Đề thi khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 12 - Lần 1 - Mã đề: 101 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Quế Võ 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 12 - Lần 1 - Mã đề: 101 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Quế Võ 1 (Có đáp án)

1. SỞ GD-ĐT BẮC NINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 - NĂM HỌC 2020-2021 TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Mã đề: 101 Đề gồm có 7 trang, 50 câu (Thí sinh không được sử dụng tài liệu) Họ tên thí sinh: SBD: Câu 1: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau? A. y = 2x 4 - x 2 + 1. B. y = - x 4 + x 2 + 1. C. y = - x 4 + 2x 2 + 1. D. y = x 4 - 2x 2 + 1. sin 2x Câu 2: Số nghiệm của phương trình 0 trên đoạn 0;2020  là cos x 1 A. 3030 B. 2020 C. 3031 D. 4040 2 1 Câu 3: Số nghiệm của phương trình log4 3x x là 2 A. 1 B. 5 . C. 0 . D. 2 . Câu 4: Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, log a4 bằng a5 1 4 5 A. . B. . C. 20 . D. . 5 5 4 Câu 5: Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì có thể tích là: 1 1 4 A. V S.h . B. V S.h . C. V S.h . D. V S.h . 2 3 3 Câu 6: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là: A. S Rl 2 R2 B. S Rh R2 C. S 2 Rl 2 R2 D. S Rl R2 tp tp tp tp Câu 7: Nghiệm của phương trình 2cos x 1 0 là 1
2. é p êx = + k2p p ê 3 2p 2p A. x = ± + k2p, k Î ¢. B. ê , k Î ¢. C. x = ± + kp, k Î ¢. D. x = ± + k2p, k Î ¢. 3 ê 2p 3 3 êx = + k2p ëê 3 x 3 Câu 8: Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng 3 x2 2mx 2m2 9 đường tiệm cận. Số phần tử của S là A. 6 . B. 7 . C. 4 . D. 5. Câu 9: Nhà bạn Minh cần khoan một cái giếng nước. Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là 200.000đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 7% so với giá tiền của mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu nhà bạn An khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 18895000đ. B. 1422851đ. C. 18892000đ. D. 18892200đ. Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 y2 2x 4y 11 0 . Tìm bán kính của đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2020 và phép tịnh tiến theo véctơ v (2019;2020) là: A. 16. B. 8080. C. 32320. D. 4. Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số f x sin2 x cos 2x . A. f x 3sin 2x B. f x 2sin x sin 2x . C. f x sin 2x . D. f x 2sin x 2sin 2x 3 2n a a Câu 12: Biết giới hạn lim trong đó a,b Z và tối giản. Tính a.b . 5n 1 b b A. 6 B. 3 C. 10 D. 15 Câu 13: Cho a là số thực dương thỏa mãn a 10 , mệnh đề nào dưới đây sai? 100 10 A. log 2 log a B. log a a . a C. log 10a a . D. log 1000.a 3 log a . Câu 14: Cho mặt cầu S có tâm O , bán kính 6 .Biết khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng bằng 4 . Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn C có bán kính bằng A. r 10 . B. r 2 5 C. r 52 D. r 2 a 3 Câu 15: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a , d S, ABCD . Góc giữa mặt phẳng 2 SBC và mặt phẳng ABCD bằng A. 600 . B. 900 . C. 450 . D. 300 . x - 1 Câu 16: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: 1- 2x 2
