Đề thi Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 1 (Kèm đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Đề 1 (Kèm đáp án và thang điểm)

1. www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 1 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm) Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông? A. SBC B. SAB C. SCD D. SBD Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 2n2 1 1 2n2 n2 2n n2 2 A. 2 B. 2 C. un D. un 5n 3n 5n 3n 5n 3 1 3n2 Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1 x 1 A. Hàm số f (x) gián đoạn tại x 1 B. Hàm số f (x) liên tục trên R x 1 x2 1 x2 1 x 1 C. Hàm số f (x) liên tục trên R D. Hàm số f (x) liên tục trên (0;2) x 1 x 1 2x 3 Câu 4: Giới hạn lim là: x 1 1 x A. B. 2 C. D. 2 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SO  (ABCD) B. BD  (SAC) C. AC  (SBD) D. AB  (SAD) Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. (SCD)  (SAD) B. (SBC)  (SAC) C. (SDC)  (SAC) D. (SBD)  (SAC) Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, (SAB)  (ABC) , SA = SB , I là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa SC và (ABC) là S· CI B. SI  (ABC) C. AC  (SAB) D. AB  (SAC) Câu 8: Một chất điểm chuyển động có phương trình s t3 3t (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 2 (giây) ? A. 15m / s B. 7m / s C. 14m / s D. 12m / s Câu 9: Cho một hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu f (a) f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) . B. Nếu hàm số f (x) liên tục, đồng biến trên đoạn [a,b] và f (a) f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 không có nghiệm trong khoảng (a,b) . C. Nếu f (x) liên tục trên đoạn a;b, f (a). f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 không có nghiệm trên khoảng (a;b) . D. Nếu phương trình f (x) 0 có nghiệm trong khoảng (a,b) thì hàm số f (x) phải liên tục trên khoảng (a;b) 2 2 a a 2 2 Câu 10: lim n 3n n 2 ( a,b Z và tối giản) thì tổng a b là : b b A. 10 B. 3 C. 13 D. 20 Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 1
2. A. AC  SH B. BC  SC C. AB  SH D. BC  AH x 6 Câu 12: Hàm số y có đạo hàm là: x 9 3 3 15 15 A. B. C. D. x 9 2 x 9 2 x 9 2 x 9 2 ax2 4x 3 Câu 13: Cho hàm số f (x) ,(a R,a 0) . Khi đó lim f (x) bằng: 3x 2ax2 x a 1 A. B. C. D. 3 2 x 4 Câu 14: . Hàm số y x3 2x2 có đạo hàm là: 2 1 1 A. y ' 3x2 4x B. y ' 3x2 4x 4 .C. y ' 3x2 4x D. y 3x2 4x 2 4 2 Câu 15: Cho hàm số y 3x 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song 3 1 với đường thẳng y x là: 2 2 3 1 3 3 3 3 A. y x B. y x 1 C. y x 1 D. y x 2 2 2 2 2 2 Câu 16: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn? 3 4 3 n 2n 3 2 3n 1 2n n A. un B. un n 2n n C. un D. un 2 n4 4 n6 2 n 2 3 2 Câu 17: Giới hạn lim x là: x 0 1 4 x 1 3 A. B. 3 C. D. 3 2 4 2 t 3 4 Câu 18: Phương trình sinx lim , có nghiệm x (0; ) là t 1 t 1 2 1 A. B. vô nghiệm C. 300 D. 6 2 2x Câu 19: Biết lim 2 , khi đó a có giá trị là: x a x A. 1 B. Không tồn tại C. a R D. 0 f (x) f (2) Câu 20: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R thỏa mãn lim 3 . Kết quả nào sau x 2 x 2 đây là đúng? A. f ’ 3 2 B. f ’ 2 3 C. f ’ x 3 D. f ’ x 2 Câu 21: Đạo hàm của hàm số y sin 3x là : 3cos3x cos3x cos3x 3cos3x A. . B. . C. . D. . 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA = a 2 và SA vuông góc với mp(ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là: A. 450 B. 300 C. 600 D. 900 Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy tâm O và M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Khẳng định nào sau đây là sai ? A. (SBD)  (SAC) B. Góc giữa (SBC) và (ABCD) là S·MO Trang 2
