Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 23 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 23 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 23 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là khoảng 0; ? 1 A. y x 2 B. y ln x 1 C. y ex D. y x 3 x Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M 1;2;3 , N 2; 3;1 , P 3;1;2 . Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành. A. Q 2; 6;4 B. Q 4; 4;0 C. Q 2;6;4 D. Q 4; 4;0 Câu 3. Công thức nào sau đây là sai 1 dx 1 A. x3dx x4 C B. cot x C C. sin xdx cos x C D. dx ln x C 4 sin2 x x Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình log3 x 9 3. A. x 36 B. x 27 C. x 18 D. x 9 x 1 y 1 z 2 Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và cho mặt 1 2 3 phẳng P : x y z 4 0 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. d cắt P B. d // P C. d  P D. d  P Câu 6. Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 4z 3 0 theo thiết diện là một đường tròn? A. x 2y 2z 6 0 B. x y z 0 C. Cả 3 đều sai. D. x 2y 3z 3 0 1 Câu 7. Giá trị cực tiểu của hàm số y x3 x 1 là 3 1 5 A. B. 1 C. D. 1 3 3 Câu 8. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 là 8 A. 8B. 4C. D. 6 3 Câu 9. Hàm số y x3 3x 2 nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây? A. ; 1 và 1; B. 1; C. 1;1 D. 4x 3y 6z 12 0 Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai? a x 1 A. a xdx C, 0 a 1 B. dx ln x C, x 0 ln a x Trang 1
2. C. exdx ex C D. sin xdx cos x C Câu 11. Cho số phức z 2 3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là A. 2; 3 B. 2;3 C. 2; 3 D. 2;3 Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A B C D ; cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Thể tích của tứ diện OA BC bằng a3 a3 A. B. 12 24 a3 a3 C. D. 6 4 Câu 13. Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;2;3 . Phương trình mặt phẳng P đi qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; lần lượt tại A, B, C, sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là A. P : 6x 3y 2z 18 0 B. P : 6x 3y 2z 6 0 C. P : 6x 3y 2z 18 0 D. P : 6x 3y 2z 6 0 Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0; 2 là x y z x y z x y z x y z A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 Câu 15. Biết rằng đường thẳng y 2x 3 cắt đồ thị hàm số y x3 x2 2x 3 tại hai điểm phân biệt A và B, biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng A. 2 B. 0 C. 2z2 D. 5 1 Câu 16. Cho số thực x thỏa mãn log x log3x 2logb 3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy 2 biểu diễn x theo a, b, c. c3 3a 3a 3ac 3ac3 A. x B. x C. x D. x b2 b2c3 b2 b2 Câu 17. Thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D biết AB a; AD 2a; AC a 14 là a3 14 A. V 6a3 B. V C. V a3 5 D. V 2a3 3 Câu 18. Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng 1 3 3 3 3 A. 4a2 b2 B. 4a2 b2 C. 4a3 b2 D. 4a2 b2 18 3 18 3 18 3 18 2 x 3 2 Câu 19. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 1 Trang 2