3. 1 1 1 A. y = - 1 . B. x = . C. y = . D. y = - . 2 2 2 Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 2 0 2 y ' + 0 0 + 0 y 2 4 1 Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 1 B. 4 C. 2 D. 0 Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC 2a; BD 3a , SA a , SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là 2 A. 2a3 . B. a3 . C. a3 . D. 4a3 . 3 x 2 1 Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình 9 3 A. ; 4. B.  4; . C. ;4 . D. 0; . x a Câu 20: Cho hàm số y ab 2 . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị bx 2 hàm số tại điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : 3x y 7 0. Khi đó giá trị của a 3b bằng A. 13. B. 4 . C. 32. D. 7 . Câu 21: Cho tập hợp A gồm có 2021 phần tử. Số tập con của A có số phần tử 1011 bằng A. 22020 . B. 22021 . C. 2020 . D. 22019 . Câu 22: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: k n k k 1 k k A. Cn Cn . B. Cn Cn Cn 1 . Ak C. Ak n n 1 n 2 n k 1 . D. C k n . n n k! Câu 23: Cho hàm số y x 1 x x2 3x 2 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C cắt trục hoành tại 1 điểm. B. C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. C. C cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. D. C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 24: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi I , J , K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , AA'C , A B C . Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng IJK ? 3
4. A. A BC . B. AA' B . C. BB 'C . D. AA C . Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật AB a; AD 4a; SA a 15 , SA  ABCD , M là trung điểm của AD , N thuộc cạnh BC sao cho BC 4BN . Khoảng cách gữa MN và SD là 2 33a 2 690a a 33 690a A. . B. . C. . D. . 11 23 11 23 Câu 26: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC. A B C biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng 2a . 3a3 3a3 2 3a3 A. 2 3a3 . B. . C. . D. . 2 6 3 Câu 27: Cho 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 3 bằng 9 127 11 11 A. . B. . C. . D. . 95 380 380 190 Câu 28: Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình y vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 . 2 A. 2 . B. 1. 2 3 C. 3. D. 4 . 1 O 1 x Câu 29: Gọi S là tập giá trị nguyên m Î [- 2020;2020] để phương trình 2sin2 x + m sin 2x = 2m vô nghiệm.Tính tổng các phần tử của S A. S = 2020 B. S = 0 C. S = - 1 D. S 1 Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên R và hàm số f ' x có bảng biến thiên như sau. Tìm mệnh đề đúng? x 1 1 f "(x) + 0 0 + 2 f ' x 1 A. Hàm số y f x có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại . B. Hàm số y f x có 1 điểm cực tiểuvà 1 điểm cực đại C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số y f x có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại . 4
5. Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , BC a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a . 15a3 3a3 2 15a3 A. V . B. V . C. V 2 3a3 . D. V . 3 3 3 2020 Câu 32: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 2 2019 x2 x 2 x 3 3 . Số điểm cực trị của hàm số f x là A. 5. B. 1. C. 2 . D. 3. y Câu 33: Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 f cos x 2m 3 có 4 nghiệm thuộc khoảng 0;2  là 1 3 1 x A. 1. B. 1; . 1 2 1 3 C. 1; . D. 0;1 . 