Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 4 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 4 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P : x y z 3 0 đi qua điểm nào dưới đây? A. C 2;0;0 B. B 0;1;1 C. D 0;1;0 D. A 1;1;1 Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu như hình sau: Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4B. 1C. 3D. 2 Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;1 B. 3; C. ;1 D. 1; Câu 4. Cho a, b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết a b c 15. Giá trị của b bằng: A. b 10 B. b 8 C. b 5 D. b 6 Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào dưới đây sai? A. M 0;2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.B. x0 0 là điểm cực đại của hàm số. C. x0 1 là điểm cực tiểu của hàm số.D. f 1 là một giá trị cực tiểu của hàm số. Câu 6. Phương trình 52x 1 125 có nghiệm là: 3 5 A. x B. x C. x 3 D. x 1 2 2  Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn OA 2i j là hai véctơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox, Oy. Tọa độ điểm A là: Trang 1
2. A. A 2;1;0 B. A 0;2;1 C. A 0;1;1 D. A 1;1;1 Câu 8. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. log 3a 3log a B. log a3 3log a C. log 3a log a D. log a3 log a 3 3 Câu 9. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều cao của khối lăng trụ là 6a. Thể tích của khối lăng trụ bằng: A. V 27a3 B. V 12a3 C. V 72a3 D. V 36a3 Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 có phương trình là: x y z x y z x y z x y z A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 3 Câu 11. Cho z 1 2i . Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức z ? A. NB. MC. PD. Q Câu 12. Với P log b3 log b6 , trong đó a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1. Khi đó mệnh đề a a2 nào dưới đây đúng? A. P 27loga b B. P 9loga b C. P 6loga b D. P 15loga b 2 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x là: x 2 2x 2x A. 2x ln C B. 2x 2ln x C C. 2ln x C D. 2ln x C x2 ln 2 ln 2 Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ. M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1;3 . Giá trị của M m là: A. 5 B. 2 C. 6 D. 2 Câu 15. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Trang 2
3. x 1 x A. y B. y x3 3x 2 C. y D. y x4 2x2 1 x 1 x 1 2 2 2 Câu 16. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3x 3 0 . Giá trị của z1 z2 bằng: A. 2 3 B. 2 5 C. 6D. 4 1 1 x Câu 17. Cho f x dx 2 . Khi đó 2 f x e dx bằng: 0 0 A. e 3 B. 5 e C. 3 e D. 5 e Câu 18. Chọn kết luận đúng? n! n! A. Ak B. C 0 0 C. C k D. A1 1 n n k ! n n k! n k ! n Câu 19. Thể tích của khối cầu có bán kính R bằng: 1 4 4 A. R3 B. 2 R3 C. R3 D. 4 R3 3 3 3 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 3 0 . Bán kính mặt cầu bằng: A. R 3 B. R 4 C. R 2 D. R 5 1 Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 log2 2 là: 2 x 1 A. 2; B.  C. 0;1 D. 1; 2 Câu 22. Hàm số y log2 x x có đạo hàm là: 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 ln 2 A. y B. y C. y D. y x2 x 2 x2 x ln 2 x2 x ln 2 2 x2 x Câu 23. Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau, AB 12m . Người ta làm một hồ cá có dạng hình elip với bốn đỉnh M , N, M , N như hình vẽ, biết MN 10m , M N 8m , PQ 8m . Diện tích phần trồng cỏ (phần gạch sọc) bằng: A. 20,33m2 B. 33,02m2 C. 23,02m2 D. 32,03m2 Trang 3
