Đề thi khảo sát Học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Mã đề: 101 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Hưng Nhân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát Học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Mã đề: 101 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Hưng Nhân (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 TRƯỜNG THPT HƯNG NHÂN NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN Toán – Khối 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Mã đề 101 Họ và tên học sinh: Số báo danh: 2 3 Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có f ' x x 2 x 2 x 5 . Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 0.B. 2.C. 1. D. 3. Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 1 1 f ' x + 0 0 + f x 4 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 1;1 . C. 0;2 . D. 0;4 . Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? x 5 x 1 2x 1 x 2 A. y .B. y . C. y .D. y . x 1 x 1 x 3 2x 1 2 Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có đạo hàm f ' x x3 x 1 x 2 . Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0.B. 2.C. 3.D. 1. Câu 5. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là? A. 84.B. 64.C. 48.D. 91. Câu 6. Cho biểu thức P 4 x 3 x2.3 x , x 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 1 13 1 A. P x 3 . B. P x 4 . C. P x 24 . D. P x 2 . 1
2. Câu 7. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ. x 1 1 f ' x f x 3 0 1 Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x m có 3 nghiệm phân biệt là A. 1.B. 0.C. 3.D. 2. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y m 1 x3 3 m 1 x2 3x 2 đồng biến trên ¡ . A.1 m 2. B.1 m 2 .C. 1 m 2 .D. 1 m 2 . Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a; BC 2a. Hai mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với mặt đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2a3 15 2a3 15 A. .B. 2a3 15 .C. 2a3 .D. . 9 3 Câu 10. Một mi tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220 m. Hỏi diện tích xung quanh của kim tự tháp là bao nhiêu? (Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích các mặt bên) A. 2200 346 m2 . B.1100 346 m2 . C. 4400 346 48400 m2 . D. 4400 346 m2 . 2 Câu 11. Tập xác định của hàm số y log2 x 2x là A.0;2 .B. ;02; .C. 0;2 .D. ;0  2; . Câu 12. Cho hai hàm số y loga x, y logb x với a,b là hai số thực dương, khác 1 có đồ thị lần lượt là C1 , C2 như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây sai? 2
3. A. 0 b 1 a .B. 0 b a 1.C. a 1.D. 0 b 1. Câu 13. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 1 3 y ' + + 0 y 2 1 Đồ thị hàm số y f x có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đúng và ngang)? A. 1.B. 3. C. 2.D. 0. Câu 14. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tichs xung quanh bằng 30 cm2. Tính thể tích V của khối nón đó. 25 61 25 34 A.V cm3 .B. V cm3 . 3 3 25 39 25 11 C.V cm3 .D. V cm3 . 3 3 Câu 15. Cho hàm số y x4 2x2 có đồ thị như hình vẽ bên. 4 2 Tìm tất cả các giá trị m để phương trình x 2x log2 m có bốn nghiệm thực phân biệt A.1 m 2 .B. 0 m 1.C. m 0 . D. m 2. 3 5 3 Câu 16. Cho hàm số f x xác định trên ¡ , có đạo hàm f ' x x 1 x 2 x 3 . Số điểm cực trị của hàm số f x là 3