2 Câu 34: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng 3a . Gọi M thuộc cạnh B'C ' sao cho MC ' 2MB' , N thuộc cạnh AC sao cho AC 4NC Mặt phẳng A MN cắt cạnh BC tại Q . Tính thể tích V khối đa diện CNQ.C ' A'M . 189 3a3 63 3a3 26 3a3 31 3a3 A. V B. V . C. V . D. V . 64 32 16 16 Câu 35: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C ' có AA' a . Khoảng cách giữa AB ' và CC ' bằng a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' 2a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. a3 3. C. D. 3 2 3 2 x 2 Câu 36: Giá trị m để hàm số y nghịch biến trên 1;0 là 2 x m A. m 2 . B. m 2. C. m 0 . D. m 1. x x Câu 37: Gọi S là tập các giá trị m nguyên m để phương trình 9. 10 3 10 3 m 2020 0 có đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của S là A. 7 . B. 3. C. 6 . D. 8 . Câu 38: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 15x trên đoạn  4;1 bằng 5
6. A. 22 B. 14 C. 10 5 D. 10 5 8pa2 Câu 39: Cho mặt cầu có diện tích bằng , khi đó bán kính mặt cầu là 3 a 6 a 3 a 2 a 6 A. R = B. R = C. R = D. R = 2 3 3 3 Câu 40: Một khối nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng pa2 . Tính thể tích của khối nón đã cho? pa3 15 pa3 15 pa3 7 pa3 15 A. V = B. V = C. V = D. V = 12 24 24 8 Câu 41: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x 1 3 f ' x + 0 0 + f x 15 17 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (- 17;15). B. (- ¥ ;- 3). C. (3;+ ¥ ). D. (- 1;3). Câu 42: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BC 4a,SA a 3 , SA  (ABC) và cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC . 28 7 a3 20 5 a3 A. V . B. V 28 7 a3 . C. V 28 a3 . D. V . 3 6 Câu 43: Biết đồ thị hàm số y x3 3x2 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường trung trực của đoạn AB là A. x 2y 2 0 . B. 2x y 1 0 . C. 2x y 1 0. D. x 2y 3 0. Câu 44: Cho 2 hàm số y log2 x 2 (C1) và y log2 x 1 C2 . Goị A, B lần lượt là giao điểm của C1 ; C2 với trục hoành, C là giao điểm của C1 và C2 . Diện tích tam giác ABC bằng 3 3 1 A. 3 (đvdt) B. (đvdt) C. (đvdt) D. (đvdt) 4 2 2 Câu 45: Cho hai hàm số y x(x 2)(x 3)(m | x |); y x4 6x3 5x2 11x 6 có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [ 2020;2020] để C1 cắt C2 tại 4 điểm phân biệt? A. 2021 B. 2019 C. 4041 D. 2020 6
7. x2 2 x 2020 2 x Câu 46: Số nghiệm của phương trình e 2 ln x 2 x 2018 là 2 A. 4 . B. 2 C. 0 . D. 3. 1 Câu 47: Tập xác định của hàm số y 9 x2 2020 là: A.  3;3. B. 3;3 . C. ; 3  3; . D. ; 3 . Câu 48: Cho cấp số nhân un biết u4 7;u10 56 . Tìm công bội q A. q 2 B. q 2 C. q 2 D. q 2 Câu 49: Cho một hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh bằng 10cm , bán kính đáy bằng 6cm . Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón N đỉnh S có chiều 16 cao bằng cm . Tính diện tích xung quay của khối nón N . 5 48 48 48 96 A. S cm2 . B. S cm2 . C. S cm2 . D. S cm2 . 10 5 5 5 Câu 50: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCDA'B'C 'D' bằng a . Tính thể tích của khối lập phương ABCDA'B'C 'D' 3 8 3 3 1 3 8 3 A. a B. a C. a D. a 9 27 27 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1-C 2-C 3-D 4-B 5-D 6-C 7-D 8-C 9-C 10-B 11-A 12-C 13-B 14-B 15-A 16-D 17-A 18-B 19-A 20-C 21-C 22-C 23-D 24-B 25-D 26-A 27-B 28-C 29-C 30-A 31-D 32-D 33-C 34-B 35-B 36-D 37-D 38-D 39-D 40-B 41-D 42-A 43-D 44-C 45-A 46-A 47-B 48-B 49-B 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C. Dựa vào đồ thị ta có đồ thị trên là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có bề lõm hướng xuống nên hệ số a 0 nên loại đáp án A và D. Xét điểm 1;2 thuộc đồ thị hàm số trên. 7