3. A. 3B. 0C. 1D. 2 Câu 20. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức N A.ert trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng ( r 0 ) và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số vi khuẩn ban đầu? A. 66 giờB. 48 giờC. 36 giờD. 24 giờ Câu 21. Cho tứ diện ABCD có AB a, AC a 2, AD a 3 , các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BCD là a 66 a 6 a 30 a 3 A. d B. d C. d D. d 11 3 5 2 Câu 22. Để đồ thị hàm số y x4 m 3 x2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m 3 B. m 3 C. m 3 D. m 3 0 Câu 23. Nếu 4 e 2 dx a 2be thì giá trị của a 2b là 2 A. 12B. 9C. 12,5D. 8 2019 1 i 4 Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z . Tính z . 1 i A. 1 B. i C. i D. 1 Câu 25. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;a;1 và mặt cầu S có phương trình x2 y2 z2 2y 4z 9 0 . Tập các giá trị của a để điểm A nằm trong khối cầu là A. ; 1  3; B. 3;1 C.  1;3 D. 1;3 x 1 y 1 z Câu 26. Cho điểm y x 7 và đường thẳng : . Gọi d là đường thẳng đi qua M, cắt và 2 1 1 vuông góc với Δ. Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là A. u 3;0;2 B. u 0;3;1 C. u 0;1;1 D. u 1; 4; 2 Câu 27. Một hộp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên hộp được rải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị V0 bằng 64 A. V 64 (đvdt)B. V (đvdt)C. V 16 (đvdt)D. V 48 (đvdt) 0 0 3 0 0 Trang 3
4. Câu 28. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 1;1;1 và vuông góc với hai mặt phẳng P ; x y z 2 0 , Q : x y z 1 0 là A. x y z 3 0 B. x 2y z 0 C. x z 2 0 D. x y 2 0 Câu 29. Bạn An cần mua một chiếc gương đường viền là Parabol bậc 2 (xem hình vẽ). Biết rằng khoảng cách đoạn AB 60cm,OH 30cm . Diện tích của chiếc gương bạn An mua là A. 1000 cm3 B. 1400 cm3 C. 1200 cm3 D. 900 cm3 Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 3i, 1 2i, 3 i . Tọa độ điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành là A. Q 0;2 B. Q 6;0 C. Q 2;6 D. Q 4; 4 1 2 Câu 31. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f 2 16, f 2x dx 2. Tích phân xf x dx 0 0 bằng A. 16B. 28C. 36D. 30 Câu 32. Đường thẳng x k cắt đồ thị hàm số y log5 x và đồ thị hàm số y log3 x 4 . Khoảng cách 1 giữa các giao điểm là . Biết k a b , trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tổng a b bằng 2 A. 7B. 6C. 8D. 5 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;2;1 . Mặt phẳng P thay đổi đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC. A. 18B. 9C. 6D. 54 Câu 34. Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z1, z2 khác 0 và thỏa mãn 2 2 đẳng thức z1 z2 z1z2 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Vuông cân tại O.B. Cân tại O.C. Đều.D. Vuông tại O. Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy; SA a 6 . Đáy ABCD là hình thang vuông 1 tại A và B, AB BC AD a . Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 S.ECD. a 30 19 114 A. R B. R a C. R a 6 D. R a 3 6 6 Trang 4