4. Câu 24. Cho khối trụ T có đường cao h, bán kính đáy R và h 2R . Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 16a2 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng: 16 A. V 27 a3 B. V 16 a3 C. V a3 D. V 4 a3 3 Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 và đường thẳng x 1 y 2 z 1 : . Khoảng cách giữa Δ và P bằng: 2 2 1 8 7 6 8 A. B. C. D. 3 3 3 3 x Câu 26. Cho hàm số y f x thỏa mãn f 0 0; f x . Họ nguyên hàm của hàm số x2 1 g x 4xf x là: A. x2 1 ln x2 x2 c B. x2 ln x2 1 x2 C. x2 1 ln x2 1 x2 c D. x2 1 ln x2 1 x2 Câu 27. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. 1B. 2C. 3D. 0 Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 0;1;1 , B 1;0;0 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Gọi Q là mặt phẳng song song với P đồng thời đường thẳng AB cắt Q tại C sao cho CA 2CB . Mặt phẳng Q có phương trình là: 4 A. Q : x y z 0 3 B. Q : x y z 0 hoặc Q : x y z 2 0 C. Q : x y z 0 4 D. Q : x y z 0 hoặc Q : x y z 0 3 x 2 Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y đồng biến trên ; 4. x 2m Số phần tử của S là: Trang 4
5. A. 5B. 4C. 3D. 2 Câu 30. Cho hàm số y f x và hàm số bậc ba y g x có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch chéo được tính bởi công thức nào sau đây? 1 2 A. S f x g x dx g x f x dx 3 1 2 B. S f x g x dx 3 1 2 C. S g x f x dx f x g x dx 3 1 1 2 D. S g x f x dx g x f x dx 3 1 Câu 31. Người ta làm một dụng cụ sinh hoạt gồm hình nón và hình trụ như hình vẽ (không có nắp đậy trên). Cần bao nhiêu diện tích vật liệu để làm (các mối hàn không đáng kể, làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)? A. 5,6m2 B. 6,6m2 C. 5,2m2 D. 4,5m2 Câu 32. Cho hàm số y f x có hàm biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 2019 f x 5 0 là: A. 3B. 0C. 1D. 2 Câu 33. Số phức z thỏa mãn z 1 i z i 0 là: A. z 1 2i B. z 1 2i C. z 1 2i D. ; 2 Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi là góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABC D . Khi đó: 1 A. tan 3 B. tan 1 C. tan D. tan 2 3 Câu 35. Cho hàm số y x4 2mx2 m . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. m 0 2 Câu 36. Cho số thực a 4 . Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương trình aln x aln ex a 0 . Khi đó Trang 5
6. A. P ae B. P e C. P a D. P ae 2 4 1 x 2 a c a c Câu 37. Cho dx 2ln với a, b, c, d là các số nguyên, và là các phân số tối 1 2 x x 1 b d b d giản. Giá trị của a b c d bằng: A. 16B. 18C. 25D. 20 2019z Câu 38. Xét z số phức thỏa mãn là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z z 2 là một đường tròn C trừ đi một điểm N 2;0 . Bán kính của C bằng A. 3 B. 1C. 2D. 2 Câu 39. Anh A gửi ngân hàng 900 triệu (VNĐ) với lãi suất 0,4% mỗi tháng theo hình thức lãi kép, ngân hàng tính lãi trên số dư thực tế của tháng đó. Cứ mỗi tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi trả sinh hoạt phí. Hỏi sau bao lâu thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết (tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để cho hết tiền). A. 111 thángB. 