3. C. Góc giữa (SCD) và (ABCD) là N· SO D. (SMO)  (SNO) Câu 24: Cho hàm số y f (x) cos2 x msin x có đồ thị (C). Giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x vuông góc với đường thẳng y x là: A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. 1. Câu 25: Hàm số y cos x sin x 2x có đạo hàm là: A. sin x cos x 2 B. sinx cosx 2. C. sin x cos x 2 . D. sin x cosx 2x . II.PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm) 1 Câu 1 (1 điểm). Cho hàm số y x3 2mx2 3mx 2 2 , m là tham số. 3 a)Giải bất phương trình y 0 khi m 1. b)Tìm điều kiện của tham số m để y ' 0,x R . Câu 2(0,75 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x tại điểm có hoành độ là 1. Câu 3(1,25 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA = SC, 3a SB = SD, SO = và ·ABC 600 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. 4 a)Chứng minh SO  ABCD , (SAC)  SBD . b). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ. c) Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC). HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÃ ĐỀ I. PHẦN TRẮC NGHIỆM(7điểm): Mỗi câu đúng đạt 0.28 điểm 1D 2A 3B 4C 5C 6A 7D 8A 9B 10C 11D 12A 13B 14C 15A 16B 17D 18A 19C 20B 21A 22A 23C 24D 25C II. PHẦN TỰ LUẬN(3 điểm) Câu Ý Nội dung Điểm 1 0,5 y x3 2mx2 3mx 2 2 , m là tham số. a)Giải bpt y 0 khi m 1. 3 a y ' x2 4mx 3m . Khi m=1, y ' x2 4x 3 0,25 1 y 0 1 x 3. Vậy bất phương trình y 0 có nghiệm1 x 3 0,25 (1đ) b)Tìm điều kiện của tham số m để y ' 0,x R 0,5 b y ' 0,x R 0 0,25 3 4m2 3m 0 0 m 0,25 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x tại điểm có hoành độ là 1. 0,75 2 y (1) 4 , y(1) 2 0,25 (1đ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y y (1)(x 1) y(1) 0,25 y 4(x 1) 2 4x 2 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA = SC, SB 0,5 1 a 3a (3đ) = SD, SO = và ·ABC 600 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC 4 Trang 3
4. a)Chứng minh SO  ABCD , (SAC)  SBD . S A D I O E B J C SAC cân tại S nên SO  AC , SBD cân tại S nên SO  BD .Vậy SO  ABCD . 0,25 AC  SO(Cm trên) AC  (SBD) (SAC)  (SBD) 0,25 AC  BD(ABCD là hình thoi) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ. 0,25 b E BO  IJ E là trung điểm của BO. Do OE  IJ;OE  SO d(SO, IJ ) OE a. 3 BO a. 3 0,25 Tam giác ABC đều cạnh a nên BO .Vậy d(SO, IJ ) OE 2 2 4 Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC). 0,5 Nhận thấy giao tuyến của (SIJ) và (SAC) song song với AC. 0,25 c Theo trên AC  (SBD) , do đó góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) là O· SE OE 1 tan O· SE góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) là O· SE 300 0,25 SO 3 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 2 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm) Câu 1: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0? 2 3 n 2n 3n 1 k * n A. lim3 ; B.lim ; C. lim n k ¥ ; D. lim 2 n3 4n2 3 n 3 2 4 6 2n Câu 2: lim là: 2n2 n 1 1 1 1 1 A. B. C. D 2 4 2 4 x 1 Câu 3: lim là: x 3 2x 6 1 1 A. B. C. D. 2 6 4x 7 Câu 4: Đạo hàm của hàm số y là: 1 x 3 3 11 11 A. y ' B. y ' C. y ' D. y ' ( x 1)2 ( x 1)2 (1 x)2 (1 x)2 Trang 4