8. Thay 1;2 vào y x4 x2 1 ta được 2 =1 (vô lý). Thay 1;2 vào y x4 2x2 1 ta được 2 = 2 (đúng). Nên đồ thị trong hình vẽ trên là đồ thị của hàm số y x4 2x2 1. Câu 2: Chọn C. Điều kiện: cos x 1 0 x l2 l ¢ . Ta có: x m m ¢ 2 sin 2x 0 sin 2x 0 2x k k ¢ x k k ¢ x n2 n ¢ cos x 1 2 x p2 p ¢ x m m ¢ So lại với điều kiện, phương trình có họ nghiệm là 2 . x n2 n ¢ 4039 1 4039 Xét 0 m 2020 m m . Vì m ¢ nên có 2002 giá trị m thỏa 2 2 2 2 2 mãn đề bài. Xét 0 n2 2020 0 n 1010. Vì n ¢ nên có 1011 giá trị n thỏa mãn đề bài. Vậy phương trình có tổng cộng 3031 nghiệm trên đoạn 0;2020 . Câu 3: Chọn D. 2 1 2 Ta có log4 3x x 3x x 2 2 3x2 x 2 0 x 1 2 . x 3 Vậy phương trình có hai nghiệm. Câu 4: Chọn B. 4 4 Ta có log a4 log a . a5 5 a 5 Câu 5: Chọn D. 1 4 Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta có: V .2S.2h S.h 3 3 8
9. Vậy chọn đáp án D. Câu 6: Chọn C. 2 2 Ta có: Stp 2 Rl 2 R 2 Rh 2 R nên chọn đáp án C. Câu 7: Chọn D. 1 2 2 Ta có 2cos x 1 0 cos x cos x k2 ,k ¢ . 2 3 3 Câu 8: Chọn C. Ta có lim y 0 y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x x 3 Do đó đồ thị hàm số y có đúng 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng x2 2mx 2m2 9 hao tiệm cận đứng. phương trình x2 2mx 2m2 9 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 ' 0 9 m2 0 3 m 3 2 2 2 3 2.m.3 2m 9 0 m 3m 0 m 0;m 3 Mà m nguyên nên m 2; 1;1;2. Vậy số phần tử của S là 4. Câu 9: Chọn C. Bài toán tổng quát: Giả sử giá tiền của mét khoan đầu tiên là x (đồng) và giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm y% so với giá tiền của mét khoan ngay trước đó x 0; y 0 . Ta có: * Giá tiền mét khoan đầu tiên là S1 x (đồng) y y 100 * Giá tiền mét khoan thứ hai là S x .x .x (đồng) 2 100 100 2 y y 100 y 100 * Giá tiền mét khoan thứ ba là S3 S2 .S2 .S2 .x (đồng) 100 100 100 3 y y 100 y 100 * Giá tiền của mét khoan thứ ba là S4 S3 .S3 .S3 .x (đồng) 100 100 100 n 1 y y 100 y 100 * Giá tiền của mét khoan thứ n là Sn Sn 1 .Sn 1 .Sn 1 .x (đồng) 100 100 100 Giá tiền để khoan cái giếng sâu n mét là: 9
10. 2 n 1 y 100 y 100 y 100 S S1 S2 S3 Sn 1 .x 100 100 100 n y 100 x 1 k Đặt k S 1 k k 2 k n 1 .x 100 1 k 200000. 1 1.0730 k 1,07 và S 18892000 (đồng) 30 1 1,07 Vậy nếu nhà bạn An khoan cái giếng sâu 30 m thì hết 18892000 đồng. Câu 10: Chọn B. Đường tròn C : x2 y2 2x 4y 11 0 x 1 2 y 2 2 42 Bán kính của đường tròn C là R 4. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2020 biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính là R1 2020 R 2020.4 8080 Phép tịnh tiến theo véctơ v 2019;2020 biến đường tròn R ' thành đường tròn có cùng bán kính Vậy bán kính của đường tròn C ' là ảnh của đường tròn C qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2020 và phép tịnh tiến theo véctơ v 2019;2020 là 8080. Câu 11: Chọn A. Ta có f x sin2 x cos 2x. f ' x 2sin x.cos x sin 2x.2 sin 2x 2sin 2x 3sin 2x. Câu 12: Chọn C. 3 2 3 2n 2 Ta có lim lim n . 1 5n 1 5 5 n Vậy ab 10. Câu 13: Chọn B. Ta có log a10 10log a a. Câu 14: Chọn B. 10