5. x 3 Câu 36. Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y tại x 1 hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất? A. m 3 B. m 3 C. m 1 D. m 1 Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2 . Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2z 1 i là hình tròn có diện tích bằng A. S 25 B. S 4 C. S 16 D. S 9 3 3 Câu 38. Cho hàm số y x3 x2 x có đồ thị như hình bên. Tất cả các 4 2 giá trị thực của tham số m thỏa mãn điều kiện để phương trình 4 x3 3x2 6 x m2 6m có đúng ba nghiệm phân biệt là A. m 0 hoặc m 6 B. m 0 hoặc m 6 C. 0 m 3 D. 1 m 6 x 2 t x 2 y 1 z Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho d1 : , d2 : y 3 . Phương trình mặt phẳng P 1 1 2 z t sao cho d1, d2 nằm về hai phía P và P cách đều d1, d2 . A. P : x 3y z 8 0 B. P : x 3y z 8 0 C. P : 4x 5y 3z 4 0 D. P : 4x 5y 3z 4 0 Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng P : x 2y 2x 5 0 . Đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng P sao cho khoảng cách b từ N đến đường thẳng d nhỏ nhất, đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u 1;b;c , khi đó c bằng b b 11 b 3 b 3 A. 11 B. C. D. c c 2 c 2 c 2 Câu 41. Cho hàm số y x2 4x 2m 3 với m là tham số thực. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 1 trên đoạn 1;3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng . 2 1 13 9 A. B. C. D. 6 2 4 4 4x m2 Câu 42. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x 1 cắt đồ thị hàm số y x 1 tại đúng một điểm. Tích phân các phần tử của S bằng. Trang 5
6. A. 5 B. 4C. 5D. 20 Câu 43. Kết quả b;c của việc gieo một con súc sắc cân đối và đồng nhất hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2 bx c 0 . Xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm là 7 17 23 5 A. B. C. D. 12 36 36 36 Câu 44. Trên cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét, còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1,989m2 B. 1,034m2 C. 1,574m2 D. 2,824m2 Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x m 2018 f cos x m 2019 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2  là A. 1B. 2 C. 3D. 5 Câu 46. Cho hàm số y x3 3mx2 2 m2 1 x m3 m (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số I 2; 2 . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 20 2 4 14 A. B. C. D. 17 17 17 17 Câu 47. Một thùng rượu có bán kính đáy là thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu? A. 425162 lítB. 212581 lít C. 212,6 lítD. 425,2 lít Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng P : x 2y z 1 0 ; Q : x 2y z 8 0; R : x 2y z 4 0 . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt P , Q , R 144 lần lượt tại ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của T AB2 . AC 2 A. 24B. 36C. 72D. 144 Trang 6
7. Câu 49. Cho khối chóp S.ABC có SA SB SC a , ·ASB 60, B· SC 90, ·ASC 120 . Gọi M, N lần CN AM lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể SC AB tích V của khối chóp S.AMN. 2a3 5 2a3 5 2a3 2a3 A. B. C. D. 72 72 432 432 Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ , biết f x 2018 f x 2018.2017.x2017 .e2018x với mọi x ¡ ; f 0 2018. Giá trị của f 1 là A. f 1 2018e 2018 B. f 1 2019e 2018 C. f 1 2018e2018 D. f 1 2019e2018 Đáp án 1-A 2-C 3-B 4-A 5-C 6-B 7-C 8-A 9-A 10-D 11-B 12-A 13-C 14-B 15-C 16-D 17-A 18-B 19-C 20-C 21-A 22-C 23-D 24-D 25-D 26-D 27-D 28-D 29-C 30-C 31-B 32-B 33-B 34-C 35-B 36-B 37-C 38-A 39-A 40-B 41-D 42-D 43-B 44-A 45-B 46-A 47-D 48-C 49-C 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A 1 Hàm số y x 2 có TXĐ D 0; . Hàm số y ln x 1 có TXĐ 1; . Hàm số y ex có TXĐ D ¡ . Hàm số y x 3 x có TXĐ D ¡ . Hàm số y x a 0 với ¢ thì hàm số có tập xác định D 0; . Hàm số y a x a 0 có TXĐ: D ¡ . Hàm số y ln x xác định trên TXĐ: D 0; . Câu 2: Đáp án C x 3 1   Ta có NM PQ 1;5;2 x 3; y 1; z 2 y 1 5 Q 2;6;4 . z 2 2 Trang 7