4. A. 2.B. 3.C. 5.D. 1. 2 Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đoạn ; là tập hợp con của tập nghiệm bất 3 3 2 2 phương trình log1 cos x 1 log1 cos x 4cos x m 1. 5 5 7 7 7 7 A. m ;4 .B. m ;4 .C. m ;4 .D. m ;4 . 4 4 4 4 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB là điểm H thỏa mãn AH 2BH. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 2 a3 2 a3 3 a3 2 A.V .B. V . C. V .D. V . 9 3 9 6 Câu 19. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 6 x x 4 6 x x 4 là M ,m. Tính tổng M m. A.3 2 2 .B. 2 2 .C. 2 2 2 .D. 3 2 . Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong C , biết đồ thị của f ' x như hình vẽ Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị C tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành độ a,b. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. a,b 3.B. a2 b2 10 . C. 4 a b 4 .D. a,b 0 . Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y x3 3x2 mx 4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng 3;3 ? A. 13.B. 10.C. 12.D. 11. Câu 22. Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn CD 3, cạnh bên BC AD 2. Cho hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối nó xoay có thể tích là 7 8 A.V .B. V 2 .C. V 3 .D. V . 3 3 Câu 23. Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 4
5. 3200cm3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất. A.170cm2 .B. 160cm2 .C. 150cm2 .D. 140cm2 . Câu 24. Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a. A, B là hai điểm bất kì trên đường tròn O . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 96 24 96 48 a Câu 25. Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn log a log b log a b . Tính . 4 6 9 b 1 1 5 1 5 1 5 A. .B. . C. .D. . 2 2 2 2 Câu 26. Ông An gửi 320triệu đồng vào ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là 26670725,95đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)? A. 120 triệu đồng và 200 triệu đồng.B. 200 triệu đồng và 120 triệu đồng. C. 140 triệu đồng và 180 triệu đồng.D. 180 triệu đồng và 140 triệu đồng. Câu 27. Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi p là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 0,72 p 0,75 .B. p 0,7 .C. 0,7 p 0,72 .D. p 0,75. Câu 28. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. 6 6 6 A. .B. .C. .D. 2 . 3 2 4 Câu 29. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều và A' A A' B A'C. Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 600 và khoảng cách giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng BCC ' B ' bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 4 3 16 3 16 3 16 3 A. .B. .C. .D. . 9 27 9 18 Câu 30. Cho parabol P : y x2 và đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx 2 có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức P a 3b 5c. 5
