Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 8 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 8 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 8 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A 1;4; 7 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 có phương trình là x 1 y 4 z 7 x 1 y 4 z 7 A. . B. . 1 2 2 1 4 7 x 1 y 4 z 7 x 1 y 4 z 7 C. . D. . 1 2 2 1 2 2 Câu 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ; x 1 x 1 A. y x3 2x 1. B. y . C. y . D. y x3 3x 3. x 2 x 1 Câu 3. Tìm phần ảo của số phức z 2i 2 i . A. 2. B. 4i. C. 4. D. 2. 2 Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số y log2 2x x 1 1 1 A. D ;  1; . B. ; 1; . 2 2 1 1 C. ;1 . D. ;1 . 2 2 Câu 5. Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. B. Mỗi đỉnhlà đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. 1 Câu 6. Biết F x là nguyên hàm của f x 4x3 3x thỏa mãn 5F 1 F 2 43 Tính F 2 . x2 151 45 86 A. . B. 23.C. . D. . 4 2 7 Câu 7. Cho cấp số cộng có u1 2018,d 3. Khi đó u5 bằng A. 2020. B. 2006. C. 2019.D. 2006. Câu 8. Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? Trang 1
2. A. y x4 x2 2. B. y 2x4 x2 1. C. y 2x4 3x2 2. D. y x4 2x2 2. Câu 9. Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 ,C 0;0; 2 . A. 4x 3y 6z 12 0. B. 4x 3y 6z 12 0. C. 4x 3y 6z 12 0. D. 4x 3y 6z 12 0. e 3ln x 1 a a Câu 10. Biết rằng I dx trong đó a và b là những số nguyên dương và phân số tối 1 x b b giản. Khi đó giá trị tổng của P a 2b tương ứng bằng A. 23.B. 29.C. 32.D. 35. x 1 Câu 11. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là x2 x 20 A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Câu 12. Cho hình nón có bán kính đáy r 3 và độ dài đường sinh l 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho. A. Sxq 12 . B. Sxq 4 3 . C. Sxq 39 . D. Sxq 8 3 . 1 2x Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình log 0 là 1 x 1 1 1 1 1 A. S ; . B. 0; . C. ; . D. S ; . 3 3 3 2 3 Câu 14. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 2, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ: Trang 2
3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1;1 . B. 1;1. C. 2; 1 . D. 2; 1 . Câu 15. Một khối trụ có bán kính R, chiều cao h và thể tích V1. Tăng bán kính đáy lên gấp đôi, chiều cao khối trụ không đổi thì thể tích khối trụ khi đó A. Tăng gấp đôi.B. Tăng gấp 4 lần.C. Không đổi.D. Giảm một nửa. Câu 16. Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x3 3x2 m nhận điểm A 1;3 làm tâm đối xứng A. m 4. B. m 5. C. m 3. D. m 2. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD . Góc giữa SC và ABCD là 45. Thể tích khối chóp S.ABCD là a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. a3 2. C. . D. . 2 6 3 x2 x 12 khi x 4 Câu 18. Tìm tham số thực m để hàm số y f x x 4 liên tục tại điểm x0 4 mx 1 khi x 4 A. m 4. B. m 3. C. m 2. D. m 5. Câu 19. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 1. Tính z1 z2 3 A. 3. B. 2 3. C. 1. D. . 