Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 18 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 18 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình 3x z 1 0 . Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là: A. 3;0; 1 B. 3; 1;1 C. 3; 1;0 D. 3;1;1 2 3i 4 i Câu 2. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z ? 3 2i A. 1; 4 B. 1;4 C. 1; 4 D. 1;4 2x 5 Câu 3. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là: x 3 A. x 3 B. y 3 C. x 2 D. y 2   Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho OA 3k i . Tìm tọa độ điểm A? A. A 3;0; 1 B. A 1;0;3 C. A 1;3;0 D. A 3; 1;0 Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? 2x 1 A. y x3 x 5 B. y x4 3x2 4 C. y x2 1 D. y x 1 1 Câu 6. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 2π ( cm2 ) và bán kính đáy r cm. Khi đó độ dài 2 đường sinh của hình nón là A. 1 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 2 cm 2x2 4x 5 Câu 7. lim bằng x x 12 5 A. B. C. D. 2 12 1 Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 51 2x . 125 A. S 2; B. S ;2 C. S 0;2 D. S ;1 2 Câu 9. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 13 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức  z1 2z2 . A.  9 2i B.  9 2i C.  9 2i D.  9 2i Trang 1
2. Câu 10. Cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 2 9 và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0 thuộc không gian hệ tọa độ Oxyz. Biết P và Sxq theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r. Tính r. A. r 3 B. r 2 2 C. r 3 D. r 2 Câu 11. Tính a b c , biết tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c để 3 4x 2 ln xdx a bln 2 c ln 3. Giá trị của a b c bằng 2 A. 19B. 19 C. 5D. 5 Câu 12. Tính tổng T của tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x 0 ? 13 1 A. T 2 B. T 3 C. T D. T 4 4 Câu 13. Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm, bán kính đáy bằng 6cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón N đỉnh S có đường sinh bằng 4cm. Tính thể tích của khối nón N . 768 786 2304 2358 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 125 125 125 125 Câu 14. Tích vô hướng của hai véctơ a 2;2;5 , b 0;1;2 trong không gian bằng A. 14B. 13C. 10D. 12 3x a 1 khi x 0 Câu 15. Cho hàm số f x 1 2x 1 . Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục khi x 0 x tại điểm x 0 . A. a 1 B. a 3 C. a 2 D. a 4 2 4 Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết x. f x2 dx 2, hãy tính I f x dx . 0 0 1 A. I 2 B. I 1 C. I D. I 4 2 2 1 1 Câu 17. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 3z 4 0 . Tính w iz1z2 . z1 z2 3 3 3 A. w 2i B. w 2i C. f x m D. w 2i 4 4 2 a 1 ln x Câu 18. Cho F x ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x , trong đó a,b ¢ . Tính x x2 S a b . A. hB. S 1 C. S 2 D. y x Trang 2