6. A. P 3.B. P 7 .C. P 9.D. P 1. Câu 31. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Số đo góc giữa BA'C và DA'C . A. 450 .B. 900 .C. 600 .D. 300 . Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD / /BC, M là điểm di động trong hình thang ABCD. Qua M kẻ đường thẳng song song với SA và SB lần lượt cắt các mặt SBC và SAD tại N và P. Cho SA a, SB b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T MN 2.MP. a2b ab2 4a2b 4ab2 A. .B. .C. .D. . 8 8 27 27 3 3 3 Câu 33. Giá trị của tổng S C3 C4 C100 bằng 4 5 6 4 A.C101 .B. C105 . C.C102 .D. C100 . Câu 34. Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f ' x như hình bên. x2 Đặt h x f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 6
7. A. Hàm số y h x đồng biến trên khoảng 0;4 . B. Hàm số y h x nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số y h x nghịch biến trên khoảng 2;4 . D. Hàm số y h x đồng biến trên khoảng 2;3 . c c Câu 35. Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a 25b 10c. Tính giá trị biểu thức A . a b 1 1 A. A .B. A . C. A 2 .D. A 10. 2 10 Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 3, BC 2a, đường thẳng AC ' tạo với mặt phẳng BCC ' B ' một góc 300. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng A. 24 a2 .B. 3 a2 . C. 4 a2 .D. 6 a2 . Câu 37. Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ? A. 96.B. 16.C. 72.D. 24. Câu 38. Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh bằng a, S là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD.M là một điểm thay đổi trên S . Tính tổng T MA2 MB2 MC 2 MD2. 3a2 A. 4a3 .B. 2a3 .C. .D. a2 . 8 Câu 39. Cho các số thực dương x, y, z và thỏa mãn x y z 3. Biểu thức P x4 y4 8z4 đạt GTNN bằng a a , trong đó a,b là các số tự nhiên dương, là phân số tối giản. Tính a b. b b A. 234.B. 523.C. 235.D. 525. Câu 40. Cho khối chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác có AB AC a, B· AC 600 , S· BA S· CA 900 , góc giữa SAB và SAC bằng 600. Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 3 3a3 2 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. .D. . 4 3 3 4 Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình log x x2 2 4 x2 2x x2 2 1 là a; b . 2 15 12 16 5 A. .B. .C. .D. . 16 5 15 12 7
8. Câu 42. Cho phương trình: 3 2 3 2 m 3m 1 3 2 x 3x 1 2 1 2 .log81 x 3x 1 2 2 .log3 0 m3 3m2 1 2 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S. A. 20. B. 19.C. 14.D. 28. Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD DC a, AB 2a. Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. 2a 15 a 6 A. a 2 .B. .C. .D. 2a . 5 2 Câu 44. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 1 3 Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình f m có nghiệm thuộc khoảng ; là? cos x 2 2 19 19 13 13 A.2; .B. ; .C. ; .D. 2; . 4 4 4 4 Câu 45. Cho hai hàm số f x và g x đều có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn: f 3 2 x 2 f 2 2 3x x2 g x 36x 0,x ¡ . Tính A 3 f 2 4 f ' 2 . A. 14.B. 10.C. 11.D. 13. Câu 46. Cho tập X 1;2;3; ;8 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ X. Lấy ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222. 8