11. Dựa vào hình vẽ, ta có: R 6,h 4 và bán kính cần tìm của đường tròn giao tuyến là r. Sử dụng định lý Pytago: r 2 R2 h2 62 42 20 r 2 5. Câu 15: Chọn A. Hình chóp S.ABCD là chóp đều nên gọi O là tâm của hình vuông ABCD ta suy ra SO  ABCD , do đó a 3 d S, ABCD SO hay ta có SO . 2 OI  BC Gọi I là trung điểm của BC ta có suy ra góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABCD là SI  BC góc S· IO. a 3 SO Ta có tan S· IO 2 3, do vậy S· IO 600. IO a 2 Vậy góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABCD bằng 600. Câu 16: Chọn D. 1 1 x 1 1 1 x 1 Ta có lim y lim lim x do đó y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x x x 1 1 2x 2 2 2 1 2x x Câu 17: Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1. 11
12. Câu 18: Chọn B. 1 1 Ta có S AC.BD .2a.3a 3a2. ABCD 2 2 1 1 Do đó V .SA.S .a.3a2 a3. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 19: Chọn A. Bất phương trình đã cho tương đương với x 2 2 1 1 x 2 2 x 4. 3 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ; 4. Câu 20: Chọn C. 2 ab Ta có y ' . bx 2 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A 1;2 là : y ' 1 . x 1 2 hay : y y ' 1 .x 2 y ' 1 . y ' 1 3 Để song song với đường thẳng d : y 3x 7 thì 2 y ' 1 7 2 ab 3 1 2 b 2 . 2 ab 2 7 2 2 b 2 1 a Mà điểm A 1;2 thuộc đồ thị hàm số nên 2 a 2b 3 thay vào (1) ta được b 2 2 b 2b 3 b2 9b 14 0 2 3 b 7 suy ra a 11 thỏa mãn (2). b 2 b 2 12
13. Vậy a 3b 11 3. 7 32. Câu 21: Chọn C. Số tập con của A có số phần tử 1011 là 1011 1012 2020 2021 1010 1009 1 0 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021. 0 1 1010 1011 1012 2020 2021 2021 2021 Do C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 C2021 1 1 2 . Khi đó: 2021 0 1 1010 1011 2021 0 1 1009 1010 2 2020 2 C2021 C2021 C2021 C2021 2 C2021 C2021 C2021 C2021 2 2 Câu 22: Chọn C. k k Mệnh đề sai là mệnh đề An n n 1 n 2 n k 1 do An n n 1 n 2 n k 1 . Câu 23: Chọn D. Hàm số y x 1 x x2 3x 2 TXĐ: D ¡ . Phương trình x 1 x x2 3x 2 0 x 1 x x 1 x 2 0 x 0 2 x x 1 x 2 0 x 1 Phương trình có ba nghiệm phân biệt x 2 Vậy C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 24: Chọn B. 13
14. Do I và K là trọng tâm của ABC và A' B 'C ' nên IK / / AA' AA'/ / IJK 1 CJ 2 CI 2 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AA' và AB và CF 3 CE 3 CH CJ 2 CH CI Kẻ JH / / AA', H AC HI / / AE hay AB / /HI CA CF 3 CA CE JH / / AA' JH / /IK H IJK HI  IJK , mà AB / /HI AB / / IJK 2 Từ 1 và 2 mặt phẳng IJK song song với mặt phẳng AA' B . Câu 25: Chọn D. 14
15. Gọi P là trung điểm SA. Ta có SD / /MP SD / / MNP Do đó d SD, MN d SD, MNP d D, MNP d A, MNP (vì M là trung điểm AD). Trong mặt phẳng ABCD kẻ AK  MN và trong mặt phẳng AKP kẻ AH  PK Suy ra d A, MNP AH SA a 15 Ta có AP 2 2 Gọi E MN  AB AE 2a. 1 1 1 1 1 1 AME vuông tại A AK 2 AM 2 AE 2 4a2 4a2 2a2 1 1 1 1 4 23 690a AKP vuông tại A AH AH 2 AK 2 AP2 2a2 15a2 30a2 23 690a Vậy d SD, MN . 23 Câu 26: Chọn A. 15