3. Câu 19. Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc. A. 635.520.000B. 696.960.000C. 633.600.000D. 766.656.000 Câu 20. Tìm m để hàm y cos3x 9cos x m có tập xác định. A. m 8 B. m 3 C. m 8 D. m 8 Câu 21. Cho số phức z x yi (x, y ¡ ) thỏa mãn z 5 5i 2 2 . Tìm P x 2y sao cho z nhỏ nhất. A. P 12 B. P 8 C. P 9 D. P 21 2 x3 3x2 2x Câu 22. Cho tích phân I dx a bln 2 c ln 3 với a,b,c ¤ . Chọn khẳng định đúng 1 x 1 trong các khẳng định sau. A. b 0 B. c 0 C. a 0 D. a b c 0 2 Câu 23. Biết rằng phương trình z 3 z 2z 10 0 có ba nghiệm phức là z1, z2 , z3 . Giá trị của z1 z2 z3 bằng A. 5B. 23C. 3 2 10 D. 3 10 x Câu 24. Giả sử rằng f là hàm số liên tục và thỏa mãn 3x5 96 f t dt với mỗi x ¡ , trong đó c là c một hằng số. Giá trị của c thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. m 2 B. m 5 C. z1, z2 D. 3;5 6x2 13x 11 Câu 25. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x và thỏa mãn F 2 7 . Biết 2x2 5x 2 1 5 rằng F a ln 2 bln 5 , trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b. 2 2 A. 10B. 8C. 5D. 3 Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 và mặt phẳng có phương trình 2x 2y z 3 0 . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm M a;b;c thuộc mặt phẳng sao cho MA MB MC . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2a b c 0 B. 2a 3b 4c 41 C. 5a b c 0 D. a 3b c 0 Câu 27. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z i z z 2i là A. Một đường thẳng.B. Một đường elip.C. Một parabol.D. Một đường tròn. Trang 3
4. Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 5 2 z 3 2 27 và đường thẳng x 1 y z 2 d : . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường 2 1 2 tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của P là ax by z c 0 thì A. a b c 1 B. a b c 6 C. a b c 6 D. a b c 2 Câu 29. Biết điểm A có hoành độ lớn hơn 4 là giao điểm của đường thẳng y x 7 với đồ thị C của 2x 1 hàm số y . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm A cắt hai trục độ Ox, Oy lần lượt tại E, F. Khi đó x 1 tam giác OEF (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng: 33 121 121 121 A. B. C. D. 2 2 3 6 sin x cos x Câu 30. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y lần lượt là: 2sin x cos x 3 1 1 A. m 1; M B. m 1; M 2 C. m ; M 1 D. m 1; M 2 2 2 Câu 31. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 6y m 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng : x 2y 2z 4 0 và  : 2x y z 1 0 . Đường thẳng Δ cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 8 khi: A. m 12 B. m 12 C. m 10 D. m 5 3 2 Câu 32. Cho hàm số f x x 2m 1 x 3mx m có đồ thị Cm . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 2018;2018 để đồ thị Cm có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành. A. 4033B. 4034C. 4035D. 4036 Câu 33. Một bảng khóa điện tử của phòng học gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Một người không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển, tính xác suất để người đó mở được cửa phòng học. 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 72 90 15 u1 1 3 u2 8 Câu 34. Cho dãy số un thỏa mãn 2 2 và un 1 2un với mọi n 1. Giá 1 2 log3 u3 4u1 4 4 100 trị nhỏ nhất của n để Sn u1 u2 un 500 bằng A. 230B. 233C. 234D. 231 Trang 4
