Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 16 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 16 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A A 1; 1;2 và B 2;1;1 . Độ dài đoạn AB bằng A. 2.B. 2 . C. 6 .D. 6. Câu 2. Giải bất phương trình log1 1 x 0 3 A. x 0 .B. 1 x 0 . C. x 0 .D. x 0 . Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. y x3 3x2 2. B. y x4 2x2 1. C. y x4 2x2 2 . 2x 1 D. y . x 1 Câu 4. Tập xác định của hàm số y x 2 5 là. A. ;2 .B. 2; . C. ¡ .D. ¡ \ 2 . 1 Câu 5. Cho cấp số cộng u có u 3 và công sai d . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 2 1 1 A. u 3 n 1 . B. u 3 n 1 . n 2 n 2 1 1 C. un n 3 n 1 . D. un 3 n 1. 4 2 Câu 6. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 x 2 với đường thẳng y 2 là A. 0.B. 1.C. 3.D. 0. Câu 7. Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có phương trình x2 y 4 2 z 1 2 25. Tâm mặt cầu S là điểm A. I 4; 1;25 .B. I 0; 4; 1 .C. I 4;1;25 .D. I 0;4;1 . Câu 8. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là A. 8.B. 6.C. 7.D. 9. Câu 9. Số tập con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là. Trang 1
2. 7! A. . B. C3 .C. 7.D. A3 . 3! 7 7 Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, mặt phẳng qua các điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;4 có phương trình là A. 6x 4y 3z 24 0 .B. 6x 4y 3z 12 0 . C. 6x 4y 3z 12 0 .D. 6x 4y 3z 0. 3 3 1 Câu 11. Cho f x dx 4 và f x dx 2 . Khi đó f x dx bằng 2 1 2 A. –6.B. 6.C. 8.D. 2. Câu 12. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 4 A. Bh.B. Bh .C. Bh .D. 3Bh. 3 3 Câu 13. Cho Số phức z 1 2i . Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ A. 1;2 .B. 1; 2 . C. 1; 2 .D. 1;2 . Câu 14. Cho hàm số y f x có đồ thị trên  2;4 như hình vẽ, giá trị lớn nhất của f x trên  2;4 là A. 4. B. 1. C. 3. D. –2. Câu 15. Thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a,b , trục Ox và hai đường thẳng x a , x b a b xung quanh trục Ox là b b b b A. V f 2 x dx . B. V f 2 x dx .C. V f x dx . D. V f x dx . a a a a Câu 16. Cho hàm số f x x3 3x2 5x 3 và hàm số g x có bảng biến thiên như sau x –6 6 g x + 0 – 0 + g x Hàm số y g f x nghịch biến trên khoảng. Trang 2
3. A. 1;1 .B. 0;2 . C. 2;0 .D. 0;4 . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD , góc giữa SC và ABCD bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là a3 2 a3 a3 2 A. . B. .C. a3 2 .D. . 6 3 3 Câu 18. Số phức z x yi (với x, y ¡ ) thỏa mãn 1 i z 3 5i , giá trị của x2 y2 bằng A. 49.B. 17.C. 34 . D. 17 . 2 Câu 19. Tích các nghiệm của phương trình 3x 4x 5 9 là A. 4.B. 3.C. –4.D. 5. 1 Câu 20. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 10 x 10 A. y 10 .B. x 10 . C. y 10 .D. x 10. Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 3; 2;5 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ Oxz là A. M 3; 2;0 .B. M 3;0;5 .C. M 0; 2;5 .D. M 0;2;5 . Câu 22. Cho lăng trụ ABC.A B C có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, AB 2a , B· AC 120 . Hình chiếu vuông góc của A trên ABC trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp A .BB C C là 4a3 A. 2a3 .B. .C. 3a3 .D. 4a3 . 