Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 22 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 22 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề Câu 1. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đĩ bằng a và thiết diện qua trục là một hình vuơng 2 A. 2 a3 .B. a3 .C. 4 a3 .D. a3 . 3 Câu 2. Cho hàm số y x3 3x2 2. Đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại là A. 2; 2 .B. 0; 2 . C. 0;2 .D. 2;2 . x 1 y 2 z 3 Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, đuờng thẳng d: đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 2 A. Q 2; 1;2 .B. M 1; 2; 3 . C. P 1;2;3 .D. N 2;1; 2 . Câu 4. Hàm số y x3 3x2 9x 1 đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau? A. 1;3 .B. 4;5 .C. 0;4 .D. 2;2 . Câu 5. Nghiệm của phương trình log2 x log4 x log 1 3 là 2 1 1 1 A. x .B. x 3 3 . C. x .D. x . 3 3 3 3 1 1 1 Câu 6. Cho f x dx 2 và g x dx 5 , khi đĩ f x 2g x dx bằng 0 0 0 A. –3.B. 12.C. –8.D. 1. Câu 7. Cho khối trụ cĩ bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối trụ bằng 3a2 A. 3a2 .B. 3a3 .C. 3 a3 .D. . 3 2 Câu 8. Số nghiệm của phương trình 2x x 3 1 là: A. 3.B. 2.C. 1.D. 0. Câu 9. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 3; 1;3 , B 1;3;1 và P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Một vectơ pháp tuyến của P cĩ tọa độ là: A. 1;3;1 .B. 1;1;2 .C. 3; 1;3 .D. 1;2; 1 . Trang 1
2. e2x 6 Câu 10. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x , biết F 0 7 . Tính tổng các nghiệm ex của phương trình F x 5 . A. ln5.B. ln6.C. –5.D. 0. x 1 2t Câu 11. Trong khơng gian với hệ trục độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng : y 1 3t t ¡ . z 2 t Trong các điểm dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng ? A. 1;4; 5 .B. 1; 4;3 . C. 2;1;1 .D. 5; 2; 8 . Câu 12. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau? 216. 120. A. 216.B. 120.C. 504.D. 6. Câu 13. Biết bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x 2y bằng A. 50.B. 70.C. 30.D. 80. Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z 4 5i cĩ tọa độ là A. 4;5 .B. 4; 5 . C. 4; 5 .D. 5; 4 . Câu 15. Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây? A. y x3 3x 1. B. y x3 3x 1. C. y x3 3x 1. D. y x3 3x 1. x2 4x Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . 2x 1 3 A. min y 0 .B. min y .C. min y 4 .D. min y 1. 0;3 0;3 7 0;3 0;3 x3 Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 2mx 1 cĩ hai điểm cực trị. 3 m 2 A. 0 m 2 .B. m 2 .C. m 0 .D. . m 0 Câu 18. Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức z m2 1 m 1 i là số thuần ảo. A. m 1.B. m 1. C. m 1.D. m 0 . Trang 2