5. Câu 35. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ , có đồ thị của hàm số f x và đường thẳng y x như hình bên. Hàm số 2 x3 3 h x f x3 3 đồng biến trên: 2 A. ;0 B. ;1 C. 1; D. 0;1 Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ , thỏa mãn f x 2018 f x 2018x2017e2018x và f 0 2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1 2018e 2018 B. f 1 2017e2018 C. f 1 2018e2018 D. f 1 2019e2018 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z2 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới S , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn C . Tính bán kính r của đường tròn SC. 2 3 3 2 3 A. r B. C. D. 3 3 3 2 Câu 38. Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C và điểm M m; 4 .Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. 20B. 15C. 17D. 12 2 2 2 Câu 39. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , biết f x 2 2 f x .sin x dx . Tính 2 0 4 2 2 tích phân I f x dx . 0 A. I 0 B. I C. I 1 D. I 4 2 Câu 40. Cho hàm số f x m2018 1 x4 2m2018 2m2 3 x2 m2018 2019 , với m là tham số. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2018 là A. 5B. 3C. 6D. 7 2x m Câu 41. Cho hàm số f x (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho x 2 max f x 2min f x 4 . Hỏi trong đoạn  30;30 tập S có bao nhiêu số nguyên? 0;2 0;2 A. 53B. 52C. 55D. 54 Trang 5
6. Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng 1 đáy là thỏa mãn cos . Mặt phẳng P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SAD chia khối 3 chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỷ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng 1 1 7 9 A. B. C. D. 9 10 9 10 Câu 43. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho AM 2MA , NB 2NB, PC PC . Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối đa diện V ABCMNP và A B C MNP . Tính tỷ số 1 . V2 V V 1 V V 2 A. 1 2 B. 1 C. 1 1 D. 1 V2 V2 2 V2 V2 3 Câu 44. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; là 3 A. 4B. 5C. 6D. 7 Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f 2sin x 2sin2 x m nghiệm đúng với mọi x 0; khi và chỉ khi 1 1 A. m f 1 B. m f 1 2 2 1 1 C. m f 0 D. m f 0 2 2 Câu 46. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3i 5 2 và iz2 1 2i 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 2iz1 3z2 . A. 313 16 B. 313 C. 313 8 D. 313 2 5 Trang 6
7. Câu 47. Cho hàm số h 2 3 V liên tục và có đạo hàm trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số bất kỳ thuộc 0;1. Phương trình f x3 3x2 3 m 4 1 m có bao nhiêu nghiệm thực? A. 2B. 3 C. 5D. 9 3 5xy Câu 48. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . Tìm giá trị nhỏ 3xy 5 nhất của biểu thức P x 2y . A. P 6 2 3 B. P 4 2 6 C. P 4 2 6 D. P 6 2 3 Câu 49. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để 4m3 m phương trình f 2 x 3 có ba nghiệm phân biệt là 2 f 2 x 5 37 3 37 37 A. m B. m C. m D. m 2 2 2 2 Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 . Biết AB 5, AC 8, BC 7 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 35 139 35 39 A. d B. d 13 52 35 13 35 13 C. d D. d 52 26 Trang 7