113 thángC. 112 thángD. 110 tháng Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB 2a, BC a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SDB bằng a 57 a 3 a 3 2a 57 A. B. C. D. 19 4 2 19 Câu 41. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên: Bất phương trình f x 3ex 2 m có nghiệm trên 2;2 khi và chỉ khi A. m f 2 3 B. m f 2 3e4 C. m f 2 3e4 D. m f 2 3 Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f 2 f ex 1 là: A. 1B. 2 C. 4D. 3 Câu 43. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a là: 3a 6 a 6 a 6 a 6 A. B. C. D. 4 12 4 2 Trang 6
7. 2 1 Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 0;0;2 , B 1;1;0 và mặt cầu S : x2 y2 z 1 . 4 Xét điểm M thay đổi thuộc S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB2 bằng: 1 3 21 19 A. B. C. D. 2 4 4 4 Câu 45. Cho hàm số y f x ax4 bx3 cx2 dx e . Biết rằng hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y f 2x x2 có bao nhiêu điểm cực đại? A. 5B. 3C. 1D. 2 Câu 46. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên 0;1: 4x 1 41 x m 1 22 x 22 x 16 8m ? A. 2B. 5C. 4D. 3 x y z 3 Câu 47. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : và mặt cầu 2 2 1 S : x 3 2 y 2 2 z 5 2 36 . Gọi Δ là đường thẳng đi qua A 2;1;3 vuông góc với đường thẳng d và cắt S tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vécơt chỉ phương là u 1;a;b . Tính a b . 1 A. 4B. 2 C. D. 5 2 Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z z z z 2 và z z 2 z z m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là: 2 1 2 1 1 A. 2 1 B. C. D. 2 2 2 Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC.A B C và M, N là hai điểm lần lượt bên cạnh CA, CB sao cho MN song CM song với AB và k . Mặt phẳng MNB A chia khối lăng trụ ABC.A B C thành hai phần có thể CA V1 tích V1 (phần chứa điểm C) và V2 sao cho 2 . Khi đó giá trị của k là: V2 1 5 1 1 5 3 A. k B. k C. k D. k 2 2 2 3 Trang 7
8. Câu 50. Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m ( m ¡ ) sao cho 3 x 1 m f 2x 1 mf x f x 1 0, x ¡ . Số phần tử của tập S là A. 2B. 0 C. 3D. 1 Đáp án 1-D 2-A 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-D 10-A 11-D 12-C 13-C 14-D 15-A 16-C 17-A 18-A 19-C 20-C 21-D 22-B 23-D 24-B 25-A 26-C 27-C 28-D 29-D 30-C 31-A 32-A 33-C 34-D 35-C 36-B 37-B 38-B 39-C 40-C 41-B 42-B 43-C 44-D 45-D 46-A 47-D 48-B 49-A 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D Ta có: 1 1 1 3 0 A 1;1;1 P . Câu 2: Đáp án A Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị x 1; x 0; x 2; x 4 . Nhiều học sinh cho rằng x 0 không phải là điểm cực trị do y 0 0 . Lưu ý điều kiện f x0 0 chỉ là điều kiện cần để x x0 là điểm cực trị của hàm số. Câu 3: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên ; 1 và 1; . Câu 4: Đáp án C Do a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng trên a c 2b . Mà a b c 15 3b 15 b 5. Câu 5: Đáp án A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy M 0;2 là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên đáp án A sai. Câu 6: Đáp án D 2x 1 Ta có: 5 125 2x 1 log5 125 3 x 1. Câu 7: Đáp án A  Ta có: OA 2i j A 2;1;0 . Trang 8