3. Câu 19. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu cĩ tâm I 1;2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : 2x 2y z 8 0 cĩ phương trình là A. S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 3 .B. S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 3 . C. S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 .D. S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . Câu 20. Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề đúng là 1 1 A. log2 a loga 2 .B. log2 a .C. log2 a .D. log2 a loga 2 . log2 a loga 2 Câu 21. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z x yi x, y ¡ thỏa mãn z i 4 là đường cong cĩ phương trình A. x 1 2 y2 4 .B. x2 y 1 2 4 .C. x 1 2 y2 16 .D. x2 y 1 2 16 . Câu 22. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P cĩ phương trình là x z 3 0 . Tính gĩc giữa P và mặt phẳng Oxy . A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 60°. Câu 23. Với số thực 0 a 1 bất kì, tập nghiệm của bất phương trình a2x 1 1 là 1 1 A. ;0 . B. 0; . C. ; . D. ; . 2 2 Câu 24. Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hồnh, đường x a , x b (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng? b c b A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . a a c c b c b C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . a c a c Câu 25. Cho hình trụ cĩ diện tích tồn phần là 4 và cĩ thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuơng. Thể tích khối trụ đã cho bằng Trang 3
4. 4 6 6 6 4 A. . B. . C. . D. . 9 12 9 9 x2 3x 2 Câu 26. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x3 2x2 A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Câu 27. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A B C D biết AC a 3 . 3 6a3 1 A. V a3 .B. V .C. V 3 3a3 .D. V a3 . 4 3 2 1 Câu 28. Cho hàm số f x 5ex . Tính P f x 2x. f x f 0 f 0 . 5 A. P 1.B. P 2 . C. P 3.D. P 4 . Câu 29. Cho hàm số y f x cĩ đồ thị như hình vẽ dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x 1 m cĩ bốn nghiệm thực phân biệt? A. 1 m 2 .B. 2 m 3.C. 0 m 2 .D. 0 m 1. Câu 30. Cho lăng trụ ABCD.A B C D cĩ đáy là hình thoi cạnh a, B· AD 60 . Hình chiếu vuơng gĩc của B xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB a . Tính gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy. A. 30°.B. 45°.C. 60°.D. 90°. 2 Câu 31. Biết rằng phương trình log2 2x 5log2 x 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Tính x1.x2 . A. 1.B. 5.C. 3.D. 8. Câu 32. Một khối nĩn làm bằng chất liệu khơng thấm nước, cĩ khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, cĩ đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nĩn tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nĩn ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nĩn ra. Trang 4
5. 37 A. 11,37.B. 11.C. 6 3 .D. . 2 1 Câu 33. Biết rằng F x là nguyên hàm của hàm số f x 4x3 3x và thỏa mãn x2 5F 1 F 2 43 . Tính F 2 . 45 151 86 A. F 2 23.B. F 2 .C. F 2 .D. F 2 . 2 4 7 Câu 34. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cĩ AB a 2 . Cạnh bên SA 2a và vuơng gĩc với mặt đáy ABCD . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng SBC . a 10 2a 3 3 A. d .B. d a 2 . C. d .D. d 2 3 3 Câu 35. Cho điểm A 1;2;3 và hai mặt phẳng P : 2x 2y z 1 0 , Q : 2x y 2z 1 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả P và Q là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. .B. . 