Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 19 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 19 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy và SB a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. a3 6 a3 6 a3 6 2a3 6 A. . B. . C. . D. . 3 12 3 9 3 Câu 2. Cho hàm số y f x thỏa mãn f 0 1, f ' x liên tục trên ¡ và f ' x dx 9 . Giá trị của f 3 0 là: A. 6.B. 3.C. 10.D. 9. Câu 3. Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln a ab bằng: ln a A. ln a.ln ab . B. ln a ln 1 b . C. . D. ln a ln ab. ln 1 b 1 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f x là: 2x 3 1 3 1 1 A. 2 C. B. 2 C. C. ln 2x 3 C. D. ln 2x 3 C. 2x 3 2x 3 2 2 x2 2 x 1 1 Câu 5. Bất phương trình có tập nghiệm là a;b . Khi đó giá trị của b a là: 2 8 A. 4.B. 4. C. 2.D. 2. x 1 y 2 z 2 Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Phương trình nào sau đây là 1 2 3 phương trình tham số của d? x 1 x 1 x 1 t x 1 A. y 2 t . B. y 2 2t. C. y 2 2t . D. y 2 t . z 2 3t z 1 3t z 2 3t z 1 3t Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z i 3i 1 . A. z 3 i. B. z 3 i. C. z 3 i. D. z 3 i. Câu 8. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A 0; 1;2 , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng Q : x 2y 2z 1 0 . A. P : 2y 2z 1 0. B. P : y z 1 0. C. P : y z 3 0. D. P : 2x z 2 0. Câu 9. Số phức z thỏa mãn z 5 8i có phần ảo là: Trang 1
2. A. 8. B. 8. C. 5.D. 8i. Câu 10. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: A. 2; 2 . B. 0; 2 . C. 0;2 . D. 2;2 . Câu 11. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây: A. y x 4 x2 1. B. y x2 x 1. C. y x2 3x 1. D. y x3 3x 1. Câu 12. Cho hai mặt phẳng P : 2x 2y z 1 0, Q : 2x y 2z 1 0 và điểm A 1;2;3 . Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả P và Q là: x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . C. . D. . 1 1 4 1 2 6 1 6 2 5 2 6 Câu 13. Cho cấp số cộng un có u1 5 và d 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u15 45. B. u13 31. C. u10 35. D. u15 34. Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;3 , B 1;4;1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 4 z 1 12. B. x 1 y 2 z 3 12. 2 2 2 2 C. x2 y 3 z 2 3. D. x2 y 3 z 2 12. Câu 15. Số giao điểm của đường thẳng y x 2 và đường cong y x3 2 là: A. 1.B. 0.C. 3.D. 2. Câu 16. Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ là 8 . A. h 2. B. h 2 2. C. h 3 32. D. h 3 4. 2 Câu 17. Phương trình z 2z 10 0 có hai nghiệm là z1;z2 . Giá trị của z1 z2 là A. 4.B. 3.C. 6.D. 2. 2 Câu 18. Hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 x 3 với mọi x. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hàm số có 1 điểm cực đại.B. Hàm số không có điểm cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị.D. Hàm số có đúng một điểm cực trị. 1 log 4 Câu 19. Giá trị của biểu thức 92 3 bằng: A. 2.B. 4.C. 3.D. 16. 2 Câu 20. Tập xác định của hàm số y log2 x 2x là: A. ;0  2; . B. 0;2. C. ;02; . D. 0;2 . 2x m Câu 21. Cho hàm số y f x . Tính tổng các giá trị của tham số m để max f x min f x 2 . x 1 x 2;3 x 2;3 Trang 2
