Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 5 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 5 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1;0;0 , B 0;0;2 ,C 0; 3;0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: 14 14 4 A. . B. 14. C. . D. . 4 3 2 Câu 2. Cho cấp số cộng un có u1 11 và công sai d 4 . Hãy tính u99 . A. 401.B. 404.C. 403.D. 402. x2 1 khi x 1 Câu 3. Tìm a để hàm số f x x 1 liên tục tại điểm x0 1. a khi x 1 A. a 0. B. a 1. C. a 2. D. a 1. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA  ABCD , AB BC a, AD 2a, SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E. a 3 a 6 a 30 A. . B. a. C. . D. . 2 3 6 2 2 Câu 5. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin x 2sin x cos x cos x 0 . Chọn khẳng định đúng? 3 3 A. x0 ; . B. x0 ;2 . C. x0 0; . D. x0 ; . 2 2 2 2 Câu 6. Hàm số y x 4 x3 x 2019 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.B. 3.C. 0.D. 1. x Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn  2;3 bằng: x 3 1 A. 2. B. . C. 3.D. 2. 2 Câu 8. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ , có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 1
2. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Câu 9. Hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây? A. Hình 3.B. Hình 1.C. Hình 2.D. Hình 4. 1 1 1 1 190 Câu 10. Gọi n là số nguyên dương sao cho đúng với mọi x log log log log log 3 x 32 x 33 x 3n x 3 x dương, x 1 . Tìm giá trị của biểu thức P 2n 3 . A. P 23. B. P 41. C. P 43. D. P 32. 2018 Câu 11. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức 2x 3 thành đa thức: A. 2019.B. 2020.C. 2018.D. 2017. Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB’C’. V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 2 4 4 3 Câu 13. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là 6,9%/năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm số tiền cả gốc và lãi người đó rút về gần với con số nào dưới đây? A. 107 667 000 đồng.B. 105 370 000 đồng.C. 111 680 000 đồng.D. 116 570 000 đồng. Câu 14. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ có đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 . B. 2; . C. 1;2 . D. 0;1 và 2; . Câu 15. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. A. 30. B. 60. C. 90. D. 120. Trang 2
3. 8 7 Câu 16. Cho 2x 3x 2 dx A 3x 2 B 3x 2 C với A, B,C ¡ . Tính giá trị của biểu thức 12A 7B . 23 241 52 7 A. . B. . C. . D. . 252 252 9 9 2 x 1 1 Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 (với a là tham số, a 0 ) là: 1 a 1 1 A. ; . B. ;0 . C. ; . D. 0; . 2 2 Câu 18. Cho hàm số 1;2; 1 có bảng biến thiên như sau: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau đây? A. x 2. B. x 3. C. x 2. D. x 4. 2 Câu 19. Tìm tập nghiệm của phương trình 3x 2 x 1. A. S 1;3. B. S 0; 2. C. S 1; 3. D. S 0;2. Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a i 2 j 3k . Tìm tọa độ của vectơ a . A. 2; 3; 1 . B. 3;2; 1 . C. 1;2; 3 . D. 2; 1; 3 . Câu 21. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? x A. y log x. B. y log x. C. y . D. y log x 1 . 3 2 4 3 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB AC a, B· AC 120 . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 a3 A. V a3. B. V . C. V 2a3. D. V . 2 8 Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn  2018;2018 để hàm số y ln x2 2x m 1 có tập xác định ¡ . A. 2018.B. 1009.C. 2019.D. 2017. Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hàm số y f ' x trên ¡ như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x có 1 điểm cực tiểu và không có cực đại. B. Hàm số y f x có 1 điểm cực đại và không có cực tiểu. Trang 3
4. C. Hàm số y f x có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Hàm số y f x có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Câu 25. Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là: A. S 4 a2. B. S 8 a2. C. S 24 a2. D. S 16 a2. Câu 26. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4.B. 8.C. 6.D. 2. Câu 27. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3. C. Hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu tại x 3. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. 1 Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số y x2 3x . x x3 3x2 x3 3x2 1 x3 3x2 x3 3x2 A. ln x C. B. C. C. ln x C. D. ln x C. 3 2 3 2 x2 3 2 3 2 10 6 Câu 29. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và f x dx 7 và f x dx 3 . Tính 0 2 2 10 P f x dx f x dx . 0 6 A. P 4. B. P 10. C. P 7. D. P 4. Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 m trên đoạn  1;1 bằng 0. A. m 6. B. m 4. C. m 0. D. m 2. Câu 31. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y f x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 9.B. 7. C. 6.D. 8. Trang 4
5. x cos x Câu 32. Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x . Hỏi đồ thị của hàm số y F x có bao x2 nhiêu điểm cực trị? A. 1.B. vô số điểm.C. 2.D. 0. Câu 33. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15? A. 432.B. 234.C. 132.D. 243. Câu 34. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt là góc giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất. 1 1 A. tan . B. tan . C. tan 1. D. tan 2. 2 2 x 1 Câu 35. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . 4 3x 1 3x 5 A. 1.B. 0.C. 2.D. 3. Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân ở B, AC a 2,SA  ABC ,SA a . Gọi G là trọng tâm của SBC , đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V. 5a3 4a3 2a3 4a3 A. . B. . C. . D. . 54 9 9 27 Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA BC 3; SB AC 4; SC AB 2 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 390 390 390 390 A. . B. . C. . D. . 12 6 8 4 Câu 38. Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC 1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA OB OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC? 6 6 6 A. . B. 6. C. . D. . 4 3 2 Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 1cm, AC 3cm . Tam giác SAB, 5 5 SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng cm3 . Tính 6 khoảng cách từ C đến SAB . 3 5 3 5 A. cm. B. cm. C. cm. D. cm. 2 2 4 4 Trang 5