8. Đáp án 1-A 2-A 3-A 4-B 5-A 6-C 7-C 8-B 9-B 10-B 11-C 12-A 13-A 14-D 15-C 16-D 17-B 18-B 19-A 20-D 21-C 22-D 23-C 24-B 25-D 26-B 27-C 28-C 29-D 30-A 31-B 32-B 33-C 34-C 35-C 36-D 37-A 38-C 39-A 40-D 41-A 42-A 43-C 44-C 45-B 46-A 47-C 48-B 49-C 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A  Ta có n P 3;0; 1 . Câu 2: Đáp án A Ta có z 1 4i . Câu 3: Đáp án A 2x 5 2x 5 Ta có: lim y lim ; lim y lim . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x 3. Câu 4: Đáp án B Ta có A 1;0;3 . Câu 5: Đáp án A Xét y x3 x 5, ta có y 3x2 1 0,x ¡ hàm số đồng biến trên ¡ . Câu 6: Đáp án C S Ta có S r  xq 4. xq r Câu 7: Đáp án C 2x2 4x 5 Ta có lim x x 12 Câu 8: Đáp án B 1 Ta có 51 2x 51 2x 5 3 1 2x 3 x 2 . 125 Câu 9: Đáp án B 2 z1 3 2i Ta có z 6z 13 0  z1 2z2 9 2i . z2 3 2i Câu 10: Đáp án B Mặt cầu S có tâm I 1;2;2 , bán kính R 3. Trang 8
9. Ta có d I,(P) 1 r R2 d 2 I,(P) 2 2 . Câu 11: Đáp án C 3 Đặt I 4x 2 ln xdx . 2 dx u ln x du Đặt x dv 4x 2 dx 2 v 2x 2x 2x x 1 3 3 3 2x x 1 dx I 2x x 1 ln x 24ln 3 12ln 2 2 x 1 dx 2 2 x 2 3 x2 15 24ln 3 12ln 2 2 x 24ln 3 12ln 2 2 4 2 2 2 24ln 3 12ln 2 7 a bln 2 c ln 3 . a 7 b 12 a b c 7 12 24 5 . c 24 Câu 12: Đáp án A Ta có: x 3 9 x x x 2 x 9 6 3 3 2 4 x 2 4 13 9 0 4 13 9 0 T 2 . x 4 4 2 2 3 x 0 1 2 Bài toán phương trình mũ, có 3 cơ số khác nhau ta thường sử dụng phương pháp chia cả hai vế cho hạng tử có cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Câu 13: Đáp án A Đường sinh của hình nón là  h2 r 2 10 r 4 12 Gọi r là bán kính của hình nón ta có r . r 10 5 2 2 2 2 12 16 Chiều cao của hình nón là: h  r 4 . 5 15 1 768 Do đó thể tích của hình nón là: V r 2h . 3 125 Câu 14: Đáp án D Ta có: a.b 2.0 2.1 5.2 12 . Trang 9
10. Công thức tính tích vô hướng của hai véctơ:  a a1;b1;c1 , b a2 ;b2 ;c2 : ab a1b1 a2b2 a3b3 . Câu 15: Đáp án C 1 2x 1 1 2x 1 2 Ta có lim f x lim lim lim 1. x 0 x 0 x x 0 x 1 2x 1 x 0 1 2x 1 lim f x lim 3x a 1 a 1 1 a 2 . x 0 x 0 Câu 16: Đáp án D 2 1 2 1 4 4 4 Ta có xf x2 dx f x2 d x2 f x dx f x dx 2 xf x2 dx 4 . 0 2 0 2 0 0 0 Câu 17: Đáp án B 3 1 1 z1 z2 3 Ta có z1 z2 , z1z2 2 w iz1z2 iz1z2 2i . 2 z1 z2 z1z2 4 Câu 18: Đáp án B 1 ln x 1 1 ln x dx 1 Ta có F x 2 dx 1 ln x d ln x 2 . x x x x x Do đó ta suy ra a 1,b 2 S a b 1. Câu 19: Đáp án A + Hai năm đầu: người đó nhận được 2.12.8 192 triệu đồng. + Hai năm tiếp: người đó nhận được 2.12. 8 8.10% 211,2 triệu đồng. + Hai năm cuối: người đó nhận được 2.12. 8 8.10% 8 8.10% .10% 232,32 triệu đồng. Vậy sau 6 năm người đó đã nhận được 192 211,2 232,32 635,52 triệu đồng hay 635.520.000 đồng. - Chia thành các giai đoạn 2 năm và tính lương nhận được của người đó trong khoảng thời gian đó. - Cộng các kết quả ta được đáp án. Câu 20: Đáp án D Ta có: y cos3x 9cos x m 4cos3 x 12cos x m 4t3 12t m,t cos x . Theo bài ra 4t3 12t m 0,t  1;1 min 4t3 12t m 0,t  1;1. f t 12t 2 12 0 t 1;1 min f t f 1 8 m 8 m 0 m 8 . Câu 21: Đáp án C Ta có: z 5 5i 2 2 a 5 2 b 5 2 2 2 a 5 2 b 5 2 8 tập hợp điểm biểu diễn là một đường tròn C , trong đó I 5;5 , R 2 2 OI : y x . Trang 10