3 Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 2 x 1 3 2 x . Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 1;1 . C. 2; .D. 1;2 . Câu 24. Cho biểu thức P x 3 x2 4 x3 với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 23 23 12 A. P x 4 . B. P x12 .C. P x 24 .D. P x 23 . Câu 25. Tính tích các nghiệm của phương trình 9x 3x 1 2 0 . A. 0.B. log2 3 .C. log3 2 .D. 2. Câu 26. Cho số phức z1 3 2i , z2 3 2i . Phương trình bậc hai nào sau đây có hai nghiệm z1 , z2 ? A. z2 6z 13 0 . B. z2 6z 13 0 .C. z2 6z 13 0 . D. z2 6z 13 0 . Câu 27. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. Trang 3
4. 7 7 14 14 A. .B. .C. . D. . 3 6 3 9 Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ x –1 0 1 y – 0 + 0 – 0 + y 5 3 3 Số các giá trị nguyên của m để phương trình f x 2 3m có 4 nghiệm phân biệt là A. 5.B. 0.C. 1.D. 2. 1 x 2 Câu 29. Biết dx a ln 12 bln 7 , với a, b là các số nguyên, khi đó a3 b3 bằng 2 0 x 4x 7 A. –9.B. 0.C. 9.D. 1. Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD với A 1;2;1 , B 2;3;2 . Tâm I của hình thoi x 1 y z 2 thuộc đường thẳng d: . Đỉnh nào sau đây là đỉnh D của hình thoi? 1 1 1 A. D 0;1;2 .B. D 2; 1;0 .C. D 0; 1; 2 .D. D 2;1;0 . Câu 31. Cho hàm số y f x thỏa mãn hệ thức f x sin xdx f x cos x x cos xdx . Hỏi hàm số y f x là hàm số nào trong các hàm số sau? x x A. f x x ln .B. f x .C. f x x ln .D. f x . ln ln Câu 32. Cho hàm số f x có đạo hàm trên khoảng 0; và f x 0 , x 0; thỏa mãn 2 1 f x x. f 2 x với mọi x 0; , biết f 1 và f 2 . Tổng tất cả các giá trị nguyên a 3 4 của a thỏa mãn là A. –14. B. 1. C. 0. D. –2. x 1 t x 7 3s Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : y 3 2t và d2 : y 1 s . Khoảng cách z 1 t z 5 s giữa hai đường thẳng đã cho bằng A. 31. B. 6 2 .C. 62 . D. 4 2 . 4 3 2 Câu 34. Biết phương trình x ax bx cx d 0 , a,b,c,d ¡ nhận ; 1 và z2 1 2i là nghiệm. Tính a b c d . Trang 4
5. A. 10. B. 9. C. –7. D. 0. Câu 35. Để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2, giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A. 2;3 .B. 1;0 .C. 0;1 .D. 1;2 . Câu 36. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau x 2 0 2 y + 0 – 0 + 0 – 5 y 3 –4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f sin x cos x m 1 có hai nghiệm phân 3 biệt trên khoảng ; ? 4 4 A. 13. B. 12. C. 11.D. 21. Câu 37. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay nhu hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng hai cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng? A. 139968.B. 4374.C. 576.D. 15552. Câu 38. Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng CNQ . 2a 3 a 3 a 3 a 2 A. .B. . C. .D. . 3 2 4 2 Câu 39. Anh Bình muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng) với lãi suất 0,75%/tháng. Hỏi hàng tháng, Anh bình phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng? A. 9236000. B. 9137000. C. 9970000. D. 9971000. Câu 40. Cho tam giác đều ABC cạnh a, dựng về cùng một phía của mặt phẳng ABC các tia Ax, By vuông góc với mặt phẳng ABC . Lấy các điểm A Ax , B By sao cho AA 2a , BB a . Khi đó côsin góc giữa hai mặt phẳng A B C và ABC bằng Trang 5
