Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề x 1 t Câu 1. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d : y 3 2t và P : x 2y z 6 0 ? z t A. Song song. B. Cắt và vuông góc. C. Đường thẳng thuộc mặt phẳng. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc. Câu 2. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 0,b 0,c 0. B. a 0,b 0,c 0 . C. a 0,b 0,c 0 . D. a 0,b 0,c 0 . Câu 3. Dãy số nào là cấp số nhân lùi vô hạn trong các dãy số sau đây? 1 u u 1 * n 1 2 n A. un n ¥ .B. . n u 100 n * 1 ¥ 1 * * C. un n n ¥ .D. un 2n n ¥ . 2 Câu 4. Phương trình 2x 4 có nghiệm là: A. x 1 B. x 2 C. x 3 D. x 4 2 Câu 5. Kết quả của I sin xdx bằng 0 2 A. I 1 B. I 2 C. I 0 D. I 2 1 Câu 6. Số phức z có modul là: 2 i 7 5 A. 3B. C. D. 4 5 5 Câu 7. Thể tích khối lăng trụ khi biết diện tích đáy S và chiều cao h là: Trang 1
2. 1 1 A. S.h B. S.h C. S.h D. 3S.h 3 6 Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0;2 . B. 1;2 . C. ;2 . D. 0; . Câu 9. Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng 12 . Bán kính đáy của hình nón là: A. 4B. 2C. 6D. 3 Câu 10. Hàm số y log2 x 3 xác định khi: A. x 3 B. x 3 C. x 3 D. x 3 Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f x 2x là: 2x ln 2 A. C B. 2x.ln 2 C C. C D. x.2x.ln 2 C ln 2 2x x 1 t Câu 12. Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng d : y 2t là: z 2 t     A. ud 1;2; 1 B. ud 1;0;2 C. ud 1;2;1 D. ud 1;2;2 Câu 13. Hệ số của x7 trong khai triển của 3 x 9 là: 7 7 7 7 A. C9 B. 9C9 C. 9C9 D. C9 Câu 14. Tọa độ tâm A của mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 là: A. A 1;2; 1 B. A 1;2;1 C. A 1;2; 1 D. A 1; 2; 1 Câu 15. Tỉ số diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2 và diện tích toàn phần của hình lập phương đó là: A. B. C. D. 6 4 8 3 Câu 16. Nếu log3 a thì log9000 bằng: A. 3 2a B. a2 C. a2 3 D. 3a2 Câu 17. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có bảng biến thiên như sau: Trang 2
3. 3 A. y x3 3x B. y x3 3x 2 C. y x3 x 2 D. y x3 3x 2 x 1 2x 3 1 1 Câu 18. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình thuộc  5;5 là: 3 9 A. 10B. 11C. 8D. 6 Câu 19. Cho M 1;1;1 , N 3; 2;5 và mặt phẳng P : x y 2z 6 0 . Hình chiếu vuông góc của MN lên P có phương trình là: x 2 y 2 z 1 x 2 y 2 z 1 A. B. 7 3 2 7 3 2 x 2 y 2 z 1 x 2 y 2 z 1 C. D. 7 3 2 7 3 2 Câu 20. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1: A. y x 1 B. y x 1 C. y x 1 D. y x 1 Câu 21. Để phương trình log2 x mlog x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 thì m nhận giá trị 3 3 nào trong các giá trị sau đây? A. m 2 .B. Không tồn tại m . C. m 2 .D. m 2 . Câu 22. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 0,x ¡ . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 1 A. S f x dx f x dx B. S f x dx 1 0 1 1 0 1 C. S f x dx D. S f x dx f x dx 1 1 0 Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 4 3i . Phần thực của số phức w iz 2z là: A. 2B. 3C. 4D. 5 Câu 24. Cho hàm số y x4 1 C và Parabol P : y x2 1. Số giao điểm của C và P là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Trang 3
