Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 9 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 9 - Năm học 2020-2021 (Có lời giải chi tiết)

1. ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho mặt cầu S O;r có diện tích đường tròn lớn là 2π. Khi đó, mặt cầu S O;r có bán kính là: A. r 2 B. r 2 C. r 4 D. r 1 Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 1B. 2C. 0D. 5 Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;3 , B 1;0;1 . Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là 2 4 A. 0;1;1 B. 0; ; C. 0;2;4 D. 2; 2; 2 3 3 Câu 4. Hàm số y f x có đồ thị như sau Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; 1 B. 1;1 C. 2;1 D. 1;2 x 1 Câu 5. Tập xác định của hàm số y log là? 2 x 5 A. D ; 5  1; B. D 5;1 C. D ; 5 1; D. D 5;1 2 2 2 Câu 6. Cho f x dx 2 và g x dx 1. Tính I x 2 f x 3g x dx . 1 1 1 Trang 1
2. 5 7 17 11 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 Câu 7. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón là a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 24 12 24 8 2 Câu 8. Cho phương trình log2 2x 1 2log2 x 2 Số nghiệm thực của phương trình là: A. 3B. 2C. 1D. 0 Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :3x y 2z 1 0 . Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của P ?     A. n3 2;1;3 B. n4 3; 2;1 C. n2 1; 2;1 D. n1 3;1; 2 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 ex là A. 3x2 2xex 2ex C B. 6x2 2xex 2ex C C. 3x2 ex 2xex C D. 3x2 2xex 2ex C Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng P : x y 2z 3 0 . x 2 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 1 t B. y 2 t C. y 1 2t D. y 1 2t z 1 2t z 3 2t z 2 3t z 2 3t Câu 12. Sắp xếp năm bạn học sinh Nam, Bình, An, Hạnh, Phúc vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Nam luôn ngồi chính giữa là A. 16B. 24C. 60D. 120 n Câu 13. Cho dãy số un với un 3 . Tính un 1 ? n n n A. un 1 3 3 B. un 1 3.3 C. un 1 3 1 D. un 1 3 n 1 Câu 14. Tính môđun của số phức z, biết: 1 2i z 2 i 12i . 1 A. 5B. 7 C. D. 2 2 2 Câu 15. Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây? A. y x3 3x2 1 B. y x4 2x2 1 C. y x4 2x2 1 D. y x2 1 Trang 2
3. Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số y x2 4x trên khoảng 0;3 là A. 4B. 2C. 0D. 2 3 Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 2x 3 , x ¡ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3;1 B. 3; C. 1;3 D. ;1 Câu 18. Tìm các số thực x và y thỏa mãn 3x 2 2y 1 i x 1 y 5 i (với i là đơn vị ảo). 3 3 4 4 3 4 A. x ; y 2 B. x ; y C. x 1; y D. x ; y 2 2 3 3 2 3 Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 6;2; 5 , N 4;0;7 . Viết phương trình mặt cầu đường kính MN? A. x 1 2 y 1 2 z 1 2 62 B. x 5 2 y 1 2 z 6 2 62 C. x 1 2 y 1 2 z 1 2 62 D. x 5 2 y 1 2 z 6 2 62 Câu 20. Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt log3 x a, log3 y b . Chọn mệnh đề đúng. x 1 x 1 A. log 1 3 a b B. log 1 3 a b 27 y 3 27 y 3 x 1 x 1 C. log 1 3 a b D. log 1 3 a b 27 y 3 27 y 3 2 Câu 21. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3x 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 2 5 B. 5 C. 3D. 10 Câu 22. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Q : x 2y 2z 3 0 và mặt phẳng P không qua O, song song mặt phẳng Q và d (P),(Q) 1. Phương trình mặt phẳng P là A. x 2y 2z 3 0 B. x 2y 2z 0 C. x 2y 2z 1 0 D. x 2y 2z 6 0 Câu 23. Bất phương trình 32x 1 7.3x 2 0 có nghiệm x 1 x 2 x 1 x 2 A. B. C. D. x log2 3 x log2 3 x log3 2 x log3 2 Câu 24. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và 2 đường thẳng x 1, x 2 trong hình vẽ bên. 0 2 Đặt: S f x dx; S f x dx . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 1 0 A. S S1 S2 B. S S1 S2 C. S S1 S2 D. S S2 S1 Trang 3