9. 384 192 4!.4! C 2.C 2.C 2 A. .B. .C. .D. 8 6 2 . 8! 8! 8! 8! Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AD 2CD. Biết hai mặt SAC , SBD cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn BD 6; góc giữa SCD và mặt đáy bằng 600. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng 128 15 16 15 18 15 108 15 A. .B. . C. .D. . 15 15 5 25 Câu 48. Cho hàm số f x có đại hàm f ' x x 1 2 x2 4x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f 2x2 12x m có đúng 5 điểm cực trị? A. 17.B. 16.C. 19.D. 18. Câu 49. Hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ x2 Hàm số y f 1 x x nghịch biến trên khoảng 2 3 A. 1;3 .B. 3;1 . C. 2;0 .D. 1; . 2 Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ', khoảng cách từ C đến BB ' bằng 2a, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng a và a 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A' B 'C ' là 2a 3 trung điểm M của B 'C ' và A'M . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3 2a3 3 A. a3 3 .B. .C. 2a3 .D. a3 . 3 HẾT 9
10. BẢNG ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-C 4-B 5-B 6-C 7-D 8-D 9-D 10-D 11-D 12-B 13-C 14-D 15-A 16-B 17-C 18-A 19-D 20-B 21-D 22-A 23-B 24-D 25-B 26-A 27-A 28-B 29-B 30-A 31-C 32-C 33-A 34-B 35-C 36-D 37-D 38-B 39-B 40-D 41-C 42-D 43-C 44-A 45-B 46-B 47-C 48-A 49-A 50-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B. x 2 2 3 Ta có y ' 0 x 2 x 2 x 5 0 x 2 . x 5 Bảng biến thiên của hàm số như sau x 2 2 5 f ' x 0 0 + 0 f x Vậy hàm số y f x có 2 điểm cực trị. Câu 2: Chọn B. Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . Câu 3: Chọn C. 2x 1 Xét hàm số y . x 3 Tập xác định D ¡ \ 3. 7 Ta có y ' 0,x D. x 3 2 Vậy hàm số trên nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Câu 4: Chọn B. 10
11. x 0 3 2 Ta có f ' x 0 x x 1 x 2 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên x 2 0 1 f ' x + 0 0 + 0 + f x f 2 f 1 f 0 Vậy hàm số y f x có 2 điểm cực trị. Câu 5: Chọn B. Gọi a là cạnh hình lập phương, ta có: 2 2 Stp 6a 96 a 16 a 4 Vậy thể tích của khối lập phương là V a3 43 64 Câu 6: Chọn C. 3 7 7 13 13 4 3 4 3 4 4 P 4 x 3 x2. x3 x x2.x 2 x x 2 x.x 6 x 6 x 24 Câu 7: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 m 3. Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. Câu 8: Chọn D. Tập xác định D ¡ Ta có: y ' 3 m 1 x2 6 m 1 x 3. Trường hợp 1: m 1 0 m 1 y 3x 2 Hàm số đồng biến trên ¡ . m 1 0 Trường hợp 2: m 1 0 y ' 0 x ¡ ' 0 11
12. m 1 m 1 2 1 m 2. 9 m 1 9 m 1 0 1 m 2 Kết hợp hai trường hợp trên suy ra 1 m 2. Câu 9: Chọn D. Ta có SAB  ABCD  SAD  ABCD  SA  ABCD . SAB  SAD SA 2 SABCD AB.BC a.2a 2a . Xét ABC vuông tại B có: AC AB2 BC 2 a2 4a2 a 5. Góc giữa SC tạo với mặt phẳng đáy là S· CA. SA Xét SAC vuông tại A có: tan 600 SA AC.tan 600 a 5. 3 a 15. AC 1 1 2a3 15 V .S .SA .2a2.a 15 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 10: Chọn D. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO 150m, AB 220m. Gọi H là trung điểm của CD OH  CD và SH  CD. 12