3. A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB 2a, AD a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 8 a2 4 a2 A. 8 a2. B. . C. 4 a2. D. . 3 3 x 1 y 1 z x 2 y z 3 Câu 23. Cho các đường thẳng d : và d : . Viết phương trình đường 1 1 2 1 2 1 2 2 thẳng đi qua A 1;0;2 , cắt d1 và vuông góc với d2 . x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 1 4 1 1 2 3 4 2 2 1 Câu 24. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn O lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R2 2 , thể tích hình nón đã cho bằng: R3 14 R3 14 R3 14 R3 14 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 6 12 3 Câu 25. Cho mặt phẳng Q : x y 2z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho MN 2 2 . A. P : x y 2z 2 0. B. P : x y 2z 0. C. P : x y 2z 2 0. D. P : x y 2z 2 0. Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng A' BC và mặt phẳng ABC bằng 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng: 3a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 8 2 Câu 27. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x 2 5x 1 là: A. 1.B. 2 log3 5. C. log3 45. D. log3 5. 8 3 3 Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 10 . Tính I f 3x 1 dx . 2 2 1 A. 30.B. 10.C. 20.D. 5. 2x m Câu 29. Cho hàm số y . Với giá trị nào của m thì hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với x m hai trục tọa độ tạo thành hình vuông. m 2 A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. . m 2 Câu 30. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường x 3t x 1 y 3 z 2 thẳng d1 : và d2 : y t . 1 1 2 z 1 3t Trang 3
4. x 2 y 2 z 4 x 3 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 x y z 1 A. . B. . C. . D. . 1 3 2 1 1 1 3 1 1 1 6 1 Câu 31. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z2 2018z 2019 z2 ? A. Vô số.B. 2.C. 1.D. 0. e Câu 32. Biết I x2 ln xdx ae3 b với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9 a b bằng: 1 A. 3.B. 10.C. 9.D. 6. Câu 33. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật (không phải là hình vuông), có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho? A. 45.B. 35.C. 40.D. 50. Câu 34. Cho hàm số y x 4 2mx2 3m 2 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm trên các trục tọa độ? A. 2.B. 0.C. 3.D. 1. x 1 y 2 z 2 Câu 35. Cho đường thẳng d : và điểm A 1;2;1 . Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I 1 2 1 nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 . A. R 2. B. R 4. C. R 1. D. R 3. Câu 36. Cho hình trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng 4: Một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách OO’ một khoảng bằng 2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: A. 26 3 . B. 8 3 . C. 16 3 . D. 32 3 . x 1 y 2 z 2 Câu 37. Cho đường thẳng d : . Viết phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 1 cắt d tại các 3 2 2 điểm A, B sao cho AB 2 3 . 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 1 25. B. x 1 y 2 z 1 4. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 1 9. D. x 1 y 2 z 1 16. Câu 38. Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường parabol P có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox. 128 128 A. V . B. V . 5 3 64 256 C. V . D. V . 5 5 Trang 4
5. Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB BC a . Cạnh bên SA vuông   góc với đáy, S·BA 60 . Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho AC 2CM . Tính khoảng cách giữa SM và AB. 6a 7 a 7 a 7 3a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 21 7 2x 1 2 a * a Câu 40. Phương trình log3 2 3x 8x 5 có hai nghiệm là a và (với a,b ¥ và là phân số tối x 1 b b giản). Giá trị của b là: A. 1.B. 4.C. 2.D. 3. Câu 41. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn hệ thức 2 x f x tan x. f ' x 3 . Biết rằng 3 f f a 3 bln3 trong đó a,b ¤ . Tính giá trị của cos x 3 6 biểu thức P a b . 4 2 7 14 A. P . B. P . C. P . D. P . 9 9 9 9 x 5 4t Câu 42. Cho A 1;4;2 , B 1;2;4 , đường thẳng d : y 2 2t và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4 t diện tích tam giác AMB. A. 2 3. B. 2 2. C. 3 2. D. 6 2. 2 Câu 43. Cho phương trình log3 x log3 x m 3 0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x2 81x1 0 . A. 4.B. 5.C. 3.D. 6. z1 Câu 44. Cho hai số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn là số thuần ảo và z1 z2 10 . Giá trị lớn của z1 z2 z2 bằng: A. 10.B. 10 2. C. 10 3. D. 20. Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ. Biết trên ; 3  2; thì f ' x 0 . Số nghiệm nguyên thuộc 10;10 của 2 bất phương trình f x x 1 x x 6 0 là: A. 9.B. 10. C. 8.D. 7. Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng SAB tạo với SBC một góc Trang 5
6. 2 60 và mặt phẳng SAC tạo với SBC một góc thỏa mãn cos . Gọi là góc tạo bởi SA và mặt 4 phẳng ABC . Tính tan . 3 2 1 A. . B. . C. . D. 3. 3 2 2 Câu 47. Cho hai hàm số f x ax 4 bx3 cx2 dx e với a 0 và g x px2 qx 3 có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y g x tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là 2; 1;1;m . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x g x tại 15 điểm có hoành độ x 2 có hệ số góc bằng . Gọi H là hình 2 phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số P : 2x và y g x (phần được tô đậm như hình vẽ). Diện tích của hình H bằng. 1553 1553 1553 1553 A. . B. . C. . D. . 120 240 60 30 Câu 48. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ sao cho max f x f 2 4 . Xét hàm số x 0;10 g x f x3 x x2 2x m . Giá trị của tham số m để max g x 8 là: x 0;2 A. 5.B. 4.C. -1D. 3. Câu 49. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình f x 2 f x 2 2 f x 3.12 f x 1 .16 m 3m .3 có nghiệm với mọi x? A. 5.B. 7. C. Vô số.D. 6. 1 3 Câu 50. Cho hàm số f x x 4 mx3 m2 1 x2 1 m2 x 2019 với m là tham số thực. Biết rằng 4 2 hàm số y f x có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi a m2 b 2 c a,b,c ¡ . Giá trị T a b c bằng: A. 8.B. 6.C. 7D. 5. Đáp án 1-B 2-C 3-B 4-D 5-A 6-C 7-D 8-B 9-A 10-C 11-D 12-D 13-B 14-C 15-C 16-A 17-C 18-D 19-B 20-A 21-A 22-A 23-C 24-B 25-A 26-A 27-C 28-D 29-D 30-A Trang 6