2 Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P đi qua điểm H 1; 2;3 và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B và C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng P là A. P : x 2y 3z 13 0. B. P : x 2y 3z 13 0. C. P : x 2y 3z 13 0. D. P : x 2y 3z 13 0. 1 1 1 1 Câu 21. Cho 0 x 1,0 a 1 và M . Khẳng định nào sau log x log x log x log x a a3 a5 a2019 đây là đúng? 20202 2018.1010 A. M . B. M . loga x loga x 2020.1010 10102 C. M . D. M . loga x loga x Trang 3
4. 1 Câu 22. Cho đồ thị hàm số y x4 2x2 1 có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động 3 lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là 2 3 A. 2 3. B. . C. 4. D. 2. 3 x Câu 23. Tổng các nghiệm của phương trình log2 17.2 8 2x bằng A. 1.B. 2.C. 2. D. 3. 1 2n 2 5n2 a b a Câu 24. Cho lim (với là phân số tối giản). Khẳng định nào sau đây là sai? 3n4 2 c c ab 0 ac A. abc 0. B. . C. 1 ¢ . D. a b c 0. bc 0 b Câu 25. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2018x.ln 2018 cos x và f 0 2. Khẳng định nào đúng? 2018x A. f x 2018x sin x 1. B. f x sin x 1. ln 2018 2018x C. f x sin x 1. D. f x 2018x sin x 1. ln 2018 Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 z 4 10. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một hình phẳng có diện tích bằng A. 20 . B. 15 . C. 12 . D. 16 . Câu 27. Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồng.B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng.D. 200 triệu đồng. 2 Câu 28. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0. Giá trị của biểu thức 2019 2019 z1 1 z2 1 bằng A. 21009. B. 21010. C. 0.D. 21010. Câu 29. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có ABCD là hình chữ nhật A A A B A D. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D biết rằng AB a, AD a 3, A A 2a. A. 3a3. B. a3. C. a3 3. D. 3a3 3. Trang 4
5. Câu 30. Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức z1, z2 , z3 với z3 z1, z3 z2 . Biết z1 z2 z3 và z1 z2 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tam giác ABC vuông tại C.B. Tam giác ABC đều. C. Tam giác ABC vuông cân tại C.D. Tam giác ABC cân tại C. 2cos x 3 Câu 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng 2cos x m 0; . 3 m 3 3 m 1 A. m 3. B. . C. m 3. D. . m 2 m 2 Câu 32. Cho tập X 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau 4 (I) “Có A9 số có 4 chữ số được lập từ tập X” 5 (II) “ A10 là một tổ hợp chập 3 của X” (III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X” A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. 1 Câu 33. Cho hàm số f x . Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị hàm số x y F x đi qua M 1;0 thì F x là 1 1 A. F x ln x 1. B. F x 1. C. F x ln x . D. F x . x2 x2 Câu 34. Một nhóm gồm 120 diễn viên quần chúng biểu diễn một tiết mục cần xếp thành hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ hai có 2 người, hàng thứ ba có 3 người, Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng? A. 10.B. 12.C. 15.D. 20. Câu 35. Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết f x . f 1 x 1 với 1 dx x 0;1. Tính giá trị I 0 1 f x 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là V1,V2 với V1 V1 V2. Tính tỉ số . V2 Trang 5