13. Xét SOH vuông tại O có: SH SO2 OH 2 1502 1102 10 346. 1 1 Diện tích tam giác SCD là: S .SH.CD .10. 346.220 1100 346. SCD 2 2 Diện tích xung quanh của kim tự tháp là Sxq 4.S SCD 4.1100 346 4400 346. Câu 11: Chọn D. 2 x 0 Điều kiện xác định: x 2x 0 . x 2 Tập xác định: D ;0  2; . Câu 12: Chọn B. Dựa trên đồ thị C1 ta thấy hàm số y loga x là hàm số đồng biến nên a 1. Dựa trên đồ thị C2 ta thấy hàm số y loga x là hàm số nghịch biến nên 0 b 1. Suy ra 0 b 1 a. Câu 13: Chọn C. Vì lim y (hoặc lim y ) nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và lim y 1 x 1 x 1 x nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Câu 14: Chọn D. S 30 S rl l xq 6 cm xq r 5 h l 2 r 2 62 52 11 cm 1 1 25 11 V r 2h .52. 11 cm3 . 3 3 3 Câu 15: Chọn A. Phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi: 0 log2 m 1 1 m 2. Câu 16: Chọn B. x 1 + Ta có: f ' x 0 x 2 x 3 + BBT của hàm số y f x 13
14. x 3 1 0 2 f ' x 0 + 0 0 + f x + Căn cứ BBT của hàm số y f x suy ra BBT của hàm số y f x là x 2 0 2 f ' x 0 + 0 0 + f x Vậy hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Câu 17: Chọn C. 2 Để đoạn ; là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình 3 3 2 2 log1 cos x 1 log1 cos x 4cos x m 1 thì: 5 5 2 2 2 log1 cos x 1 log1 cos x 4cos x m 1,x ; 5 5 3 3 2 2 cos x 4cos x m 2 log1 cos x 1 log1 ,x ; 5 5 5 3 3 2 cos x 4cos x m 0 2 ,x ; 2 2 5cos x 5 cos x 4cos x m 3 3 2 m cos x 4cos x 2 ,x ; 1 2 m 4cos x 4cos x 5 3 3 2 m t 4t 1 Đặt t cos x. Khi đó ta có (1) trở thành: ,t ;1 . 2 m 4t 4t 5 2 1 + Để m t 2 4t,t ;1 m max t 2 4t 2 1 2 ;1 2 14
15. 1 7 7 7 Xét hàm số f ; f 1 5. Do đó max f t . Nên 2 m . 1 2 4 ;1 4 4 2 1 + Để m 4t 2 4t 5,t ;1 m min 4t 2 4t 5 3 1 2 ;1 2 1 1 Xét hàm số f t 4t 2 4t 5,t ;1 . Ta có g ' t 8t 4 0 t . 2 2 1 1 g 8, g 1 5, g 4. Do đó min g t 4. Nên 3 m 4. 1 2 2 ;1 2 7 Vậy m ;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 Câu 18: Chọn A. 2a a + Theo giả thiết ta suy ra được AH ; BH . 3 3 + Do tam giác SAB vuông tại S và SH là đường cao nên: a 6 a 3 AH.AB SA2 SA AH.AB ; BH.BA SB2 SB BH.BA . 3 3 SA.SB a 2 + SH.AB SA.SB SH . AB 3 1 1 a 2 a3 2 + Do đó V .S .SH .a2. . 3 ABCD 3 3 9 Câu 19: Chọn D. TXĐ: D 4 x 6. t 2 Đặt t 6 x x 4 1 6 x x 4 . 2 15
16. Xét hàm số f x 6 x x 4 với 4 x 6. Ta có: f ' x 0 6 x x 4 0 x 5. Bảng biến thiên x 4 5 6 f ' x + 0 f x 2 2 2 Vậy f x 2;2 t 2;2 t 2 Hàm số đã cho trở thành y f t t 1 với t 2;2 . 2 Khi đó y ' t 1. Suy ra y ' 0 t 1 2;2 . Ta có: f 2 2; f 2 3. Suy ra M 3,m 2. Vậy M m 3 2. Câu 20: Chọn B. Từ đồ thị f ' x suy ra f ' 1 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 là y f ' 1 x 1 f 1 y f 1 . Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị C là: f x f 1 Từ đồ thị f ' x suy ra f ' 1 f ' 3 0. Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x . 16
17. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y f 1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ lần lượt là a,1,b với a 1 và b 3. Suy ra b2 9 và a2 1. Vậy a2 b2 10. Câu 21: Chọn D. Ta có y x3 3x2 mx 4 1 y ' 3x2 6x m Xét: g x 3x2 6x m Hàm số 1 có hai cực trị thuộc khoảng 3;3 khi g x 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3;3 . Ta có: g x 0 3x2 6x m 0 3x2 6x m Xét: h x 3x2 6x h' x 6x 6, cho h' x 0 x 1. Bảng biến thiên: x 3 1 3 h' x 0 + h x 45 9 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta có m 3;9 . Vậy có 11 giá trị nguyên của m. Câu 22: Chọn A. 17