8. Câu 3: Đáp án B dx Ta có cot x C do đó đáp án B sai. sin2 x Câu 4: Đáp án A x 9 0 x 0 Ta có: log x 9 3 x 36. 3 x x 9 3 x 36 f x 0 Phương trình log f x m . a m f x a Câu 5: Đáp án C x 1 y 1 z 2 Đường thẳng d : đi qua M 1;1;2 và có véctơ chỉ phương u 1;2; 3 . 1 2 3 Mặt phẳng P : x y z 4 0 có véctơ pháp tuyến n 1;1;1 Ta thấy u.n 1.1 2.1 1. 3 0 (1) Thay tọa độ điểm M 1;1;2 vào mặt phẳng P ta được 1 1 2 4 0 M P (2) Từ (1) và (2) suy ra d  P . Đường thẳng d đi qua M có véctơ chỉ phương u , mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến n . u.n 0 Nếu thì d  P . M P Câu 6: Đáp án B Mặt cầu S có tâm I 1;1;2 và bán kính R 1 1 4 3 3 . 1 2.1 2.2 6 13 Đáp án A: d I,(P) 3 nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. 12 22 22 3 1 1 2 2 Đáp án B: d I,(Q) 3 nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường 12 22 22 3 tròn. 1 2.1 3.2 3 12 Đáp án D: d I,(R) 4 3 nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. 12 22 22 3 Câu 7: Đáp án C f x0 0 Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số y f x . f x0 0 Ta có TXD: D ¡ . Trang 8
9. 2 x 1 y x 1 0 x 1 y 2x y 1 2 0; y 1 2 0 y 1 0 5 Suy ra nên x 1 là điểm cực tiểu của hàm số, suy ra giá trị cực tiểu là y 1 . y 1 0 3 Câu 8: Đáp án A Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là V 23 8 . Câu 9: Đáp án A TXĐ: D ¡ . Ta có: y 3x2 3 2 2 x 1 Xét y 0 3x 3 0 x 3 0 x 1 Nên hàm số nghịch biến trên ; 1 ; 1; . Câu 10: Đáp án D Đáp án A: đúng. Đáp án B: đúng. Đáp án C: đúng. Đáp án D: sin xdx cos x C nên D sai. Câu 11: Đáp án B Số phức liên hợp của số phức z 2 3i là z 2 3i Điểm biểu diễn số phức z 2 3i là M 2;3 . Câu 12: Đáp án A Tứ diện O.A BC là chóp tam giác A .OBC có chiều cao h A A a . 1 a2 Diện tích đáy S S . OBC 4 ABCD 4 1 1 a2 a3 Thể tích V S .A A . .a . O.A BC 3 OBC 3 4 12 Câu 13: Đáp án C Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng P cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại ba điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c a;b;c 0 thì có x y z phương trình P : 1. a b c Trang 9
10. x x x x A B C M 3 yA yB yC Sử dụng công thức trọng tâm: M là trọng tâm ABC thì yM . 3 zA zB zC zM 3 Theo đề bài ta có: A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c a;b;c 0 x x x a x A B C 1 M 3 3 a 3 yA yB yC b Vì M là trọng tâm ABC thì yM 2 b 6 . 3 3 c 9 zA zB zC c zM 3 3 3 Suy ra A 3;0;0 , B 0;6;0 , C 0;0;9 . Câu 14: Đáp án B x y z Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0; 2 là: 1. 3 4 2 Câu 15: Đáp án C Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 x2 2x 3 2x 3 x3 x2 0 2 2 x 0 x 0 y 3 x x 1 0 . x 1 0 x 1 y 5 Vì B có hoành độ âm nên B 1; 5 hay hoành độ của B là x 1. Câu 16: Đáp án D 1 Ta có: VP log3x 2logb 3log c log 3a logb2 log c3 2 3a. c3 3ac3 log log b2 b2 3ac3 3ac3 Vậy log x log x . b2 b2 Câu 17: Đáp án A Vì ABCD.A B C D là hình hộp chữ nhật nên A B AB a; B C AD 2a . Xét tam giác A B C ; vuông tại B ta có A C A B 2 B C 2 a2 2a 2 a 5 . Xét tam giác AA C vuông tại A ta có AA AC 2 A C 2 14a2 5a2 3a . Trang 10