11. Xét điểm M C ; z a2 b2 OM ; OM min là yêu cầu bài toán. y x Điểm M thỏa mãn hệ 2 2 x y 3; x y 7 M 3;3 P 3 2.3 9 . x 5 y 5 8 Câu 22: Đáp án D 2 3 2 2 2 x 3x 2x 2 6 1 3 2 Ta có I dx x 4x 6 dx x 2x 6x 6ln x 1 1 x 1 1 x 1 3 1 7 7 7 6ln 3 6ln 2 a ,b 6,c 6 a b c 0. 3 3 3 Câu 23: Đáp án C Ta có z 3 z2 2z 10 0 z 3 hoặc z 1 3i . Do đó z1 z2 z3 3 1 3i 1 3i 3 2 10 . Câu 24: Đáp án B c Ta có 3c5 96 f t dt 0 c 2 3; 1 . c Câu 25: Đáp án D 4 3 Ta có f x 3 nên F x 3x 2ln 2x 1 3ln x 2 C 2x 1 x 2 Do đó F 2 7 6 2ln 5 3ln 4 C 7 C 1 6ln 2 2ln 5 Suy ra F x 3x 2ln 2x 1 3ln x 2 1 6ln 2 2ln 5 1 5 Ta có F 11ln 2 5ln 5 . Từ đó, ta có a 11,b 5. 2 2 11 5 Vậy trung bình cộng của a và b là 3 . 2 Câu 26: Đáp án B     Cách 1: Ta có AB 2; 3; 1 , AC 2; 1; 1 và AB.AC 0 nên tam giác ABC vuông tại A và trung điểm I 0; 1;1 của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do MA MB MC nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ABC . x t 1   ABC nhận AB, AC 1;2; 4 làm véctơ pháp tuyến nên d : y 1 2t . 2 z 1 4t Ta có d và cắt nhau tại M 2;3; 7 . Suy ra 2a 3b 4c 41. Trang 11
12. 2 2 2 2 2 2 a b 1 c 2 a 2 b 2 c 1 Cách 2: Ta có MA MB MC 2 2 2 2 2 2 a b 1 c 2 a 2 b c 1 2a 3b c 2 a 2 2a 3b c 2 . Do đó, ta có hệ phương trình 2a b c 0 b 3 . 2a b c 0 2a 2b c 3 0 c 7 Câu 27: Đáp án C Giả sử z x yi x, y ¡ . Ta có 2 z i z z 2i 2 x y 1 i x yi x yi 2i x y 1 i y 1 i 2 2 1 x2 y 1 y 1 y x2 . 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là parabol P có phương trình 1 y x2 . 4 Câu 28: Đáp án C Mặt cầu S có tâm I 2;5;3 và bán kính R 27 3 3 . Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến. Ta có R2 r 2 d 2 I,(P) nên P cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi d I,(P) là lớn nhất. Do d  P nên d I,(P) d I,(d) IH , trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu “=” xảy ra khi P  IH .  Ta có H 1 2t;t;2 2t d và IH 2t 1;t 5;2t 1   IH.ud 0 2 2t 1 1 t 5 2 2t 1 0 t 1 H 3;1;4 Suy ra P : x 4y z 3 0 hay P : x 4y z 3 0 . Do đó a 1,b 4,c 3 . Câu 29: Đáp án D 2x 1 Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là x 7 x 1 x 1 x 1 x 2; y 5 . 2 2 x 8x 7 2x 1 x 6x 8 0 2x 1 Phương trình tiếp tuyến: f x f 2 3 y 3 x 2 5 3x 11. x 1 Trang 12
13. x 0 y 11 1 11 121 Với 11 S . 11 . . y 0 x 2 3 6 3 Câu 30: Đáp án A sin x cos x Đặt m sin x cos x 2msin x mcos x 3m 2sin x cos x 3 2m 1 sin x m 1 cos x 3m . Phương trình trên có nghiệm khi 2 2 1 2m 1 m 1 9m2 4m2 2m 2 0 1 m . 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là 1; . 2 Câu 31: Đáp án B Mặt cầu S có tâm I 2;3;0 ; R 13 m Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng : x 2y 2z 4 0 và  : 2x 2y z 1 0.    