18. Khi quay hình thang quanh cạnh AB ta được khối tròn xoay. Kẻ các đường cao AH, BK. Khi đó: HK AB 1 CK DK 1 Áp dụng pitago trong các tam giác vuông AHC, BKD ta được: AH BK 1 Xét khối trụ có đường cao CD 3, bán kính AH 1. Khi đó thể tích khối trụ: 2 V T .AH .CD 3 Xét khối nón có đường sinh AD 2, bán kính AH 1, đường cao DH 1. Khi đó thể tích khối nón 1 V . .AH 2.DH N 3 3 Thể tích khối tròn xoay: 7 V V 2V T N 3 Câu 23: Chọn B. Gọi chiều rộng của hố ga là x cm x 0 chiều cao của hố ga là 2x cm 3200 1600 Hố ga dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 3200cm3 Chiều dài hố ga là cm x.2x x2 Tổng diện tích cần xây hố ga (5 mặt, trừ mặt đáy trên) là: 1600 1600 2 8000 2 S 2. x 2 .2x x. 2 4x cm x x x 4000 4000 4000 400 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: S 4x2 33 4x2. . 1200 x x x x 4000 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4x2 x3 1000 x 10 (thỏa mãn) x 1600 2 Với x 10 thì diện tích mặt đáy của hố ga là 10. 2 160 cm . 10 Câu 24: Chọn D. 18
19. Gọi ·AOB . Hình chóp S.OAB 00 1800 0 sin 1 1 1 Diện tích OAB là .OA.ON.sin Thể tích khối chóp S.OAB là V .SO.OA.OB.sin 2 6 a 3 a Vì thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a SO ;OA OB 2 2 1 a 3 a a a3 3.sin a3 3 V . . . .sin 6 2 2 2 48 48 Dấu “=” xảy ra sin 1 900 OA  OB a3 3 Vậy thể thchs khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng . 48 Câu 25: Chọn B. Đặt log4 a log6 b log9 a b t. t log4 a t a 4 t log6 b t b 6 . log a b t t 9 a b 9 t 2 1 5 t t 4 2 3 2 a 1 5 Ta có 4t 6t 9t 1 0 . t 9 3 2 1 5 b 2 VN 3 2 Câu 26: Chọn A. Gọi x (triệu) là số tiền ông An gửi vào ngân hàng ACB, y (triệu) là số tiền ông An gửi vào ngân hàng VietinBank. x y 320 x 120 Ta có 5 9 . x 1 2,1% y 1 0,73% 346,67072595 y 200 19
20. Câu 27: Chọn A. Xác suất để 4 quả thành công là: 0,8 4 .0,2.5 0,4096. Xác suất để 5 quả thành công là: 0,8 5 0,32768. Vậy xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên là: 0,4096 0,32768 0,73728. Câu 28: Chọn B. Gọi O là trung điểm BD '. Gọi E, F là tâm hình vuông ABB ' A' và DCC ' D '. Giả sử thiết diện qua BD ' và cắt AD trung điểm M của AD. Trong ADC ' B ' gọi N B 'C 'OM N là trung điểm B 'C '. MN AB ' BC ' 2. 5 Tứ giác BMD ' N là hình thoi MB MD ' NB ND ' . 2 1 6 S MN.BD ' . BMD'N 2 2 Ta chứng minh M là trung điểm của AD thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất. Lấy M ' bất kỳ trên AD. Kẻ M ' H  EF, M ' K  BD '. M ' H MO Tứ giác MM ' HO là hình bình hành . M ' H / /MO Mà MO  A' BCD ' M ' H  A' BCD ' . M ' HK vuông tại H M ' K M ' H MO 20