5. Câu 5: Hàm số f x sin 2x 5cos x 8 có đạo hàm là: A. f '(x) 2cos2x 5sin x .B. f '(x) 2cos2x 5sin x . C. f '(x) cos2x 5sin x . D. f '(x) 2cos2x 5sin x . Câu 6: Một chất điểm chuyển động có phương trình S(t) t3 3t2 5t 2 . Trong đó t > 0, t tính bằng giây(s) và S tính bằng mét(m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là: A. 24m / s2 B. 17m / s2 C.14m / s2 D. 12m / s2 Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) 2x4 4x 1 tại điểm M(1; -1) có hệ số góc bằng: A. 4 B. -12 C. 1 D. 0    Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có AB a, AD b, AA' c. Gọi I là trung điểm của BC’. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  1 1   1 1 A. AI a b c B. AC' a b c C. AI a b c D. 2 2 2 2  AC' 2(a b c) Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau C. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau Câu 10: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a  và b  a thì / /b B. Nếu a / / và b  thì a  b C. Nếu a / / và / /b thì b / /a D. Nếu a / / và b  a thì  b Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Góc giữa hai đường thẳng AC và A1D1 bằng A. 900 B. 450 C. 300 D. 600 Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật C. Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương D. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đ PHẦN II: TỰ LUẬN ( 7 điểm) Câu 13(1,5 điểm): a) Tìm giới hạn sau lim ( 3x5 5x3 x 2) x Trang 5
6. 4 n b) Tính đạo hàm của hàm số y m 2 ,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1 x x2 3x 2 nếu x 2 Câu 14(1,0 điểm): Tìm a để hàm số f (x) x 2 liên tục tại x 2. ax 1 nếu x 2 Câu 15(1 ,5điểm) a) Cho hàm số y x3 5x2 2 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y 3x 7 x m b) Cho hàm số y có đồ thị là (C ) . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao x 1 m 1 (C ) k điểm của đồ thị m với trục hoành. Gọi 2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x =1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất Câu 16 (3 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. a 3 Biết SA  ABCD , SA . 3 a) Chứng minh BC  SB b) Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh BDM  ABCD c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) . HẾT ĐÁP ÁN PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 3 điểm) + Gồm 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B A D A B D A C D B B C PHẦN II: TỰ LUẬN ( 7 điểm) Trang 6
7. Câu Nội dung Điểm a) Tìm giới hạn sau lim ( 3x5 5x3 x 2) x 0,75 5 3 5 5 1 2 Ta có lim ( 3x 5x x 2) lim x ( 3 ) 0,25 x x x2 x4 x5 5 1 2 Mà lim x5 , lim ( 3 ) 3 0 0,25 x x x2 x4 x5 Vậy lim ( 3x5 5x3 x 2) x 0,25 4 n y m 13 b) Tính đạo hàm của hàm số 2 ,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1 0,75 x 4 3 ' n n n y m 2 y ' 4 m 2 m 2 0,25 x x x 3 3 n 2n 8n n 4 m 2 3 3 m 2 0,25 x x x x 3 Vậy y '(1) 8n m n 0,25 x2 3x 2 nếu x 2 Tìm a để hàm số f (x) x 2 liên tục tại x 2. 