6. 1 1 15 5 A. . B. . C. . D. . 5 2 5 2 3 Câu 41. Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh A, B, C, D và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là E, F (phần tô đậm của hình vẽ bên). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng AB, đối xứng nhau qua trục CD, hai parabol cắt elip tại các điểm M, N, P, Q. Biết AB 8m , CD 6m , MN PQ 3 3m , EF 2m . Chi phí để trồng hoa trên vườn là 300.000 đ/ m2 . Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 4.477.800. B. 4.477.000. C. 4.477.815. D. 4.809.142 Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A 1;1;1 , B 2;0;2 , C 1; 1;0 , D 0;3;4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B , C , D sao cho AB AC AD 4 và tứ diện AB C D có thế tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng B C D là AB AC AD A. 16x 40y 44z 39 0 .B. 16x 40y 44z 39 0 . C. 16x 40y 44z 39 0 . D. 16x 40y 44z 39 0 . Câu 43. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây. Lập hàm số g x f x x2 3x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g 1 g 1 . B. g 1 g 1 . C. g 1 g 2 . D. g 1 g 2 . Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z 2 2 . Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức z 1 i w là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng. iz 3 A. 2 10 . B. 3 5 . C. 2 2 . D. 2 7 . 2 3 Câu 45. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 4x 2x với mọi x ¡ và f 0 0. Giá trị của f 2 1 bằng 5 9 16 8 A. . B. . C. . D. . 2 2 15 15 Trang 6
7. Câu 46. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên. Bất phương trình log5 f x m 2 f x 4 m đúng với mọi x 1;4 khi và chỉ khi A. m 4 f 1 . B. m 3 f 1 .C. m 4 f 1 . D. m 3 f 4 . Câu 47. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6 , AD 3 , A C 3 và mặt phẳng AA C C vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng AA C C và AA B B tạo với nhau góc 3 , thỏa mãn tan . Thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D bằng 4 A. V 10. B. V 8 .C. V 12. D. V 6 . Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ 1 1 1 1 Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho . Biết mặt phẳng PQR luôn OP2 OQ2 OR2 8 1 3 tiếp xúc với mặt cầu S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M ; ;0 và cắt S 2 2 tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là A. 15 . B. 5 . C. 17 . D. 7 . 3mx 1 2x 5m 3 Câu 49. Cho phương trình x 1 . Tất cả các giá trị của tham số thực m để x 1 x 1 phương trình có nghiệm là 1 1 1 m m 1 A. m 0 . B. 3 . C. 3 . D. 0 m . 3 3 m 0 m 0 Câu 50. Với a là tham số thực để bất phương trình 2x 3x ax 2 có tập nghiệm là ¡ khi đó A. a ;0 .B. a 1;3 . C. a 3; .D. a 0;1 Trang 7