9. Câu 8: Đáp án B Ta có: log 3a log3 log a a 0 Đáp án A và C sai. log a3 3log a a 0 Đáp án B đúng, đáp án D sai. Sử dụng công thức log ab log a logb, log am mlog a a,b 0 . Câu 9: Đáp án D 1 Thể tích lăng trụ là V Sh .3a.4a.6a 36a3 . 2 Câu 10: Đáp án A x y z Ta có: ABC : 1. 1 2 3 Câu 11: Đáp án D Ta có: z 1 2i z 1 2i Q 1;2 là điểm biểu diễn số phức z . Câu 12: Đáp án C 6 Ta có: P log b3 log b6 3log b log b 6log b . a a2 a 2 a a m m Sử dụng công thức log n b log b 0 a 1,b 0 a n a Câu 13: Đáp án C x x 2 2 Ta có: f x dx 2 dx 2ln x C . x ln 2 Câu 14: Đáp án D M max y y 1 2  1;3 Trên đoạn  1;3 , ta có: M m 2 4 2 . m min y y 2 4  1;3 Câu 15: Đáp án A Đồ thị trên là đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, do đó loại đáp án B và D. Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;1 Loại đáp án C. Câu 16: Đáp án C 3 3 z1 i 2 2 2 2 2 Ta có: z 3z 3 0 z1 z2 3 3 3 z2 i 2 2 2 2 Vậy z1 z2 6. Trang 9
10. Câu 17: Đáp án A 1 1 1 1 Ta có: 2 f x ex dx 2 f x dx exdx 2.2 ex 4 e 1 3 e . 0 0 0 0 Câu 18: Đáp án A n! Ta có: Ak là kết luận đúng. n n k ! n! n! Sử dụng công thức: Ak ; C k . n n k ! n k! n k ! Câu 19: Đáp án C 4 Công thức tinh thể tích khối cầu bán kính R là V R3 . 3 Câu 20: Đáp án C Mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 3 0 có a 1;b 0;c 0;d 3 R 12 02 02 3 2 . Mặt cầu có phương trình S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 có tâm I a;b;c bán kính R a2 b2 c2 d . Câu 21: Đáp án D 1 1 1 Ta có: log 1 x 1 log2 2 log2 log2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 0 1 1 2 0 2 0 x 1 x 1 . x 1 x 1 2 x 1 x 1 0 x 1 loga f x loga g x f x g x 0 (với a 1). Câu 22: Đáp án B 2x 1 2 x x 2 2x 1 Ta có: y log x2 x 2 x x . 2 2 2 2 x x ln 2 x x ln 2 2 x x ln 2 Cẩn thận khi tính đạo hàm của hàm hợp. u Sử dụng công thức log u . a u ln a Trang 10
11. Câu 23: Đáp án D Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có AB 12m OA 6m . Phương trình đường tròn là x2 y2 36 y 36 x2 . x2 y2 x2 Phương trình elip là: 1 y 4 1 . 25 16 25 Khi đó diện tích phần trồng cỏ là: 4 x2 S 2 36 x2 4 1 dx 32,03 m2 . 25 4 Câu 24: Đáp án B Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 16a2 2R.2R 16a2 R2 4a2 R 2a 2R 4a . Thể tích của khối trụ đã cho là: V R2h . 2a 2 .4a 16 a3 . Câu 25: Đáp án A P nhận n 1; 2;2 là 1 véctơ pháp tuyến. nhận u 2;2;1 là 1 véctơ chỉ phương. Ta có: n.u 1.2 2.2 2.1 0 n  u Lấy M 1; 2;1 1 2 2 2.1 1 8 0 M P // P . 8 8 Do đó d ;(P) d M ;(P) . 12 2 2 22 3 Câu 26: Đáp án C 2 x xdx 1 d x 1 1 2 Ta có: f x 2 f x f x dx 2 2 ln x 1 C x 1 x 1 2 x 1 2 1 1 f 0 0 ln1 C 0 C 0 f x ln x2 1 2 2 g x 4xf x 2x ln x2 1 g x dx 2x ln x2 1 dx Đặt t x2 1 dt 2xdx 1 g x dx ln tdt t ln t t. dt t ln t dt t ln t t C t x2 1 ln x2 1 x2 1 C Đặt 1 C c g x dx x2 1 ln x2 1 x2 c . Câu 27: Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên ta có: Trang 11