4. Câu 25. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 1 i 1 là: A. Parabol y x2 . B. Đường thẳng x 1. C. Đường tròn tâm I 1; 1 , bán kính R 1. D. Đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R 1. Câu 26. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD là a . Thể tích khối chóp SABCD bằng: a2 3 a3 3 a3 A. V B. V C. V a3 D. V SABCD 9 SABCD 9 SABCD SABCD 3 Câu 27. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số đã cho có số đường tiệm cận là: A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 28. Cho hai mặt phẳng : x 5y 2z 1 0,  : 2x y z 4 0 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và  thì giá trị đúng của cos là: 5 5 6 5 A. B. C. D. 6 6 5 5 Câu 29. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 2? A. 1149B. 1029C. 574D. 2058 Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là những tam giác đều. Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là: 3 3 3 3 A. B. C. D. 3 2 4 6 Câu 31. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x C tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất là: A. y 3x B. y 3x 3 C. y 3x 3 D. y 6x 3 Câu 32. Cho nguyên hàm I x2 4 x2 dx . Nếu đặt x 2sin t với t ; thì 2 2 cos 4t sin8t A. I 2t C B. I 2t C 2 4 cos 4t sin 4t C. I 2t C D. I 2t C 2 2 Trang 4
5. Câu 33. Cho hàm m có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số y f x m trên đoạn 0;2 bằng 4? A. 4 B. 1 C. 0 D. 2 Câu 34. Có một số lượng vi khuẩn đang phát triển ở góc bồn rửa chén trong nhà bếp của bạn. Bạn sử dụng một chất tẩy bồn rửa chén và đã có 99% vi khuẩn bị tiêu diệt. Giả sử, cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi. Để số lượng vi khuẩn phục hồi như cũ thì cần thời gian là (tính gần đúng và theo đơn vị phút). A. 80 phútB. 100 phútC. 120 phútD. 133 phút Câu 35. Biết thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số 1 y x2 2x, y x2 quay quanh trục Ox bằng lần diện tích mặt cầu có bán kính bằng 1. Khí đó k k bằng: A. 3B. 2C. 12D. 4 Câu 36. Cho số phức z có z 5 . Khi đó, quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w 3 4i z 2 3i là: A. Đường tròn bán kính r 5 .B. Đường tròn bán kính r 25 . C. Đường elip.D. Đường thẳng. Câu 37. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Thể tích vật thể tạo thành khi quay tứ diện ACB ' D ' quanh trục là đường thẳng qua AC bằng: a3 2 a3 2 a3 3 a3 2 A. B. C. D. 6 3 3 2 Câu 38. Cho mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 1 2 25 . Mặt phẳng P cắt S theo giao tuyến là một hình tròn có diện tích S 16 và đi qua A 1; 1; 1 có phương trình: A. x 2y 2z 3 0 B. x 2y 2z 3 0 C. x 2y 2z 3 0 D. x 2y 2z 3 0 Câu 39. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y mx3 3mx2 3m 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB2 OA2 OB2 20 (O là gốc tọa độ) bằng: 6 5 13 17 A. B. C. D. 11 11 11 11 Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 600 . Các mặt phẳng SAD và SAB cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Góc tạo bởi SC với ABCD bằng Trang 5
6. 600 . Cho N là điểm nằm trên cạnh AD sao cho DN 2AN . Khoảng cách giữa hai đường thẳng NC và SD là: 2a 3 3 2a A. B. 3a C. 2a D. 15 79 79 21 Câu 41. Cho số phức z có z 5i 3 và w w 10 . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của w z bằng: A. 1B. 2C. 3 D. 2 2 Câu 42. Cho mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z2 9 và các điểm A 1;0;0 , B 2;8;0 ,C 3;4;0 . Điểm    M S thỏa mãn biểu thức P MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, Pmin bằng: A. 5B. 3 C. 4 46 3 D. 8 1 Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f 3 x f x 8x 6 . Khi đó, f x dx 0 bằng: A. 10B. 6C. 8D. 14 Câu 44. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có f 0 1 và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Hàm số y f 3x 9x3 1 đồng biến trên khoảng: 1 A. ; B. ;0 3 2 C. 0;2 D. 0; 3 Câu 45. Cho hàm số y f x có đạo hàm và đồng biến trên ; . Xác định m để bất phương trình 6 3 f x ecos x ln sin x m nghiệm đúng với mọi x ; 6 3 3 3 A. m e ln f B. m e ln f 2 3 2 3 1 1 C. m e ln f D. m e ln f 2 6 2 6 Câu 46. Cho hàm số y 4x3 2x . Biết rằng đồ thị hàm số cùng với trục hoành và hai đường thẳng có phương trình x a; x b a,b 0 (hai đường thẳng này cách nhau một đoạn bằng 1) tạo ra hình phẳng có diện tích S . Để diện tích S là nhỏ nhất thì tổng a b bằng: Trang 6
7. 5 A. 1B. 2C. D. 3 2 Câu 47. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC 4a, AA' vuông góc với mặt phẳng ABC . Góc giữa AB 'C và BB 'C bằng 600 . Thể tích lăng trụ ABC.A' B 'C ' bằng: 8a3 2 4a3 3 A. 4a3 3 B. C. D. 8a3 2 3 3 Câu 48. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x3 x2 x m . f x 0 nghiệm 5 đúng với mọi x 2; ? 2 A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 Câu 49. Trong không gian Oxyz với hệ trục tọa độ cho điểm A 2;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;2 . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng .: x y z 0 và tiếp xúc với 3 đường thẳng AB, BC,CA ? A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 50. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f f f x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 14 B. 5 C. 8 D. 9 Trang 7
8. Đáp án 1-B 2-C 3-B 4-B 5-A 6-C 7-A 8-A 9-A 10-C 11-A 12-A 13-C 14-D 15-A 16-A 17-A 18-C 19-D 20-B 21-C 22-B 23-C 24-B 25-C 26-D 27-B 28-B 29-B 30-A 31-A 32-D 33-D 34-D 35-C 36-B 37-D 38-B 39-A 40-C 41-B 42-D 43-A 44-D 45-B 46-A 47-D 48-A 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B   Ta có ud 1;2;1 cùng phương với np 1; 2; 1 nên đường thẳng d cắt và vuông góc với P . Câu 2: Đáp án C Từ hình dáng đồ thị hàm số ta có a 0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c 0 . Hàm số có 3 cực trị nên a.b 0 mà a 0 b 0 . Câu 3: Đáp án B Để dãy số là cấp số nhân lùi vô hạn thì nó phải là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q 1. 1 un 1 un u 1 Ta thấy 2 có n 1 1 Đây là cấp số nhân. u 2 u 100 n * n 1 ¥ Câu 4: Đáp án B Ta có 2x 4 22 x 2 . Câu 5: Đáp án A 2 2 I sin xdx cos x 0 1 1. 0 0 Câu 6: Đáp án C 2 2 1 2 1 2 1 5 Ta có z i z . 2 i 5 5 5 5 5 Câu 7: Đáp án A Ta có V S.h . Câu 8: Đáp án A Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên 0;2 . Câu 9: Đáp án A 12 Ta có công thức S .r.l r 4. xq 3. Trang 8
9. Câu 10: Đáp án C Hàm số y log2 x 3 xác định x 3 0 x 3 . Câu 11: Đáp án A a x 2x Ta có công thức a xdx C 2x dx C . ln a ln 2 Câu 12: Đáp án A  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud 1;2; 1 . Câu 13: Đáp án C 9 9 k 9 k k 7 2 7 7 3 x C9 3 x k 7 C9 .3 1 9.C9 là hệ số cần tìm. k 0 Câu 14: Đáp án D Ta có: x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 x 1 2 y 2 2 z 1 2 32 . Vậy mặt cầu S có tâm A 1; 2; 1 . Câu 15: Đáp án A Hình lập phương cạnh bằng 2 có diện tích toàn phần là 22.6 24 . Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng 2 có bán kính bằng 1 S 4 r 2 4 . 