6. Câu 40. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;4 và thỏa mãn điều kiện 4xf x2 6 f 2x 4 x2 . 4 Tính tích phân f x dx . 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 2 20 10 Câu 41. Cho phương trình: e3m em 2 x 1 x2 1 x 1 x2 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. 1 1 1 1 A. ln 2; . B. 0; ln 2 . C. ; ln 2 . D. 0; . 2 2 2 e Câu 42. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Biết f ' 0 3, f ' 2 2018 và bảng xét dấu của f '' x như sau: Hàm số y f x 2017 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. ; 2017 . C. 2017;0 . D. 2017; . Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 2019;2019 để hàm số 3 2 y sin x 3cos x msin x 1 đồng biến trên đoạn 0; . 2 A. 2020.B. 2019.C. 2028.D. 2018. Câu 44. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 . A. 0,079.B. 0,055.C. 0,014.D. 0,0495. Câu 45. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên biết f 2 4, f 3 0 . Bất phương trình f ex m 3ex 2019 có nghiệm trên ln 2;1 khi và chỉ khi: 4 4 A. m . B. m . 1011 2025 4 f e C. m . D. m . 3e 2019 3e 2019 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 0;1;1 , B 1;0;1 ,C 1;1;0 và D 2;3;4 . Hỏi có bao nhiêu điểm P cách đều các mặt phẳng ABC , BCD , CDA và DAB . A. 5.B. 0.C. 1.D. 4. Câu 47. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x;y thỏa mãn 2 2 2 log 2 2 4x 4y 6 m 1 và x y 2x 4y 1 0 . x y 2 Trang 6
7. A. S 5;5. B. S 7; 5; 1;1;5;7. C. S 5; 1;1;5. D. S 1;1. Câu 48. Có thể có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 0;2019 để 9n 3n 1 1 lim ? 5n 9n a 2187 A. 2018.B. 2011.C. 2012.D. 2019. Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. a 15 a 2 a 7 A. . B. . C. . D. 2a. 5 2 7 Câu 50. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị là hình cong trong hình vẽ dưới. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g ' x 0 . A. 8.B. 4. C. 6.D. 2. Đáp án 1-D 2-C 3-C 4-B 5-C 6-D 7-B 8-B 9-B 10-B 11-A 12-D 13-C 14-B 15-C 16-D 17-A 18-C 19-B 20-C 21-B 22-D 23-A 24-A 25-D 26-A 27-C 28-D 29-D 30-B 31-B 32-A 33-D 34-A 35-C 36-A 37-D 38-A 39-A 40-A 41-B 42-B 43-B 44-B 45-B 46-C 47-D 48-C 49-A 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC. OC  OA Ta có: OC  OAB . OC  OB Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. OAB vuông tại O M là tâm đường tròn ngoại tiếp OAB IO IA IB. Trang 7
8. I IN IO IC IO IA IB IC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC. 1 1 5 Ta có: OA 1, OB 2, OC 3 OM AB 12 22 . 2 2 2 9 5 14 R OI IM2 OM2 . 4 4 2 Câu 2: Đáp án C Ta có: u1 11; d 4 u99 u1 99 1 .d 11 98.4 403 . Câu 3: Đáp án C Hàm số y f x liên tục tại x 1 lim f x f 1 a x 1 x2 1 x 1 x 1 lim a lim a lim x 1 a 2 a. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x0 K . Hàm số y f x được gọi là hàm số liên tục tại x0 nếu lim f x f x0 . x x0 Câu 4: Đáp án B Xét tứ giác ABCE có AE / /BC, AE BC a ABCE là hình bình hành. Lại có A· BC 90 (giả thiết), AC BC ABCE là hình vuông cạnh a. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCE là a 2 R . d 2 Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp SA2 2a2 2a2 chóp S.ABCE là: R R2 a . 4 d 4 4 Lưu ý: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại h2 tiếp R R2 , trong đó h là chiều cao khối chóp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. 4 d d Câu 5: Đáp án C Với cos x 0 sin2 x 1 không phải là nghiệm của phương trình. Với cos x 0 sin2 x sin x Phương trình tương đương với: 3sin2 x 2sin x cos x cos2 x 0 3 2 1 0 cos2 x cos x tan x 1 x k ,k ¢ 2 4 3tan x 2tan x 1 0 1 . tan x 1 3 x arctan k ,k ¢ 3 Trang 8