1,0 ax 1 nếu x 2 Tập xác định D = R 14 x2 3x 2 0,5 Ta có • lim lim(x 1) 1 , • lim (ax 1) 2a 1, • f (2) 2a 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Hàm số liên tục tại x = 2 lim f (x) lim f (x) f (2) 0,25 x 2 x 2 2a 1 1 a 0 0,25 Vậy với a=0 thì hàm số liên tục tại x = 1 3 2 a) Cho hàm số y x 5x 2 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp 15 1,0 tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y 3x 7 Phương trình tiếp tuyết có dạng: y f '(x )(x x ) y 0 0 0 0,25 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x 7 f '(x0 ) 3 x0 3 2 2 3x0 10x0 3 3x0 10x0 3 0 1 x 0 3 x0 3 y0 16; 0,25 1 40 x y . 0 3 0 27 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,-16) là: y 3(x 3) 16 3x 7 1 4 0 N ( ; ) 0,25 Phương trình tiếp tuyến tại điểm 3 2 7 là: 1 40 67 y 3(x ) 3x 3 27 27 Trang 7
8. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là: 67 0,25 y 3x 27 x m b) Cho hàm số y có đồ thị là (Cm ) . Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao x 1 điểm của đồ thị (C ) với trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị m 2 0,5 (Cm ) tại điểm có hoành độ x =1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất x m 1 m TXĐ D=R\{-1}. Ta có y y ' x 1 (x 1)2 Hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm ) với trục hoành là x m 0,25 1 1 m x m k y '( m) ; x 1 k y '(1) 1 1 m 2 4 Ta có 1 1 m 1 1 m 1 1 m k1 k2 2 . 1,m 1 1 m 4 1 m 4 1 m 4 Dấu “=” xảy ra 0,25 1 1 m 2 m 1 (1 m) 4 1 m 4 m 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. 3,0 a 3 Biết SA  ABCD , SA . Gọi M là trung điểm của SC. 3 S M 0,5 A D 16 O B C Hình vẽ 0,5 (điểm) a)Chứng minh BC  SB 0,5 Ta có BC  SA do SA  ABCD (1) , BC  AB ( do ABCD là hình vuông) (2) 0,25 và SA, AB  SAB (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra BC  SAB BC  SB 0,25 Trang 8
9. ( Có thể áp dụng định lí 3 đường vuông góc để chứng minh) b) Chứng minh BDM  ABCD 1,0 + Xét 2mp (BDM) và (ABCD), ta có MO PSA  0,5  MO  ABCD (1) SA  ABCD  + Mà MO  BDM (2) Từ (1) và (2) suy ra BDM  ABCD . 0,5 c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) . 1,0 Ta có SO là hình chiếu của SB lên mp(SAC) Do đó góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là B· SO . 0,25 OB Xét tam giác vuông SOB, có:sin B· SO . Mà SB a 2 0,5 a 2 a 3 2a 6 OB , SB a2 ( )2 sin B· SO 2 2 3 3 2a 4 3 B· SO 37,50 Vậy góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là: B· SO 37,50 0,25 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 3 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút Câu 1: (1 điểm) Tính các giới hạn sau: 2 x x2 a) lim x 1 x 1 x 2 b) lim x 3 x 3 Câu 2: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5 3x4 5x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Câu 3: (1,5 điểm) 3x 1 a) Tính đạo hàm của hàm số y 1 x 2 b) Cho hàm số f (x) cos 2x . Tính f . 2 x 1 Câu 4: (1 ,5 điểm) Cho hàm số y . x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2. Trang 9
10. x 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y . 2 Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA  (ABCD) và SA a 6 . a) Chứng minh : (SBD)  (SAC) . b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC. Câu 6: (1 điểm) Cho định nghĩa bông tuyết von Koch như sau: Bông tuyết đầu tiên K1 là một tam giác đều có cạnh bằng 1. Tiếp đó, chia mỗi cạnh của tam giác thành ba đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bởi hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía ngoài, ta được bông tuyết K2 . Cứ tiếp tục như vậy, cho ta một dãy các bông tuyết K1, K2 , K3, , Kn Gọi Cn là chu vi của bông tuyết Kn . Hãy tính limCn K K1 K2 3 Trang 10