1 1 4 1 2 6 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. .D. . 1 6 2 5 2 6 Câu 36. Cho hàm số f x x 2a x 2b a ax 1 . Cĩ bao nhiêu cặp số thực a;b để hàm số đồng biến trên ¡ . A. 0.B. 1.C. 2.D. Vơ số. Câu 37. Cho số phức z cĩ phần thực là số nguyên và z thỏa mãn x 2z 7 3i z . Tính mơ-đun của số phức w 1 z z2 bằng A. w 37 .B. w 457 .C. w 425 .D. w 445 . Câu 38. Biết chu kỳ bán hủy của chất phĩng xạ plutơni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ cịn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo cơng thức S Aert , trong đĩ A là lượng chất phĩng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r 0 , làm trịn đến chữ số thập phân thứ 6), t là thời gian phân hủy, S là lượng cịn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ cịn 1 gam? A. 82230 (năm).B. 82232 (năm).C. 82238 (năm). D. 82235 (năm). Câu 39. Cho một đa giác đều H cĩ 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác cĩ 4 đỉnh là 4 đỉnh của H . Tính số tứ giác được lập thành mà khơng cĩ cạnh nào là cạnh của H . A. 4950.B. 1800.C. 30.D. 450. Trang 5
6. Câu 40. Để chuẩn bị cho hội trại do Đồn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại cĩ hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật cĩ kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần khơng gian bên trong trại. A. 72m3 .B. 35m3 .C. 72 m3 .D. 36 m3 . 1 1 Câu 41. Cho hàm số: y m2 x5 mx3 10x2 m2 m 20 x 1. Tổng tất cả các giá trị thực của m 2 3 để hàm số đã cho đồng biến trên ¡ bằng 5 1 3 A. .B. –2.C. .D. . 2 2 2 1 Câu 42. Cho hàm số y x4 x3 x2 m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max y 11. 4  1;2 A. –19.B. –37.C. –30.D. –11. Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị như hình vẽ. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của 3sin x cos x 1 2 tham số m để phương trình f f m 4m 4 cĩ nghiệm? 2cos x sin x 4 A. 3.B. 4.C. 5.D. Vơ số. Câu 44. Cho khối lăng trụ ABC.A B C cĩ thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA và BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A .MPB NQ bằng 1 1 2 A. 1.B. .C. .D. . 3 2 3 Trang 6
7. Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị f x như hình vẽ bên dưới Bất phương trình log5 f x m 2 f x 4 m nghiệm đúng với mọi x 1;4 khi và chỉ khi A. m 4 f 1 .B. m 3 f 1 .C. m 4 f 1 .D. m 3 f 4 . Câu 46. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm BD thuộc tia đối DB sao cho k . Biết rằng mặt phẳng MNE chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, BE 11 2a3 trong đĩ khối đa diện chứa đỉnh B cĩ thể tích là . Khẳng định nào sau đây là đúng? 294 A. k 2 .B. 0 k 2 .C. 3 k 5.D. 4 k 6 . Câu 47. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2 b2 1 và log a b 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức a2 b2 P 2a 4b 3 là 10 1 A. 10 .B. .C. 2 10 .D. . 2 10 Câu 48. Cho hàm số f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn f x 0 khi x 1;2. Biết 2 2 f x f x dx 10 và dx ln 2 .Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 20.B. f 2 10 .C. f 2 20 .D. f 2 10. Câu 49. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z 2018 0 và Q : x my m 1 z 2017 0 . Khi hai mặt phẳng P và Q tạo với nhau một gĩc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng Q ? A. H 2017;1;1 .B. H 2017; 1;1 .C. H 2017;0;0 .D. H 0; 2017;0 . Trang 7