4. Câu 25. Một khối trụ có thể tích bằng 6π. Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu A. 162πB. 27πC. 18πD. 54π 2x 2019 Câu 26. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x 2018 A. y 2 B. x 2 C. x 2018 D. y 2018 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a , BC 2a . Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , cạnh SA a 15 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2a3 15 2a3 15 a3 15 A. V B. V C. V 2a3 15 D. V 6 3 3 2 Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y 2x2 x 1 3 2 4x 1 2 4x 1 3 4x 1 3 4x 1 A. y B. y C. y D. y 3 2 2 3 2 2 3 2x x 1 33 2x2 x 1 2 2x x 1 2 3 2x2 x 1 x 3 Câu 29. Tìm m để đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt? x 1 m 1 m 1 A. B. 3 m 1 C. 3 m 1 D. m 3 m 3 Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SAC . a 39 2a 39 a 3 A. d B. d a C. d D. d 13 13 2 x 1 Câu 31. Biết rằng phương trình log3 3 1 2x log1 2 có hai nghiệm x1 và x2 . Hãy tính tổng 3 S 27x1 27x2 . A. S 180 B. S 45 C. S 9 D. S 252 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Tính tỉ số k giữa thể tích khối trụ ngoại tiếp và thể tích khối trụ nội tiếp hình lập phương đã cho. A. k 2 B. k 2 C. k 2 2 D. k 4 Câu 33. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x e x 2ex 1 , biết F 0 1. A. F x 2 e x B. F x 2x e x C. F x 2x e x 1 D. F x 2x e x 2 Trang 4
5. Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng 60 . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng SBD theo a. a 3 2a 5 a 5 3 A. d B. d C. d D. d 2 5 2 2 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai x 2 y 3 z 4 x 1 y 4 z 4 đường thẳng d : và d : . 2 3 5 3 2 1 x y z 1 x 2 y 2 z 3 x 2 y 2 z 3 x y 2 z 3 A. B. C. D. 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 3 1 ex 1 Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y đồng biến trên khoảng 0; ? ex m A. ;2 B. ;1 C. ;1 D. ;2 Câu 37. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2 3 và z1 z2 2 . Tính 2z1 3z2 . A. 52 B. 53 C. 5 2 D. 51 Câu 38. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số M max a ; a 1 để hàm số 0;2 20 2 x y f x 1 ln nghịch biến trên khoảng 1;1 ? m 2 x A. 3B. 6C. 4D. 5 Câu 39. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm k tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức L log (Ben) với k là hằng số. Biết điểm M R2 O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là LA 3 (Ben) và LB 5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy). A. 3,59 (Ben)B. 3,06 (Ben)C. 3,69 (Ben)D. 4 (Ben) Câu 40. Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15? Trang 5
6. A. 234B. 243C. 132D. 432 4 Câu 41. Tích tất cả các số thực m để hàm số y x3 6x2 8x m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 3 bằng 18 là A. 432B. 216 C. 432 D. 288 Câu 42. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; B. ; 1 C. 1;0 D. 0;2 Câu 43. Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồngB. 208 triệu đồngC. 218 triệu đồngD. 200 triệu đồng Câu 44. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. 6x2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 4 2 2 1 m có nghiệm? x x 1 A. 4B. 2C. 5D. 3 Câu 45. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như sau: Bất phương trình f x x2 2x m nghiệm đúng với mọi x 1;2 khi và chỉ khi A. m f 2 B. m f 1 1 C. m f 2 1 D. m f 1 1 Trang 6