Khi đó n n ,n 3 2;1;2 , lại có điểm M 0;1; 1 giao tuyến của 2 mặt phẳng.  x 2t Suy ra : y 1 t ; gọi H 2t;1 t; 1 2t là hình chiếu vuông góc của I lên Δ. z 1 2t   Ta có: IH 2t 2;t 2;2t 1 .u 2;1;2 4t 4 t 2 4t 2 0 t 0 H 0;1; 1 . 2 2 2 AB Khi đó R IH 9 16 25 13 m m 12 . 2 Câu 32: Đáp án B Yêu cầu bài toán f x 0 có ba nghiệm phân biệt (*). x 1 3 2 2 Ta có x 2m 1 x 3mx m 0 x 1 x 2mx m 0 2 . x  2mx m 0 g x 2 m m 0 m 1 Do đó (*) g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 . g 1 0 m 0 Kết hợp với m 2018;2018 và m ¢ có 2017 2017 4034 số cần tìm. Câu 33: Đáp án C 3 Không gian mẫu  có số phần tử là n  A10 720 Gọi E là biến cố “B mở được cửa phòng học” Ta có E 0;1;9 , 0;2;8 , 0;3;7 , 0;4;6 , 1;2;7 , 1;3;6 , 1;4;5 , 2;3;5  Trang 13
14. n E 8 1 Do đó n E 8. Vậy xác suất cần tính là P . n  720 90 Câu 34: Đáp án C n 1 u2 2u1 Dễ thấy un là cấp số nhân với công bội q 2 un u1.2 u3 4u1 Ta có 22u1 1 23 u2 2 22u1 1.23 u2 2 22u1 u2 4 2 24 8 1 2 1 2 8 8 Lại có u3 4u1 4 u3 u3 4 3 8 4 4 1 2 log3 3 log3 u3 4u1 4 4 n n 1 u1 1 q 2 1 Do đó, dấu bằng xảy ra khi u 2 u S 3 1 2 n 1 q 2 n 100 2 1 100 n 100 100 Lại có Sn 5 5 2 2.5 1 n log2 2.5 1 233,19 . 2 Câu 35: Đáp án C x2 Đặt g x f x g x f x x 0 f x x x 2 . 2 3 2 x 3 Khi đó h x g x3 3 f x3 3 h x g x3 3 3x2.g x3 3 2 Suy ra h x 0 g x3 3 0 x3 3 2 x3 1 x 1. Do đó hàm số h x đồng biến trên khoảng 1; . Câu 36: Đáp án D Nhân cả hai vế với e 2018x , ta được: 2018x 2018x 2017 2018x 2017 f x .e 2018 f x .e 2018x f x .e 2018x Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: 2018x 2017 2018x 2018 f x .e dx 2018x dx f x .e x C . Do f 0 2018, nên ta có f 0 .e 2018.0 02018 C C 2018 . Suy ra: f x x2018 2018 e2018x . Vậy f 1 2019e2018 . Câu 37: Đáp án A Mặt cầu S có tâm I 1;1;0 bán kính R 2 . Kẻ tiếp tuyến MA và MB sao cho M, A, I, B đồng phẳng suy ra đường tròn C là đường tròn đường kính AB. Trang 14
15. AB Gọi H là hình chiếu của A trên IM r AH 2 Ta có: MI 6 AM MI 2 IA2 2 1 1 1 2 3 Lại có: AH r . AH 2 IA2 MA2 3 Câu 38: Đáp án C Gọi A a;a3 3a2 C Ta có y 3x2 6x phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là: y 3a2 6a x a a3 3a2 d Để d đi qua điểm M m; 4 thì: 4 3a2 6a m a a3 3a2 . a3 3a2 4 3a a 2 m a 0 a 2 a2 a 2 a 2 3ma 3a2 0 a 2 a 2 2a2 3m 1 a 2 0 . 2 g a 2a 3m 1 a 2 0 Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C g a 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 5 2 3m 1 4 m 3m 1 16 0 3 3m 1 4 . m 1 g 2 12 6m 0 m 2 m 2 m ¢ Kết hợp có 17 giá trị của m. m  10;10 Câu 39: Đáp án A 2 2 2 Ta có 2sin x dx . 0 4 2 Do đó giả thiết tương đương với 2 2 2 f x 2 2 f x .sin x 2sin x dx 0 0 4 4 2 2 f x 2 sin x dx 0 f x 2 sin x 0,x 0; . 0 4 4 2 Suy ra f x 2 sin x . 4 Trang 15