12. lim y 0 y 0 là TCN của đồ thị hàm số. x lim y ; lim y x 2 x 2 x 2 là TCĐ của đồ thị hàm số. lim y ; lim y x 2 x 2 Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Cho hàm số y f x . Nếu lim y y0 y y0 là TCN của đồ thị hàm số. x Nếu lim y x x0 là TCĐ của đồ thị hàm số. x x0 Câu 28: Đáp án D Ta có: P // Q Phương trình mặt phẳng Q có dạng x y z c 0 c 3 .  2  TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B AC AB . 3 2 2 x 1 0 x C 3 C 3 2 1 2 1 1 yC 1 0 1 yC C ; ; . 3 3 3 3 3 2 1 zC 1 0 1 zC 3 3 2 1 1 4 4 C Q c 0 c (thỏa mãn) Q : x y z 0 . 3 3 3 3 3   TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B AC 2AB x 2 1 0 C xC 2 yC 1 2 0 1 yC 1 C 2; 1; 1 . z 1 zC 1 2 0 1 C C Q 2 1 1 c 0 c 0 (thỏa mãn) Q : x y z 0 . Câu 29: Đáp án D TXĐ: D ¡ \ 2m . 2m 2 Ta có: y x 2m 2 Để hàm số đồng biến trên ; 4 thì y 0 2m 2 0 m 1 1 m 2 . 2m 4 m 2 m 2 Mà m ¢ S 0;1 . Trang 12
13. Câu 30: Đáp án C 2 1 2 Ta có: S f x g x dx f x g x dx f x g x dx 3 3 1 1 2 g x f x dx f x g x dx . 3 1 Câu 31: Đáp án A 1,4 2 Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 2 . .0,7 0,98 m 2 Chiều cao hình nón bằng 1,6 0,7 0,9 m 130 Độ dài đường sinh của hình nón bằng 0,92 0,72 10 130 2 Diện tích xung quanh hình nón là: S2 .0,7. 2,507 m . 10 2 Vậy diện tích vật liệu cần dùng là S1 S2 5,6 m . Câu 32: Đáp án A 5 Ta có: 2019 f x 5 0 f x 2019 5 5 Ta có 0 1 Đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt, do đó 2019 2019 phương trình 2019 f x 5 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. Câu 33: Đáp án C Đặt z a bi z a bi . Theo bài ra ta có: a bi 1 i a bi i 0 a b a b i a bi i 0 2a b 0 a 1 2a b a 1 i 0 z 1 2i . a 1 0 b 2 Câu 34: Đáp án D Gọi O A C  BD O A C  ABC D Gọi H A D  AD ta có: AB  ADD A AB  A H A H  ABC D A H  AD HO là hình chiếu của A O trên ABC D . ·A C,(ABC D ) ·A O, HO ·A OH . Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1. Xét tam giác vuông A OH vuông tại H có: Trang 13
14. 1 1 OH AB 2 2 AH tan ·A OH tan 2 . 1 2 OH A H A D 2 2 Câu 35: Đáp án C Hàm số y x4 2mx2 m có 3 cực trị 1.m 0 m 0 . Hàm số y ax4 bx2 c có 3 cực trị ab 0 . Câu 36: Đáp án B 2 2 Ta có: aln x aln ex a 0 x 0 a2ln x a1 ln x a 0 aln x a.aln x a 0 . Đặt t aln x t 0 , phương trình trở thành t 2 at a 0 (*) a2 4a a a 4 0 a 4 S a 0 P a 0 phương trình (*) có 2 nghiệm t1, t2 dương phân biệt. Suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt. ln x loga t Ta có: t a ln x loga t x e loga t1 loga t2 loga t1 loga t2 loga t1t2 loga a x1x2 e .e e e e e P e . Câu 37: Đáp án B dx x 1 t 1 Đặt t x dt . Đổi cận 2 x x 4 t 2 2 2 2 4 1 x 2 2 t 2 2 1 dx dt 1 dt 1 2 x x 1 1 t 1 1 t 1 2 2 2 1 1 1 2 dt t 2ln t 1 t 1 t 1 1 t 1 1 1 1 7 3 a c 2 2ln 3 1 2ln 2 2ln 2ln 3 2 6 2 b d a 7;b 6;c 3;d 2 a b c d 7 6 3 2 18. Câu 38: Đáp án B 2019z 2019 a bi 2019 a bi a 2 bi Đặt z a bi ta có: z 2 a bi 2 a 2 2 b2 2 2019 a a 2 b ab a 2 b i a 2 2 b2 Trang 14