9. 1 Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x arctan 0; . 3 2 Câu 6: Đáp án D Hàm số y x 4 x3 x 2019 có bao nhiêu điểm cực trị? y' 4x3 3x2 1 0 4x3 3x2 1 0 x 1 y'' 12x2 6x y'' 1 12 6 6 0 x 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị. Câu 7: Đáp án B x Hàm số f x xác định trên đoạn  2;3 . x 3 1.3 0.1 3 Ta có: f ' x 2 2 0,x  2;3 Hàm số luôn đồng biến trên đoạn  2;3 . x 3 x 3 x 3 1 GTLN của hàm số f x trên đoạn  2;3 là: f 3 . x 3 3 3 2 Phương pháp: Tìm GTLN của hàm số y f x trên a;b bằng cách: Giải phương trình y' 0 tìm các nghiệm xi . Tính các giá trị f a , f b , f xi (với xi a;b ). min f x min f a ; f b ; f xi  a ; b Khi đó: . max f x max f a ; f b ; f xi  a ; b Câu 8: Đáp án B Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy: Hàm số đồng biến trên ; 1 và 1; , hàm số nghịch biến trên 1;1 . Do đó chỉ có đáp án B đúng vì ; 2  ; 1 Hàm số đồng biến trên ; 2 . Câu 9: Đáp án B Ta có: lim y Loại các đáp án A và D. x Đồ thị hàm số đi qua điểm 0; 1 Loại đáp án C. Câu 10: Đáp án B 1 1 1 1 190 Với x 0, x 1 ta có: log log log log log 3 x 32 x 33 x 3n x 3 x Trang 9
10. 2 n 2 3 n logx 3 logx 3 logx 3 190.logx 3 logx 3.3 .3 3 190.logx 3 n n 1 log 31 2 3 n 190.log 3 190 n n 1 380 n 19 x x 2 P 2n 3 2.19 3 41. n n 1 Lưu ý: Sử dụng các công thức log m b log b và log a (giả sử các biểu thức là có nghĩa). a a b m loga b Câu 11: Đáp án A 2018 2018 k k 2018 k Ta có: 2x 3  C2018 2x . 3 , do đó khai triển trên có 2019 số hạng. k 0 Câu 12: Đáp án D 1 2 2 Ta có: V V V V V V V . ABCA' B' ABC.A' B'C' A.A' B'C' ABC.A' B'C' 3 ABC.A' B'C' 3 ABC.A' B'C' 3 Câu 13: Đáp án C 5 Ta có: A5 80. 1 6,9% 111,68 (triệu đồng). Lưu ý: n Sử dụng công thức lãi kép: An A 1 r . Trong đó: A: tiền gốc. r: lãi suất. n: thời gian gửi tiết kiệm. Câu 14: Đáp án B Ta có bảng xét dấu của f ' x như sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có: Hàm số nghịch biến trên ;1 , 1,2 và đồng biến trên 2; . Dựa vào đồ thị của hàm số y f ' x ta thấy f ' x đồng biến trên khoảng 2; y f x đồng biến trên 2; . Trang 10
11. Câu 15: Đáp án C Gọi M là trung điểm của AB ta có: ABC đều CM  AB . ABD đều DM  AB . AB  MCD AB  CD ·AB,CD 90 Câu 16: Đáp án D 6 Ta có: I 2x 3x 2 dx . t 2 1 Đặt 3x 2 t x dx dt . 3 3 8 7 2 6 2 7 6 2 t 2t 1 8 4 7 Suy ra I t 2 t dt t 2t dt C t t C 9 9 9 8 7 36 63 1 A 1 8 4 7 36 1 4 7 I 3x 2 3x 2 C 12A 7B 12. 7. . 36 63 4 36 63 9 B 63 Câu 17: Đáp án A 2 x 1 1 1 1 Ta có: 0 2 1;a 0 2 1 2x 1 0 x . 1 a 1 a 2 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; . 2 a 1 x b Lưu ý: ax ab . 0 a 1 x b Câu 18: Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 4 . Chú ý khi giải: Học sinh rất hay kết luận nhầm hàm số đạt cực đại tại x 3. Câu 19: Đáp án B x2 2 x x2 2 x 0 2 x 0 Ta có: 3 1 3 3 x 2x 0 . x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 2 . Câu 20: Đáp án C Ta có: a i 2 j 3k a 1;2; 3 . Câu 21: Đáp án B Đáp án A: Ta có: a 3 1 hàm số đồng biến trên 0; . Trang 11