16. 2 2 Vậy I f x dx 2 sin x dx 0 . 0 0 4 Câu 40: Đáp án D Xét g x f x 2018 m2018 1 x4 2m2018 2m2 3 x2 m2018 1 có a c m2018 1 0 và b 2m2018 2m2 3 0 Hàm số y g x có 3 điểm cực trị. g 0 0 Lại có đồ thị hàm số y g x cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. 2 g 1 2m 1 0 Do đó hàm số y f x 2018 có 3 4 7 điểm cực trị. Câu 41: Đáp án A 4 m Ta có: f x x 2 2 - Nếu m 4 thì f x 2 thỏa mãn max f x 2min f x 4 . 0;2 0;2 m 4 m - Xét m 4 . Ta có f 0 ; f 2 . 2 4 m 4 m + TH1: 0 0 m 4 . 2 4 4 m m Khi đó min f x 0 và max f x hoặc max f x . 0;2 0;2 4 0;2 2 4 m 4 4 m 12 Theo giả thiết ta phải có (loại). m m 8 4 2 m 4 m + TH2: Xét 4 m 0 : hàm số f x đồng biến, hơn nữa f 0 0; f 2 0 nên 2 4 4 m m 12 max f x 2min f x 4 2 4 m . 0;2 0;2 4 2 5 12 Vậy 4 m m 3. 5 m 4 m Xét m 4 : hàm số f x nghịch biến, hơn nữa f 0 0; f 2 0 nên 2 4 m 4 m max f x 2min f x 4 2 4 m 2 . Vậy m 4 . 0;2 0;2 2 4 12 Tóm lại: m ; 6; . Nên trong  30;30 , tập S có 53 số nguyên. 5 Trang 16
17. Câu 42: Đáp án A Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB AB  SHO ·SAB ; ABC ·SH;OH S· HO 1 1 cos tan 1 2 2 3 cos2 SO OH tan a 2 Kẻ CM  SD M (SD) P  ACM . Mặt phẳng ACM chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích V1 và khối đa diện còn lại có thể tích V2 . 1 a 3a 3a2 a 10 Ta có: S SH.AB . , SD SO2 OD2 ABC 2 2 2 4 2 1 3a S CM.SD SM SCD 2 10 a MD 1 Tam giác MCD vuông tại M MD CD2 MC 2 10 SD 5 VM .ACD MD 1 VS.ACD VS.ABCD V1 V2 V1 1 Ta có: V1 . VS.ACD SD 5 5 10 10 V2 9 Câu 43: Đáp án C Đặt V VABC.A B C Ta có VABCMNP VP.ABNM VP.ABC mà 1 1 V  V d P,(ABC) .S d C;(ABC) .S P.ABC 3 ABC 6 ABC 6 2 1 AA BB SABNM AM BN 3 3 1 1  VP.ABNM VC.ABB A SABB A AA BB AA BB 2 2 2 1 2 V Mà V V suy ra V . V . C.ABB A 3 P.ABNM 2 3 3 V V V Khi đó V . ABCMNP 6 3 2 V V V Vậy 1 : 1. V2 2 2 Câu 44: Đáp án C Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Ta có f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 . Trang 17
18. 2 t 2 Đặt t f cos x ta được phương trình t 3 m t 2m 10 0 . t m 5 1 cos x x Với t 2 f cos x 2 2 3 vì x ; . 3 cos x 1 x 0 Với t m 5 f cos x m 5 (1). Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; thì phương trình (1) có đúng 1 3 nghiệm trên đoạn ; khác ;0; . 3 3 3 Với x ; u cos x  1;1 . 3 Nhận xét: 1 Nếu u ;1 thì có 2 nghiệm x ; . 2 3 1 Nếu u 1 hoặc u 1; thì có đúng 1 nghiệm x ; . 2 3 Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn f cos x m 5 f u m 5 1 có nghiệm u 1; . 2 Từ bảng biến thiên suy ra 4 m 5 2 1 m 7 . Vì m ¢ nên m 1;2;3;4;5;6. Cách 2: Phương pháp ghép trục V 3 Đặt t cos x  1;1 vì 1 V2 5 x 0 Ta có: t 0 sin x 0 . x Khi đó phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 trở thành: 2 f t 2 f t 3 m f t 2m 10 0 f t m 5 Trang 18
19. Do phương trình f t 2 có 2 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình f t m 5 có duy nhất một nghiệm 4 m 5 2 1 m 7 . Vì m ¢ nên m 1;2;3;4;5;6. Câu 45: Đáp án B Đặt t 2sin x . Do x 0; t 0;2 . t 2 Bất phương trình trở thành: f t m,t 0;2 . 2 t 2 Xét g t f t trên 0;2 . 2 Bài toán trở thành g t m,t 0;2 . Ta có g t f t t 0 f t t . Ta có bảng biến thiên của hàm g t trên 0;2 : 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m max g t g 1 f 1 . 0;2 2 1 Vậy m f 1 . 2 Câu 46: Đáp án A Ta có z1 3i 5 2 2i z1 3i 5 4. 2i 2iz1 6 10i 4 . Trang 19