7. 31-B 32-A 33-C 34-A 35-D 36-D 37-D 38-D 39-D 40-D 41-A 42-C 43-C 44-B 45-D 46-C 47-A 48-D 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B SAB  ABC Vì SAC  ABC SA  ABC . SAB  SAC SA Xét tam giác vuông SAB có: SA SB2 AB2 3a2 a2 a 2 . a2 3 Diện tích tam giác ABC là: S . ABC 4 1 1 a2 3 a3 6 Thể tích khối chóp là V SA.S .a 2. . S.ABC 3 ABC 3 4 12 Câu 2: Đáp án C 3 Ta có: f ' x dx 9 f 3 f 0 f 3 9 f 0 9 1 10. 0 Câu 3: Đáp án B Ta có: ln a ab ln a 1 b ln a ln 1 b . Lưu ý: Sử dụng công thức: loga bc loga b loga c 0 a 1;b,c 0 . Câu 4: Đáp án D 1 1 Ta có: f x dx dx ln 2x 3 C . 2x 3 2 Câu 5: Đáp án A x2 2 x 1 1 2 1 2 2 Ta có: x 2x log 1 x 2x 3 x 2x 3 0 1 x 3. 2 8 2 8 Tập nghiệm của bất phương trình S 1;3 a 1;b 3 nên b a 4 . Lưu ý: f x Đưa về giải bất phương trình có cơ số 0 a 1: a b f x loga b . Chú ý: Nếu không đổi dấu bất phương trình dẫn đến không ra đáp án. Câu 6: Đáp án C x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : đi qua A 1;2; 2 và nhận u 1; 2;3 làm vectơ chỉ phương 1 2 3 x 1 t d : y 2 2t . z 2 3t Trang 7
8. Câu 7: Đáp án D Ta có: z i 3i 1 3i2 i 3 i . Số phức liên hợp của z là z 3 i . Câu 8: Đáp án B  Gọi n P là vectơ pháp tuyến của P .  n  i P Do P / /Ox và P  Q nên   . n  n P Q  Ox có vectơ pháp tuyến i 1;0;0 và Q : x 2y 2z 1 0 có vectơ pháp tuyến n Q 1;2; 2 .   Ta có i,n 0;2;2 nên chọn n 0;1;1 . Q P  P đi qua A 0; 1;2 và nhận n P 0;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên P : 0 x 0 1 y 1 1 z 2 0 y z 1 0 .  n  i P Lưu ý: P / /Ox và P  Q thì   . n  n P Q Câu 9: Đáp án A Phần ảo của số phức z 5 8i là 8 . Câu 10: Đáp án C 2 x 0 Ta có: y' 3x 6x 0 . x 2 Bảng biến thiên: Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là 0;2 . Câu 11: Đáp án D Từ hình dáng đồ thị ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án A, B. Lại từ hình vẽ ta thấy lim ; lim nên chỉ có đáp án D thỏa mãn. x x Câu 12: Đáp án D  P : 2x 2y z 1 0 n P 2;2;1 là vectơ pháp tuyến của P .  Q : 2x 2y z 1 0 n Q 2; 1;2 là vectơ pháp tuyến của Q .  Gọi ud là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Trang 8
9.   u  n d P Đường thẳng d song song với cả P và Q thì   . u  n d Q     Có n ,n 5; 2; 6 nên chọn u 5; 2; 6 , d đi qua A 1;2;3 và nhận u 5; 2; 6 làm vectơ chỉ P Q d d x 1 y 2 z 3 phương nên . 5 2 6   u  n d P Lưu ý: Đường thẳng d song song với cả P và Q thì   . u  n d Q Câu 13: Đáp án B Ta có: u1 5;d 3 nên u15 u1 14d 37; u13 u1 12d 31; u10 u1 9d 22 nên A, C, D sai, B đúng. Lưu ý: Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì có số hạng thứ n là un u1 n 1 d . Câu 14: Đáp án C Ta có A 1;2;3 , B 1;4;1 I 0;3;2 là trung điểm AB và AB 12 2 3 . AB Mặt cầu S đường kính AB có tâm I 0;3;2 và bán kính R 3 . 2 2 2 2 2 2 S : x 0 y 3 z 2 3 hay S : x2 y 3 z 2 3. AB Lưu ý: Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính R . 2 Câu 15: Đáp án C x 0 3 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 x 2 x x 0 x x 1 0 x 1 . x 1 Suy ra số giao điểm của hai đồ thị y x 2;y x3 2 là 3 giao điểm. Câu 16: Đáp án A Ta có: V R2h 8 .h2.h h 2 . Câu 17: Đáp án C 2 2 2 2 z 1 3i z 1 3i Ta có: z 2z 10 0 z 1 9 z 1 9i . z 1 3i z 1 3i Suy ra: z1 z2 1 3i 1 3i 6i 36 6 . Câu 18: Đáp án D x 1 Ta có: f ' x 0 . x 3 y ax3 bx2 cx và f ' x 0 x 3 nên đạo hàm f ' x đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x 3. Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị, chính là điểm cực tiểu x 3. Câu 19: Đáp án B Trang 9