16. 2 ABC đều cạnh 2a S ABC a 3 Vậy thể tích khối lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' là 2 3 V AA'.S ABC 2a.a 3 2 3a . Câu 27: Chọn B. Gọi không gian mẫu là . 3 Chọn 3 từ 40 thẻ có C40 cách. 3 n  C40 9880. Gọi A: “Tổng 3 số ghi trên thẻ là một số chia hết cho 3”. Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 40 là: 3;6;9; 30;33;36;39: có 13 số. Các số chia cho 3 dư 1 từ 1 đến 40 là: 1;4;7; 31;34;37;40: có 14 số. Các số chia cho 3 dư 2 từ 1 đến 40 là: 2;5;8; 32;35;38: có 13 số. Trường hợp 1: 3 số cùng chia hết cho 3; chia cho 3 dư 1; chia cho 3 dư 2: 3 3 3 Có: C13 C13 C14 286 286 364 936 cách. Trường hợp 2: 1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2: 1 1 1 Có: C13.C13.C14 2366 cách. Vậy số cách chọn để được tổng 3 số chia hết cho 3 là: 936 2366 3302 cách. n A 3302. n A 3302 127 Xác suất biến cố A là: p A . n  9880 380 Câu 28: Chọn C. 16
17. 3 2 f x 3 0 f x 1 . 2 Số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của 2 đường: 3 y f x và đường thẳng y . 2 3 Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt. 2 Vậy số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 là 3 nghiệm. Câu 29: Chọn C. 2 1 cos 2x Ta có 2sin x msin 2x 2m 2. msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1. 2 m 0 2 2 Phương trình vô nghiệm m2 1 2m 1 3m2 4m 0 4 . m 3 Do m nguyên và m  2020;2020 nên suy ra m 2020; 2019; ; 2; 1;2; ;2019;2020 Vậy tổng các phần tử của S bằng 1. Câu 30: Chọn A. x x1 ; 1 Dựa vào bảng biến thiên của f ' x , ta có f ' x 0 x x2 1;1 . x x3 1; f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x1, suy ra x1 là điểm cực tiểu. f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x2 , suy ra x2 là điểm cực đại. f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x3 , suy ra x3 là điểm cực tiểu. Câu 31: Chọn D. 17
18. SA  ABCD SA  BC, mà BC  AB (hình chữ nhật ABCD) BC  SAB B là hình chiếu của C trên mặt phẳng SAB B· SC SC, SAB 300 BSC vuông tại B, ta có: SB BC.cot B· SC a 3.cot 300 3a SAB vuông tai A, ta có: SA SB2 AB2 9a2 4a2 5a2 a 5 Diện tích hình chữ nhật ABCD là AB.BC 2a.a 3 2a2 3 1 2 15a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V .a 5.2a2 3 . 3 3 Câu 32: Chọn D. Biến đổi: f ' x x 2 2019 x 1 2020 x 2 2020 x 3 3 x 2 4039 x 1 2020 x 3 3 Hàm số f x có 1 điểm cực trị có hoành độ dương là x 2 Hàm số f x có 2.1 + 1 = 3 điểm cực trị Chọn D. Câu 33: Chọn C. Đặt t cos x, với x 0;2  ta có t  1;1 và: + Nếu t 1;1 thì tương ứng mỗi giá trị của t ta được 2 giá trị của x 0;2 . + Nếu t 1 thì ta chỉ được duy nhất giá trị x 0;2 . Phương trình viết lại: f t 2m 3 1 3 Trường hợp 1. m thì (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. 2 18
19. 3 Trường hợp 2. m , khi đó (1) viết về f t 0 f t 0, từ đồ thị có thể thấy phương trình thu được 2 có đúng 1 nghiệm duy nhất trên 1;1, ta có điều kiện: 2m 3 3 m 0 m 1. 2m 3 1 m 1 3 Kết hợp lại ta được 1 m . 2 Câu 34: Chọn B. Cách 1. Mặt phẳng A'MN cắt các mặt phẳng ABC và A' B 'C ' theo các giao tuyến song song nên Q là giao điểm của đường thẳng qua N song song với A'M với cạnh BC. Kéo dài các đường A' N, MQ và C 'C đồng quy tại cùng một điểm P (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy). Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt. 2 1 1 3 3 3a2 Ta có C 'M B 'C ' 2a.S S A'C '.C 'M.sin 600 .3a.2a. . 3 1 A'C 'M 2 2 2 2 Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC 2EB thì A'M / / AE nên CQ CN 1 1 1 1 CQ CE C 'M a. CE CA 4 4 4 2 1 1 a 3a 3 3 3a2 Diện tích tam giác CNQ là S S CQ.CN.sin 600 . . . . 2 CNQ 2 2 2 4 2 32 CC ' 3 3a2 3 3a2 3 3a2 3 3a2 63 3a3 Vậy V S S S S a . . CNQ.C ' A'M 3 1 2 1 2 2 32 2 32 32 Cách 2: 19