15. 2019 a a 2 b2 2019 ab a 2 b i z 2 a 2 2 b2 a 2 2 b2 2019z Để là số thuần ảo 2019 a a 2 b2 0 a2 2a b2 0 . z 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C : x2 y2 2x 0 trừ đi một điểm N 2;0 có tâm I 1;0 , bán kính R 12 02 0 1. Câu 39: Đáp án C Số tiền còn lại cuối tháng thứ nhất là: A1 900 1 0,4% 10 . Số tiền còn lại cuối tháng thứ hai là: 2 A2 A1 1 0,4% 10 900 1 0,4% 10 1 0,4% 10 . Cứ như vậy ta tính được số tiền còn lại sau tháng thứ n là: n n 1 An 900 1 0,4% 10 1 0,4% 10 A 900 1 0,4% n 10 1 0,4% n 1 1 0,4% n 2 1 n n n 1 1 0,4% An 900 1 0,4% 10. 1 1 0,4% n Do tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để hết tiền nên n là số tự nhiên nhỏ nhất để An 0 . Ta có: A111 7,9; A112 2,05 Sau 112 tháng thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết. Câu 40: Đáp án C Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều SH  AB . SAB  ABCD AB Ta có: SAB  ABCD SH  ABCD SAB  SH  AB d A;(SDB) AB Ta có: AH  SDB B 2 d A;(SDB) 2d H;(SDB) d H;(SDB) HB Trong ABCD kẻ HM  BD M BD , trong SHM kẻ HK  SM K SM BD  HM Ta có: BD  SHM BD  HK BD  SH SH  (ABCD) HK  SM HK  SDB d H;(SDB) HK HK  BD Trang 15
16. Trong ABCD kẻ AE  BD E BD AE // HM AB.AD 2a.a 2a Ta có AE AB2 AD2 4a2 a2 5 1 a Có HM là đường trung bình của tam giác ABE HM AE 2 5 2a 3 Tam giác SAB đều cạnh AB 2a SH a 3 2 a a 3. SH.HM a 3 Xét tam giác vuông SHM: HK 5 SH 2 HM 2 a2 4 3a2 5 a 3 a 3 Vậy d A;(SDB) 2. . 4 2 Câu 41: Đáp án B Bài toán tương đương với: m f x 3ex 2 có nghiệm trên 2;2 . Xét hàm số g x f x 3ex 2 trên 2;2 . Bài toán trở thành tìm m để m g x có nghiệm trên 2;2 m min g x .  2;2 Ta có g x f x 3ex 2 . 1 f x 3 Nhận xét: x 2;2 g x 0. 4 x 2 3e 3e 3 Do đó ta có m min g x g 2 f 2 3e4 .  2;2 Vậy m f 2 3e4 . Câu 42: Đáp án B Số nghiệm của phương trình f 2 f (ex ) 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f 2 f (ex ) và đường thẳng y 1. Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 2 f ex 1 f 2 f (ex ) 1 2 f ex x 2;3 0 f ex 3 f ex x 2 0;1 0 ex 1 Tương tự ta có: f ex 3 x 0 . x e x1 1 vo nghiem Trang 16
17. x f e x0 2 0;1 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0 ex a 0 vo nghiem ex b 0 vo nghiem x e c 0 x ln c 0 Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt. Câu 43: Đáp án C Gọi O là trọng tâm tam giác ABC SO  ABC . Gọi M là trung điểm của SA. Trong SOA kẻ IM  SA I SO ta có IS IA . Lại có I SO IA IB IC IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Tam giác ABC đều cạnh a 3 2 a 3 AE AO AE 2 3 3 a2 a 6 Xét tam giác vuông SOA: SO SA2 OA2 a2 . 3 3 a a. SI SM SA.SM a 6 Dễ thấy SOA : SMI g.g SI 2 . SA SO SO a 6 4 3 a 6 Vậy R . 4 Câu 44: Đáp án D   Gọi I a;b;c là điểm thỏa mãn IA 2IB 0 2 a 3 a 2 2a 0 2 2 2 2 Ta có b 2 2b 0 b I ; ; 3 3 3 3 2 c 2c 0 2 c 3   2   2 Ta có: MA2 2MB2 MI IA 2 MI IB     MI 2 2MI.MA IA2 2MI 2 4MI.IB IB2    2 2 2 2 2 2 3MI IA 2IB 2MI IA 2IB 3MI IA 2IB  const 0 Trang 17