7. Câu 46. Cho mặt cầu S : x 1 2 y2 z 2 2 9 . Tìm các điểm M , N S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng P là nhỏ nhất, với P : x 2y 2z 7 0 . A. M 2;2;0 , N 0; 2;4 B. M 2; 2;4 , N 0;2;0 C. M 3; 2;1 , N 0; 2;4 D. M 2;2;0 , N 0;2;0 x2 5y2 Câu 47. Cho x, y là các số dương thỏa mãn log 1 x2 10xy 9y2 0 . Gọi M, m lần 2 x2 10xy y2 x2 xy 9y2 lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Tính T 10M m . xy y2 A. T 60 B. T 94 C. T 104 D. T 50 Câu 48. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Lấy M, AM A N 1 N lần lượt trên cạnh AB , A C sao cho . Tính thể tích V của khối BMNC C . AB A C 3 a3 6 2a3 6 3a3 6 a3 6 A. B. C. D. 108 27 108 27 2 Câu 49. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên ¡ và thỏa mãn f x 4x 6x.ex f x 2019 0 và f 0 2019 . Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình f x 7 là A. 91B. 46C. 45D. 44 Câu 50. Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 1 1 1 2 z, và z . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của z bằng z z z A. 2 B. 2C. 2 2 D. 4 Trang 7
8. Đáp án 1-A 2-A 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C 8-D 9-D 10-A 11-A 12-B 13-B 14-A 15-C 16-B 17-B 18-D 19-A 20-D 21-A 22-D 23-C 24-D 25-D 26-A 27-B 28-A 29-D 30-C 31-A 32-B 33-D 34-A 35-A 36-B 37-D 38-D 39-C 40-B 41-C 42-C 43-A 44-C 45-A 46-B 47-B 48-B 49-C 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Ta có, mặt cầu S O;r có bán kính đường tròn lớn bằng r. 2 Do mặt cầu S O;r có diện tích đường tròn lớn là 2π nên r 2 r 2 (do r 0 ). Câu 2: Đáp án A Giá trị cực đại của hàm số đã cho là f 2 5. Câu 3: Đáp án B 1 1 0 x 0 G 3 2 0 0 2 2 4 Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có yG G 0; ; . 3 3 3 3 3 1 0 4 zG 3 3 2 4 Vậy trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là: 0; ; . 3 3 Câu 4: Đáp án A Từ đồ thị hàm số ta có, hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . Trong các khoảng đã cho trong các đáp án, chỉ có khoảng 2; 1  ; 1 thỏa mãn. Câu 5: Đáp án A x 1 x 1 Hàm số y log xác định khi và chỉ khi 0 2 x 5 x 5 2 x 5 x 1 x 5 x 4x 5 0 . x 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D ; 5  1; . Phương pháp CASIO – VINACAL Trang 8
9. Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị x 1 Ấn log CALC 100  A , C 2 x 5 B , D Vậy đáp án A, C thỏa mãn (vì 100 làm cho hàm số xác định). x 1 Ấn log CALC 1 C 2 x 5 A Vậy đáp án C sai (vì 1 làm cho hàm số không xác định). Do đó chọn đáp án A. Câu 6: Đáp án C 2 2 2 3 17 Ta có: I xdx 2 f x dx 3 g x dx 2.2 3. 1 . 1 1 1 2 2 Câu 7: Đáp án C a Khối nón có đường kính đáy là a nên bán kính đáy là R . 2 Độ dài đường sinh  a nên đường cao khối nón: 2 2 2 2 a 3 h  R a a . 2 2 Thể tích khối nón: 2 1 2 1 a 3 3 3 V R h . a a . 3 3 2 2 24 Câu 8: Đáp án D 2x 1 0 Điều kiện: x 2 . x 2 0 Phương trình đã cho tương đương với: 2log2 2x 1 2log2 x 2 2x 1 x 2 x 1 (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 9: Đáp án D  Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là n1 3;1; 2 . Câu 10: Đáp án A Ta có f x dx 2x 3 ex dx 6 xdx 2 xexdx Trang 9