20. Mặt phẳng A'MN cắt các mặt phẳng ABC và A' B 'C ' theo các giao tuyến song song nên Q là giao điểm của đường thẳng qua N song song với A'M với cạnh BC. 2 1 1 3 3 3a2 Ta có C 'M B 'C ' 2A, S A'C '.C 'M.sin 600 .3a.2a. . 3 A'C 'M 2 2 2 2 PC CN CN 1 PC 1 1 Lại có PC .3a a PC ' 4a. PC ' A'C ' AC 4 CC ' 3 3 1 3 3a2 Thể tích khối chóp P.C ' A'M là V .4a. 2 3a3. P.C ' A'M 3 2 Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC 2EB thì A'M / / AE nên CQ CN 1 1 1 1 CQ CE C 'M a. CE CA 4 4 4 2 1 1 1 1 3a 3 1 3a2 3 Ta có S D N,CQ .CQ . .d A, BC .CQ . . a . CNQ 2 2 4 8 2 2 32 1 1 3a2 3 a3 3 Thể tích khối chóp P.CNQ là V PC.S .a. . P.CNQ 3 CNQ 3 32 32 a3 3 63 3a3 Vậy V V V 2 3a3 . CNQ.C ' A'M P.C ' A'M P.CNQ 32 32 Cách 3: 20
21. Mặt phẳng A'MN cắt các mặt phẳng ABC và A' B 'C ' theo các giao tuyến song song nên Q là giao điểm của đường thẳng qua N song song với A'M với cạnh BC. Ta có VCNQ.C ' A'M VN.MC ' A' VN.CQMC '. 2 1 1 3 3 3a2 Ta có C 'M B 'C ' 2A, S A'C '.C 'M.sin 600 .3a.2a. . 3 A'C 'M 2 2 2 2 1 1 3 3a2 3 3a3 V .CC '.S .3a. . CNQ.C ' A'M 3 A'C 'M 3 2 2 Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC 2EB thì A'M / / AE nên NQ / / AE, ta có: CQ CN 1 1 1 1 CQ CE C 'M a. CE CA 4 4 4 2 1 1 1 15a2 Diện tích hình thang CQMC ' là S CQNC ' CC ' CQ C 'M .3a. a 2a . 2 2 2 4 Thể tích khối chóp N.CQMC ' là 1 1 1 1 3a 3 15a2 15 3a3 VN.CQMC ' .d N, CQMC ' .SCQNC ' . d A, BCC ' B ' .SCQNC ' . . . 3 3 4 12 2 4 32 Thể tích khối đa diện cần tìm là 3 3a3 15 3a3 63 3a3 V V V . CNQ.C ' A'M N.MC ' A' N.CQMC ' 2 32 32 Câu 35: Chọn B. 21
22. Ta có BB '/ /CC ' CC '/ / ABB ' hay CC '/ / ABB ' A' . Do đó d AB ',CC ' d CC ', ABB ' A' d C, ABB ' A' . Kẻ CH  AB tại H. Ta có CH  AB và CH  BB ' nên CH  ABB ' A' . Do đó d AB ',CC ' d C, ABB ' A' CH a 3. BC 2 Trong tam giác ABC có HB2 HC 2 BC 2 3a2 BC 2 BC 2a. 4 1 1 3 Vậy V AA'.S AA'. BA.BC.sin 600 a. .2a.2a. a3 3. ABC.A'B'C ' ABC 2 2 2 Câu 36: Chọn D. 2 m x 2 m x Ta có y ' 2 . 2 ' 2 . 2 .ln 2 . 2 x m 2 x m Nhận xét: Với x 1;0 2 x 1;2 . 2 x m Hàm số đã cho nghịch biến trên 1;0 x 1;0 y ' 0 m 2 m 2 m 1 m 1 m 1. 2 m 0 m 2 2 x 2 Vậy với m 1 thì hàm số y nghịch biến trên 1;0 . 2 x m Câu 37: Chọn D. x x Do 10 3 . 10 3 1 nên: x x 1 Đặt 10 3 t với t 0 10 3 , ta có phương trình t 22
23. 1 1 9t m 2020 0 m 9t 2020 * . t t Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt * có hai nghiệm t 0;1 . 1 1 Xét hàm số f t 9t 2020 f ' t 9 . t t 2 1 f ' t 0 t . 3 Bảng biến thiên: 1 x 0 1 3 f ' t 0 + f t 2030 2026 Do đó, m 2026;2029 . Do m ¢ S 2027;2028;2029. Vậy số tập con của S là 8. Câu 38: Chọn D. Trên đoạn  4;1, ta có f ' x 3x2 15; f ' x 0 x 5. f 4 4; f 5 10 5; f 1 14. Vậy max 10 5.  4;1 Câu 39: Chọn D. S 8 a2 2a2 a 6 Diện tích mặt cầu S 4 R2 R2 R . 4 12 3 3 a 6 Vậy: Bán kính mặt cầu R . 3 Câu 40: Chọn B. 23