6. V 1 V 3 V 5 V 3 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 4 V2 8 V2 8 V2 5 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0;0 , B 0;0;2 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 1 0. Số mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt cầu S là A. 1 mặt phẳng.B. 2 mặt phẳng. C. 0 mặt phẳng.D. Vô số mặt phẳng. Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a 2, BC a, SC 2a và S· CA 30. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. a 3 a A. R . B. R a. C. R . D. R a 3. 2 2 Câu 39. Phương trình x2 2x x 1 m (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Câu 40. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2 để hàm số y f x 2018 m có 5 điểm cực trị? A. 0.B. 1. C. 2. D. 3. Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 0; 1;2 và hai đường thẳng x 1 y 2 z 3 x 1 y 4 z 2 d : , d : . Phương trình đường thẳng đi qua M, cắt cả d và d là 1 1 1 2 2 2 1 4 1 2 x y 1 z 3 x y 1 z 2 A. . B. . 9 9 8 3 3 4 2 2 x y 1 z 2 x y 1 z 2 C. . D. . 9 9 16 9 9 16 2 2 Câu 42. Cho phương trình 4x 2x 1 m.2x 2x 2 3m 2 0. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt A. 2; . B. 2; . C. ;1  2; . D. 1; . Câu 43. Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối nón thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là Trang 6
7. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 7 Câu 44. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích là V và độ dài cạnh bên là AA 6. Cho điểm A1 thuộc cạnh AA sao cho AA1 2. Các điểm B1,C1 lần lượt thuộc cạnh BB ,CC sao cho 1 BB x,CC y. Biết rằng thể tích khối đa diện ABC.A B C bằng V. Giá trị của x y bằng 1 1 1 1 1 2 A. 10.B. 4.C. 16.D. 7. 4 Câu 45. Biết rằng F x tan xdx và F 0 3F 6. Khi đó giá trị của biểu thức F F 3 3 tương ứng bằng A. 8 2ln 2. B. 8.C. 4 4ln 2. D. 6 2ln 2. Câu 46. Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất. Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra? 3 V 3 V A. h 0. B. h . C. h 2 3 V . D. h . 2 Câu 47. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f 0 1 và 2 3 2 2 x 3x . f x f x . f 2 x e2x 4x với mọi x 0;2. Tính tích phân I dx. 0 f x 14 32 16 16 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 5 3 5 Câu 48. Cho đa giác đều 100 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của 1 tam giác tù là 3 16 8 4 A. . B. . C. . D. . 11 33 11 11 2 y Câu 49. Cho hai số thực x 0, y 1 thỏa mãn 2x y 1 log x log . Giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 y 1 1 thức P x2 y bằng Trang 7