18. 2 2 2 2 2 2 2 8 IA 2 3 3 3 3 Do IA2 2IB2 4 không đổi, nên 2 2 2 2 2 2 2 2 IB 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 MA 2MB MImin với I ; ; , M S . min 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 Ta có 1 1 I nằm ngoài S 3 3 3 4 1 Khi đó MI IJ R với J 0;0;1 là tâm mặt cầu, R là bán kính mặt cầu. min 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ta có: IJ 1 1 MImin 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 19 Vậy MA 2MB 3MImin 4 3. 4 . min 2 4 Câu 45: Đáp án D Ta có: y f 2x x2 g x g x 2 2x f 2x x2 0 x 1 x 1 2 2x 0 2 2x x 4 x 1 5 2 2 f 2x x 0 2x x 1 x 1 kep 2 2x x 4 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f 2x x2 có 2 điểm cực đại. Câu 46: Đáp án A Phương trình tương đương với: 4 4x 4 x 4 m 1 2x 2 x 16 8m Đặt t 2x 2 x . Ta có: t 2x 2 x 0 . 3 Do đó x 0;1 thì t 0; . 2 Ta có: t 2 4x 4 x 2.2x.2 x 4x 4 x t 2 2 . Trang 18
19. Phương trình trở thành: 4 t 2 2 4t m 1 16 8m 3 m t 2 t 2 t 1 m t 1 (vì t 0; ). 2 3 Để phương trình đã cho có nghiệm trên 0;1 thì phương trình m t 1 phải có nghiệm t 0; . 2 5 Suy ra m 1; . 2 Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau. Câu 47: Đáp án D   Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d np ud 2;2; 1 . Phương trình mặt phẳng P : 2 x 2 2 y 1 1 z 3 0 2x 2y z 3 0. Δ là đường thẳng đi qua A 2;1;3 vuông góc với đường thẳng d  P . Để cắt S tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của P và S . Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của P và S J là hình chiếu của I 3;2;5 là tâm của S trên P . x 3 2t Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với P d : y 2 2t z 5 t J d J 3 2t;2 2t;5 t J P 2 3 2t 2 2 2t 5 t 3 0 2 23 14 47 9t 2 0 t J ; ; 9 9 9 9  5 5 20 5 Δ đi qua J, A nhận JA ; ; 1;1;4 là 1 véctơ chỉ phương. 9 9 9 9 a 1 u 1;1;4 cũng là 1 véctơ chỉ phương của a b 1 4 5 . b 4 Câu 48: Đáp án B Gọi z x yi z x yi Ta có: z z z z 2 x yi x yi x yi x yi 2 2x 2yi 2 x y 1 (*) Trang 19
20. x y 1 khi x 0, y 0 d1 x y 1 khi x 0, y 0 d2 x y 1 khi x 0, y 0 d 3 x y 1 khi x 0, y 0 d4 Ta lại có z z 2 z z m x yi x yi 2 x yi x yi m x x 2 y2 xy xy 2y i 2x m x2 y2 m 2yi là số thuần ảo x2 y2 m 0 x2 y2 m C Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông Để tồn tại 4 số phức z thì C phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt. 0 0 1 1 Ta có d O;d1 12 12 2 1 R m Để C cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì C 2 RC m 1 1  1 2 1 S ;1 Tổng các phần tử của S là 1 . 2  2 2 Câu 49: Đáp án A MNB A  ACC A A M Ta có: MNB A  BCC B B N A M , B N,CC đồng quy tại S ACC A  BCC B CC SM MN MN CM SN SC Áp dụng định lí Ta-lét ta có: k SA A B AB CA SB SC VS.MNC SM SN SC 3 V1 3 3 . . k 1 k V1 1 k VS.A B C VS.A B C SA SB SC VS.A B C SC SC CC CC Ta có: k k 1 k SC SC SC 1 SC VS.A B C 3 1 VABC.A B C VS.A B C VABC.A B C CC 3 1 k 3 1 k 2 3 3 VABC.A B C 1 k k V1 1 k VS.A B C 1 k VABC.A B C 3 1 k 3 2 V1 2 1 k k 2 2 5 1 Ta có: 2 V2 VABC.A B C 1 k k 2 k . V2 3 3 3 2 Câu 50: Đáp án A Trang 20
21. m 0 3 Từ giả thiết suy ra: g 1 0 m m 0 m 1 . m 1 Với m 0 ta có: x 1 f x 1 0 x ¡ (đúng) 1 Với m 1 ta có: 2x 1 1 f 2x 1 1 0 x ¡ (đúng) 2 Với m 1. f 2x 1 1 Xét x 1 ta có: lim 4 x 2 f x  1, đủ lớn sao cho f 2 1 1 2 f 1 f 2 1 1 2 f 0 (mâu thuẫn (*)) m 1 (loại). Vậy m 0;1. Trang 21