8. Đáp án 1-C 2-C 3-B 4-D 5-B 6-C 7-D 8-B 9-B 10-B 11-A 12-B 13-A 14-C 15-B 16-A 17-D 18-B 19-B 20-A 21-B 22-D 23-D 24-C 25-A 26-A 27-A 28-B 29-B 30-B 31-B 32-D 33-C 34-B 35-D 36-A 37-D 38-A 39-B 40-A 41-D 42-D 43-A 44-A 45-C 46-D 47-B 48-D 49-C 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C  2 Ta có: AB AB 2 1 2 1 1 1 2 2 6 . Câu 2: Đáp án C 1 x 0 0 x 1 Ta có: log1 1 x 0 1 x 0 . x 0 3 1 x 1 3 Câu 3: Đáp án B Cách 1: Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 điểm cực trị nên ta loại 2 đáp án A và D. Mặt khác, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1 nên loại C. Cách 2: Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1 nên loại đáp án A và C. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số xác định tại x 1 nên ta loại D. Vậy ta chọn B. Câu 4: Đáp án D 5 Ta có: y x 2 xác định khi và chỉ khi x 2 . Vậy ¡ \ 2 . Câu 5: Đáp án B Sử dụng công thức số hạng tổng quát un u1 n 1 d n 2 . 1 Ta có: u 3 n 1 n 2 Câu 6: Đáp án C 3 3 x 0 Ta có phương trình hoành độ giao điểm x x 2 2 x x 0 . x 1 Do đó số giao điểm là 3. Câu 7: Đáp án D Ta có tâm mặt cầu là I 0;4;1 . Trang 8
9. Câu 8: Đáp án B Câu 9: Đáp án B 3 Mỗi tập con gồm 3 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có C7 tập con. Câu 10: Đáp án B Phương trình mặt phẳng qua các điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;4 là: x y z 1 6x 4y 3z 12 0 . 2 3 4 Câu 11: Đáp án A 3 1 3 Ta có f x dx f x dx f x dx . 2 2 1 1 3 3 Vậy f x dx f x dx f x dx 4 2 6 . 2 2 1 Câu 12: Đáp án B 1 Theo lý thuyết, thể tích khối chóp được tính theo công thức V Bh . 3 Câu 13: Đáp án A Ta có: z 1 2i điểm biểu diễn hình học của z có tọa độ là 1;2 . Câu 14: Đáp án C Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên  2;4 bằng 3 (đạt được khi x 1). Câu 15: Đáp án B b Theo định nghĩa ta có: V f 2 x dx . a Câu 16: Đáp án A Trang 9
10. 2 Ta có f x 3x2 6x 5; f x 3 x 1 2 0 , x ¡ . y g f x g f x . f x x3 3x2 5x 9 0 y 0 g f f 0 6 f x 6 3 2 x 3x 5x 3 0 2 x 1 x 4x 9 0 1 x 1 2 x 1 x 2x 3 0 Câu 17: Đáp án D Ta có AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD . Suy ra góc giữa SC và ABCD là góc S· CA . S· CA 45 SA AC.tan 45 a 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 a3 2 V S .SA a2.a 2 S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 18: Đáp án B 3 5i x 4 Ta có: 1 i z 3 5i z z 4 i . 1 i y 1 Vậy x2 y2 17 . Câu 19: Đáp án B x2 4x 5 x2 4x 5 2 2 2 x1 1 Ta có 3 9 3 3 x 4x 5 2 x 4x 3 0 x2 3 x2 4x 5 Vậy tích các nghiệm của phương trình 3 9 là x1.x2 1.3 3. Câu 20: Đáp án A 1 Ta có lim y lim 10 10 y 10 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x x 10 Câu 21: Đáp án B Cho điểm M x; y; z . Hình chiếu của điểm M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , Oxz lần lượt là: M1 x; y;0 , M 2 0; y; z , M 2 x;0; z . Điểm A 3; 2;5 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ Oxz : M 3;0;5 . Câu 22: Đáp án D Gọi H là trung điểm của BC. Xét ABC có BH 2a.sin 60 a 3 , AH 2a.cos60 a . Trang 10