8. 1 3 1 A. 1.B. . C. . D. . 2 4 4 Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C ' D có AB BC, BC 3cm. Hai mặt phẳng ACC A và BDD B hợp với nhau góc 0 . Đường chéo B D hợp với mặt phẳng CDD C một góc β 2 0  . Hai góc ,  thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp ADD A .BCC B luôn là hình lăng trụ đều. 2 Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp ABCD.A B C D là A. 3cm3. B. 2 3cm3. C. 6 3cm3. D. 12 3cm3. Đáp án 1-D 2-D 3-C 4-A 5-C 6-B 7-D 8-A 9-D 10-C 11-B 12-B 13-C 14-D 15-B 16-B 17-D 18-C 19-A 20-A 21-D 22-D 23-D 24-C 25-D 26-B 27-A 28-D 29-A 30-A 31-C 32-B 33-C 34-C 35-B 36-D 37-A 38-B 39-B 40-C 41-C 42-B 43-D 44-D 45-A 46-A 47-D 48-C 49-A 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D Đường thẳng đi qua điểm A 1;4; 7 và vuông góc với mặt phẳng x 2y 2z 3 0 nên có một vectơ x 1 y 4 z 7 chỉ phương u 1;2; 2 có phương trình là . 1 2 2 Câu 2: Đáp án D Loại ngay đáp án B, C vì hàm bậc một nếu có đồng biến thì đồng biến trên từng khoảng xác định. Loại đáp án A vì phương trình y 3x2 2 0 có 2 nghiệm phân biệt. Đáp án D: Ta có y 3x2 3 0,x ¡ ; suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ¡ . Câu 3: Đáp án C Ta có: z 2i 2 i 4i 2. 1 2 4i. Vậy phần ảo của số phức z là 4. Câu 4: Đáp án A 1 2 x Điều kiện: 2x x 1 0 2 . x 1 Trang 8
9. 1 Tập xác định D ;  1; . 2 Câu 5: Đáp án C Mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của 2 mặt. Câu 6: Đáp án B 1 3 Ta có F x x4 x2 C. x 2 7 45 1 Theo giả thiết 5F 1 F 2 43 5 C C 43 C . 2 2 2 1 3 1 Do đó F x x4 x2 F 2 23. x 2 2 Câu 7: Đáp án D Ta có: un u1 n 1 d u5 u1 4d 2018 3.4 2006. * Tổng quát khi biểu diễn số dạng un về số dạng uk (với 1 k n;k ¥ ): un uk n k d. Câu 8: Đáp án A Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0; 2 loại đáp án B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị ab 0 nên ta loại đáp án C. Đồ thị hàm số quay lên nên ta loại đáp án D. Câu 9: Đáp án D x y z Mặt phẳng có phương trình là: : 1 4x 3y 6z 12 0. 3 4 2 Phương trình mặt chắn x y z : 1 a b c cắt các trục tại A a;0;0 , B b;0;0 ,C c;0;0 với abc 0. Câu 10: Đáp án C dx Đặt t ln x dt . x 1 14 a I 3t 1dt a 2b 32. 0 9 b Câu 11: Đáp án B TXD: D 1; \ 5 x 1 lim y lim 0 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y 0 làm đường tiệm cận ngang. x 2 x 5 x x 20 Trang 9
10. lim y , lim nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 5 làm đường tiệm cận đứng. x 5 x 5 Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận. Câu 12: Đáp án B Ta có Sxq Rl. Nên Sxq 3.4 4 3 . Câu 13: Đáp án C 1 Điều kiện: 0 x . 2 1 2x 1 2x 1 Ta có: log1 0 1 (vì 0 1) 3 x x 3 1 2x 1 3x 1 0 0. x x 1 1 1 Mặt khác x 0; x . 2 2 3 Dấu của biểu thức log 0 a,b 1 0 a 1 b loga b 0 và loga b 0 1 a,b 0 b 1 a Câu 14: Đáp án D Phương trình f x m có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: 2 m 1. Câu 15: Đáp án B 2 Khối trụ ban đầu có thể tích là V1 R h. 2 2 Sau khi tăng lên thì khối trụ có thể tích: V2 . 2R h 4 R h 4V1. Câu 16: Đáp án B 3 2 Ta có: y x 3x m 6x 6 0 x 1 y 1 m 2. Đồ thị hàm số nhận điểm A 1;3 làm tâm đối xứng khi và chỉ khi Trang 10