4 Vậy tỉ số là: . 24 6 Câu 16: Đáp án A Cách 1: Ta có log9000 log 9.103 log32 log103 2log3 3 2a 3 . Cách 2: Sử dụng Casio. Gán giá trị log3 SHIFT STO A; log9000 SHIFT STO B . Sau đó, lấy giá trị của B trừ lần lượt các biểu thức của phương án, phép tính nào ra kết quả bằng 0 thì là phương án đúng. Câu 17: Đáp án A Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị là x 1 và x 1 loại phương án C. Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm 1;2 và 1; 2 chỉ có hàm số y x3 3x thỏa mãn. Câu 18: Đáp án C x 1 2x 3 x 1 4x 6 1 1 1 1 7 Ta có: x 1 4x 6 x . 3 9 3 3 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 0; 1; 2;3;4;5 . Câu 19: Đáp án D Gọi M ', N ' lần lượt là hình chiếu của M , N xuống P . Trang 9
10.  Đường thẳng d1 đi qua M 1;1;1 và nhận np 1;1; 2 làm một vectơ chỉ phương có phương trình x 1 t y 1 t M ' d1  P M ' 2;2; 1 z 1 2t 11 1  7 3 1 Tương tự ta có N ' ; ;0 MN ; ;1 7; 3;2 . 2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 1 Phương trình hình chiếu cần tìm là phương trình đường thẳng M ' N ': . 7 3 2 Câu 20: Đáp án B Ta có: y ' 6x2 6x . x 0 y 1 Cách 1: y ' 0 x 1 y 2 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A 0;1 , B 1;2 . Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y x 1. Cách 2: Ta có:. 3 2 1 1 2 1 1 y 2x 3x 1 y x 6x 6x x 1 y x y ' x 1. 3 2 3 2 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y x 1. Câu 21: Đáp án C Điều kiện x 0 . Phương trình log2 x mlog x 1 0 có nghiệm duy nhất Phương trình có nghiệm kép hay 3 3 m2 4 0 m 2 . + Với m 2 log2 x 2log x 1 0 log x 1 x 3 1 (loại) 3 3 3 1 + Với m 2 log2 x 2log x 1 0 log x 1 x 1 (thỏa mãn). 3 3 3 3 Vậy với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. Câu 22: Đáp án B Ta có diện tích hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên 1 1 ¡ , y 0, x 1 và x 1 là S f x dx f x dx (vì f x 0,x ¡ ). 1 1 Câu 23: Đáp án C 4 3i Ta có: z 1 2i z 1 2i 2 i w iz 2z i 1 2i 2 1 2i 4 5i Trang 10
11. Vậy phần thực của số phức w là 4. Câu 24: Đáp án B x2 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x4 1 x2 1 x4 x2 2 0 x 1. 2 x 2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Đồ thị C và P cắt nhau tại hai điểm. Câu 25: Đáp án C Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z . x yi 1 i 1 x 1 i y 1 1 x 1 2 y 1 2 1. Đây là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính R 1. Câu 26: Đáp án D SAB  ABCD Ta có: và SAB  SAD SA . SAD  ABCD SA  ABCD . Khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABCD SA a . 1 1 a3 Ta có: S a2 V .SA.S .a.a2 . ABCD S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 27: Đáp án B Từ bảng biến thiên ta thấy: + Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. + lim y ; lim y Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x 0 và x 1. x 0 x 1 Câu 28: Đáp án B   Ta có: n 1;5; 2 và n 2; 1;1 . 1.2 5.1 2.1 5 cos ;  . 30. 6 6 Câu 29: Đáp án B Gọi số cần tìm là abcd . Vì abcd chia hết cho 2 suy ra d 2;4;6 . Với d 2;4;6 , suy ra có 7 cách chọn a , 7 cách chọn b , 7 cách chọn c . Khi đó, có 3 7 7 7 1029 số cần tìm. Vậy có 1029 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 30: Đáp án A Hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều. Trang 11
12. Tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Gọi AC  BD O , kẻ OI  CD I CD . CD  OI Ta có CD  SOI CD  SI . CD  SO Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là S· IO . a a 3 OI 1 3 Ta có: OI ; SI cos . 2 2 SI 3 3 Câu 31: Đáp án A Ta có y ' 3x2 3 3 . Dấu “=” xảy ra x 0 Hệ số góc nhỏ nhất của C là 3. Tại x 0 y 0 . Vậy phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất là y 3. x 0 0 3x . Câu 32: Đáp án D Đặt x 2sin t với t ; dx 2costdt . 2 2 sin 4t I 16 sin2 t cos2 tdt 4 sin2 2tdt 2 1 cos 4t dt 2t C . 2 Câu 33: Đáp án D Đặt y g x f x m . Ta có: min f x 2 min g x m 2 0;2 0;2 max f x 2 max g x m 2 0;2 0;2 max g x max m 2 ; m 2 0;2 m 2 4 m 2 m 2 m 2 m 2 4 m 2 m 2 Câu 34: Đáp án D Sau khi diệt khuẩn, số vi khuẩn còn lại sẽ là 1%. 20 Sau 20 phút, số vi khuẩn là 1%.2 1%.220 2% . 20 20 40 Sau 20 phút nữa (40 phút), số vi khuẩn là 2%.2 1%.220.220 1%.220 4% . Trang 12
13. n Sau n phút, ta có số vi khuẩn là 1%.220 . n n Để phục hồi số vi khuẩn như cũ thì 1%.220 100% log 100 n 133 (phút) 2 20 Câu 35: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm là: 2 2 x 0 x 2x x x 1 1 1 1 2 2 V x2 2x dx x4dx x2 2x x4 dx 0 0 0 3 Diện tích mặt cầu có bán kính bằng 1 là 4 . 1 Ta có: : 4 k 12 . k 3 Câu 36: Đáp án B Ta có: w 2 3i 3 4i z w 2 3i 3 4i z 25. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kính r 25 . Câu 37: Đáp án D Ta có ACB ' D ' là tứ diện đều cạnh a 2 . Do tính chất của tứ diện đều nên khi quay tứ diện quanh cạnh AC thì ta được vật thể tạo thành từ hai khối nón có a 6 bán kính đường tròn đáy bằng B 'O và độ dài đường 2 a 2 sinh là CB ' a 2 , đường cao CO . 2 Thể tích vật thể là: 2 3 1 2 1 a 6 a 2 a 2 V 2. .r .h 2. . . . 3 3 2 2 2 Câu 38: Đáp án B Ta có mặt cầu S có tâm I 2;1;1 , bán kính R 5. Mặt khác hình tròn có diện tích S 16 Bán kính đường tròn là r 4 . d I; P 52 42 3. Mà AI 12 22 22 3 d I; P .  np AI (1;2;2) Trang 13
14.  Vậy mặt phẳng P đi qua A 1; 1; 1 và có vectơ pháp tuyến np 1;2;2 có phương trình là x 2y 2z 3 0 . Câu 39: Đáp án A Ta có: y ' 3m x2 2x . Để hàm số có hai điểm cực trị thì m 0 . x 0 y 3m 3 Ta có: y ' 0 . x 2 y m 3 Giả sử A 0;3m 3 , B 2; m 3 . Ta có: 2AB2 OA2 OB2 20 2 2 2 2 4 16m (3m 3) 4 ( m 3) 20 m 1 2 11m 6m 17 0 17 m 11 6 Tổng các giá trị của m bằng . 11 Câu 40: Đáp án C Gọi E là điểm thỏa mãn NCDE là hình bình hành. NC / /ED NC / / SED . Kẻ AH  DE, AK  SH AK d A; SED . Ta có d NC;SD d NC; SED d N; SED . Mặt khác d N; SED ND 2 2 d N; SED AK . d A; SED AD 3 3 Vì ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 600 nên ABD đều có cạnh bằng a . a 3 AC 2. a 3 . 2 Ta có: CN 2 CA2 AN 2 2AN.AC.cos300 2 2 a a 3 19 2 3a 2.a 3. . a 3 3 2 9 19 NC 2 DE 2 a2 9 Trang 14
15. 2 2a 19 2 2 2 2 2 a a DN DE EN 3 9 7 19 cos N· DE 2.DN.DE 2a 19a 38 2. . 3 3 27 27 sin N· DE AH AD.sin N· DE a 76 16 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 2 2 2 27 AK AS AH AC.tan 60 AH 3a a2 76 27 3 AK a 3a 79 79 2 3 d N; SED AK 2a 3 79 Câu 41: Đáp án B Từ giả thiết ta có tập hợp điểm M biểu diễn z là đường tròn tâm I 0;5 , bán kính và R 3 tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là đường thẳng có phương trình d : x 5 . Để w z MN nhỏ nhất thì độ dài MN nhỏ nhất, khi đó MN d I;d R 5 3 2. Câu 42: Đáp án D Mặt cầu S có tâm E 1;1;0 , bán kính R 3. Gọi điểm I x; y; z thỏa mãn: 1 x 2 2 x 3 x 0 x 2    IA 2IB IC 0 y 2 8 y 4 y 0 y 5 I 2;5;0 . z 0 z 2z z 0        Khi đó P MA 2MB MC IA 2IB IC 4MI 4MI . Vậy để Pmin thì MI ngắn nhất. Khi đó M EI  S . Ta có: EI 32 42 02 5 Pmin 4 EI R 4 5 3 8 Câu 43: Đáp án A Ta có: 2 f 3 x f x 8x 6 . Đặt t 3 x 2 f t f 3 t 8 3 t 6 f 3 x 2 f x 8x 18 2 f 3 x f x 8x 6 f x 8x 14 f 3 x 2 f x 8x 18 Trang 15