20. 1 2i Và iz 1 2i 4 z 4 z 2 i 4 3z 6 3i 12 . 2 2 i 2 2 u 2iz1 u 6 10i 4 Đặt và T 2iz1 3z2 2iz1 3z2 u v . v 3z 2 v 6 3i 12 2 2 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn x 6 y 10 16 tâm I1 6; 10 , R1 4 . 2 2 Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn x 6 y 3 144 tâm I2 6;3 , R2 12 . 2 2 Khi đó T MNmax MN I1I2 R1 R2 12 13 4 12 313 16 . Câu 47: Đáp án C Đặt k 3 m 4 1 m 3 k 5 . Đặt t x x3 3x2 , có t x 3x2 6x; t x 0 x 0 hoặc x 2 . Bảng biến thiên như hình bên. Phương trình trở thành f t k với k 3;5 t a 0 BBT 1 nghiem x do thi BBT  t b 4 b 0  3 nghiem x BBT t c 4  1 nghiem x Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm x. Câu 48: Đáp án B 3 5xy Theo giả thiết ta có 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . 3xy 5 5x 2 y 3 x 2 y x 2y 5xy 1 31 xy xy 1 x 2y xy 1. x 2 1 xy x 2y 0 y x 2 x 1 0 x 1 y x 2 2 x 1 P f x x min f x f 2 6 4 2 6 . x 2 2; Câu 49: Đáp án C 4m3 m Ta có f 2 x 3 4m3 m f 2 (x) 3 2 f 2 x 5 2 f 2 x 5 8m3 2m 2 f 2 x 6 2 f 2 x 5 2m 3 2 f 2 x 5 2 f 2 x 5 f 2 x 5 (*) Xét hàm số g t t3 t có g t 3t 2 1 0;t g t là hàm số đồng biến trên ¡ . Trang 20
21. Phương trình (*) suy ra g 2m g 2 f 2 x 5 2 f 2 x 5 2m 5 m 2 m 0 m 0 4m2 5 2 2 2 2 4m 5 f x 1 2 f x 5 4m f x 2 2 4m2 5 f x 2 2 5 (vì f x 0 chỉ có hai nghiệm phân biệt nên m ). 2 4m2 5 4m2 5 + Vì 0 nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình f x có một nghiệm duy 2 2 nhất. 4m2 5 Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình f x có hai nghiệm phân biệt. 2 37 2 2 m thoa man 4m 5 4m 5 2 2 + Vì 0 nên từ đồ thị hàm số 4 4m 5 32 . 2 2 37 m loai 2 Biến đổi để sử dụng với f là hàm đơn điệu trên K thì f u f v u v . Từ đó sử dụng đồ thị hàm số đã cho và sự tương giao của hai đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình. Câu 50: Đáp án B Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng ABC Khi đó từ giả thiết ta có SAH SBH SCH 30 Suy ra SAH SBH SCH (gn-cgv) Suy ra HA HB HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Tam giác ABC có AB AC BC AC 7; AB 5; BC 8 p 10 . 2 Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là SABC p p AB p AC p BC 10 3 AB.AC.BC 5.7.8 7 3 Lại có S R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ). ABC 4R 4S 3 Trang 21
22. 7 3 Hay HA . 3 7 3 7 Xét tam giác SHA vuông tại H có SH tan SAH.AH tan 30. . 3 3 1 1 7 70 3 Thể tích khối chóp S.ABC là V SH.S . .10 3 . S.ABC 3 ABC 3 3 9 SH 14 Lại có SHB vuông tại H nên SB SC sin 30 3 SB SC BC 19 Xét tam giác SBC có p suy ra 1 2 3 8 13 S p p SB p SC p BC ABC 1 1 1 1 3 70 3 3. 1 3VS.ABC 9 35 39 Từ đó VS.ABC d A,(SBC) .S SBC d A,(SBC) . 3 S SBC 8 13 52 3 Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh a, b, c là a b c S p p a p b p c với p ABC 2 abc Sử dụng công thức diện tích S với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ABC 4R 1 3V Sử dụng công thức thể tích khối chóp có chiều cao Δ và diện tích đáy Δ là V h.S h . 3 S Trang 22