11. y 1 3 m 2 3 m 5. Câu 17: Đáp án D Góc giữa SC và ABCD là S· CA 45. Xét SAC có SA AC a 2 (và SAC vuông cân tại A) 1 1 a3 2 Vậy V SA.S a 2a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 18: Đáp án C Tập xác định D ¡ . Ta có f 4 4m 1. x2 x 12 x 4 x 3 lim f x lim lim lim x 3 7. x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 Hàm số liên tục tại x0 4 khi lim f x f 4 4m 1 7 m 2. x 4 Câu 19: Đáp án A 2 2 2 Ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 z1.z2 z1.z2 1 2 2 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 3. Từ đó suy ra z1 z2 3. Câu 20: Đáp án A Gọi A a;0;0 Ox, B 0;b;0 Oy,C 0;0;c Oz. x y z Phương trình mặt chắn của P : 1. a b c     Ta có: AH 1 a; 2;3 , BH 1; 2 b;3 , BC 0; b;c , AC a;0;c . Để H là trực tâm tam giác ABC thì   a 13 AH.BC 0 2b 3c 0 a 2b   13 BH.AC 0 a 3c 0 a 3c b . 2 H ABC 1 2 3 1 4 9 1 1 13 a b c a a a c 3 Do đó P : x 2y 3z 13 0. Trang 11
12.  Cách 2: Dễ thấy OH  P nên P qua H và nhận OH làm vectơ pháp tuyến Do đó P : x 2y 3z 13 0. Câu 21: Đáp án D Với điều kiện 0 x 1,0 a 1. 3 5 2019 Ta có: M log x a log x a log x a log x a 3 5 2019 log x a.a .a a 1 3 5 2019 log x a * 2 2 1010 1010 .log x a . loga x loga y1.y2 yn loga y1 loga y2 loga yn (với a, y1, y2 , , yn 0;a 1) Công thức: 1 3 5 2n 1 n2. Chứng minh dựa vào tính tổng của một CSC với u1 1,un 2n 1,d 2. n n Khi đó tổng S u u 1 2n 1 n2 2 1 n 2 Câu 22: Đáp án D Dễ thấy ABC là tam giác đều, nên có thể giả sử tọa độ ba điểm cực trị của hàm số đã cho là A 0; 1 , B 3; 4 ,C 3; 4 . Đặt AM x, AN y x, y 0 . 2 1 1 2 3 3 Từ giả thiết suy ra xy sin 60 xy 4. 2 3 4 Lại có MN 2 x2 y2 2xy cos60 2xy 4 4. GTNN của độ dài đoạn thẳng MN là 2. 1 Công thức tính diện tích tam giác thông thường khác: S AB.AC.sin A. ABC 3 Câu 23: Đáp án D Điều kiện: 17.2x 8 0. 2 Phương trình tương đương với: 17.2x 8 22x 2x 17.2x 8 0. Đặt 2x t (với t 0 ). Khi đó phương trình trở thành: t 2 17t 8 0. Phương trình có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1.t2 8 x1 x2 x1 x2 3 2 .2 8 2 2 x1 x2 3. x1 x2 x1 x2 Bài toán không cần tính cụ thể x1, x2 mà ta chỉ cần sử dụng tính chất a .a a . Trang 12
13. Câu 24: Đáp án C 1 2 2 2 5 1 2n 2 5n 2 2 5 2 15 Ta có: lim lim n n a 2,b 15,c 3 4 2 3 3 3n 2 3 n4 ac 2.3 3 Khi đó 1 1 ¢ b 15 5 Câu 25: Đáp án D x x f x 2018 ln 2018 cos x dx f x 2018 sin x C Ta có: 0 f 0 2 2 2018 sin 0 C f x 2018x sin x 1. Câu 26: Đáp án B Giả sử z x yi x, y ¡ M x, y là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng Oxy, A 4;0 , B 4;0 tương ứng là các điểm biểu diễn số phức z1 4, z2 4 Theo bài ra z 4 z 4 10 MA MB 10 2a a 5. AB 8 2c c 4 b a2 c2 3 x2 y2 Vậy tập hợp điểm M là elip có hai tiêu điểm A, B. Phương trình elip: 1. 25 9 Diện tích của elip: S ab 15 . Câu 27: Đáp án A Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy, vì OI 30 mét nên I 0;30 . Phương trình hai đường tròn lần lượt là x2 y2 202 và x2 y 30 2 152. Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó. 5 455 2 2 2 x x y 20 12 Tọa độ A, B là nghiệm của hệ . x2 y 30 2 152 215 y 12 Tổng diện tích hai đường tròn là 202 152 625 m2 . Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y 30 152 x2 và y 202 x2 . Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là Trang 13