11. ĐÁP ÁN câ Đáp án Điể u m 1 2 x x2 ( x 2)(x 1) 0.5 lim = lim lim( x 2) 3 x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 lim x 2 5 0.5 x 3 x 2 lim vì lim x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3 0 khi x 3 2 Xét hàm số f (x) x5 3x4 5x 2 f liên tục trên R. 1 Ta có: f (0) 2, f (1) 1, f (2) 8, f (4) 16 f (0). f (1) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 (0;1) f (1). f (2) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 (1;2) f (2). f (4) 0 PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 (2;4) PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). 3 4 1 y (x 1)2 f (x) 4 cos2x sin 2x f (x) 2sin 4x f (x) 8cos4x 0.5 f " 8cos2 8 2 4 x 1 2 1 y y (x 1) x 1 (x 1)2 a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y ( 2) 2 PTTT: y 3 2(x 2) y 2x 1. x 2 1 1 0.5 b) d: y có hệ số góc k TT có hệ số góc k . 2 2 2 1 2 1 Gọi (x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y (x ) 0 0 0 2 2 2 (x0 1) x0 1 x0 3 1 1 + Với x 1 y 0 PTTT: y x . 0 0 2 2 1 7 + Với x 3 y 2 PTTT: y x . 0 0 2 2 5 S 1 a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC). ABCD là hình vuông nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD)) BD  H B Trang 11 A O D C
12. (SAC) BD SC (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD)  (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) 1 Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD) a 2 AO , SA = a 6 gt và SAO vuông tại A 2 1 1 1 1 2 13 nên AH 2 SA2 AO2 6a2 a2 6a2 6a2 a 78 AH 2 AH 13 13 c) Tính góc giữa SC và (ABCD) 1 Dế thấy do SA  (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC góc giữa SC và (ABCD) là ·SCA . Vậy ta có: SA a 6 tan·SCA 3 ·SCA 600 AC a 2 d) Gọi M là trung điểm của AB. 1 AM.SA 6 dSO;BC dBC; SOM dB; SOM d A; SOM AK a AM 2 SA2 5 6 Mỗi công đoạn cho ta một hình mới có số cạnh gấp 4 lần số cạnh ban đầu nên 1 n 1 bông tuyết Kn có số cạnh là 3.4 . Mỗi công đoạn lại làm độ dài mỗi cạnh giảm đi 3 lần nên bông tuyết Kn có độ 1 dài cạnh là . 3n 1 n 1 n 1 1 4 Như vậy chu vi của bông tuyết Kn được tính bằng Cn 3.4 . n 1 3. 3 3 n 1 4 Suy ra limCn lim3. 3 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 4 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút I. Phần trắc nghiệm(6 điểm/20 câu, từ câu 1 đến câu 20): Chung cho tất cả thí sinh. Câu 1: Đạo hàm của hàm số y tan x là 1 1 1 1 A. B. C. D. - sin2 x sin2 x cos2 x cos2 x Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a / / và / /b thì b / /a B. Nếu a / / và b  a thì  b Trang 12
13. C. Nếu a / / và b  thì a  b . D. Nếu a  và b  a thì / /b 1 Câu 3: Vi phân của hàm số y 2x 1 là: x 1 1 2x 1 A. dy 2 dx B. dy 2 dx 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 1 1 C. dy 2 dx D. dy 2 dx 2x 1 x 2x 1 x Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Tính khoảng cách từ điểm B đến mp (SAC). a a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 3 4 2 Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. BC  (SAB) B. BC  (SAM) C. BC  (SAC) D. BC  (SAJ) x3 3 Câu 6: Cho hàm số f (x) x2 4x 6. Phương trình f (x) 0 có nghiệm là: 3 2 A. x 1, x 4 B. x 1, x 4 C. x 0, x 3 D. x 1 Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y tanx là: A. y '' 2 tan x(1 tan2 x). B. C. D. 3n2 5n 