8. Câu 50. Cho hàm số đa thức f x mx5 nx4 px3 qx2 hx r , m,n, p,q,h,r ¡ . Đồ thị hàm số 3 5 11 y f x cắt trục hồnh tại các điểm cĩ hồnh độ lần lượt là –1; ; ; . Số điểm cực trị của hàm số 2 2 3 g x f x m n p q h r là A. 6.B. 7.C. 8.D. 9. Trang 8
9. Đáp án 1-A 2-C 3-C 4-B 5-A 6-C 7-B 8-B 9-D 10-B 11-B 12-B 13-B 14-A 15-A 16-D 17-D 18-C 19-C 20-C 21-D 22-C 23-C 24-C 25-A 26-B 27-A 28-A 29-B 30-C 31-D 32-B 33-A 34-C 35-D 36-B 37-B 38-D 39-D 40-B 41-C 42-C 43-A 44-D 45-D 46-C 47-A 48-C 49-A 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Vì thiết diện qua trục khối trụ là hình vuơng nên đường cao của khối trụ là h AD 2.r 2a . Thể tích khối trụ là: V r 2h 2 a3 . Câu 2: Đáp án C TXĐ: D ¡ . 2 x 0 Ta cĩ: y 3x 6x 0 . x 2 x 0 2 y + 0 – 0 + 2 y –2 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại là: 0;2 . Câu 3: Đáp án C Lần lượt thay tọa độ các điểm vào đường thẳng. x 1 y 2 z 3 Thấy tọa độ điểm P thỏa mãn . 2 1 2 Câu 4: Đáp án B TXĐ: D ¡ . 2 x 1 Ta cĩ: y 3x 6x 9 0 x 3 Bảng xét dấu y như sau: x –1 3 y + 0 – 0 + Trang 9
10. Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 3; ; nên đồng biến trên 4;5 . Câu 5: Đáp án A Điều kiện: x 0 1 1 1 1 Ta cĩ: log x log x log 3log x 2log log x3 log 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 1 1 x3 x (thỏa mãn). 3 3 3 Câu 6: Đáp án C 1 1 1 Ta cĩ: f x 2g x dx f x dx 2 g x dx 2 2.5 8. 0 0 0 Câu 7: Đáp án B Thể tích khối trụ: V h r 2 3a a2 3a3 . Câu 8: Đáp án B x 1 2x2 x 3 0 2 Phương trình tương đương với: 2x x 3 0 3 . x 2 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm. Câu 9: Đáp án D  P là mặt phẳng trung trực của AB nên nhận AB 2;4; 2 làm một véctơ pháp tuyến. Suy ra 1  u 1;2; 1 AB cũng là một véctơ pháp tuyến của P . 2 Câu 10: Đáp án B e2x 6 Ta cĩ: f x ex 6.e x ex Do đĩ F x ex 6e x C và F 0 e0 6e 0 C 7 C 0 . Suy ra F x ex 6e x . ex 2 x ln 2 Phương trình F x 5 ex 6e x 5 e2x 5ex 6 0 . x e 3 x ln 3 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: ln 2 ln 3 ln 6 . Câu 11: Đáp án B Trang 10
11. Ta thay tọa độ điểm 1; 4;3 vào phương trình đường thẳng thì ta thấy thỏa mãn. Do đĩ điểm 1; 4;3 thuộc đường thẳng . Câu 12: Đáp án B Mỗi số cĩ ba chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. 3 Nên số các số lập được là A6 120 . Câu 13: Đáp án B Theo giả thiết, bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất các số hạng của một 5 15 x 2 x 10 cấp số cộng, ta cĩ: . Vậy 3x 2y 70 . x y y 20 y 2 Câu 14: Đáp án A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z 4 5i cĩ tọa độ là 4;5 . Câu 15: Đáp án A Từ đồ thị suy ra hệ số a 0 nên nhận đáp án A hoặc C. Đồ thị cắt Oy tại điểm cĩ tung độ dương d 0 , nên chọn đáp án A. Câu 16: Đáp án D x2 4x Hàm số y liên tục trên 0;3 . 2x 1 2 x 2 0;3 2x 2x 4 2   Ta cĩ y 2 0 2x 2x 4 0 2x 1 x 1 0;3 3 Ta lại cĩ: y 0 0 ; y 1 1; y 3 . 7 Do đĩ: min y y 1 1. 0;3 Câu 17: Đáp án D TXĐ: D ¡ . Ta cĩ: y x2 2mx 2m . Hàm số cĩ hai điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 cĩ hai nghiệm phân biệt 2 m 2 0 m 2m 0 . m 0 Câu 18: Đáp án C Trang 11