14. 5 455 12 S 202 x2 152 x2 30 dx 60,2546 m2 . 5 455 12 Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là: 300000.60,2546 18076386 (đồng). Số tiền để làm phần còn lại là: 100000. 625 2.60,2546 184299220 (đồng) Vậy tổng số tiền làm sân khấu là: 184299220 18076386 202375606 (đồng). Câu 28: Đáp án D 2 2 z1 2 i Xét phương trình: z 4z 5 0 z 2 1 . z2 2 i 2019 2019 2019 2019 Khi đó ta có: z1 1 z2 1 1 i 1 i 1009 1009 1 i . 1 i 2 1 i . 1 i 2 1 i . 2i 1009 1 i . 2i 1009 1009 1010 1010 2i . 1 i 1 i 2i 2 . Lũy thừa đơn vị ảo i i4n 1;i4n 1 i;i4n 2 1;i4n 3 i n ¥ . Câu 29: Đáp án A Gọi O là giao điểm của AC và BD. ABCD là hình chữ nhật OA OB OD. Mà A A A B A D nên A O  ABD (vì A O là trực tâm tam giác ABD) ABD vuông tại A BD AB2 AD2 2a OA OB OD a. A AO vuông tại O A O A A2 AO2 a 3. 2 3 SABCD AB.AD a 3 VABCD.A B C D A O.SABCD 3a Câu 30: Đáp án A Trang 14
15. Đặt z1 z2 z3 R. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn O; R . Do z1 z2 0 nên hai điểm A, B đối xứng nhau qua O. Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB (bỏ đi hai điểm A và B) hay tam giác ABC vuông tại C. Câu 31: Đáp án C 1 Đặt t cos x (vì 0 x t 1). 3 2 ( t sin x 0,x 0; , do đó t cos x nghịch biến trên 0; ). 3 3 2t 3 m Hàm số trở thành y t t 2t m 2 2m 6 Ta có: y t . 2t m 2 1 1 Do đó yêu cầu toán trở thành y t đồng biến trên khoảng ;1 khi y t 0,t ;1 . 2 2 2m 6 0 1 m 3 1 m 3 ,t ;1 ,t ;1 m 3. 2t m 0 2 m 2t 2 m 1;2 Câu 32: Đáp án B 4 4 (I) “Có A9 số có 4 chữ số được lập từ tập X” là mệnh đề sai vì có 9 số có 4 chữ số được lập từ tập X. 5 5 (II) “ A10 là một tổ hợp chập 3 của X” là mệnh đề sai vì A10 là một chỉnh hợp chập 3 của X. (III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X” là mệnh đề đúng. Câu 33: Đáp án C 1 F x dx ln x C đồ thị hàm số y F x đi qua M 1;0 x C 0 F x ln x . 1 Lỗi học sinh dễ mắc đó là: dx ln x C. x Câu 34: Đáp án C Gọi n là số hàng cần tìm. n n 1 n 15 Ta có: 1 2 3 n 120 120 n 15. 2 n 16 l Câu 35: Đáp án B Trang 15
16. f x 1 Ta có: 1 f x f x f 1 x f x 1 f x f 1 x 1 1 dx Xét I 0 1 f x Đặt t 1 x x 1 t dx dt. x 0 t 1 Đổi cận: . x 1 t 0 0 dt 1 dt 1 dx 1 f x Khi đó I dx. 1 1 f 1 t 0 1 f 1 t 0 1 f 1 x 0 1 f x 1 dx 1 f x 1 1 f x 1 Mặt khác dx dx dx 1 hay 2I 1. 0 1 f x 0 1 f x 0 1 f x 0 1 Vậy I . 2 Câu 36: Đáp án D Kẻ MN / / CD N CD , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có VS.ABMN VS.ABM VS.AMN . VS.ABM SM 1 1 1 VS.ABM VS.ABC VS.ABCD VS.ABC SC 2 2 4 VS.AMN SM SN 1 1 . VS.AMN VS.ABCD . VS.ACD SC SD 4 8 1 1 3 Do đó V V V V S.ABMN 4 S.ABCD 8 S.ABCD 8 S.ABCD 5 V1 3 Suy ra VABMNDC VS.ABCD nên . 8 V2 5 Câu 37: Đáp án A Gọi phương trình mặt phẳng là: P : Ax By Cz D 0 (với A2 B2 C 2 0 ) A D 0 A 2C Theo đề bài, mặt phẳng qua A, B nên ta có: . 2C D 0 D 2C Vậy mặt phẳng P có dạng: 2Cx By Cz 2C 0. S có tâm I 1,1,0 và R 1. Vì P tiếp xúc với S nên d I; P R 2C B 2C 1 B2 5C 2 B2 C 0. 5C 2 B2 Suy ra A D 0. Trang 16