12. Đáp án B: Ta có: 0 a 1 hàm số nghịch biến trên 0; . 4 Câu 22: Đáp án D Gọi H là trung điểm của AB. SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC SH  ABC . a 3 SAB đều cạnh a SH . 2 1 1 3 a2 3 S .AB.AC.sin A a2. . ABC 2 2 2 4 1 1 a 3 a2 3 a3 V .S .SH . . . SABC 3 ABC 3 2 4 8 Câu 23: Đáp án A Hàm số y ln x2 2x m 1 xác định trên ¡ x2 2x m 1 0,x ¡ a 0 1 0 m m 0. ' 0 1 m 1 0 m ¢ m ¢ Mà m 2018; 2017; ; 1. m  2018;2018 m  2018;0 Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 24: Đáp án A Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y f ' x cắt trục Ox tại 1 điểm qua điểm đó hàm số y f ' x đổi dấu từ âm sang dương nên điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số y f x . Câu 25: Đáp án D Hình trụ có thiết diện đi qua trục là hình vuông có cạnh bằng 4a 2R h 4a R 2a với R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. 2 Sxq 2 Rh 2 .2a.4a 16 a . Câu 26: Đáp án A Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng SAC , SBD , SEG , SFH như hình vẽ với F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trang 12
13. Câu 27: Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại yC§ 2 và đạt cực tiểu tại x 3, giá trị cực tiểu yCT 1. Lưu ý: Hàm số y f ' x không xác định tại x 3, nhưng x 3 vẫn là điểm cực tiểu của hàm số vì đi qua điểm x 3 thì y’ đổi dấu từ âm sang dương. Câu 28: Đáp án D 3 2 2 1 x 3x Ta có: I x 3x dx ln x C . x 3 2 Lưu ý: Chú ý dùng dấu giá trị tuyệt đối khi có ln x , học sinh có thể chọn nhầm đáp án C. Câu 29: Đáp án D 10 2 6 10 Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx . 0 0 2 6 2 10 10 6 P f x dx f x dx f x dx f x dx 7 3 4. 0 6 0 2 b c c Lưu ý: Sử dụng tính chất của tích phân: f x dx f x dx f x dx . a b a Câu 30: Đáp án B TXĐ: D ¡ . y 0 m x 0 1;1 2   Ta có: y' 3x 6x 0 y 1 m 2 min y m 4 0 m 4.  1;1 x 2  1;1 y 1 m 4 Câu 31: Đáp án B Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng: y ax3 bx2 cx d (với a 0 ). Đồ thị hàm số đi qua các điểm 2; 1 , 1;3 , 1; 1 , 2;3 . 1 8a 4b 2c d a 1 3 a b c d b 0 3 y x 3x 1. 1 a b c d c 3 3 8a 4b 2c d d 1 Khi đó ta có đồ thị hàm số y x3 3 x 1 như hình vẽ sau. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị. Lưu ý: Cách 1: Sử dụng quy tắc vẽ đồ thị hàm số y f x để tìm số điểm cực trị của hàm số. Trang 13
14. Cách 2: Tìm hàm số y f x dựa vào đồ thị hàm số sau đó suy ra hình dáng của đồ thị hàm số y f x để tìm số điểm cực trị của hàm số. Câu 32: Đáp án A Ta có: F x f x dx F ' x f x x cos x F ' x 0 0 x 0 g x x cos x 0 x2 Xét hàm số g x x cos x 0 ta có: g ' x 1 sin x 0,x ¡ . Do đó hàm số g x đồng biến trên ¡ Phương trình g x 0 có nghiệm duy nhất. Câu 33: Đáp án D Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abcd a,b,c,d 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Số cần lập chia hết cho 15 nên nó chia hết cho 3 và 5. Số cần lập chia hết cho 5 nên ta có: d 5 d có 1 cách chọn. Số cần tìm có dạng: abc5 . Số cần lập chia hết cho 3 nên a b c 5 3. Chọn a có 9 cách chọn, chọn b có 9 cách chọn. + Nếu a b 5 3 c 3;6;9 c có 3 cách chọn. + Nếu a b 5 chia cho 3 dư 1 c 2;5;8 c có 3 cách chọn. + Nếu a b 5 chia cho 2 dư 2 c 1;4;7 c có 3 cách chọn. Có 3 cách chọn c. Như vậy có: 9.9.3.1 243 cách chọn. Vậy có 243 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lưu ý: Số tự nhiên chia hết cho 15 thì chia hết cho 3 và chia hết cho 5. Câu 34: Đáp án A Lấy điểm A' O' , B' O sao cho AA’, BB’ song song với trục OO’. Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB’.O’A’B. Ta có: VOO' AB VOAB'.O' A'B VA.O' A'B VB.OAB' 1 1 1 V V V V OAB'.O' A'B 3 OAB'.O' A'B 3 OAB'.O' A'B 3 OAB'.O' A'B 1 1 1 V .AA'.S .AA'.OA.OB.sin A· OB' .2a.2a.2a.sin A· OB' OO' AB 3 OAB' 6 6 1 4a3 .8a3.sin A· OB' sin A· OB' 6 3 · · Do đó để VOO' AB lớn nhất sin AOB' 1 AOB' 90 OA  OB' . O' A'  O' B O' A' B vuông tại O' A' B 2O' A' 2a 2 . Trang 14
15. AA' 2a 1 Ta có: AA'  O' A' B ·AB, O' A' B ·ABA' tan . A' B 2a 2 2 Câu 35: Đáp án C 1 1 x 3x 1 0 x Điều kiện: 3 3 4 3x 1 3x 5 0 2 3x 1 4 3x 1 4 0 3x 1 2 0 1 1 1 x x x 3 3 3 3x 1 2 0 3x 1 4 x 1 x 1 x 1 3x 1 2 Ta có: lim lim lim . 1 1 2 1 x 4 3x 1 3x 5 x 3x 1 2 x 3 3x 1 2 x 1 là đường TCĐ của đồ thị hàm số. x 1 1 1 lim y là đường TCN của đồ thị hàm số. x 4 3x 1 3x 5 3 3 Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Lưu ý: Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số. g x y f x lim f x . h x x a Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f x lim f x b . x Dạng Dữ liệu Thao tác lim f x x lim f x CASIO hỗ trợ tính x lim f x giới hạn x a Nhập f x lim f x x a lim f x x a Câu 36: Đáp án A Trong SBC qua G kẻ MN / /BC M SB,N SC . Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng AMN . Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC. Gọi H là trung điểm của BC. Trang 15
16. SM SN 2 SG Vì MN / /BC ; theo định lý Ta-lét ta có: . SB SC 3 SH VS.AMN SM SN 2 2 4 4 . . VS.AMN VS.ABC . VS.ABC SB SC 3 3 9 9 5 Mà V V V V V V . S.AMN AMNBC S.ABC AMNBC 9 S.ABC AC 1 Ta có ABC vuông cân tại B AB BC a S a2 . 2 ABC 2 1 1 1 a3 V .SA.S .a. .a2 . S.ABC 3 ABC 3 2 6 5 a3 5a3 Vậy V . . 9 6 54 V SA' SB' SC' Công thức tỉ số lượng giác: Cho chóp S.ABC, A' SA, B' SB,C' SC . Khi đó S.A'B'C' . . . VS.ABC SA SB SC Câu 37: Đáp án D Đặt SA SB a,SB AC b,SC AB c . Dựng hình chóp S.A’B’C’ sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’. Dễ thấy ABC đồng dạng với A' B'C' theo tỉ số 1 S ABC 1 1 VS.ABC .VS.A'B'C' . 2 S A'B'C' 4 4 Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A’B’C’. A' B' 2AB 2c;B'C' 2BC 2a; A'C' 2AC 2b . SA' B', SB'C', SC' A' là các tam giác vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) SA',SB',SC' đôi một vuông góc. 1 1 V .SA'.SB'.SC' V .SA'.SB'.SC' . S.A'B'C' 6 S.ABC 24 2 2 2 2 2 2 2 SA' 2 b c a SA' SB' 4c 2 2 2 2 2 2 2 Áp dụng định lí Pytago ta có: SB' SC' 4a SB' 2 a c b . 2 2 2 SA' SC' 4b 2 2 2 2 SC' 2 a b c 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 VS.ABC . 8 b c a a c b a b c b c a a c b a b c . 24 6 2 390 Thay a 3,b 4,c 2 5 V . S.ABC 4 Câu 38: Đáp án A Trang 16