12. Để z là số thuần ảo m2 1 0 m 1. m2 1 0 Lỗi học sinh thường mắc: “z là số thuần ảo” m 1. m 1 0 Câu 19: Đáp án C Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính mặt cầu là: 2 4 1 8 d I, P r 3 r 3 . 4 4 1 Vậy phương trình mặt cầu là: S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . Câu 20: Đáp án C Câu 21: Đáp án D Ta cĩ: z i 4 x y 1 i 4 x2 y 1 2 4 x2 y 1 2 16. Câu 22: Đáp án C  n 1;0; 1 P Ta cĩ:  . n 0;0;1 Oxy Gọi là gĩc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Oxy   n P .n Oxy 1.0 0.0 1 .1 1 cos   45. 2 2 2 2 2 2 2 n P . n Oxy 1 0 1 . 0 0 1 Câu 23: Đáp án C 1 Ta cĩ a2x 1 1 2x 1 0 (vì 0 a 1) x . 2 Câu 24: Đáp án C Ta cĩ diện tích hình phẳng được tính bởi cơng thức: b c b S f x dx f x dx f x dx a a c Do f x 0 , x a;c ; f x 0 ,x c;b nên ta cĩ: c b S f x dx f x dx . a c Câu 25: Đáp án A h Thiết diện qua trục là hình vuơng R 2 Trang 12
13. 2 2 2 h h 3 h 2 6 6 Khi đĩ: Stp 2 Rh 2 R 2 . .h 2 4 h R . 2 2 2 3 3 4 6 Vậy V R2h 9 Câu 26: Đáp án B TXĐ: D ¡ \ 0;2. 1 3 2 2 x 3x 2 2 3 • lim lim x x x 0 ; x 3 2 x 2 x 2x 1 x 1 3 2 2 x 3x 2 2 3 • lim lim x x x 0 . x 3 2 x 2 x 2x 1 x Suy ra đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận ngang là y 0. x2 3x 2 x 2 x 1 x 1 1 • lim lim lim x 2 x3 2x2 x 2 x2 x 2 x 2 x2 4 Nên x 2 khơng phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x2 3x 2 x 2 x 1 x 1 • lim lim lim x 0 x3 2x2 x 0 x2 x 2 x 0 x2 Suy ra đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng là x 0 . Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 tiệm cận. Câu 27: Đáp án A Đặt độ dài cạnh của khối lập phương là x x 0 . Khi đĩ: CC x ; AC x 2 . Tam giác vuơng ACC , cĩ AC AC 2 CC 2 x 3 a 3 x a Vậy thể tích khối lập phương V a3 (đvtt). Câu 28: Đáp án A 2 Ta cĩ f x 10x.ex . Do đĩ f 0 0 và f 0 5 . 1 2 2 1 Vậy P f x 2xf x f 0 f 0 10xex 2x.ex .5 0 1. 5 5 Câu 29: Đáp án B Trang 13
14. Ta cĩ f x m 1. Số nghiệm của phương trình f x 1 m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m 1. Dựa vào đồ thị, suy ra: 1 m 1 2 2 m 3 Câu 30: Đáp án C Gọi O AC  BD . Theo giả thiết B O  ABCD Do đĩ B·B , ABCD B·B , BO B· BO Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a, suy 1 a ra BO BD . 2 2 Tam giác vuơng B BO , cĩ BO 1 cos B· BO B· BO 60 . BB 2 Câu 31: Đáp án D Điều kiện: x 0 . 2 Phương trình tương đương với: log2 2 log2 x 5log2 x 0 2 2 1 log2 x 5log2 x 0 log2 x 3log2 x 1 0 . 2 Cách 1: Phương trình log2 x 3log2 x 1 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Ta cĩ: log2 x1.x2 log2 x1 log2 x2 . 3 Theo định lí Vi-et, ta cĩ: log x log x 3 log x .x 3 x .x 8 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 Cách 2: Trang 14