1 3 3 Câu 8: lim bằng: A. B. C. 0 D. 2n2 n 3 2 2 Câu 9: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f (x) x3 x tại điểm M ( 2;6). Hệ số góc của (d) là A. 11 B. 11 C. 6 D. 12 Câu 10: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ   AB là:    D C A. DC; A' B '; D 'C ' B. DC; A' B ';C ' D '       A C. DC;C ' D '; B ' A' D. CD; D 'C '; A' B ' B 1 3 1 x 1 1 Câu 11: lim bằng A. 0 B. 1 C. D. x 0 x 3 9 D' C' Câu 12: lim 3x4 9x2 5 bằng: A. -2 B. C. D. 2 x 2x 1 2 1 A' B' Câu 13: lim bằng: A. B. C. D. x 1 x 1 3 3 Câu 14: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình Q t 2. Tính cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t0 3 (giây) ? A. 3(A) B. 6(A) C. 2(A) D. 5(A) Câu 15: Cho hàm số y f (x) x3 3x2 12. Tìm x để f ' (x) 0. A. x ( 2;0) B. x ( ; 2)  (0; ) C. x ( ;0)  (2; ) D. x (0;2) 7 5 4 Câu 16: Đạo hàm của hàm số y x 6x là: 3 6 6 5 4 20 3 A. 7 x 6x B. x 6 3 3 6 6 5 4 5 4 20 3 5 4 C. 7 x 6 x 6x D. 7 x 6 x 6x 3 3 3 3 Trang 13
14. Câu 17: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình hộp? A. Có số cạnh là 16. B. Có số đỉnh là 8. C. Có số mặt là 6. D. Các mặt là hình bình hành Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. B. Trong không gian cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia. C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. x2 1 khi x 0 Câu 19: Cho hàm số: f (x) trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x khi x 0 A. lim f (x) 1 B. lim f (x) 0 x 0 x 0 C. f (0) 0 D. f liên tục tại x0 = 0 Câu 20: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước. B. Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó . C. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. D. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước. II. Phần tự luận 2x 11 Câu 21 a. (1.0điểm) 1. Tìm giới hạn: lim . x 5x 3 2. Tìm đạo hàm của các hàm số: y x3 cos(3x+1) . Câu 22a(1.0điểm) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x2 6x 4 tại điểm A(-1;-3) Câu 23a (2.0điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a. 1. Chứng minh (SCD)  (SAD). 2. Tính d(A, (SCD). 2x 11 Câu 21 b. (1.0điểm). 1. Tìm giới hạn: lim . x 3x 3 2. Cho hàm số f(x) = cos2x - 4cosx -3x . Hãy giải phương trình f (x) 3. 1 1 Câu 22b(1.0điểm) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có tung độ bằng . x 3 Câu23b (2.0điểm). Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. SA  ABCD , SA 2a 3 . 1. Chứng minh :(SAC)  (SBD). 2. Gọi I là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với SD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ, tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Môn: Toán – Khối 11 CÂU ĐA 1 C 2 C 3 A Trang 14
15. 4 D 5 B 6 A 7 B 8 D 9 A 10 A 11 C 12 C 13 B 14 B 15 D 16 D 17 A 18 C 19 D 20 B 14 B 15 D 16 D 17 A 18 C 19 D 20 B ĐÁP ÁN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 11 21a 2x 11 0,5d Câu 21a: Tìm giới hạn: Tìm giới hạn: lim x 5x 3 2x 11 2 đ/ s lim x 5x 3 5 . Tìm đạo hàm của các hàm số: y x3 cos(3x+1) đs: y ' 3x2 3sin(3x 1). 0,5 22a Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y x2 6x 4 tại điểm A(-1;-3) 1,0d Ta có y 2x 6 nên y, ( 1) 8 0,5 Phuơng trình tiếp tuyến là : y 3 8(x 1) y 8x 5 Trang 15