17. OA a Giả sử A a;0;0 , B 0;b;0 . OB b Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC. OC  OA Ta có: OC  OAB . OC  OB Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. OAB vuông tại O M là tâm đường tròn ngoại tiếp OAB IO IA IB. I IN IO IC IO IA IB IC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC. 1 1 Ta có: OM AB a2 b2 . 2 2 2 2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 a 1 a 1 2a2 2a 2 R OI IM2 OM2 4 4 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 2 a 2.a. 2 a 2 a a 1 2 4 4 2 2 6 . 2 2 2 4 390 Vậy a 3,b 4,c 2 5 V S.ABC 4 Câu 39: Đáp án A Gọi I là trung điểm của SA. Tam giác SAB, SAC vuông tại B,C IS IA IB IC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Gọi H là trung điểm của BC. Vì ABC vuông tại A H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IH  ABC . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo đề bài ta có: 4 5 5 5 5 125 R3 R3 3 6 8 8 . 5 5 R IS IA IB IC 2 2 Xét tam giác vuông ABC có: BC AB2 AC2 2 AH 1. 5 1 Xét tam giác vuông IAH có: IH IA2 AH2 1 . 4 2 1 1 3 1 1 1 3 S .AB.AC .1. 3 V .IH.S . . . ABC 2 2 2 I.ABC 3 ABC 3 2 2 Trang 17
18. d S; ABC SA VS.ABC 3 3 Ta có: SI  ABC A 2 2 VS.ABC 2VI.ABC 2. . d I; ABC IA VS.IBC 12 6 5 Xét tam giác vuông SAB có IB SA 2IB 5 SB SA2 AB2 2 . 2 1 S .1.2 1 . SAB 2 3 3. 1 3VS.ABC 6 3 Ta có: VS.ABC d C; SAB .S SAB d C; SAB . 3 S SAB 1 2 Câu 40: Đáp án A 2 2 2 2 2 2 Ta có: 4xf x 6 f 2x 4 x 4xf x 6 f 2x dx 4 x dx . 0 0 4I1 6I2 I . 2 1 2 1 4 Trong đó: 2 2 2 . I1 xf x dx f x d x f x dx 0 2 0 2 0 2 1 2 1 4 2 2 2 . I2 f x dx f x d x f x dx 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 I 4 x dx 2 4 4sin t cos t dt 4 cos t dt 2 1 cos 2t dt 2t sin 2t 0 0 0 0 0 I I 1 4 4 Khi đó ta có hệ: 1 2 hay . I1 I2 f x dx f x dx 4I1 6I2 10 2 0 10 0 5 Câu 41: Đáp án B Điều kiện: 1 x2 0 1 x 1. t2 1 Đặt x 1 x2 t t2 x2 1 x2 2x 1 x2 1 2x 1 x2 x 1 x2 . 2 Ta có: t x x 1 x2 , x  1;1. x 0 x 1 x2 x x 0 2 ' 1 0 1 2 . t x x x 2 2 2 1 x 1 x2 1 x2 1 x x x 2 2 Bảng biến thiên: Trang 18
19. 1; 2 Từ bảng biến thiên ta có: t . 2 m 3m t 1 2 3 Khi đó phương trình trở thành: e e 2t 1 t t 1 t t * . 2 Xét hàm số f t t3 t ta có f ' t 3t2 1 0,t Hàm số đồng biến trên ¡ Hàm số đồng biến trên 1; 2 . m m 1 Từ * f e f t e t m ln t m 0;ln 2 0; ln 2 . 2 Câu 42: Đáp án B Ta có: y' f ' x 2017 2018 0 . Từ bảng xét dấu của f '' x ta suy ra bảng biến thiên của f ' x như sau: x 2017 2 x1 2015 Từ bảng biến thiên ta có: f ' x 2017 2018 . x 2017 a 0 x2 2017 Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f ' x 2017 2018 như sau: Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x lên trên 2018 đơn vị. Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x sang trái 2017 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 2017 2018x : Vậy hàm số đạt GTNN tại x2 2017 . Câu 43: Đáp án B Ta có: y sin3 x 3cos2 x msin x 1 sin3 x 3sin2 x msin x 4 . Trang 19
20. Đặt t sin x , với x 0; t 0;1 . 2 Bài toán trở thành tìm m để hàm số y t3 3t2 mt 4 đồng biến trên 0;1. TXĐ: D ¡ . Ta có: y' 3t2 6t m . Để hàm số đồng biến trên 0;1 y' 0 t 0;1 3t2 6t m 0,t 0;1 m 3t2 6t t 0;1 m f t 3t2 6t t 0;1 m min f t 0;1 Xét hàm số f t 3t2 6t ta có TXĐ: f 0 0; f 1 9 min f t 0 m 0 . 0;1 m 2019;0 Kết hợp điều kiện đề bài Có 2019 giá trị của m thỏa mãn. m ¢ Câu 44: Đáp án B Không gian mẫu: n  9.103 9000. Gọi A là biến cố: “số được chọn có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 ”. TH1: 1 a b c d 9 4 Chọn ngẫu nhiên 4 số trong các số từ 1 đến 9 có C9 126 cách. Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, b, c, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 126 số thỏa mãn. TH2: 1 a b c d 9 . Số cần tìm có dạng aacd . 3 Chọn ngẫu nhiên 3 số trong các số từ 1 đến 9 có C9 84 cách. Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, c, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 84 số thỏa mãn. Tương tự như vậy, các trường hợp 1 a b c d 9,1 a b c d 9 , mỗi trường hợp cũng có 84 số thỏa mãn. TH3: 1 a b c d 9 . Số cần tìm có dạng aaad . 2 Chọn ngẫu nhiên 2 số trong các số từ 1 đến 9 có C9 36 cách. Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 36 số thỏa mãn. Tương tự như vậy, các trường hợp 1 a b c d 9,1 a b c d 9 , mỗi trường hợp cũng có 36 số thỏa mãn. TH4: 1 a b c d 9 . Số cần tìm có dạng aaaa . Có 9 số thỏa mãn n A 126 3.84 3.36 9 495. 495 Vậy P A 0,055 . 9000 Trang 20
21. Câu 45: Đáp án B Đặt t ex . Do x ln 2;1 t 2;e . Bất phương trình đã cho trở thành: f t m 3t 2019 có nghiệm trên 2;e . f t m có nghiệm trên 2;e . 3t 2019 f t Xét hàm số g t trên 2;e . 3t 2019 Bài toán trở thành tìm m để m g t có nghiệm trên 2;e m min g t . 2;e f ' t . 3t 2019 3 f t Ta có: g ' t 2 0. 3t 2019 f ' t 0 Nhận xét: Với t 2;e 2025 3t 2019 3e 2019 g ' x 0 . 4 f t 0 f 2 4 Do đó ta có: m min g t g 2 . 2;e 2025 2025 4 Vậy m . 2025 Câu 46: Đáp án C    Ta kiểm tra AB, AC .AD 0 nên các điểm A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện. Do đó điểm cách đều bốn mặt phẳng của tứ diện chính là tâm mặt cầu nội tiếp của nó. Câu 47: Đáp án D 2 2 2 Ta có: log 2 2 4x 4y 6 m 1 log 2 2 x y 2 x y 2 x y 2 4x 4y 6 m2 x2 y2 2 do x2 y2 2 1 x2 y2 4x 4y m2 8 0 1 . Ta có: a2 b2 c 4 4 m2 8 m2 2 . 2 2 2 2 x 2 TH1: m 0 1 : x y 4x 4y 8 0 x 2 y 2 0 . y 2 Cặp số x;y 2;2 không thỏa mãn điều kiện (2). 2 TH2: m 0 m 0 Tập hợp các cặp số x;y thỏa mãn (1) là hình tròn C1 (kể cả biên) tâm I1 2;2 , bán kính R1 m . Tập hợp các cặp số x;y thỏa mãn (2) là đường tròn C2 tâm I2 1;2 bán kính R2 1 4 1 2 . Để tồn tại duy nhất cặp số x;y thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2). Trang 21
22. Suy ra xảy ra 2 trường hợp sau: 2 2 + C1 ; C2 tiếp xúc ngoài I1I2 R1 R2 1 2 2 2 m 2 3 m 2 m 1 (thỏa mãn). m 5 I1I2 R1 R2 3 m 2 + C1 ; C2 tiếp xúc trong và R1 R2 m 1 m 1 (thỏa mãn). m 2 m 2 m 2 Vậy S 1 . Câu 48: Đáp án C n 3 n n 1 n n 1 3. 9 3 9 3.3 9 1 1 1 1 a 7 Ta có: lim n n a lim n n a lim n a a 7 3 3 a 7. 5 9 5 9 .9 5 a 3 3 2187 3 9 9 a 7;2019 Kết hợp điều kiện đề bài: a 7;8;9; ;2018 . a ¢ Vậy có 2018 7 1 2012 giá trị của a thỏa mãn. Câu 49: Đáp án A Ta có SA  ABC AB là hình chiếu của SB lên ABC . ·SB, ABC ·SB, AB S·BA 60 . Dựng hình bình hành ACBD. Ta có: BD / / AC SBD / / AC . d AC;SB d AC; SBD d A; SBD . Do tam giác ABC đều AC CB AB a . Mà AC BD;CB AD AB AD BD a ABD đều cạnh a. a 3 Gọi M là trung điểm của BD AM  BD và AM . 2 BD  AM Ta có: BD  SAM . BD  SA SA  ABCD Trong SAM kẻ AH  SM AH  BD BD  SAM AH  SBD . d A; SBD AH d AC;SB AH . Xét tam giác vuông SAB ta có SA AB.tan60 a 3 . a 3 a 3. SA.AM a 15 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: AH 2 . SA2 AM2 3a2 5 3a2 4 Trang 22