16. 1 1 Ta có: f x dx 8x 14 dx 10 . 0 0 Câu 44: Đáp án D Đặt g x f 3x 9x3 1 g ' x 3 f ' 3x 27x2 g ' x 0 f ' 3x 3x 2 * Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đồ thị hàm số y f ' x và y x2 như hình bên. x 0 3x 0 1 Từ đồ thị hàm số ta có * 3x 1 x 3 3x 2 2 x 3 2 2 Khi đó g ' x 0 f ' 3x 3x 0 x . 3 2 g ' x 0 trên ;0 ; ; . 3 Ta có g 0 f 0 9.03 1 0 . Bảng biến thiên của hàm số y g x . Từ bảng biến thiên ta có hàm số y g x 2 đồng biến trên 0; . 3 Câu 45: Đáp án B Ta có: f x ecos x ln sin x m m ecos x ln sin x f x g x g ' x sin x.ecos x cot x f ' x sin x.ecos x cot x f ' x 0,x ; 6 3 y g x nghịch biến trên ; . 6 3 3 Để thỏa mãn đề thì m min g x g e ln f . ; 3 2 3 6 3 Câu 46: Đáp án A Do hàm số y 4x3 2x đồng biến nên cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Giả sử b a khi đó ta có b a 1 b a 1. Ta có diện tích hình phẳng là: Trang 16
17. 1 a 1 a S 4x3 2x dx 4x3 2x dx x4 x 1 a a a a 1 a 4 1 a 2 a4 a2 4a3 6a2 6a 2 f a Xét hàm số f a 4a3 6a2 6a 2 có min f a 2 a 0, b 1. 0; Câu 47: Đáp án D Từ A kẻ AI  BC I là trung điểm BC . Ta có BB '  ABC BB '  AI AI  BB 'C 'C AI  B 'C . Kẻ IM  B 'C khi đó B 'C  MA. Góc giữa AB 'C và BB 'C bằng góc ·AMI 600 . 1 2a Ta có: AI BC 2a; IM 2 3 IM 1 6 1 sin M· CI cos M· CI tan M· CI IC 3 3 2 BB ' 2a 2 3 VABC.A'B'C ' 8a 2 Câu 48: Đáp án A Đặt g x x3 x2 x m . f x 0,x  2;1 Từ đồ thị hàm số y f x ta có 5 . f x 0,x 1; 2 5 Bất phương trình x3 x2 x m . f x 0 nghiệm đúng với mọi x 2; . 2 g x 0,x  2;1 5 g x 0,x 1; 2 lim g x 0; lim g x 0 x 1 x 1 Do hàm số y g x liên tục trên ¡ nên ta có: lim g x lim g x g 1 g 1 0 m 1. x 1 x 1 Thử lại, với m 1 ta có g x x3 x2 x m x3 x2 x 1 x 1 x2 1 thỏa mãn đề bài. Câu 49: Đáp án D Trang 17
18. Gọi mặt cầu S có tâm I là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh AB, BC,CA . d I, AB d I, BC d I, AC . Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng ABC . M , P,C lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC,CA . Ta có: IHM IHN IHP (Cạnh huyền – cạnh góc vuông). HM HN HP H là điểm thuộc mặt phẳng ABC và cách đều 3 cạnh AB, BC,CA . H có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC . Mà IH  ABC nên tập hợp điểm I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC có 4 đường thẳng như thế. Ta có A 2;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;2 phương trình mặt phẳng ABC : x y z 2 0 ABC / / . Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng . 4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 50: Đáp án A Từ đồ thị hàm số ta thấy: f f x 0 f f f x 0 f f x 3 x 0 x 3 f x 0 ) f f x 0 x a 0 a 1 f x 3 x b 1 b 3 x c 3 c 4 f x a ) f f x 3 f x b f x c • Với f x a 0 a 1 ta có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 . Trang 18
19. • Với f x b 1 b 3 ta có 3 nghiệm phân biệt x4 , x5 , x6 . • Với f x c 3 c 4 ta có 3 nghiệm phân biệt x7 , x8 , x9 . Vậy phương trình f f f x 0 có tất cả 5 3 3 3 14 nghiệm phân biệt. Trang 19