10. u x du dx Đặt: . x x dv e dx v e Do đó: f x dx 3x2 2 xex exdx 3x2 2xex 2ex C . Phương pháp CASIO – VINACAL Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị Sử dụng chức năng đạo hàm của máy tính Ấn Kiểm tra đáp án A d Ấn 3x2 2xex 2ex 2x 3 ex  dx A x x → CALC → “Nhập 1,1” → Vậy đáp án A đúng (vì kết quả của hiệu trên xấp xỉ 0) Câu 11: Đáp án A  Ta có: n P 1;1; 2 . Gọi d là đường thẳng cần tìm.   Do d  P ud n P 1;1; 2 , suy ra loại C, D. qua M 1; 2;3 Đường thẳng d :  . ud 1;1; 2 x 1 t Do đó có phương trình d : y 2 t t ¡ . z 3 2t Chọn t 1 N 2; 1;1 . x 2 t Vậy d : y 1 t t ¡ . z 1 2t Câu 12: Đáp án B Xếp bạn Nam ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạn học sinh Bình, An, Hạnh, Phúc vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách. Trang 10
11. Vậy có 24 cách xếp. Câu 13: Đáp án B n 1 n Ta có un 1 3 3.3 . Câu 14: Đáp án A 2 11i 2 11i 1 2i Phương trình tương đương với: z 4 3i 1 2i 12 2 2 z 32 4 2 5 . Câu 15: Đáp án C Từ đồ thị và giả thiết suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc 4 hoặc bậc 2 nên loại phương án A. Đồ thị đi qua điểm A 1;2 nên chọn đáp án C. Câu 16: Đáp án B TXĐ: D 0;4 . Xét hàm số y x2 4x trên khoảng 0;3 . x 2 Ta có: y 0 x 2 0;3 . x2 4x Bảng biến thiên hàm số y x2 4x trên khoảng 0;3 như sau: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: max y y 2 2 . 0;3 Câu 17: Đáp án B 2 x 3 Ta có f x 0 x 2x 3 0 . x 1 Câu 18: Đáp án D Phương trình tương đương với: 3x 2 2y 1 i x 1 5 y i 3 x 3x 2 x 1 2 . 2y 1 5 y 4 y 3 Câu 19: Đáp án A Mặt cầu đường kính MN nhận trung điểm I 1;1;1 của đoạn thẳng MN là tâm và có bán kính Trang 11
12. R IM 6 1 2 2 1 2 5 1 2 62 . Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 2 y 1 2 z 1 2 62. Câu 20: Đáp án D x 1 x 1 3 Do x, y là các số thực dương nên ta có: log 1 3 log3 3 log3 x log3 y 27 y 3 y 3 1 1 1 log x 3log y log x log y a b . 3 3 3 3 3 3 3 Phương pháp CASIO – VINACAL Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị Chọn x 1,1 a log3 1,1 và y 1,2 b log3 1,2 . Ấn 1,1 SHIFT RCL ) (Lưu giá trị 1,1 vào bộ nhớ X) Ấn log3 1,1 SHIFT RCL ( ) (Lưu giá trị log3 1,1 vào bộ nhớ A) Ấn 1,2 SHIFT RCL S  D (Lưu giá trị 1,2 vào bộ nhớ Y) Ấn log3 1,2 SHIFT RCL ,,, (Lưu giá trị log3 1,2 vào bộ nhớ Y) Kiểm tra đáp án D x 1 Ấn log 1 3 a b CALC y 3 27   VT D (Ở đây ta ấn luôn mà không cần “Nhập x,y,a,b” vì máy tính đã tự động nhớ các giá trị x,y,a,b trước đó rồi) Vậy đáp án D đúng (vì kết quả của hiệu trên bằng 0). Trang 12
13. Câu 21: Đáp án A 3 i 11 Ta có: z2 3z 5 0 z (bấm máy tính). 2 Khi đó z1 z2 2 5 . Câu 22: Đáp án D Gọi phương trình mặt phẳng P có dạng x 2y 2z d 0 (với d 0; d 3). d 3 d 0 Có d (P),(Q) 1 1 . 12 22 22 d 6 Kết hợp điều kiện, suy ra P có dạng: x 2y 2z 6 0 . Câu 23: Đáp án C Bất phương trình tương đương với: 3.32x 7.3x 2 0 x 1 1 3 x log x 1 3 3 3 x x log3 2 3 2 x log3 2 Câu 24: Đáp án D 2 0 2 0 2 Ta có: S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 1 1 0 1 0 S1 S2 S2 S1 . Câu 25: Đáp án D Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ. 2 Khi đó ta có thể tích khối trụ là: V1 R h 6 . Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể của khối trụ mới là: 2 2 V2 3R h 9 R h 9V1 54 . Câu 26: Đáp án A 2x 2019 2x 2019 Ta có lim lim 2 nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường x x 2018 x x 2018 thẳng y 2 . 2x 2019 2x 2019 Lại có lim lim 2 nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng x x 2018 x x 2018 y 2 . Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là y 2 . Câu 27: Đáp án B Trang 13