15. 3 5 3 5 log x 2 1 x 2 2 2 2 1 Ta cĩ log2 x 3log2 x 1 0 . 3 5 3 5 2 log2 x2 x 2 2 2 3 5 3 5 2 2 Vậy x1.x2 2 .2 8 . Câu 32: Đáp án B Gọi V, R, h lần lượt là thể tích khối trụ (khối chứa phần nước trong cốc), bán kính đáy cốc và chiều cao của lượng nước trong cốc khi chưa lấy khối nĩn ra. Suy ra: V R2h 1 . Gọi V1 , R1 , h1 lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của khối nĩn. 1 Suy ra: V R 2h 2 . 1 3 1 1 Gọi V2 , R2 , h2 là thể tích lượng nước đổ vào và độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nĩn ra. 1 Suy ra: V R2h 3 . 2 3 2 1 Từ 1 , 2 và 3 ta cĩ: V V V R2h R 2h R2h 1 2 3 1 1 2 1 R2h R 2h 1 1 1 R2h R 2h R2h h 3 4 . 3 1 1 2 2 R2 a 1 1 Thay R a , R , h h 12 vào 4 ta cĩ: h 12 . .12 11 . 1 2 1 2 3 4 Câu 33: Đáp án A 3 1 4 1 3 2 Ta cĩ f 4x 2 3x dx x x C x x 2 7 45 1 Theo giả thiết 5F 1 F 2 43 5 C C 43 C . 2 2 2 1 3 1 1 3 1 Suy ra F x x4 x2 F x 24 .22 23 . x 2 2 2 2 2 Câu 34: Đáp án C Do AD//BC nên d D, SBC d A, SBC . Gọi K là hình chiếu của A trên SB, suy ra AK  SB . SA.AB 2a 3 Khi d A, SBC AK . SA2 AB2 3 Trang 15
16. Câu 35: Đáp án D   Ta cĩ n P 2;2;1 ; n Q 2; 1;2 .  Gọi ud là véctơ chỉ phương của đường thẳng d.   u  n    d P Do   ud n P ,n Q 5; 2; 6 . u  n d Q  Mặt khác đường thẳng d đi qua A 1;2;3 và cĩ véctơ chỉ phương ud 5; 2; 6 nên phương trình chính x 1 y 2 z 3 tắc của d là . 5 2 6 Câu 36: Đáp án B Ta cĩ: f x 3ax2 2a2 4ab 2 x 2a3 4a2b a 2b . Theo bài ra ta cĩ: f x 0 , x ¡ . a 0 không thỏa mãn a 0 2x 2b 0, x ¡ 2 2 3 2 a 0 a 2ab 1 3a 2a 4a b a 2b 0 0 a 0 a 0 2 2 4 3 2 2 2 4a 1 3 2 2 7a 8a b 4a b a 2ab 1 0 2ab 2a 1 0 2 4 a 0 2 2 a 4a 1 2 2ab 0 2 3 2 2 b 2a 1 0 4 k 0 Nhận xét: Hàm số f x k x a x b x c đồng biến trên ¡ khi ; nghịch biến trên ¡ a b c k 0 khi a b c Câu 37: Đáp án B Đặt z a bi a,b ¡ Ta cĩ: z 2z 7 3i z a2 b2 2 a bi 7 3i a bi 2 2 2 2 a b 3a 7 0 a b 3a 7 b 3 i 0 b 3 0 Trang 16
17. 7 a 7 3 a 3 a 4 nhan 2 a 9 3a 7 2 2 b 3 a 9 9a 42a 49 5 ; b 3 a loai a 4 b 3 4 b 3 Vậy z 4 3i w 1 z z2 4 21i w 457 Câu 38: Đáp án D Pu239 cĩ chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đĩ ta cĩ: ln 5 ln10 5 10.er.24360 r 0,000028 24360 ln5 ln10 t Vậy sự phân hủy của Pu239 được tính theo cơng thức: S A.e 24360 . ln5 ln10 t ln10 ln10 Theo đề: 1 10.e 24360 t 82235 (năm) . ln 5 ln10 0,000028 24360 Câu 39: Đáp án D. Gọi các đỉnh của đa giác là A1 , A2 , , A15 . Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các cơng đoạn: Chọn một đỉnh cĩ 15 cách, giả sử là 4. Ta tìm số cách chọn ba đỉnh cịn lại, tức ba đỉnh Ai , Aj , Ak và giữa A1 , Ai cĩ x1 đỉnh; giữa Ai , Aj cĩ x2 đỉnh; giữa Aj , Ak cĩ x3 đỉnh và giữa Ak , A1 cĩ x4 đỉnh, theo giả thiết cĩ x1 x2 x3 x4 15 4 11 xm 1,m 1,4 Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình 4 1 3 x1 x2 x3 x4 11 và bằng C11 1 C10 . 3 Vậy số các tứ giác cĩ thể bằng 15C10 , tuy nhiên vì vai trị bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 15C3 lần, do đĩ số tứ giác bằng 10 450 . 4 n Tổng quát: Đa giác cĩ n đỉnh, số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh khơng cĩ cạnh của đa giác là: .C3 . 4 n 5 Câu 40: Đáp án B Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trang 17