10. 1 1 log3 4 log 4 3 log 4 Ta có: 92 92 3 3 4. n log Lưu ý: Sử dụng công thức am.n am ; a a b b 0 a 1;b 0 . Câu 20: Đáp án A 2 2 x 2 Hàm số y log2 x 2x xác định nếu x 2x 0 . x 0 Vậy TXĐ: D ;0  2; . Câu 21: Đáp án A 2 m Điều kiện: x 1 . Ta có: y' 2 . x 1 TH1: y' 0 2 m 0 m 2 suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng ;1  1; nên hàm số đồng biến trên 2;3 . 6 m Suy ra max y y 3 ;min y y 2 4 m . 2;3 2 2;3 6 m m 2 4 m 2 ktm Theo đề bài, ta có: 4 m 2 2 m 4 . 2 m 2 4 m 6 tm TH2: y' 0 2 m 0 m 2 suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng ;1  1; xác định nên hàm số nghịch biến trên 2;3 . 6 m Suy ra min y y 3 ;max y y 2 4 m . 2;3 2 2;3 6 m m 2 4 m 2 ktm Từ yêu cầu ta có: 4 m 2 2 m 4 . 2 m 2 4 m 6 tm Vậy m 2;m 6 nên tổng các giá trị của m là 2 6 4 . Câu 22: Đáp án A Gọi O AC  BD . Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do SA  ABCD nên góc giữa SD và đáy bằng SDA 30 . Tam giác SAD vuông tại A có AD a 3,SDA 30 . 3 SA AD.tan30 a 3. a 3 1 a 1 1 1 a 7 AH AS ; AO AC AD2 DC2 3a2 4a2 2 2 2 2 2 7 Trang 10
11. 7a2 a2 2 AI AO2 OI 2 a 2 S 4 AI 2 4 a 2 8 a2. 4 4 Chú ý khi giải: Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp h2 có cạnh bên vuông góc đáy, đó là R r2 , với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán 4 kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là độ dài cạnh bên vuông góc đáy. Câu 23: Đáp án C x 1 t x 1 y 1 z Đường thẳng d1 : d1 : y 1 2t . 1 2 1 z t x 2 y z 3  Đường thẳng d : có 1 vectơ chỉ phương là u 1;2;2 . 2 1 2 2 d2 Gọi giao điểm của với đường thẳng d1 là M 1 t; 1 2t; t .  Vì đi qua A 1;0;2 nên AM t; 1 2t; t 2 là 1 vectơ chỉ phương của .     Vì  d AM  u AM.u 0 1.t 2. 1 2t 2. t 2 0 3t 6 0 t 2 . 2 d2 d2  Suy ra AM 2;3; 4 .  Phương trình đường thẳng đi qua A 1;0;2 và nhận AM 2;3; 4 làm vectơ chỉ phương là x 1 y z 2 . 2 3 4 Câu 24: Đáp án B Gọi H là trung điểm của AB ta có: OH  AB,SH  AB . 1 R 2 Tam giác OAB vuông tại O AB R 2,OH AB . 2 2 2 2 2.SSAB 2R 2 Tam giác SAB có SSAB R 2 SH 2R AB R 2 2R2 R 14 SO SH2 OH2 4R2 . 4 2 1 1 R 14 R3 14 Thể tích khối nón V .OA2 .SO R2 . . 3 3 2 6 Câu 25: Đáp án A Vì P / / Q nên phương trình mặt phẳng P : x y 2z d 0 d 2 có vectơ pháp tuyến n 1; 1;2 . Vì M Ox,N Oy nên M xM ;0;0 ,N 0;yN ;0 mà M,N P nên ta có xM d 0 xM d và yN d 0 d yN . Hay M d;0;0 ,N 0;d;0 OM d ;ON d . Trang 11
12. d 2 tm Lại có tam giác OMN vuông tại O nên MN2 OM2 ON2 2d 2 8 d 2 4 . d 2 ktm Suy ra phương trình mặt phẳng P : x y 2z 2 0 . Câu 26: Đáp án A Gọi M là trung điểm của BC AM  BC và A' M  BC (tam giác A’BC cân). Mà A' BC  ABC BC nên góc giữa hai mặt phẳng A' BC và ABC bằng góc giữa AM và A’M hay A' MA 45 . a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AM . 2 a 3 Tam giác AMA’ có A 90, AM và A' MA 45 nên 2 a 3 AA' AM tan 45 AM . 2 a2 3 a 3 3a2 Thể tích khối lăng trụ: V S .AA' . . ABC 4 2 8 Câu 27: Đáp án C x2 2 x 1 x2 2 x 1 2 2 Ta có: 3 5 log3 3 log3 5 x 2 x 1 log3 5 x x.log3 5 2 log3 5 0 . Nhận thấy ac 1. 2 log3 5 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1;x2 . Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 2 log3 5 log3 9 log3 5 log3 9.5 log3 45. f x g x Lưu ý: Sử dụng a b f x g x .loga b với 0 a 1;b 0 . Câu 28: Đáp án D dt Đặt t 3x 1 dt 3dx dx . 3 Đổi cận x 1 t 2, x 3 t 8 . 3 3 3 8 f t 1 8 1 Khi đó I f 3x 1 dx dt f t dt .10 5 . 2 1 2 2 3 2 2 2 Câu 29: Đáp án D 2x m Xét hàm số y với x m . x m Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận là m 0 . Đồ thị hàm số nhận y 2 làm TCĐ và x 0 làm TCN. m 2 Theo đề bài ta có: m 2 . m 2 Trang 12
13. ax b d a Lưu ý: Đồ thị hàm số y x nhận đường thẳng y làm TCĐ và nhận đường thẳng cx d c c d x làm TCN. c Câu 30: Đáp án A  Ta có: M 1 t;3 t;2 2t d1,N 3t ';t '; 1 3t ' d2 MN 3t ' 1 t;t ' 3 t; 3 3t ' 2t .  d1 có vectơ chỉ phương u1 1; 1;2 .  d2 có vectơ chỉ phương u2 3;1; 3 .     MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 MN.u1 MN.u2 0 . 1 3t ' 1 t 1 t ' 3 t 2 3 3t ' 2t 0 10t ' 6t 4 0 t ' 1 . 3 3t ' 1 t 1 t ' 3 t 3 3 3t ' 2t 0 19t ' 10t 9 0 t 1  MN 1; 3; 2 và M 2;2;4 . x 2 y 2 z 4 Vậy MN : . 1 3 2     Lưu ý: MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1,d2 thì MN.u1 MN.u2 0 . Câu 31: Đáp án B Gọi số phức z x yi x;y ¡ thì môđun z x2 y2 . 2 2 2 Ta có: z2 2018z 2019 z x yi 2018 x yi 2019 x2 y2 x2 2xyi y2 2018x 2018yi 2019x2 2019y2 2018x2 2020y2 2018x 2xy 2018y i 0 y 0 2xy 2018y 0 x 1009 2 2 2018x 2020y 2018x 0 2 2 2018x 2020y 2018x 0 2 x 0 Với y 0 2018x 2018x 0 2018x x 1 0 . x 1 Suy ra z 0;z 1 . Với x 1009 2018.10092 2020y2 2018.1009 0 2020y2 2018.1009 2018.10092 (vô nghiệm vì VT không âm và VP âm). Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài. Câu 32: Đáp án A 1 du dx u ln x x Đặt . dx x2dx x3 v 3 Trang 13
14. 3 e e 3 3 e 3 3 e 3 3 3 x x 1 e 1 2 e 1 x e e 1 2e 1 I ln x . dx x dx . 3 1 1 3 x 3 3 1 3 3 3 1 3 9 9 3 9 2 1 a ,b 9 a b 3. 9 9 Câu 33: Đáp án C Số hình vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều 20 cạnh là 20 : 4 5 hình vuông (do hình vuông có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau). Vì đa giác đều có 20 đỉnh nên có 10 cặp đỉnh đối diện hay có 10 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. Cứ mỗi 2 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tạo thành một 2 hình chữ nhật nên số hình chữ nhật tạo thành là C10 hình trong đó có cả những hình chữ nhật là hình vuông. 2 Số hình chữ nhật không phải hình vuông tạo thành là C10 5 40 hình. Lưu ý: Đa giác đều có n cạnh (với n chẵn) thì luôn tồn tại đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Câu 34: Đáp án A x 0 ' 4 3 4 0 4 2 0 Ta có: y x mx x x m 2 . x m Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị y' 0 thì có ba nghiệm phân biệt m 0 . Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị là: A 0;3m 2 , B m; m2 3m 2 ,C m; m2 3m 2 . 2 m 2 Dễ thấy A Oy , bài toán thỏa mãn khi B,C Ox m 3m 2 0 tm . m 1 Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 35: Đáp án D z 1 t x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : d : y 2 2t. 1 2 1 z 2 t Vì I d I 1 t;2 2t;2 t . Lại có mặt cầu đi qua A 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 nên bán kính mặt cầu R IA d I; P . 2 1 t 2 2 2t 2 2 t 1 7t 2 Lại có IA t2 4t2 t 1 16t2 2t 1;d I; P . 2 12 2 22 3 7t 2 Từ đó ta có IA d I; P 6t2 2t 1 3 Trang 14