14. SAB  ABCD Vì SA  ABCD . SAD  ABCD Chiều cao khối chóp là: SA a 15 . 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD AB.BC 2a (đvdt). Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 2a3 15 V S .SA (đvdt). S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 28: Đáp án A 1 2 2 2 2 1 2 4x 1 Ta có y 2x x 1 3 2x x 1 . 4x 1 . 3 3 3 2x2 x 1 33 2x2 x 1 Đạo hàm u .u 1.u . Câu 29: Đáp án D x 3 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y x 2m và đồ thị hàm số y là: x 1 x 3 x 2m (với x 1) x2 2mx 3 2m 0 (1). x 1 x 3 Để đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 x 1 nghiệm phân biệt khác 1 0 m2 2m 3 0 m 1 2 . 1 2m. 1 3 2m 0 4 0 m 3 m 1 Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. m 3 Câu 30: Đáp án C Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH  BC SH  ABC . Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK  AC . Kẻ HE  SK E SK . SH.HK 2a 39 Khi đó d B,(SAC) 2d H,(SAC) 2HE 2 . SH 2 HK 2 13 Câu 31: Đáp án A Điều kiện: 3x 1 1 0 x 1. x 1 x 1 Phương trình tương đương với: log3 3 1 2x log3 2 log3 3 1 log3 2 2x Trang 14
15. log 3x 1 1 .2 2x 3x 1 1 .2 32x 6.3x 2 32x 3 3x1 3x2 6 32x 6.3x 2 0 Vi et x x 3 1.3 2 2 3 Ta có S 27x1 27x2 3x1 3x2 3.3x1.3x2 . 3x1 3x2 63 3.2.6 180 . Câu 32: Đáp án B 2 2 V1 R h R Hai khối trụ có chung đường cao nên k 2 2 với V2 r h r AC AB 2 AB R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; r là bán kính 2 2 2 đường tròn nội tiếp đáy. Câu 33: Đáp án D Ta có e x 2ex 1 dx 2 e x dx 2x e x C . Theo giả thiết F 0 1 1 C 1 C 2 . Suy ra F 2 2x e x 2 . Câu 34: Đáp án A Xác định 60 S·D, ABCD S·D, AD S· DA và SA AD.tan S· DA 2a 3 . Ta có d C,(SBD) d A,(SBD) . Kẻ AE  BD và kẻ AK  SE . Khi đó d A,(SBD) AK . AB.AD 2a Tam giác vuông BAD, có AE . AB2 AD2 5 SA.AE a 3 Tam giác vuông SAE, có AK . SA2 AE 2 2 a 3 Vậy d C,(SBD) AK . 2 Câu 35: Đáp án A Gọi M 2 2m;3 3m; 4 5m d; N 1 3n;4 2n;4 n d .  Ta có MN 3 3n 2m;1 2n 3m;8 n 5m . MN  d Mà do MN là đường vuông góc chung của d và d nên MN  d Trang 15
16. 2 3 3n 2m 3 1 2n 3m 5 8 n 5m 0 3 3 3n 2m 2 1 2n 3m 1 8 n 5m 0 38m 5n 43 m 1 . 5m 14n 19 n 1 Suy ra M 0;0;1 , N 2;2;3 .  x y z 1 Ta có MN 2;2;2 nên đường vuông góc chung MN là: . 1 1 1 Câu 36: Đáp án B Đặt t ex (khi x 0; thì t 1; ). t 1 Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số y đồng biến trên 1; . t m TXĐ: D ¡ / m. m 1 Ta có y . t m 2 y 0,x 1; 1 m 0 Để hàm số đồng biến trên 1 thì m 1. m 1; m 1 Câu 37: Đáp án D Ta có: 2z 3z 2 4 z 2 9 z 2 6 z 2 z 2 z z 2 51 2z 3z 51 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Câu 38: Đáp án D 20 2 x Hàm số y f x 1 ln xác định trên 1;1 . m 2 x 20 4 Ta có: y f x 1 . . m 4 x2 Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 khi 80 y 0,x 1;1 f x 1 0,x 1;1 (*). m 4 x2 Đặt t x 1 khi đó x 1;1 t 0;2 . 80 1 Từ (*) ta có f t . 0,t 0;2 m 3 t t 1 80 f t . 3 t t 1 ,t 0;2 (1). m Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có f x x 1 2 x 2 . Suy ra ta có f t t 1 2 t 2 . Trang 16