17. Vậy phương trình mặt phẳng P : y 0. Câu 38: Đáp án B Ta có: AC SC.cos30 a 3 AB2 BC 2 2a2 a2 3a2 AC 2 ABC là tam giác vuông ở B. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AC, SC. Khi đó ta có: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . IH  ABC . Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, suy ra 1 R SC a. 2 Vậy R a. Câu 39: Đáp án B x2 2x x 1 x3 3x2 2x x 2 2 2 3 2 Ta có: f x x 2x x 1 x 2x x 1 x 3x 2x 0 x 2 2 3 2 x 2x x 1 x x 2x x 0 3x2 6x 2, x 2 2 f x 3x 6x 2, 0 x 2. 2 3x 2x 2, x 0 3 3 x 3 3 3 f x 0 x 3 1 7 x 3 Bảng biến thiên hàm số f x Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x m có tối đa 4 nghiệm. Trang 17
18. Câu 40: Đáp án C Ta có hàm số y f x 2018 có đồ thị là hàm số y f x tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị. Hàm số y f x 2018 m2 có đồ thị hàm số y f x 2018 tịnh tiến lên trên m2 đơn vị. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Khi tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị thì số điểm cực trị hàm số y f x 2018 vẫn là 3 điểm cực trị. Để hàm số y f x 2018 m2 có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x 2018 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (trừ các điểm cực trị tiếp xúc với trục hoành). 2 m 6 2 m2 6 . 6 m 2 Do m ¢ m 2;2 . Hàm số Số điểm cực trị Điều kiện y f x y f x f m 2a 1 a là số điểm cực trị dương của y f x y f x m y f x m Câu 41: Đáp án C Gọi là đường thẳng cần tìm.  d1 A t1 1; t1 2;2t1 3 ;  d2 B 2t2 1; t2 4;4t2 2 .   MA t1 1; t1 1;2t 1 1 ;MB 2t2 1; t2 5;4t2   Ta có: M , A, B thẳng hàng khi MA kMB 7 t1 t 1 k 2t 1 2 1 2 7 1 t1 t1 1 k t2 5 k 2 2 t 4 2t1 1 4kt2 2 kt2 2  Suy ra MB 9;9; 16 . Đường thẳng đi qua M 0; 1;2 , một vectơ chỉ phương là u 9; 9;16 có phương trình là: x y 1 z 2 : . 9 9 16 Giả sử cắt lần lượt d1,d2 tại A, B. Trang 18
19. Khi đó M, A, B phải thẳng hàng.   Theo tính chất 3 điểm thẳng hàng ta có điều kiện: MA k.MB để tìm ẩn số. Câu 42: Đáp án B 2 2 2 2 Ta có: 4x 2x 1 m.2x 2x 2 3m 2 0 4x 2x 1 2m.2x 2x 1 3m 2 0. 2 Đặt 2x 2x 1 t ta có phương trình t 2 2m.t 3m 2 0 1 Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt t1,t2 lớn hơn 1 0 0 m2 3m 2 0 m 2,m 1 t1 1 t2 1 0 t1t2 t1 t2 1 0 3m 2 2m 1 0 m 1 m 2 t t t t 2 2m 2 m 1 1 2 0 1 2 2 Với dạng toán phương trình có mũ phức tạp, ta luôn cố gắng tìm điểm chung để đặt ẩn phụ. Tìm điều kiện của ẩn phụ để thỏa mãn yêu cầu đề bài đã cho. Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn giá trị . 0 S 2 a. f 0 Câu 43: Đáp án D 1 Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI V R2.OI. 3 Giả sử mặt phẳng trung trục của OI cắt trục OI tại H, cắt đường sinh OM tại N. R Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính r có chiều 2 OI cao là . 2 2 1 R OI R2OI V1 . 3 2 2 24 R2OI R2OI 7 R2OI Phần dưới là khối nón cụt có thể tích V V V . 2 1 3 24 24 R2OI V1 24 1 Vậy tỉ số thể tích là 2 . V2 7 R OI 7 24 Câu 44: Đáp án D Trang 19