11. 3 Thể tích khối hộp chữ nhật là VABCD.A B C D AB.AD.AA a.2a.3a 6a . Câu 18: Đáp án B Gọi O, O lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của OO thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính R IA . 2 2 a 3 a 3 1 b Ta có: A O A M . ; IO OO . 3 3 2 3 2 2 b2 a2 4a2 3b2 Do đó IA IO 2 A O 2 3 3 12 Thể tích khối cầu 2 2 4 4 4a 3b 4 3 3 V IA2 4a2 3b2 4a2 3b2 . 3 3 12 3.12. 12 18 3 Câu 19: Đáp án C Tìm điều kiện xác định Đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x . x x0 x x0 x x0 x x0 TXĐ: x 3; x 1; x 1 x 3 2 x 3 2 x 3 2 x 1  lim lim lim x 1 x2 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 1 1 lim nên x 1 không là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. x 1 x 3 2 x 1 8 x 3 2  lim 2 nên x 1 là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x 1. Câu 20: Đáp án C ln 6 Ta có: 1500 250.er.12 r 12 Gọi t (giờ) là thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu. ln 216 Ta có: 216A A .ert rt ln 216 t 36 . 0 0 r Câu 21: Đáp án A Vì các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A nên AB  AC, AC  AD, AD  AB hay AB, AC, AD đôi một vuông góc nên khoảng cách từ A đến BCD là d thì Trang 11
12. 1 1 1 1 1 1 1 a 66 d . d 2 AB2 AC 2 AD2 a2 2a2 3a2 11 1 1 1 1 Chú ý: Ta có thể chứng minh công thức khoảng cách như sau: d 2 AB2 AC 2 AD2 Vì AB  AC, AC  AD, AD  AB nên AD  ABC AD  BC Trong ABC kẻ AH  BC , lại có AD  BC BC  AKD Trong AKD kẻ AH  DK mà AH  BC (do BC  ADK ) AH  BCD Suy ra d A,(BCD) AH . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC và ADK có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 hay . AH 2 AD2 AK 2 AD2 AC 2 AB2 d 2 AB2 AC 2 AD2 Câu 22: Đáp án C Ta có: y 4x3 2 m 3 2x 2x2 m 3 . Yêu cầu bài toán thỏa mãn 2x2 m 3 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x 0 m 3 0 m 3 . Hàm số y ax4 bx2 c a 0 có cực đại mà không có cực tiểu nếu a 0 và phương trình y 0 có nghiệm duy nhất x 0 . Câu 23: Đáp án D 0 0 x x Ta có: 4 e 2 dx 4x 2e 2 2 8 2e 10 2e . 2 2 Suy ra a 10;b 1 a 2b 10 2. 1 8 . Câu 24: Đáp án D 2019 1 i 1 i 1 i 2i 1 i 2019 4 2019 4 4 2019 Ta có: i z i z i i 1. 1 i 1 1 2 1 i Câu 25: Đáp án D Mặt cầu S : x2 y2 z2 2y 4z 9 0 có tâm I 0;1; 2 và bán kính R 02 12 2 2 9 14 Để A nằm trong khối cầu thì IA R IA2 R2 12 a 1 2 32 14 a 1 2 4 2 a 1 2 1 a 3. Câu 26: Đáp án D Trang 12