11. Xét A HA vuông tại H có A H 2a 2 a2 a 3 . Xét khối lăng trụ A B C .ABC có h A H a 3 , 1 S AH.BC a3 3 . ABC 2 3 3 Suy ra VABC.A B C a 3.a 3 3a 1 Suy ra V V a3 A .ABC 3 ABC.A B C 3 3 3 Mặt khác ta có VA .BCB C VABC.A B C VA .ABC 3a a 2a . Câu 23: Đáp án D x 1 Ta có f x 0 x 1 x 2 Lập bảng xét dấu f x x 1 2 x 1 2 2 x x –1 1 2 f x – 0 – 0 + 0 – Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 24: Đáp án C 3 11 11 23 23 3 3 Ta có P x 3 x2 4 x3 x x2 x 4 x x 4 x.x12 x12 x 24 23 Vậy P x 24 . Câu 25: Đáp án A 3x 1 x 0 Ta có 9x 3x 1 2 0 3.3x 3.3x 2 0 x 3 2 x log3 2 Khi đó tích các nghiệm của phương trình là 0. Câu 26: Đáp án A Đặt S z1 z2 3 2i 3 2i 6 và P z1z2 3 2i 3 2i 13. 2 2 Khi đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình z Sz P 0 z 6z 13 0 . Câu 27: Đáp án A Cách 1 (Tự luận): AM //CD Gọi S AM  DA.Vì M là trung điểm của AB, mà 1 nên AM là đường trung bình của AM CD 2 SCD A là trung điểm của SD SD 2AD 4 . Khi cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó Trang 11
12. quay quanh trục AD thì ta được một khối nón cụt có chiều cao AD 2 , hai đáy là hai đường tròn có bán kính lần lượt là R1 CD 2 , R2 AM 1 và có thể tích là V. Tam giác SCD và các điểm trong của nó quay quanh trục SD sẽ tạo thành một khối nón tròn xoay có chiều cao SD 4 , bán 1 16 kính đáy R CD 2 nên có thể tích là V R2.SD . 1 1 3 1 3 Tam giác SAM và các điểm trong của nó quay quanh trục SD tạo thành một khối nón tròn xoay có chiều cao SD 4 , bán 1 2 kính đáy R AM 1 nên có thể tích là V R2.SD . 2 2 3 2 3 14 Ta có V V V 1 2 3 Cách 2 (Trắc nghiệm): Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối nón cụt có chiều cao h, hai bán kính đáy là R1 , R2 . 1 2 2 1 14 V R1 R2 R1R2 .h 4 1 2 .2 . 3 3 3 Câu 28: Đáp án B Số nghiệm của phương trình f x 2 3m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 3m Phương trình f x 2 3m có 4 nghiệm phân biệt đường thẳng y 2 3m cắt đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm phân biệt. 1 Từ bảng biến thiên suy ra: 3 2 3m 5 1 m nên không có giá trị nguyên nào của m thỏa 3 mãn. Câu 29: Đáp án B 1 Đặt t x2 4x 7 dt 2x 4 dx x 2 dx dt . 2 Đổi cận: x 0 t 7 ; x 1 t 12 . 1 x 2 12 1 1 12 1 1 dx dt ln t ln12 ln 7 ln 12 ln 7 a 1; b 1 2 0 x 4x 7 7 2t 2 7 2 2 Vậy a3 b3 0 Câu 30: Đáp án B Gọi I 1 t; t;2 t d là tâm của hình thoi ABCD. Trang 12
13.   Xét IA t;t 2; t 1 ; IB t 3;t 3; t . Vì ABCD là hình thoi nên   IA  IB IA.IB 0 3t 2 9t 6 0 t 2 ; t 1. Do D đối xứng B qua I nên: • Với t 1 I 0;1;1 D 2; 1;0 . (Đáp án B) • Với t 2 I 1;2;0 D 0;1; 2 . Câu 31: Đáp án B Hệ thức f x sin xdx f x cos x x cos xdx 1 . u f x du f x Xét f x sin xdx . Đặt dv sin xdx v cos x Ta được f x sin xdx f x cos x f x cos xdx . Theo hệ thức 1 , suy ra f x 2 . 2 Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là f x . ln Câu 32: Đáp án D f x 1 Trên 0; ta có f x x. f 2 x x x . 2 f x f x 1 1 x2 dx xdx C . f x f x 2 2 2 1 a 2 Có f 1 C C . a 3 a 3 2 2 1 a 2 2 2 f 2 ; f 2 2 a 6 1 2 1 2 a f 2 0 6 a 2 . 4 a 6 4 4 a 6 1 x2 a 2 Ta có . Do đó f x 0 , x 0; a 2. f x 2 2 Có a ¢ a 2; 1;0;1 . Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là –2. Câu 33: Đáp án C Cách 1:  Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương u1 1;2; 1 và đi qua điểm M1 1;3; 1 .  Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương u2 3; 1; 1 và đi qua điểm M 2 7;1;5 . Trang 13