21. 1 S 2S 2. M ' K.BD ' 3M ' K BM 'D'N ' M 'BD' 2 1 S 2S 2. MO.BD ' 3MO BMD'N MBD 2 SBM 'D'N ' SBMD'N . Dấu “=” xảy ra M '  M. Câu 29: Chọn B. * Gọi H là trung điểm BC,O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì A' A A' B A'C nên hình chiếu của A' lên ABC là điểm O hay A'O  ABC . Gọi E là điểm sao cho BCAE là hình bình hành. d AA'; BCC ' B ' d AA' E ; BCC ' B ' d H; AA' E . * Gọi K là hình chiếu của O lên AA'. A'O  AE Vì AA'O  AE OK  AE A'O  AE OK  AA' E . d O; A' AE OK AO 2 2 * Ta có: OK . d H; A' AE d H; A' AE AH 3 3 * Góc giữa AA' và ABC là góc giữa AA' và AO bằng 600. OK 4 AB 3 4 AO AB . sin 600 3 3 3 3 21
22. 4 * A'O AO.tan 600 . 3 2 4 3 4 3 16 3 Vậy V A'O.S . . ABC 3 4 27 Câu 30: Chọn A. * Xét phương trình hoành độ giao điểm: ax3 bx2 cx 2 x2 ax3 b 1 x2 cx 2 0 Từ đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ x 1; x 1; x 2 nên ta có hệ phương trình sau: 4a 2b c 1 a 1 a b c 1 b 1 a b c 1 c 1 Vậy P a 3b 5c 3. Câu 31: Chọn C . Gọi H,K lần lượt là trung điểm của A 'B,A 'D Ta có: AH  (BA 'C),AK  (DA 'C) ((·BA 'C);(DA 'C)) (·AH,AK) H· AK 1 a 2 Lại có : HK là đường trung bình của A 'BD HK BD 2 2 22
23. a 2 Mặt khác AH AK AH AK HK a 2 2 => AHK đều. ((·BA 'C);(DA 'C)) H· AK 60o. Câu 32: Chọn C . Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y. Ta có: MN IM SA IA x y 1 MP JM AM a b SB JB AI x y y 3 2 ( ) 2 2 2 x x y 4a 4a 1 4a 4a b P ( . . ). 2a 2a b . (BĐT Cauchy) 2a 2a b b 33 b 27 b 27 Câu 33: Chọn A . Ta có: 3 3 3 3 C3 C4 C5 C100 3! 4! 5! 100! 3!.0! 3!.1! 3!.2! 3!.97! 1 .(1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100) 3! 23
24. n(n 1)(n 2)(n 3) Chứng minh bằng quy nạp ta được: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 4 1 98.99.100.101 101! Áp dụng vào ta có: C3 C3 C3 C3 . C4 3 4 5 100 3! 4 4!.97! 101 Câu 34: Chọn B . Nhìn vào đồ thị ta dễ thấy đáp án đúng là B Câu 35: Chọn C. Ta có 4a 25b 10c a log 4 blog 25 c. c log 4 a A log 4 log 25 log100 2. c log 25 b Câu 36: Chọn D. Ta có AC BC 2 AB2 a AB.AC a 3 Gọi H là hình chiếu của A trên BC AH . BC 2 Ta có AC ', BCC ' B ' AC ', HC ' ·AC ' H ·AC ' H 300 AC ' 2AH a 3. CC ' AC '2 AC 2 a 2. Gọi O,O ', I lần lượt là trung điểm của BC, B 'C ',OO ' I là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ. 2 2 2 2 BC CC ' a 6 R AI AO OI . 2 2 2 2 a 6 2 Vậy diện tích mặt cầu là 4. . 6 a . 2 Câu 37: Chọn D. 24
25. Mỗi mặt hình lập phương có cạnh bằng 4cm thì có 4 hình lập phương cạnh bằng 1cm được sơn màu đỏ. Vậy số hình lập phương cạnh bằng 1cm được sơn màu là 4.6=24 (hình). Câu 38: Chọn B. Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD. Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD. Ta có: 2 a 3 1 a 3 BO BN ,ON BN 3 3 3 6 a 6 AO AB2 BO2 3 3 a 6 1 a 6 AI AO ,OI AO 4 4 4 12 a 2 IN OI2 ON2 4 a 2 Bán kính mặt cầu là R IN 4         T MA2 MB2 MC2 MD2 (IM IA)2 (IM IB)2 (IM IC)2 (IM ID)2  2       2  2  2  2 4IM 2IM(IA IB IC ID) (IA IB IC ID ) 4R 2 4IA2 2a 2 Vậy T 2a 2 25
26. Câu 39: Chọn B. 1 5 5 1 5 5 9 (x y . 2.z)2 (x 2 y2 2z2 ) (x 2 y2 .2. 2.z2 ) . .(x 4 y4 8z4 ) 2 2 2 2 2 2 5 5 648 x 4 y4 8z4 (9 : )2 : 2 2 125 a 648 Vậy GTNN của P là a b 523 . b 125 Câu 40: Chọn D. Ta có: SBA SCA SB SC Gọi M là trung điểm của BC, ta có: SM  BC BC  (SAM) AM  BC Dựng SH  AM SH  (ABC) . Khi đó S· BH 60o Do SH2 HB2 SB2 ;SB2 AB2 SA2 Ta có: SA2 SH2 HB2 AB2 , mặt khác SA2 HA2 SH2 Do đó HB2 AB2 HA2 HB  AB Ta có: AB a BH ABtan B· AH a 3 Khi đó: AB.AC.sin A a 2 3 SH HBtan 60o 3a;S ABC 2 4 1 a3 3 V .SH.S 3 ABC 4 26