13. - Gọi tọa độ giao điểm của d với Δ theo tham số t.   - Sử dụng điều kiện d  ud .u 0 tìm t và suy ra véctơ chỉ phương của d. Gọi N 1 2t; 1 t; t d      Do d  nên MN  u MN.u 0   Lại có MN 2t 1;t 2; t , u 2;1; 1 2 2 2t 1 1 t 2 t 0 6t 4 0 t 3  1 4 2  MN ; ; hay 3MN 1; 4; 2 cũng là một véctơ chỉ phương của d. 3 3 3 Câu 27: Đáp án D ĐK: 0 x 6 Thể tích hộp kim loại là V x 6 x 12 2x 6x x2 12 2x 2x3 24x2 72x Đặt f x 2x3 24x2 72x x 6 0;6 Ta có: f x 6x2 48x 72 0 x 2 0;6 Ta có bảng biến thiên của f x trên 0;6 Vậy giá trị lớn nhất của V là 64 x 2 . 3 3 Tuy nhiên thể tích sôcôla nguyên chất chỉ chiếm nên V .64 48 (đvdt). 4 0 4 Câu 28: Đáp án D   Mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến n P 1;1; 1 mặt phẳng Q có véctơ pháp tuyến n Q 1; 1;1 .   Khi đó n ;n 0; 2; 2 2 0;1;1 . P Q Mặt phẳng R đi qua A 1;1;1 và vuông góc với cả P và Q nên ta chọn  1   n n ;n 0;1;1 làm véctơ pháp tuyến. R 2 P Q R : 0 x 1 1 y 1 1 z 1 0 hay R : y z 2 0 . Câu 29: Đáp án C Gắn hệ trục tọa độ sao cho OH  Oy,OB  Ox . Trang 13
14. Gọi phương trình Parabol y ax2 bx c ta có Parabol đi qua ba điểm H 0;3;0 , B 3;0;0 , A 3;0;0 . c 30 c 30 1 Từ đó ta có 900a 30b 30 0 a nên phương trình 30 900a 30b 30 0 b 0 1 Parabol y x2 30 . 30 Diện tích chiếc gương là 30 30 30 1 2 1 2 1 3 x 30 dx x 30 dx x 30x 1200 (đvdt). 30 30 30 30 90 30 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a; x b là b f x dx . a Câu 30: Đáp án C   Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC Ta có: các điểm M 2;3 , N 1; 2 , P 3;1 lần lượt biểu diễn các số phức 2 3i,1 2i, 3 i .   Gọi điểm Q x; y thì tứ giác MNPQ là hình bình hành MN QP 1 2 3 x x 2 Q 2;6 . 2 3 1 y y 6 Câu 31: Đáp án B Đặt t 2x dt 2dx x 0 t 1 1 2 dt 1 2 2 Đổi cận ta có: f 2x dx f t f x dx 2 . Suy ra f x dx 4 x 1 t 2 0 0 2 2 0 0 2 2 u x du dx 2 Đặt xf x dx xf x f x dx 2 f 2 4 28 . dv f x dx v f x 0 0 0 Câu 32: Đáp án B Điều kiện: x 0 . Đường thẳng x k cắt đồ thị hàm số y log5 x tại điểm A k;log5 k với k 0 . Đường thẳng x k cắt đồ thị hàm số y log5 x 4 tại điểm B k;log5 k 4 . 1 1 k 4 1 AB log k 4 log k log 2 5 5 2 5 k 2 k 4 k 4 (do k 4 k 0 1 log log 1 0 ) k 5 k 5 Trang 14
15. 4 4 5 1 Khi đó k 4 k 5 k 5 1 4 k 1 5 5 1 5 1 Vậy k 1 5 a 1,b 5 a b 6 . Câu 33: Đáp án B x y z Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với a;b;c 0 thì P có phương trình 1. a b c 1 2 1 Vì M 1;2;1 P 1 a b c 1 1 Thể tích khối tứ diện OABC là V .OA.OB.OC abc 6 6 1 Ta tìm giá trị nhỏ nhất của V abc 6 1 2 1 1 2 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số ; ; ta có 34 a b c a b c abc 3 2 54 1 3 1 abc 54 . 3 abc abc 1 2 1 a 3 a b c Dấu “=” xảy ra khi b 6 1 2 1 1 c 3 a b c 1 Suy ra giá trị nhỏ nhất của V là .54 9 a 3;b 6;c 3 . 6 Câu 34: Đáp án C 2 2 2 2 z1 z1 z1 z1 z1 1 3 Ta có: z1 z2 z1z2 2 1 0 1 0 i z2 z2 z2 z2 z2 2 2 z1 1 z1 z2 OA OB . z2 2 2 2 Lại có z1 z2 z1z2 z1 z2 z1z2 2 2 2 Lấy mođun hai vế ta được z1 z2 z1z2 z1 z2 z1 z2 z1 Hay AB2 OA2 AB OA OB . Vậy tam giác OAB đều. Câu 35: Đáp án B 1 Vì E là trung điểm AD và AB BC AD a nên AB BC AE ED a mà BC // AE tứ giác 2 ABCE là hình vuông suy ra CE  AD hay tam giác ECD vuông tại E nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp ECD . Trang 15