14.       Ta có u ,u 3; 2; 7 , M M 8; 2;6 , u ,u .M M 62 0 nên d và d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2    u ,u .M M 1 2 1 2 Khoảng cách giữa d1 và d2 là d d1,d2   62 u ,u 1 2 Vậy d d1,d2 62 . Cách 2:  Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương u1 1;2; 1 và đi qua điểm M1 1;3; 1 .  Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương u2 3; 1; 1 và đi qua điểm M 2 7;1;5 .    Ta có u ,u 3; 2; 7 , M M 8; 2;6 , 1 2 1 2    Suy ra u ,u .M M 62 0 nên d và d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 .   Suy ra P đi qua M 1;3; 1 và có một vectơ pháp tuyến là n u ,u 3; 2; 7 . 1 1 2 Phương trình P là: 3 x 1 2 y 3 7 z 1 0 3x 2y 7z 4 0 . 62 Ta có d d1,d2 d M 2 , P 62 . Vậy d d1,d2 62 . 9 4 49 Câu 34: Đáp án B • Xét phương trình x4 ax3 bx2 cx d 0 1 , a,b,c,d ¡ . • Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của 1 thì z cũng là nghiệm của 1 . • Do đó, 1 có bốn nghiệm z1 1 i , z2 1 2i , z3 z1 1 i , z4 z2 1 2i . z1 z3 2 z2 z4 2 • Mà và . z1.z3 2 z2.z4 3 • Do đó x4 ax3 bx2 cx d x2 2x 2 x2 2x 3 x4 ax3 bx2 cx d x4 x2 2x 6 . Suy ra a 0 , b 1, c 2 , x 0 hay a b c d 9 . Câu 35: Đáp án D y 4x3 4mx 4x x2 m x 0 Xét y 0 x m, m 0 Tọa độ ba điểm cực trị là: A 0;m 1 , B m; m2 m 1 , C m; m2 m 1 Gọi H là trung điểm của cạnh BC, Trang 14
15. 1 ta có: S AH.BC m2 m 2 m 5 4 . ABC 2 Câu 36: Đáp án A Đặt t sin x cos x 2 sin x 4 3 Với x ; x ; t 2; 2 . 4 4 4 2 2 m 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 f t m 1 f t . 2 3 Với mỗi giá trị của t0 2; 2 có duy nhất một giá trị x0 ; sao cho t0 2 sin x0 . 4 4 4 3 Do đó phương trình 2 f sin x cos x m 1 có hai nghiệm phân biệt trên khoảng ; phương 4 4 m 1 trình f t có hai nghiệm phân biệt trên khoảng 2; 2 . 2 m 1 Từ bảng biến thiên suy ra 4 3 7 m 7 . 2 Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 37: Đáp án D 1 2 3 4 5 6 2 2 + Tô màu ô vuông số 2: có C3 cách chọn 2 trong 3 màu, có C4 cách tô 2 màu đó lên 4 cạnh. Vậy có 2 2 C3 .C4 18 cách. 1 2 + Tô màu ô vuông số 1,5,3: có C2 cách chọn màu còn lại, có C3 cách tô màu còn lại lên 3 cạnh còn lại 1 2 3 của 1 hình vuông. Vậy có C2.C3 6 cách + Tô màu ô vuông số 4, 6: Mỗi 1 hình vuông có 2 cách tô màu. Vậy có 22 4 cách. Vậy có 18.63.4 15552 cách thỏa mãn. Câu 38: Đáp án A Cách 1 (Tự luận): Trang 15
16. Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, I AP CO , H là hình chiếu của P trên CO. d A, CNQ AI CA 2 , suy ra d A, CNQ 2d P, CNQ d P, CNQ PI PO NQ  PM Ta có NQ  CPO NQ  PH NQ  CP PH  NQ Do PH  CNQ d P, CNQ PH PH  CO a 2 Ta có PO ; CP a . 2 PO.PC 2a 3 Vậy d A, CNQ 2PH 2. . PO2 PC 2 3 Cách 2 (Trắc nghiệm): Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, I AP CO . d A, CNQ AI CA 2 suy ra d A, CNQ 2d P, CNQ . d P, CNQ PI PO 1 1 1 1 3 Ta thấy PCNQ là tứ diện vuông tại P nên . 2 PC 2 PN 2 PQ2 a3 d P, CNQ 2a 3 Suy ra d A, CNQ 2d P, CNQ . 3 Câu 39: Đáp án B Gọi x là số tiền mà anh Bình trả mỗi tháng trong 2 năm. Số tiền còn nợ sau 1 tháng: 200 1 r x . 2 Số tiền còn nợ sau 2 tháng: 200 1 r x 1 r 200 1 r x 1 1 r Số tiền còn nợ sau 3 tháng: 200 1 r 3 x 1 1 r 1 r 2 . Số tiền còn nợ sau 24 tháng: 200 1 r 24 x 1 1 r 1 r 23 Sau 24 tháng trả hết nợ nên: 200 1 r 24 x 1 1 r 1 r 23 0 24 24 1 r 1 200 1 r x. 0 x 9,137 (triệu đồng). r Câu 40: Đáp án A Cách 1: Ta có Ax  ABC và By  ABC nên AA //BB . Gọi D  A B  AB . Trang 16