27. Câu 41: Chọn C. 2x Ta có: x x2 2 x2 x x2 2 x . x2 2 x Ta có: log x x2 2 x 4 2x x2 2 1 2 log x x2 2 x 4 2x x2 2 1. 2 2 3x 2 x2 2 2x 2 2 log2 4 2x x 2 1 log2 2x x 2 1, 1 x2 2 x x2 2 x Ta có x2 2 x 0,x ¡ . x 0 8 Điều kiện: 3x 2 x2 2 0 2 x2 2 3x x 0 x . * 5 2 2 4x 8 9x Với điều kiện (*), ta có 1 log 3x 2 x2 2 3x 2 x2 2 log x2 2 x x2 2 x, 2 . 2 2 1 Xét hàm số f t log t t với t 0. Có f ' t 1 0,t 0; . 2 t.ln 2 Hàm số f t log t t đồng biến trên 0; , 3x 2 x2 2 0; và x2 2 x 0; . 2 Nên 2 f 3x 2 x2 2 f x2 2 x 2x 0 x 0 2 3x 2 x2 2 x2 2 x x2 2 2x x . 2 2 2 x 2 4x 3x 2 3 8 2 16 Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là ; hay a.b . 5 3 15 Câu 42: Chọn D. Ta có: 3 2 3 2 m 3m 1 3 2 x 3x 1 2 1 2 .log81 x 3x 1 2 2 .log3 0 1 m3 3m2 1 2 27
28. m3 3m2 1 2 x3 3x2 1 2 2 .log x3 3x2 1 2 2 .log m3 3m2 1 2 0 3 3 x3 3m2 1 2 m3 3m2 1 2 2 .log x3 3x2 1 2 2 .log m3 3m2 1 2 2 3 3 t Xét hàm số f t 2 log3 t với t 2. t t 2 t 1 Có f ' t 2 ln 2.log3 t 2 ln 2.log3 t 0,c 2; . t.ln 3 t.ln 3 t Hàm số f t 2 log3 t đồng biến trên 2; . 2 f x3 3x2 1 2 f m3 3m2 1 2 x3 3x2 1 2 m3 3m2 1 2 x3 3x2 1 m3 3m2 1 x3 3x2 1 m3 3m2 1 x3 3x2 m3 3m2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 x 3x 1 m 3m 1 x 3x m 3m 2 4 3 2 2 x 0 Xét hàm số g x x 3x có g ' x 3x 6x 0 . x 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số g x x3 3x2 x 0 2 g ' x + 0 0 + g x 0 4 Suy ra bảng biến thiên của hàm số g x x 3 3x2 28
29. Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm. TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm 3 2 3 2 3 2 2 4 m 3m 0 4 m 3m 0 m 3m 0 m m 3 0 3 m 3 3 2 3 2 3 2 2 m 3m 2 4 m 3m 2 m 3m 4 0 m 2 m 1 0 TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm m2 m 3 0 m3 3m2 0 3 2 m 0 m 3m 2 4 m3 3m2 2 0 m 3 3 2 m 3m 2 TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm m3 3m2 4 2 m m 3 0 m 3 m3 3m2 0 m  3 2 3 2 m 3m 2 m 3m 2 3 2 4 m 3m 2 0 Xét phương trình: m3 3m2 2 m3 3m2 m3 3m2 1 0 không có nghiệm nguyên. Vậy S 0; 1; 2; 3. Tổng bình phương các phần tử của S là: 28. Câu 43: Chọn C. 1 Gọi M là trung điểm AB, dễ thấy ADCM là hình vuông MC AM AB 2 ACB là tam giác vuông tại C 29
30. Gọi N đối xứng với C qua M ACBN là hình chữ nhật 3V AC / /BN AC / / SBN d AC, SB d A, SBN S.ABN . S SBN 1 1 1 Tính V SA.S SA.AN.NB SA.BC.AC S.ABN 3 ABN 6 6 SA AC.tan 600 a 2. 3 a 6; BC AB2 AC 2 4a2 2a2 a 2 1 a3 6 Như vậy: V .a 6.a 2.a 2 S.ABN 6 3 Ta có: SN SA2 AN 2 6a2 2a2 2 2a Xét SBN vuông tại N, BN  AN; BN  SA BN  SN 1 1 Ta có: S SN.NB .2 2a.a 2 2a2 SBN 2 2 a3 6 3. 3VS.ABN 3 a 6 Suy ra d AC, SB d A, SBN 2 . S ABN 2a 2 Câu 44: Chọn A. 1 Đặt t ; cosx Ta có: 3 1 x ; 1 cos x 0 1 2 2 cosx t ( ; 1] Phương trình f (t) m có nghiệm t ( ; 1]. m 2 Vậy m [2; ) Câu 45: Chọn B. Thay x 0 vào đẳng thức f 3 2 x 2 f 2 2 3x x2 g x 36x 0 ta có: f 2 0 f 3 2 2 f 2 2 0 . f 2 2 Lấy đạo hàm theo x hai vế của đẳng thức trên ta có: 30