16. Gắn với hệ trục tọa độ với A  O 0;0;0 , AD  Ox; AB  Oy; AS  Oz . Coi đơn vị độ dài là a 1. Suy ra A 0;0;0 , S 0;0; 6 , E 1;0;0 , D 2;0;0 , C 1;1;0 và 3 1 M ; ;0 là trung điểm của CD. 2 2 Vì ECD vuông tại E nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD thuộc đường thẳng qua M và song song với SA. Phương trình đường thẳng d qua M và song song với SA có 1 3 x 2 1 véctơ pháp tuyến thì có dạng: d : y 2 z t 3 1 Suy ra I ; ;t là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ECD thì: 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 2 IS ID t 6 t 2 2 2 2 4 3 1 4 2 6t 8 t I ; ; 6 2 2 6 2 2 2 1 1 4 19 19 Bán kính mặt cầu là R ID hay R a . 2 2 6 6 6 Câu 36: Đáp án B x 3 Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x m 2x m x 1 x 3 x 1 2x2 m 1 x m 3 0 (*) ( x 1) x 3 Đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân x 1 biệt x1, x2 khác 1. 2 m 1 4.2 m 3 0 m2 6m 25 0 (luôn đúng). 2 2 0 2. 1 m 1 . 1 m 3 0 m 1 x x 1 2 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: . m 3 x x 1 2 2 Trang 16
17. Gọi hai giao điểm là M x1;2x1 m , N x2 ;2x2 m . Khi đó MN x x 2 2x 2x 2 5 x2 2x x x2 5 x x 2 4x x . 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được: 2 2 2 m 1 m 3 m 2m 1 5 2 MN 5 4. 5 2 m 3 m 2m 1 8m 24 2 2 4 4 5 5 2 5 m2 6m 25 m 3 16 .16 20 . 4 4 4 MN 2 20 mn 2 5 min MN 2 5 khi m 3 . Câu 37: Đáp án C Đặt w x yi x, y ¡ w 1 i Ta có: w 2z 1 i z 2 w 1 i Khi đó z 3 4i 2 3 4i 2 w 7 9i 4 2 x yi 7 9i 4 x 7 y 9 i 4 x 7 2 y 9 2 4 x 7 2 y 9 2 16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn có bán kính R 4 . Diện tích hình tròn là S R2 16 . Câu 38: Đáp án A Dựng đồ thị hàm số y f x có được từ đồ thị hàm số đã cho bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy. + Xóa phần đồ thị phía bên trái trục Oy. + Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải vừa giữ lại qua Oy. 3 3 Đặt y f x x3 x2 x . 4 2 3 3 m2 6m m2 6m 4 x3 3x2 6 x m2 6m x3 x2 x f x 4 2 4 4 Từ đồ thị hàm số đã cho ta vẽ đồ thị hàm số y f x như sau: Trang 17
18. m2 6m Quan sát đồ thị ta thấy, phương trình f x có 3 nghiệm phân biệt 4 2 m 6m 2 m 0 0 m 6m 0 . 4 m 6 Câu 39: Đáp án A   Lập luận để có 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n u ;u rồi suy ra phương trình tổng quát 1 2 của mặt phẳng P . Sử dụng công thức khoảng cách d d1;(P) d M ;(P) với d1 // P ; M d1 . ax0 by0 cz0 d Với điểm M x0 ; y0 ; z0 và mặt phẳng P : ax by z d 0 thì d M ;(P) . a2 b2 c2 x 2 y 1 z  Ta có d : đi qua M 2;1;0 và có 1 véctơ chỉ phương u 1; 1;2 . 1 1 1 2 1 1 x 2 t  Và d2 : y 3 đi qua M1 2;3;0 và có 1 véctơ chỉ phương u2 1;0;1 . z t Vì P cách đều d1, d2 nên d1 // P , d2 // P suy ra 1 véctơ pháp tuyến của P là   n u ;u 1; 3; 1 . 1 2 d M1;(P) d M 2 ;(P) Suy ra phương trình tổng quát của P cách đều d1; d2 nên . I P Với I 2;2;0 là trung điểm của M1M 2 . 2 3 d 2 9 d 5 d 11 d Suy ra 11 11 d 8 . d 8 2 2.3 d 0 Vậy phương trình mặt phẳng P : x 3y z 8 0 . Trang 18
19. Câu 40: Đáp án B Mặt phẳng Q A 3;0;1 và song song với P nên nhận n 1; 2;2 làm véctơ pháp tuyến. Q :1 x 3 2 y 0 2 z 1 0 hay Q : x 2y 2z 1 0 . Đường thẳng d đi qua A và song song P nên d  Q . Gọi H là hình chiếu của B lên Q thì d B,d BH hay d B,d đạt giá trị nhỏ nhất bằng BH khi d AH . x 1 t Gọi là đường thẳng đi qua B 1; 1;3 và vuông góc với Q thì : y 1 2t . z 3 2t x 1 t y 1 2t H  Q 1 t 2 1 2t 2 3 2t 1 0 z 3 2t x 2y 2z 1 0 10 1 11 7  26 11 2 9t 10 0 t H ; ; AH ; ; 9 9 9 9 9 9 9 11 1 11 1 b 11 u 1; ; hay b , c . 26 13 26 13 c 2 Câu 41: Đáp án D Xét hàm số f x x2 4x 2m 3 liên tục trên đoạn 1;3 . Ta có: f x 2x 4 0 x 2 1;3. Ta lại có: f 1 2m 6; f 2 2m 7; f 3 2m 6 . Suy ra: max f x max 2m 6 ; 2m 7  M . 1;3 M 2m 6 Ta có: 2M 2m 6 7 2m 2m 6 7 2m 1 M 2m 7 7 2m 1 M . 2 1 2m 6 2m 7 13 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 m . 4 2m 6 7 2m 0 13 Vậy m . 4 Câu 42: Đáp án D 4x m2 Xét phương trình hoành độ giao điểm x 1 x 1 Trang 19