18. Giả sử phương trình của parabol là P : y ax2 bx c . 3 Ta cĩ parabol cĩ đỉnh là 0;3 và đi qua điểm ;0 nên cĩ 2 hệ phương trình 4 a b 0 3 4 2 c 3 b 0 P : y x 3 3 9 c 3 a c 0 4 Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại 3 3 điểm cĩ hồnh độ x x , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật cĩ chiều rộng bằng 2 2 4 x2 3 mét và chiều dài bằng 6 mét. 3 4 2 2 Diện tích thiết diện thu được là 6 x 3 8x 18 . 3 3 2 Vậy thể tích phần khơng gian bên trong trại là 8x2 18 dx 36 m3 . 3 2 Câu 41: Đáp án C Theo bài ra ta cĩ: y 0 , x g x m2 x4 mx2 20x m2 m 20 0 , x . Ta cĩ g x 0 cĩ một nghiệm x 1, do vậy để g x 0 , x thì trước tiên g x khơng đổi dấu khi qua điểm x 1, tức g x 0 cĩ nghiệm kép m 2 2 3 x 0 2 x 1 g 1 0 4m x 2mx 20 4m 2m 20 0 5 x 1 m 2 Với m 2 g x 4x4 2x2 20x 14 2 x 1 2 2x2 4x 7 0, x (thỏa mãn). 5 25 5 65 5 2 Với m g x x4 x2 20x x 1 5x2 10x 13 0 , x (thỏa mãn). 2 4 2 4 4 5 1 Nên S 2 . 2 2 Câu 42: Đáp án C 1 Xét hàm số y x4 x3 x2 m liên tục trên đoạn  1;2. 4 Trang 18
19. x 0  1;2 3 2 Ta cĩ f x x 3x 2x 0 x 1  1;2 x 2  1;2 9 1 Ta lại cĩ: f 1 m ; f 0 m ; f 1 m ; f 2 m . 4 4 9 max f x max f 1 ; f 0 ; f 1 ; f 2  f 1 m  1;2 Khi đĩ: 4 . max f x min f 1 ; f 0 ; f 1 ; f 2  f 0 f 2 m  1;2 9  Suy ra: max y max m ; m  .  1;2 4  9 m 11 53 35 4 m 4 4 9 9 m m m Theo yêu cầu bài tốn max y 11 4 8  1;2 m 11 11 m 11 9 9 m m m 4 8 9 35 m 8 4 35 11 m . 9 4 11 m 8 Vì m nguyên nên m 11; 10; ;8 . Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: 11 10 9 8 30 . Tìm tham số để max f x a (với a 0 ).  ;  Phương pháp: min f x m  ;  Tìm M m . max f x M  ;  Suy ra: max f x max m , M  .  ;  Theo bài ra: max f x a , nên ta cĩ hai trường hợp:  ;  M a m a TH1: . TH2: . m M M m Câu 43: Đáp án A Trang 19
20. Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống 3sin x cos x 1 Đặt t 2t 1 cos x t 3 sin x 1 4t * . 2cos x sin x 4 2 2 2 9 Phương trình * cĩ nghiệm 2t 1 t 3 4t 1 t 1, suy ra 0 t 1. 11 Từ đồ thị y f x ta cĩ y f x đồng biến trên 0; m2 4m 4 m 2 2 0; . t 0; 3sin x cos x 1 2 2 Nên f f m 4m 4 f t f m 4m 4 2cos x sin x 4 t m2 4m 4 Phương trình 1 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 0 m2 4m 4 1 m2 4m 4 1 3 m 1. Do m ¢ m 3; 2; 1 . Cách 2: Phương pháp ghép trục 3sin x cos x 1 Đặt t 2t 1 cos x t 3 sin x 1 4t * . 2cos x sin x 4 2 2 2 9 Phương trình * cĩ nghiệm 2t 1 t 3 4t 1 t 1, suy ra 0 t 1. 11 9 t 0 1 11 t 0 1 f 1 f t y f m2 4m 4 f 0 Dựa vào đồ thị trên 0;1 hàm số f t luơn đồng biến. Yêu cầu bài tốn trở thành đường thẳng y f m2 4m 4 cĩ điểm chung với đồ thị y f t f 0 f m2 4m 4 f 1 0 m2 4m 4 1 3 m 1 Trang 20