16. S H A B O D C 23a Vì đáy là hình vuông nên CD  AD (1) Mặt khác, vì SA  (ABCD) nên SA  CD (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có CD  (SAD) màCD  (SCD) nên(SCD)  (SAD) 0,25 0,25 0,25 Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH  SD, 0,25 AH  CD AH  (SCD) d(A,(SCD)) = AH. 1 1 1 1 1 2a 5 AH 0,25 2 2 2 2 2 AH SA AD 4a a 5 0,25 2a 5 0,25 Vậy: d(A,(SCD)) 5 21b 2x 11 2x 11 2 1,0d .1. Tìm giới hạn: lim đs lim x 3x 3 x 3x 3 3 2. Cho hàm số f (x) cos2x 4cosx 3x . Hãy giải phương trình f (x) 3 f (x) 2sin 2x 4sinx-3 sin x 0 Ta có f (x) 3 2sin 2x 4sinx-3 3 sin x(cosx+1) 0 cos x 1 x k ;k Z x k ,k . x k2 22b 1 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có tung độ bằng . x 3 1 1 Ta có y y (x 0) x x2 1 1 1 1 Với y0 ta có x0 3 ; y (3) 2 x0 3 9 1 1 1 2 Vậy PTTT: y (x 3) x 9 3 9 3 23b Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. 2,0d SA  ABCD , SA 2a 3 . 1. Chứng minh :(SAC)  (SBD) 2. Gọi I là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với SD. Xác Trang 16
17. định và tính thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). Vì đáy là hình vuông nên BD  AC (1) 0,25 Mặt khác, vì SA  (ABCD) nên SA  BD (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có BD  (SAC) 0,25 mà BD  (SBD) nên (SDB)  (SAC) 0,25 0,25 b, Kẻ IH  SD, HG PDC, IF PDC Do DC  (SAD) HG  (SAD) HG  SD 0,25 Vậy P là mặt phẳng IHGF Dựng được thiết diện IFGH. Tính đúng diện tích DH HG 0,25 SD 4a , DS DC 3 a 7a 0,25 IH a;DH ;IF 2a;GH . 2 2 4 IF HG 15 3 S .IH a2 2 16 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI HỌC KỲ II ĐỀ 5 Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: x2 1 Câu 1: Tính lim bằng x x2 3x 2 1 1 A. 1. B. . C. 1. D. . 2 2 x 1 2 Câu 2: Tính lim bằng x 3 9 x2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 24 6 6 Câu 3: Hàm số nào sau đây không liên tục trên R? Trang 17
18. A. y sin x . B. y 3x4 2x 3 . C. y tan x . D. y cos x . Câu 4: Chứng minh rằng phương trình x3 x 3 0có ít nhất một nghiệm. Một bạn học sinh trình bày lời giải như sau: Bước 1: Xét hàm số y f (x) x3 x 3 liên tục trên ¡ . Bước 2: Ta có f (0) 3 và f ( 2) 3. Bước 3: suy ra f (0). f ( 2) 0 . Bước 4: Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm. Hãy tìm bước giải sai của bạn học sinh trên ? A. Bước 1. B. Bước 2 . C. Bước 3. D. Bước 4 . Câu 5: Đạo hàm của hàm số y cos2x tại x là 8 2 2 A. 2 . B. . C. 2 . D. . 2 2 Câu 6: Cho u u x ,v v x ,v x 0 . Hãy chọn khẳng định sai? 1 v ' A. u v ' u ' v '. B. . v v C. u.v ' u '.v u.v ' . D. k.u k.u . 2x 1 Câu 7: Đạo hàm của hàm số y là 1 x 1 1 3 3 A. y ' . B. y ' . C. y ' . D. y ' . x 1 2 1 x 2 x 1 2 1 x 2 Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số sau y 2x 1 2017 . 2016 2017 2017 2x 1 A. y ' B. y ' . 2 2x 1 2017 2 x 1 2017 2x 1 2017 2017 2x 1 2016 C. y ' . D. y ' . 2 2x 1 2017 2x 1 2017 Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai? A. sin x cos x . B. cos x sin x . 1 1 C. tan x . D. cot x . cos2 x sin2 x Câu 10: Đạo hàm của hàm số y x3cosx là A. y ' 3x2 cos x x3 sin x . B. y ' 3x2 cos x x3 sin x . C. y ' 3x cos x x3 sin x . D. y ' 3x2 cos x 3x2 sin x . Câu 11: Đạo hàm cấp hai của hàm số y cos x là A. y '' sin x . B. y '' cos x . C. y '' cos x . D. y '' sin x . Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây là sai?         A. AB AD AA' AC '. B. BC CD BB ' BD ' .         C. CB CD DD' CA'. D. AD AB AA' A'C .   Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Tìm góc giữa hai vectơ AD ' và BD . A. 450 B. 300 C. 600 D. 1200 Câu 14: Trong không gian, phát biểu nào sau đây là sai ? A. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. B. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. C. Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Trang 18