20. x2 1 4x m2 x2 4x m2 1 0 x 1 (*) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 1. (*) có nghiệm kép x 1 hoặc (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1. TH1: (*) có nghiệm kép x 1 2 4 m 1 0 5 m2 0 m 5 m 5 . 2 2 2 1 4.1 m 1 0 m 4 0 m 2 TH2: (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1. Khi đó x 1 là nghiệm của (*) thì 12 4.1 m2 1 0 m 2 . x 1 L Thử lại với m 2 thì (*) là x2 4x 3 0 hay phương trình hoành độ giao điểm có x 3 TM nghiệm duy nhất. Vậy S 5; 2 suy ra tích các phần tử bằng 20. Chú ý: Một số em có thể sẽ quên mất trường hợp (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 dẫn đến chỉ tìm ra hai giá trị 5 và không chọn được đáp án đúng. Câu 43: Đáp án B Số phần tử của không gian mẫu n  6.6 36 Xét phương trình x2 bx c 0 có b2 4c Để phương trình vô nghiệm thì 0 b2 4c 0 b 2 c (vì b,c 0 ) Mà b,c 1;2;3;4;5;6 nên: + Với c 1 b 2 b 1 + Với c 2 b 2 2 b 1;2 + Với c 3 b 2 3 b 1;2;3 + Với c 4 b 2 4 b 1;2;3 + Với c 5 b 2 5 1;2;3;4 + Với c 6 b 2 6 b 1;2;3;4 Với A là biến cố “phương trình bậc hai x2 bx c 0 vô nghiệm” thì số phần tử của biến cố A là n A 1 2 3 4 4 17 . 17 Xác suất cần tìm là P A . 36 Trang 20
21. Câu 44: Đáp án A Con bò thứ nhất có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm A bán kính AC 3m . Con bò thứ hai có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm B bán kính BC 2m . Phần diện tích lớn nhất hai con có thể ăn chung là phần giao của hai hình tròn (phần gạch sọc). Xét tam giác ABC có AC 3; BC 2; AB 4 . BA2 BC 2 AC 2 11 cos ·ABC 2BA.BC 16 938 . BC 2 ·ABC 4634 C· BD 938 S 3,251m2 CBD 360 5754 . AC 2 S 4,548m2 CAD 360 1 1 Lại có S BC.BD.sin C· BD 1,997m2 và S AC.AD.sin C· AD 3,812m2 CBD 2 CAD 2 2 Vậy S SqCAD S CAD SqCBD S CBD 4,548 3,812 3,251 1,997 1,99m Nhận xét: mỗi con bò có thể ăn cỏ trong hình tròn có tâm là cọc buộc, bán kính là dây buộc. Do đó phần diện tích cỏ có thể ăn chung lớn nhất chính là phần giao nhau của hai hình tròn. Câu 45: Đáp án B f cos x 1 Ta có f 2 cos x m 2018 f cos x m 2019 0 f cos x 2019 m cos x 0 + Với f cos x 1 cos x 0 . cos x a 1 loai 3 Phương trình này có hai nghiệm x và x thuộc đoạn 0;2 . 1 2 2 2 + Với f cos x 2019 m ta cần tìm điều kiện để phương trình này có 4 nghiệm phân biệt thuộc 0;2  khác x1, x2 . Đặt t cos x  1;1 với mọi x 0;2  ta được f t 2019 m (1). Với t 1 phương trình (1) cho đúng một nghiệm x với t 0 phương trình cho hai nghiệm x1, x2 . Với mỗi t 1;1 \ 0 phương trình cho hai nghiệm x 0;2  khác x1, x2 . Vậy điều kiện cần tìm là phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt t 1;1 \ 0 1 2019 m 1 2018 m 2020 . Câu 46: Đáp án A 2 2 x m 1 y 4m 2 Ta có: y 3x 6mx 3 m 1 ; y 0 x m 1 y 4m 2 Trang 21