20. Gọi M, N lần lượt thuộc BB và CC sao cho BM CN 2. Khi đó ta có: 1 x y 4 V V V V A BC B ABC.A1B1C1 ABC.A1MN A1MNC1B1 3 12 1 x y 4 2 V . V. 3 12 3 Mặt khác theo giả thiết ta có: 1 1 x y 4 2 1 1 x y 4 2 1 V V V . V V . x y 7. ABC.A1B1C1 2 3 12 3 2 3 12 3 2 Câu 45: Đáp án A sin xdx Ta có: F x tan xdx ln cos x C xác định trên 2 miền cos x 3 + Miền thứ nhất k2 x k2 , ta có: 2 2 3F 3 ln cos C 6 C 2 F x ln cos x 2 4 4 F ln cos 2 2 ln 2 3 3 + Miền thứ hai k2 x k2 , ta có: 2 2 F 0 ln cos0 C 6 C 6 F x ln cos x 6 F ln cos 6 6 ln 2 3 3 4 Do đó: F F 2ln 2 8. 3 3 Câu 46: Đáp án A Điều kiện h 0 4 V r3 4 Ta có: V r3 r 2h h 3 3 r 2 8 4 r3 2V r3 Diện tích toàn phần của bồn xăng là S r 4 r 2 2 rh h 3 r 8 r3 2V 3 8 3 3V Ta có: S r 0 r 2V r 3 . r 2 3 4 Trang 20
21. 3V 8 3V 4 . 2V . 3V Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy S r 3 h 4 3 4 0 nguyên vật liệu làm bồn min 4 r xăng là ít nhất Smin h 0. Câu 47: Đáp án D 2 Từ giả thiết f x . f 2 x e2x 4x x 2 f 2 1. 2 x3 3x2 . f x Ta có I dx. 0 f x 3 2 u x 3x 2 du 3x 6x dx Đặt f x dv dx v ln f x f x Khi đó 2 2 f 2 1 2 I x3 3x2 ln f x 3x2 6x ln f x dx 3 x2 2x ln f x dx 3J 0 0 0 2 x 2 t 0 Ta có J x2 2x ln f x dx 2 t 2 2 2 t ln f 2 t d 2 t 0 2 0 2 2 x 2 2 2 x ln f 2 x d 2 x x2 2x ln f 2 x dx 2 0 2 2 Suy ra 2J x2 2x ln f x dx x2 2x ln f 2 x dx 0 0 2 x2 2x ln f x . f 2 x dx 0 2 2 2 32 x2 2x ln e2x 4xdx x2 2x 2x2 4x dx 0 0 15 16 J 15 16 Vậy I 3J . 5 Câu 48: Đáp án C 3 Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh là C100 Giả sử chọn được 1 tam giác tù ABC với góc nhọn A, B tù, C nhọn. Chọn 1 đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 100 cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành 2 phần (trái và phải) Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại được chọn sẽ cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải Trang 21
22. 2 2 + Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có C100 C49 cách 1 2 2 2 + Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có C100 C49 cách 1 2 2 2 Vậy có tất cả số tam giác tù là 100. C49 C49 , tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A, C như nhau nên số tam giác tính 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành là 2 2 100. C49 C49 100 100 2 100 4 117600. 2 8 117600 8 Vậy xác suất cần tìm P 3 . C100 11 Câu 49: Đáp án A x2 y y 1 1 x2 y 1 y 2 Ta có: 2 log2 x log2 log2 x log2 y 1 1 2 y 1 y 1 1 y 1 1 x2 y 1 x2 y 1 1 x2 2 2 log2 x 2 log2 y 1 1 2.2 log2 x 2 log2 y 1 1 2 log2 x t Nhận thấy ngay hàm số f t 2 .log2 t đơn điệu trên miền dương 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 x y 1 1 y x 1 1 P x y x x x . 2 4 4 1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 x (vì x 0 ). 2 2 1 Vậy P . min 4 Câu 50: Đáp án C Ta có: ·ACC A , BDD B C· OD C· BD BC BD.cosC· BD 3cos , 2 2 CD BD.sin C· BD 3sin 2 Ta có: B· D, CDD C B· DC . Do ADD A .BCC B luôn là hình lăng trụ đều nên BC CC V BC.CD.CC 27sin cos2 ABCD.A B C D 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2 4 1 2 2 1 2 2 2 4 sin cos .2sin .cos 2 2 2 2 2 2 3 27 Trang 22
23. 1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2sin2 cos2 tan2 arctan 2 2 2 2 2 2 3 sin2 cos2 V 6 3. 2 2 9 Trang 23