15. 2 2 9 6t2 2t 1 7t 2 5t2 10t 5 5 t 1 0 t 1 7.1 2 Suy ra R d I; P 3 . 3 Lưu ý: ax0 by0 cz0 d Khoảng cách từ I x0 ;y0 ;z0 đến mặt phẳng P : ax by cz d 0 là d I; P . a2 b2 c2 Câu 36: Đáp án D Ta có: OHA vuông tại H có: OH 2,OA 4 AH OA2 OH2 2 3 . Thiết diện là hình vuông có cạnh 2AH 2.2 3 4 3 h OO' 4 3 . Diện tích xung quanh S 2 Rh 2 .4.4 3 32 3 . Câu 37: Đáp án D x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : đi qua M 1;2;2 có vectơ chỉ phương u 3; 2;2 . 3 2 2   Suy ra IM 2;0;3 ; IM;u 6;13;4 . Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là:  2 2 2 IM;u 6 13 4 h d I; d 13 . 2 u 32 2 22 AB Gọi K là trung điểm dây AB IK  AB;KB 3;IK h 13 . 2 Xét tam giác IKB vuông tại K có IB KB2 IK 2 13 3 4 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 1 và bán kính R IB 4 là x 1 y 2 z 1 16 . Lưu ý:  IM;u Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương u là d . u 2 2 2 Mặt cầu tâm I a;b;c và bán kính R có phương trình x a y b z c R2 . Câu 38: Đáp án D Phương trình parabol P có dạng y ax2 đi qua điểm B 4;4 . 1 1 4 a.42 a nên P : y x2 . 4 4 1 Gọi H là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 4 , đồ thị hàm số y x2 và đường 4 thẳng x 0 . Trang 15
16. Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh Ox là: 4 2 4 5 4 5 2 1 2 1 4 x 4 256 V 4 x dx 16 x dx 16x 16.4 . 4 16 16.5 16.5 5 0 0 0 Lưu ý: Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đồ thị b y f x ;y g x , các đường thẳng x 1, x b là V f 2 x g2 x dx . a Câu 39: Đáp án D Trong ABC , qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành. Vì ME / / AB AB / / SME d AB;SM d AB; SME d A; SME Từ A trong mặt phẳng ABEM kẻ AK  ME , lại có: ME  SA (do SA  ABEM EK  SAK ). Trong SAK kẻ AH  SK tại H. Ta có AH  SK;SK  AH (do EK  SAK ) AH  SKE tại H. Từ đó d AB;SM d A; SME AH . Xét tam giác SBA vuông tại A có SA AB.tan SBA a.tan60 a 3 . AC a 2 Lại có ABC vuông cân tại B nên AC AB 2 a 2 CM . 2 2 3a 2 Do đó AM AC CM . 2 ABC vuông cân tại B nên ACB 45 CBE ACB 45 (hai góc so le trong). Từ đó ABE ABC CBE 90 45 135 , suy ra AME 135 (hai góc đổi hình bình hành). Nên tam giác AME là tam giác tù nên K nằm ngoài đoạn ME. Ta có: KMA 180 AME 135 mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K. AM 3a AK 2 2 1 1 1 1 1 3a 7 Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có: AH . AH2 SA2 AK 2 3a2 9a2 7 3a 7 Vậy d AB;SM 7 Lưu ý: Sử dụng d a;b d a; P d A; P với b  P ,a / / P , A a để đưa về tìm khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng P sao cho AB / / P . Trang 16