17. BB 1 AA 2 BB là đường trung bình của AA D . AA //BB Lại có ABC đều. Do đó BD BA BC a ACD cân tại B. Gọi E là trung điểm của CD BE  CD 1 . BB  ABC BB  CD 2 . Từ 1 và 2 CD  BB E CD  B E Vì ABC  A B C CD · · BE  CD ABC , A B C BE, B E B· EB B E  CD a Nhận thấy BE là đường trung bình của ACD BE . 2 BB 5 Xét BB E có: tan B· EB 2 cos B· EB . BE 5 Cách 2: Ta có Ax  ABC và By  ABC nên ABC là hình chiếu của A B C trên mặt phẳng ABC . S Do đó cos · A B C , ABC ABC S A B C 1 1 3 S AB.AC.sin BAC a.a.sin 60 a2 . ABC 2 2 4 A C A A2 AC 2 a 5 ; B C B B2 BC 2 a 2 ; A B AB2 B B2 a 2 A C 2 a 3 A B C cân tại B B H B C 2 4 2 2 1 a 15 · S ABC 1 SA B C B H.A C cos A B C , ABC 2 4 S A B C 5 Câu 41: Đáp án D Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với O 0;0 , B 4;0 và C 0;3 . Khi đó elip E có độ dài trục lớn AB 8 , độ dài trục bé CD 6 . x2 y2 Phương trình của E là: 1. 16 9 Trang 17
18. 3 3 Do Pq 3 3 và P,Q E , suy ra P 2; . Lại có 2 EF 2 F 1;0 . 2 Phương trình parabol P1 đỉnh F có dạng: x ky 1. 3 3 Vì parabol P đi qua điểm P 2; nên phương trình P 1 1 2 4 là: x y2 1. 27 3 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 16 x2 , y 0, x 1, x 2 . 1 4 2 3 Ta có S 16 x2 dx 5,73967 m2 . 1 0 4 3 3 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 , y 0, x 1, x 2 . 2 2 2 3 3 Ta có S x 1dx 1,73205 m2 . 2 1 2 2 Diện tích trồng hoa là: S 4 S1 S2 16,0305 m . Vậy số tiền trồng hoa cho cả vườn là 16,0305.300000 4809150 đồng. Câu 42: Đáp án D 3 AB AC AD 3 VABCD AB AC AD AB AC AD 4 Ta có . . . VAB C D AB AC AD 3 3 Do đó thể tích của AB C D nhỏ nhất khi và chỉ khi AB AC AD 4 . AB AC AD 3  3  7 1 7 Khi đó AB AB B ; ; và B C D // BCD . 4 4 4 4   Mặt khác BC, BD 4;10; 11 . 7 1 7 Vậy B C D : 4 x 10 y 11 z 0 16x 40y 44z 39 0. 4 4 4 Câu 43: Đáp án A Ta có: g x f x x2 3x g x f x 2x 3 . Vẽ đường thẳng y 2x 3 cắt đồ thị hàm số y f x tại các điểm x 2, x 1, x 1. Trang 18
19. Nhìn vào đồ thị ta thấy: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y f x , y 2x 3 , x 2, x 1. 1 1 1 Khi đó, S f x 2x 3 dx f x 2x 3 dx 0 g x dx 0 1 2 2 2 g 1 g 2 . S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y f x , y 2x 3 , x 1, x 1. 1 1 1 Khi đó, S f x 2x 3 dx 2x 3 f x dx 0 g x dx 0 2 1 1 1 g 1 g 1 Câu 44: Đáp án A z 1 i 1 i 3w 1 Có w izw 3w z 1 i z , (do w i không thỏa mãn) iz 3 iw 1 i 1 i 3w z 2 2 2 2 1 i 3w 2 2 iw 1 iw 1 1 i 3w 2 2 i . w i 1 i 3w 2 2 w i 1 Đặt w a bi , a,b ¡ , Khi đó 1 1 3a 2 1 3b 2 8 a2 b 1 2 a2 b2 6a 10b 6 0 a 3 2 b 5 2 40 . z 1 i Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức w là một đường tròn có bán kính bằng iz 3 2 20 . Câu 45: Đáp án C 2 Ta có: f x f x . f x f x . f x . 3 Từ giả thiết ta có: f x . f x 4x 2x . Suy ra: f x . f x 4x3 2x dx x4 x2 C . Với f 0 0 C 0 Nên ta có: f x . f x x4 x2 1 1 f 2 x 1 8 16 Suy ra: f x . f x dx x4 x2 dx f 2 1 . 0 0 2 0 15 15 Câu 46: Đáp án D Ta có: log5 f x m 2 f x 4 m log5 f x m 2 f x m 2 log5 5 5 * Trang 19
