy dưới hình vẽ bên dưới. S A J D G O I B H C Chọn C . - 2 1 Câu 42. Ta có: cos(u,v)= = - Þ (u,v)= 1200 4 2 Chọn A. Nhiễu đáp án C. Câu 43. A C Kẻ C¢H ^ (ABC) tại H . Suy ra: (·CC¢;(ABC))= C· ¢CH.Theo B yêu cầu bài toán, · ¢ · ¢ (CC ;(ABC))= 30° Þ C CH = 30° C A C¢H 1 1 2 3 Þ sin 30° = = Þ C¢H = CC¢= = 3. CC¢ 2 2 2 B H 1 1 3 27 Do đó, V = C¢H.S = C¢H. AB.AC.sin 60° = 3. .3.3. = . ABC.A¢B¢C¢ ABC 2 2 2 4 Chọn C. S Câu 44. D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra SD ^ (ABC). Ta có SD ^ AB và SB ^ AB (gt) , suy ra AB ^ (SBD)Þ BA ^ BD . D C Tương tự có AC ^ DC hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA = SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB = SC . Từ đó ta chứng minh được SBD = SCD nên cũng có DB = DC . B Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc B· AC . A Trang 18
19. a Ta có D· AC = 30° , suy ra DC = . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 3 SD a S· BD = 60° , suy ra tan S· BD = Þ SD = BD.tan S· BD = . 3 = a . BD 3 1 1 a2 3 a3 3 Vậy V = .S .SD = . .a = . S.ABC 3 ABC 3 4 12 Chọn B.    Câu 45. Gọi M (x; y;z), ta có: MA(1- x;1- y;- z), MB(- x;1- y;1- z), MC(1- x;- y;1- z) . Theo yêu cầu bài toán, ta có: x(x- 1)+ (y - 1)2 + z(z - 1)+ (x- 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 2 æ 3ö2 æ 1ö2 æ 3ö2 19 Û çx- ÷ + çy - ÷ + çz - ÷ = èç 4ø÷ èç 2ø÷ èç 4ø÷ 8 æ3 1 3ö 38 Khi đó: M Î mc(S) có tâm I ç ; ; ÷ bán kính R = . èç4 2 4ø÷ 4 1 Do d (I;(Oxz))= < R nên tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn. 2 cau    2 Tập hợp M thỏa MA.MB MC 2 là mặt cầu giao với mặt phẳng là đường tròn Chọn D. Câu 46. Ta có: h = 3cm; r = 5cm , thể tích khối trụ :V = r2h = 75 (cm3 ) Chọn D. Câu 47. Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) và V = r2h đạt giá trị lớn nhất ( h,r được xác định như hình vẽ) Ta có : AC2 = AB2 + BC2 Û 4R2 = 4r2 + h2 æ 2 1 2 ö æ 1 3 2 ö V = çR - h ÷h = ç- h + R h÷ (0 < h < 2R) èç 4 ø÷ èç 4 ø÷ æ 3 2 2 ö 2R V ' = ç- h + R ÷= 0 Û h = ± èç 4 ø÷ 3 4 3 2R Vậy V = Vmax = R 3 Û h = 9 3 1 4R2 2R2 R 6 Lúc đó r2 = R2 - . = Þ r = . 4 3 3 3 Chọn A. 2 2 Câu 48. Ta có:V1 = 4 ×3 = 48 ; V2 = 3 ×4 = 36 ; Khối tròn xoay có thể tích V3 gồm hai khối nón có cùng bán kính đáy r . æ ö2 12 ç12÷ 144 r×BC = AB×AC Þ r = V3 = ç ÷ ×5 = 5 èç 5 ø÷ 5 Chọn D. Phương án nhiễu: ĐA B: khi xác định r = AC = 4,h = BC = 5. Trang 19
20. ĐA C: khi xác định r = AB = 3, h = BC = 5. 1 1 1   1   Câu 49. Ta có: V = h.S = .h. éAB, ACù= .h. éAB, ACù ABCD 3 ABC 3 2 ëê ûú 6 ëê ûú       éAB, ACù.AD 1 é ù ëê ûú VABCD = êAB, ACú.AD . Suy ra h =   6 ë û éAB.ACù ëê ûú Chọn C. Nhiễu A, D Câu 50. Ta có: Hình chiếu của I lên Oz là O(0;0;0) Bán kính R = IO = 5 Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;0) và tiếp xúc với trục Oz là: (x- 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 5. Chọn B. Nhiễu A và C. Trang 20