17. Câu 40: Đáp án D 1 Điều kiện: x 1. 2 2x 1 2 2 2 Khi đó: log3 2 3x 8x 5 log3 2x 1 log3 x 1 3 x 1 2x 1 1 x 1 2 2 log3 2x 1 2x 1 3 x 1 log3 x 1 log3 3 2 2 log 2x 1 2x 1 3 x 1 log 3 x 1 * 3 3 1 Xét hàm y f t log t t với t 0 có f ' t 1 0,t 0 . 3 t ln3 Do đó hàm số y f t đồng biến trên 0; . 2 2 Phương trình (*) là f 2x 1 f 3 x 1 2x 1 3 x 1 x 2 2 2 2x 1 3 x 2x 1 3x 8x 4 0 2 tm . x 3 Vậy phương trình có nghiệm 2 và nên a 2,b 3 . Câu 41: Đáp án A x x Từ giả thiết, ta có: cos x. f x sin x. f ' x sin x. f x ' . cos2 x cos2 x x Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: sin x. f x 'dx dx sin x. f x x.tan x ln cos x C . cos2 x 2 + Với x ta có: sin . f .tan ln cos C 3. f 3 2 ln 2 2C . 3 3 3 3 3 3 3 3 1 + Với x , ta có: sin . f .tan ln cos C f 3 ln3 2 ln 2 2C 6 6 6 6 6 6 6 9 5 5 a 4 Do đó: 3 f f 3 ln3 9 P a b . 3 6 9 9 b 1 Câu 42: Đáp án C   Gọi M 5 4t;2 2t;4 t d MA 4 4t;2 2t; 2 t , MB 6 4t; 2t; t .   MA, MB 6t; 6t 12; 12t 12   2 2 2 2 2 MA, MB 36t 36 t 2 144 t 1 6 8t 16t 10 6 8 t 1 2 1   2 S MA, MB 3 8 t 1 2 3 2 MAB 2 Dấu “=” xảy ra khi t 1 M 1;4;5 . Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng 3 2 khi M 1;4;5 . Trang 17
18. 1   Lưu ý: Công thức tính diện tích: S MA, MB . MAB 2 Câu 43: Đáp án C Điều kiện: x 0 . 2 Đặt log3 x t ta có phương trình t 4t m 3 0 * . Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1 t2 . Hay ' 22 m 3 7 m 0 m 7 . t1 t2 4 Theo hệ thức Vi-ét ta có: . t1.t2 m 3 t1 t2 Ta có: t1 log3 x1 x1 3 ;t2 log3 x2 x2 3 . t2 t1 t2 t1 4 Khi đó x2 81x1 0 3 81.3 0 3 3 t2 t1 4 t2 t1 4 . 2 2 2 Suy ra t2 t1 16 t2 t1 4t1t2 16 4 4 m 3 16 m 3 0 m 3 . Từ đó 3 m 7 mà m ¢ nên m 4;5;6 . Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Câu 44: Đáp án B z1 z1 Ta có: là số thuần ảo nên ta viết lại ki z1 kiz2 . z2 z2 10 10 Khi đó z1 z2 10 kiz2 z2 10 z2 1 ki 10 1 ki k2 1 10 10 k 10 k 1 z1 ki . z2 k . 2 z1 z2 k 1 k2 1 k2 1 10 t 1 2 Xét y f t 10 t 1 y t2 1 100 t 1 y2 t2 1 t2 1 100 t2 2t 1 y2t2 y2 y2 100 t2 y2 100 0 2 Phương trình có nghiệm ' 1002 y2 100 y2 200 y2 0 10 2 y 10 2 . Vậy max y 10 2 khi t 1 hay k 1. Câu 45: Đáp án D 2 Ta có: f x x 1 x x 6 0 * . 2 x 2 x x 6 0 TH1: x 3 . f x x 1 0 f x 1 x Đường thẳng y 1 x đi qua các điểm 3;4 ; 1;2 ; 0;1 ; 2; 1 như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm như trên. Trang 18
19. 3 x 1 Từ đồ thị hàm số ta thấy f x 1 x . x 2 x 2 3 x 2 Kết hợp điều kiện thì ta có: 1 . x 3 x 3 2 x x 6 0 2 x 3 TH2: f x x 1 0 f x 1 x x 3 Từ đồ thị hàm số ta thấy f x 1 x kết hợp với 2 x 3 ta được 1 x 2 2 . 1 x 2 3 x 2 Từ (1) và (2) ta có 1 x 2 mà x 10;10 và x ¢ nên x 0;1;4;5;6;7;8;9 . x 3 Nhận thấy tại x 0 thì f 0 1 f x x 1 f 1 1 0 VT của (*) nên bằng 0 nên x 0 không thỏa mãn bất phương trình. Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài. Lưu ý: Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số y f x và y g x để xét dấu biểu thức f x g x . Trên khoảng a;b , đồ thị hàm số y f x nằm phía trên đồ thị hàm số y g x thì f x g x 0 . Câu 46: Đáp án C Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó: O 0;0;0 , A 1;0;0 , B 0; 1;0 ,C 0;1;0 ,S 0;m;n .    AB 1; 1;0 , AC 1;1;0 , AS 1;m;n . Mặt phẳng SBC : x 0 có vectơ pháp tuyến i 1;0;0 .    Mặt phẳng SAC có vectơ pháp tuyến n AC, AS n;n; m 1 . 1    Mặt phẳng SAB có vectơ pháp tuyến n AB, AS n;n; m 1 . 2  n1.i n 1 n 2 2 cos60  4n2 2n2 m 1 2n2 m 1 1 2 2 2 2 2 n1 . i 2n m 1 2n m 1  n1.i n 2 2 2 cos  4 n 4n2 2 m 1 6n2 1 m 2 2 2 4 n1 . i 2n m 1 2 2 m 2 3 n 2 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 m 1 1 m . m 2 3 n 2 3 Trang 19