19. D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  (ABCD) . Chọn khẳng định sai ? A. BD  SAC . B. AC  SBD . C. BC  SAB . D. DC  SAD . Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA  (ABC) và AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SB  BC . B. AH  BC . C. SB  AC . D. AH  SC . Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD) . Khi đó, mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng A. (SBC) . B. (SAC) . C. (SAD) . D. (ABCD) . Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA=x. Tìm x để góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 là a 3 A. x . B. x a 3 . C. x a 6 . D. x a 2 . 3 Câu 19: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau, biết a  (P),b  (Q) và (P) / /(Q) . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (Q). B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ một điểm A tùy ý thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (Q). C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b không bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của chúng. 1 Câu 20: Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147m có phương trình chuyển động S t gt2 , trong đó 2 g 9,8m / s2 và t tính bằng giây(s). Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật tiếp đất. 49 30 49 15 A. 30 m / s B. 30 m / s C. m / s D. m / s 5 5 II. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm): 2x 5 Bài 1( 1,0 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y , biết tiếp tuyến song x 2 song với đường thẳng d : y x 2017 . Bài 2 ( 2,0 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau: x5 a) y 2x2 x . 5 sinx b) y . sin x cos x 2 c) y cos 2x . 3 Bài 3 ( 2,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 10 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD. a. Chứng minh : BD  (SAC) b. Tính góc giữa SM và (ABCD). c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SMN . D. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM TỰ LUẬN Bài ĐÁP ÁN Điểm 1 2x 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y , biết tiếp x 2 tuyến song song với đường thẳng d : y x 2017 . Trang 19
20. Gọi x0; y0 là tọa độ tiếp điểm. 0,25 Vì d : y x 2017 có hệ số góc k 1 9 0,25 Suy ra: hệ số góc tiếp tuyến y x0 1 2 1 x0 2 2 x0 5 x0 4x0 5 0 x0 1 0,25 x0 1 y0 1 pttt : y x 2 0,25 x0 5 y0 5 pttt : y x 10 2a x5 y 2x2 x 5 1 y ' x4 4x 0,75 2 x 2b sinx y . sin x cos x sin x ' sin x cos x sin x sin x cos x ' y ' 0,25 sin x cos x 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0,25 sin x cos x 2 1 2 0,25 sin x cos x 2c 2 y cos 2x . 3 0,25 y ' 2cos 2x cos 2x 3 3 2 4cos 2x .sin 2x 2sin 4x 3 3 3 0,25 3a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 10 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD. S H 0,5 A D O I N B M C a. Chứng minh : BD  (SAC) BD  AC 0,5  BD  SAC BD  SA  3b b. Tính góc giữa SM và (ABCD). Hình chiếu của SM lên (ABCD) là AM. Nên  SM , ABCD  SM , AM SMA Trang 20