21. Do m ¢ m 3; 2; 1 . Câu 44: Đáp án D Ta cĩ A là trung điểm PC , B là trung điểm QC . SC PQ 1 4 Do đĩ VC.C PQ .VC.A B C 4VC.A B C 4 VABC.A B C S C A B 3 3 Mặt khác A M B N C C 1 1 1 2 V A A B B C C .V 2 2 .V . A B C .MNC 3 ABC.A B C 3 ABC.A B C 3 4 2 2 Do đĩ V V V . A MB NQ C.C PQ A B C .MNC 3 3 3 Câu 45: Đáp án D Bất phương trình đã cho tương đương với: m 4 log5 f x m 2 f x , x 1;4 . Xét hàm số g x 4 log5 f x m 2 f x trên 1;4 . Bài tốn trở thành tìm m để m g x , x 1;4 m max g x .  1;4 x 1 f x 1  Ta cĩ g x f x f x 1 0 x 1 f x m 2 ln 5 f x m 2 ln 5  x 4 Bảng biến thiên hàm g x trên 0;3 x –1 1 4 g x 0 – 0 + 0 g 1 g 4 g x g 1 g 1 4 log5 f 1 m 2 f 1 Trong đĩ: g 4 4 log f 4 m 2 f 4 5 1 1 Dựa vào đồ thị f x , ta cĩ f x dx f x dx f 1 f 1 f 1 f 4 f 1 f 4 . 1 4 Suy ra g 1 g 4 . Do đĩ ta cĩ m max g x g 4 4 log5 f 4 m 2 f 4  1;4 Trang 21
22. m 4 log5 f 4 m 2 f 4 f 4 m 2 log5 f 4 m 2 6 Đặt t f 4 m 2 (với t 0 ). Bất phương trình trở thành: t log5 t 6 t 5. Do đĩ: f 4 m 2 5 m 3 f 4 . Vậy m 3 f 4 . Câu 46: Đáp án C a3 2 Ta cĩ diện tích khối tứ diện đều cạnh a bằng V . 0 12 EP EQ k 1 2 k 1 Theo Ta-let ta cĩ: 1 EN EM k 1 2k 1 2 2 EP EQ DE 4 k 1 k 1 1 VEDPQ . . VBMQE . V0 EN EM BE 2k 1 2 k 4 2 3 k 4 k 1 k 1 1 k 4 k 1 Do đĩ VBMNPQD V0 2 . V0 V0. 1 2 4 2k 1 k 4 4 k 2k 1 3 22 k k 4 k 1 VBMNPQD V0 hay V0 V0. 1 2 k 4 . 49 4 4 k 2k 1 Câu 47: Đáp án A Do a2 b2 1 nên từ log a b 1 log a b log a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b a2 b2 1. a2 b2 1 2 2 Suy ra: 1 1 1 a b 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 Khi đĩ: P 2a 4b 3 2 a 4 b 2 4 . a b 2 2 2 2 1 20. 10 . (Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki) 2 Trang 22
23. a2 b2 1 1 1 1 1 a b a 2 2 2 10 Dấu “=” xảy ra khi: 0 . 2 4 1 2 2 2 b 1 1 1 2 10 a b 2 2 2 1 1 a 2 10 Vậy Pmax 10 khi 1 2 b 2 10 Câu 48: Đáp án C 2 f x 2 d f x 2 Ta cĩ: dx ln 2 ln 2 ln f x ln 2 ln f 2 ln f 1 ln 2 1 f x 1 f x 1 f 2 2 f 1 2 2 Lại cĩ: f x dx 10 f x 10 f 2 f 1 10 1 1 f 2 2 f 1 f 2 20 Từ đĩ . f 2 f 1 10 f 1 10 Lập hệ phương trình theo ẩn f 2 , f 1 từ các điều kiện bài cho, sử dụng cơng thức b f x dx f b f a . a Câu 49: Đáp án A   Ta cĩ n P 1;2; 2 ; n Q 1;m;m 1 . Gọi là gĩc tạo bởi hai mặt phẳng P và mặt phẳng Q 0 90 .     2 1 Ta cĩ n P .n Q 3; n P 3 ; n Q 2m 2m 2 cos 2m2 2m 2 Để P và Q tạo với nhau một gĩc nhỏ nhất thì cos lớn nhất 2m2 2m 2 nhỏ nhất. 2 2 1 3 3 2 1 Mà 2m 2m 2 2 m nên giá trị lớn nhất là cos khi m . 2 2 2 3 2 1 1 Khi đĩ Q : x y z 2017 0 . 2 2 Vậy H 2017;1;1 Q . Trang 23
24. Câu 50: Đáp án B 3 5 11 Vì –1; ; ; là nghiệm của phương trình f x 0 nên: 2 2 3 4 3 2 3 5 11 f x 5mx 4nx 3px 2qx h 5m x 1 x x x 2 2 3 4 3 2 4 20 3 43 2 14 55 Suy ra: 5mx 4nx 3px 2qx h 5m x x x x 3 4 3 4 25 215 35 275 Đồng nhất hệ số, ta được n m ; p m ; q m ; h m . 3 12 3 4 93 Suy ra g x f x m r . 2 93 Xét h x f x m r h x f x 0 cĩ bốn nghiệm phân biệt nên h x cĩ bốn cực trị. 2 25 215 35 274 93 Xét h x 0 mx5 mx4 mx3 mx2 mx r m r 4 12 3 4 2 25 215 35 274 93 x5 x4 x3 x2 x 0. 4 12 3 4 2 25 215 35 274 93 Đặt k x x5 x4 x3 x2 x . 4 12 3 4 2 3 5 11 x –1 2 2 3 k x + – + – + 299 3 3 k x 8 9 2 11 k 0 3 Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình h x 0 k x 0 cĩ 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số g x cĩ 7 cực trị. Trang 24