20. Xét hàm số y g t log5 t t t 0 1 Ta có g t 1 0 , t 0 suy ra hàm số y g t đồng biến trên 0; . t ln 5 Khi đó * f x m 2 5 f x 3 m . Xét hàm số y f x x 1 Ta có f x 0 x 1 x 4 Ta có bảng biến thiên x –1 1 4 f x + – f x f 1 f 1 f 4 1 4 1 4 Từ đồ thị hàm số, suy ra f x dx f x dx f x dx f x dx 1 1 1 1 1 4 f x f x f 1 f 4 . 1 1 Bất phương trình * đúng với mọi x 1;4 khi và chỉ khi f 4 3 m m 3 f 4 . Câu 47: Đáp án B Gọi M là trung điểm của AA . Ta có AC AB2 BC 2 6 3 3 A C . Do đó tam giác AA C cân tại C. Dựng A E  AC , do AA C C vuông góc với đáy nên A E  ABCD . Lấy F AB sao cho FE  AC , mà FE  A E nên FE  ACC A , suy ra FE  AA . Dựng EG  AA mà FE  AA nên FG  AA . Do đó góc giữa mặt phẳng AA C C và AA B B là góc E· GF . EF 3 4 EF BC 3 Ta có tan E· GF EG EF mà tan E· AF EA 2EF EG 4 3 EA AB 6 Trang 20
21. 4 EF GE 2 2 MC Từ đó suy ra sin G· AE 3 MC 2 2 AE 2EF 3 AC AM AC 2 MC 2 9 8 1 AA 2 2 2 A E A E 4 2 Ta có sin G· AE A E 3 AA 2 3 4 2 Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D là V A E.AB.BC . 6. 3 8 3 Câu 48: Đáp án D Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng PQR . 1 1 1 1 1 1 Dễ thấy hay hay OH 2 2 . OH 2 OP2 OQ2 OR2 OH 2 8 Khi đó suy ra mặt phẳng PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu S tâm O, bán kính R 2 2 . 1 3 Ta có OM 0 1 R nên điểm M nằm trong mặt cầu S . 4 4 Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác OAB cân tại O nên 1 S OI.AB . OAB 2 Đặt OI x , vì OI OM nên 0 x 1 và AB 2 8 x2 . 1 Ta có S x.2 8 x2 x 8 x2 8x2 x4 . OAB 2 Xét hàm số f x 8x2 x4 với 0 x 1. Có f x 16x 4x3 4x 4 x2 0 , x 0;1 f x f 1 7 . Suy ra diện tích của tam giác OAB lớn nhất bằng 7 đạt được khi M là trung điểm của AB. 1 2 2 4 2 2 2 Cách khác: S OAB OI.AB x 8 x 8x x 7x x 1 x 7 với x 0;1 . 2 Câu 49: Đáp án C Điều kiện: x 1 Phương trình trở thành: 3mx 1 x 2x 5m 3 m 3x 5 x 1 * 5 8 TH1: x . Phương trình * 0 (vô lí) 3 3 5 x 1 TH2: x . Phương trình * m . 3 3x 5 Trang 21
22. x 1 8 Đặt f x f x . 3x 5 3x 5 2 Bảng biến thiên x –1 5 3 f x – – f x 1 0 3 1 Từ bảng biến thiên, suy ra: m 0 hoặc m . 3 Câu 50: Đáp án C Xét trường hợp a 0 , phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm. Thật vậy, khi đó 2x 3x 2 mà ax 2 2 . Suy ra loại a 0 . Xét trường hợp a 0 2x 3x ax 2 2x 3x ax 2 0 . Đặt f x 2x 3x ax 2 , x ¡ . Khi đó f x 2x ln 2 3x ln 3 a , x ¡ . f x 0 2x ln 2 3x ln 3 a 1 . Đặt g x 2x ln 2 3x ln 3 , x ¡ . g x 2x ln2 2 3x ln2 3 0 , x ¡ . Suy ra hàm số g x đồng biến trên ¡ . Lại có lim g x và lim g x 0 . x x Suy ra với mỗi giá trị a 0 thì phương trình 1 luôn có nghiệm duy nhất là x0 . Ta có phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất là x0 . Mà lim f x và lim f x a 0 nên f x 0, x x0 và f x 0 , x x0 x x Bảng biến thiên x x0 Trang 22
23. f x – + f x f x0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 , ta kết hợp với điều kiện đề bài là f x 0 , x ¡ và f 0 0 suy ra x0 0 và x0 0 là giá trị duy nhất để f x 0 . Suy ra x0 0 là giá trị duy nhất để f x0 0 f 0 ln 2 ln 3 a 0 . Suy ra a ln 2 ln 3 ln 6 . Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra mệnh đề đúng là a 1;3 . Trang 23