24. S a2 a Diện tích xung quanh của mặt nón S Rl R xq . xq l 2 a 2 a2 a 15 Đường cao của hình nón h l 2 R2 4a2 4 2 1 1 a2 a 15 a3 15 Vậy: Thể tích của khối nón là V R2h . . . 3 3 4 2 24 Câu 41: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 . Câu 42: Chọn A. Do tam giác ABC vuông tại B, AB là hình chiếu vuông góc của SB trên ABC nên suy ra tam giác SBC vuông tại B;SA  ABC SAC là tam giác vuông tại A. Suy ra A, B nằm trên mặt cầu đường kính SC. Gọi I là trung điểm của SC thì I là tâm mặt cầu. Ta có ·SB, ABC ·SB, AB S· BA 300. Câu 43: Chọn D. y x3 3x2 1 2 x 0 y ' 3x 6x 0 x 2 24
25. Vậy 2 điểm cực trị là A 2;3 ; B 0;1 . Gọi H 1;1 là trung điểm của AB  AB 2; 4  Chọn nd 1;2 d : x 2y 3 0 Câu 44: Chọn C. * C1  C2 log2 x 2 log2 x 1 log2 x 2 log2 2x x 2 2x x 2 tm C1  C2 C 2;2 * C1 Ox log2 x 2 0 A 1;0 * C2 Ox 1 log2 x 1 0 B ;0 2  3  AB ;0 ; AC 3;2 2 1     3 S x .y x .y (đvdt). ABC 2 AB AC AC AB 2 Câu 45: Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x x 2 x 3 m x x4 6x3 5x2 11x 6 1 Số giao điểm của C1 ; C2 là số nghiệm của phương trình 1 . Do x 0; x 2; x 3 không là nghiệm của phương trình (1) nên: x4 6x3 5x2 11x 6 1 m x x x 2 x 3 2 3 1 x 1 x m x 2 x 3 x 25
26. 2 3 1 2x 1 , x 0 2 3 1 x 2 x 3 x Đặt f x x 1 x x 2 x 3 x 2 3 1 1 , x 0 x 2 x 3 x 2 3 1 2 , x 0 2 2 2 x 2 x 3 x Ta có f ' x f ' x 0,x ¡ . 2 3 1 , x 0 2 2 2 x 2 x 3 x Suy ra f x đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: ;0 ; 0;2 ; 2;3 ; 3; . Mặt khác lim f x ; lim f x 1 x x lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x x 0 x 0 x 2 x 2 x 3 x 3 Bảng biến thiên x 0 2 3 f ' x + + + + f x 1 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi m 1. Vậy số giá trị nguyên của m  2020;2020 thỏa mãn là 2021. Câu 46: Chọn A. x2 2 x2 2 x 2020 x x 2020 x e 2 ln x2 2 x 2018 1 e 2 x 2020 ln x2 2 x2 2 2 2 x2 2 x 2020 2 x ln x 2 2 e 2 x 2020 e x 2 2 2 Xét hàm số: f t et t,t ¡ Ta có f ' t et 1 0,t ¡ . Do đó f t đồng biến trên ¡ . 2 2 x 2 x 2 2 f x 2020 f ln x 2 x 2020 ln x 2 2 2 x2 x 2020 ln x2 2 0 3 2 Xét hàm số: 26
27. 2 3 2 x 2 x 2 2x x x 4x 2 g x x 2020 ln x 2 , g ' x x 1 2 2 2 x 2 x 1 x 2 Xét h x x3 x2 4x 2 liên tục trên ¡ và có: h 3 8;h 2 2;h 1 2;h 0 2;h 3 1 3;h 2 2 h 3 .h 2 0 x a 3; 2 h 1 .h 0 0 h x 0 x b 1;0 h 3 .h 2 0 x c 3;2 lim g x ; lim g x ; lim g x ; lim g x x 2 x 2 x x Bảng biến thiên hàm số g x x a 2 b 2 c h x 0 0 0 g ' x 0 0 + 0 + g x g a g c Từ bảng biến thiên ta có: 9 Với a 3; 2 suy ra g a g 3 3 2020 ln 7 0 2 3 Với c 3;2 suy ra g c g 3 3 2020 0 2 Do đó phương trình 3 có 4 nghiệm phân biệt. Câu 47: Chọn B. Hàm số đã cho xác định khi 9 x2 0 3 x 3. Tập xác định của hàm số đã cho: D 3;3 . Câu 48: Chọn B. 3 Ta có u4 7 u1.q 7. 1 9 u10 56 u1.q 56. 2 27
28. 9 u1.q 6 Từ (1) và (2) ta có: 3 8 q 8 q 2. u1.q Câu 49: Chọn B. Hình nón ban đầu có bán kính đáy r OA 6cm, đường sinh l SA 10cm và chiều cao SO h l 2 r 2 102 62 8cm. 16 Hình nón N có chiều cao h SI đường sinh l SM và bán kính đáy là r IM. 1 5 1 1 h r l 16 r l Hai tam giác vuông SIM và SOA đồng dạng nên: 1 1 1 1 1 . h r l 5.8 6 10 12 Suy ra: r cm;l 4cm. 1 5 1 12 48 2 Vậy ta có Sxq r1l1 . .4 cm . 5 5 Câu 50: Chọn B. Gọi x là độ dài của hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D '. x 3 x 3 2a Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là r . Vậy a x . 2 2 3 3 3 3 2a 8 3a Thể tích khối lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' là V x . 3 9 28