17. 2 Xét hàm số VP 1 g t t 1 t 2 3 t t 1 ,t 0;2 . t 1 2 13 g t t 1 5t 2 18t 13 0 t . 5 t 1 Bảng biến thiên hàm số g t 80 80 Dựa vào bảng xét dấu và từ (1) ta có max g t g 1 16 m 5. m 0;2 m Câu 39: Đáp án C Ta có: LA LB OA OB . Gọi I là trung điểm AB. k k LA k Ta có: LA log 2 2 10 OA L OA OA 10 A k k LB k LB log 2 2 10 OB L OB OB 10 B k k LI k LI log 2 2 10 OI L OI OI 10 I 1 k 1 k k 1 1 1 1 Ta có: OI OA OB LI LA LB LI LA LB 2 10 2 10 10 10 2 10 10 1 1 1 LI 2log LI 3,69. LA LB 2 10 10 Câu 40: Đáp án B Gọi số số cần lập có dạng: ¥ abcd 1 a,b,c,d 9 .  Để ¥ M15 ¥ M3 và ¥ M5. + ¥ M5 d 5 + ¥ M3 a b c 5 M3 .  Chọn a có 9 cách, chọn b có 9 cách chọn thì: + Nếu a b 5 chia hết cho 3 thì c 3;6;9 c có 3 cách chọn. + Nếu a b 5 chia cho 3 dư 1 thì c 2;5;8 c có 3 cách chọn. Trang 17
18. + Nếu a b 5 chia cho 3 dư 2 thì c 1;4;7 c có 3 cách chọn. Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.3 243 số. Câu 41: Đáp án C 4 Xét hàm số f x x3 6x2 8x m liên tục trên đoạn 0;3 . 3 x 1 0;3 Ta có f x 4x2 12x 8 0 . x 2 0;3 10 8 Ta lại có: f 0 m; f 1 m; f 2 m; f 3 6 m . 3 3 max f x max f 0 ; f 1 ; f 2 ; f 3  f 3 m 6 0;3 Khi đó: . min f x min f 0 ; f 1 ; f 2 ; f 3  f 0 m 0;3 m m 6 0 m 24 Theo đề bài: min y 18 nên ta có: m 6 m m 6 m . 0;3 18 m 18 2 Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 24.18 432 . Tìm tham số để min f x a (với a 0 ).  ; Phương pháp: min f x m  ; Tìm M m . max f x M  ; M m M m Suy ra: min f x (khi m.M 0 ) hoặc min f x 0 (khi m.M 0).  ; 2  ; M m M m Theo đề bài: min f x a (với a 0 ), nên ta có a .  ; 2 Câu 42: Đáp án C Ta có y 0 3 f x 2 3x2 3 0 f x 2 x2 1. Đặt t x 2 , bất phương trình trở thành: f t t 2 2 1, không thể giải trực tiếp bất phương trình: Ta sẽ chọn t sao cho 2 t 2 1 0 1 t 2 1 1 t 3 1 t 2 t 1;2  2;3  4; t 1;2  2;3  4; 2 t 3 f t 0 1 x 2 2 1 x 0 Khi đó . 2 x 2 3 0 x 1 Trang 18
19. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 1;0 , 0;1 . Câu 43: Đáp án A Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy, vì OI 30 mét nên I 0;30 . Phương trình hai đường tròn lần lượt là x2 y2 202 và x2 y 30 2 152 . Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó. 5 455 2 2 2 x x y 20 12 Tọa độ A, B là nghiệm của hệ . x2 y 30 2 152 215 y 12 Tổng diện tích hai đường tròn là 202 152 625 m2 . Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y 30 152 x2 và y 202 x2 . 5 455 12 Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là S 202 x2 152 x2 30 dx 60,2546 m2 . 5 455 12 Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là: 300 000.60,2546 18 076 386 (đồng). Số tiền để làm phần còn lại là: 100 000. 625 2.60,2546 184 299 220 (đồng). Vậy tổng số tiền làm sân khấu là: 184 299 220 18 076 386 202 375 606 (đồng). Câu 44: Đáp án C Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống 6x2 Đặt u 2 . x4 x2 1 12x5 12x x 0 Ta có u 2 0 . x4 x2 1 x 1 Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình f u m 1 có nghiệm u 2;4. Dựa vào đồ thị đề bài cho suy ra f u m 1 có nghiệm 1 m 1 5 2 m 6 . Cách 2: Phương pháp ghép trục f x có cực trị hoành độ x 1; x 2 . Trang 19
20. 6x2 12x5 12x x 0 Đặt u 4 2 2; u 2 0 . x x 1 x4 x2 1 x 1 Suy ra f u m 1 có nghiệm 1 m 1 5 2 m 6 . Các bước thực hiện phương pháp ghép trục: Bước 1:Tìm tập xác định của hàm g f u(x) , giả sử ta được tập xác định D a1;a2  a3;a4   an 1;an . Ở đây có thể là a1  ; an  . Bước 2: Xét sự biến thiên của u u x và hàm y f x (Có thể làm gộp trong bước 3 nếu đơn giản). Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x;u u x và u; g f u . Bảng này thường có 3 hàng dạng Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau Hàng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u u x , sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử: a1 a2 an 1 an (xem chú ý 1). Hàng 2: Điền các giá trị ui u ai với i 1, ,n . Trên mỗi khoảng ui ;ui 1 i 1,n 1 cần bổ sung các điểm kỳ dị b1;b2 ; ;bk của hàm y f x . Trên mỗi khoảng ui ;ui 1 i 1,n 1 cần sắp xếp các điểm ui ;bk theo thứ tự chẳng hạn: ui b1 b2 bk ui 1 hoặc ui b1 b2 bk ui 1 (xem chú ý 2). Hàng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g f u(x) dựa vào bảng biến thiên của hàm y f x bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x; f u đóng vai trò của f x . Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp g f u(x) ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này. Trang 20
21. Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp g f u(x) giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận. Chú ý 1: + Các điểm kỳ dị của u u x gồm: Điểm biên của tập xác định D và các điểm cực trị của u u x . + Nếu xét hàm u u x thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình u x 0 (là hoành độ giao điểm của u u x với trục Ox). + Nếu xét hàm u u x thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của u u x với trục Oy). Chú ý 2: + Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u u x . + Điểm kỳ dị của y f x gồm: Các điểm tại đó f x và f x không xác định; các điểm cực trị hàm số y f x . + Nếu xét hàm g f u(x) thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình f x 0 (là hoành độ giao điểm của u u x với trục Ox). + Nếu xét hàm g f u(x) thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của y f x với trục Oy). Câu 45: Đáp án A Bất phương trình đã cho tương đương với: m f x x2 2x,x 1;2 . Xét hàm số g x f x x2 2x trên 1;2 . Bài toán trở thành tìm m để m g x ,x 1;2 m min g x . 1;2 Ta có g x f x 2 x 1 . f x 0 Nhận xét: Với x 1;2 g x 0 . 2 x 1 0 Do đó ta có m min g x g 2 f 2 22 2.2 f 2 . 1;2 Vậy m f 2 . Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số g x trên 1;2 . Trang 21
22. Câu 46: Đáp án B Mặt cầu S có tâm I 1;0;2 , bán kính R 3. Ta làm theo hai cách. 1 2.0 2.2 7 Ta có: P : x 2y 2z 7 0 nên d I;(P) 4 3 R . 3 Do đó mặt phẳng P không có điểm chung với mặt cầu S . Tất cả các điểm thuộc mặt cầu S đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với P và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu S , với là đường thẳng qua I và vuông góc với P . x 1 t Phương trình đường thẳng : y 2t t ¡ . z 2 2t Gọi J  S . Ta có J S nên 1 t 1 2 2t 2 2 2t 2 2 9 t 1. Suy ra hai điểm thỏa mãn J1 0;2;0 , J2 2; 2;4 . Khoảng cách từ các điểm J1, J2 đến P là 0 4 0 7 2 4 8 7 d J ;(P) 1; d J ;(P) 7 1 3 2 3 Vậy các điểm cần tìm là M 2; 2;4 , N 0;2;0 . Câu 47: Đáp án B Bất phương trình tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 log2 x 5y log2 x 10xy y log2 2 2 x 5y x 10xy y 0 2 2 2 2 2 2 2 2 log2 2x 10y 2 x 5y log2 x 10xy y x 10xy y 2x2 10y2 x2 10xy y2 2 2 2 x x x x 10xy 9y 0 10 9 0 1 9 y y y Trang 22
23. 2 x x 2 2 9 x xy 9y y y Khi đó: P 2 x xy y 1 y x Đặt t (với 1 t 9). y t 2 t 9 Xét hàm số: f t . t 1 t 2 2t 8 t 4 Ta có: f t 2 0 . t 1 t 2 11 99 Ta lại có: f 1 ; f 2 5; f 9 . 2 10 99 Nên M , m 5. 10 Vậy T 10M m 94 . Câu 48: Đáp án B Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB A và AA C C . AM 1 AM 2 Ta có: (do G là trung điểm AB ). AB 3 AG 3 AM 2 Xét tam giác ABA có AG là trung tuyến và . AG 3 Suy ra M là trọng tâm tam giác ABA . Do đó BM đi qua trung điểm I của AA . A N 1 A N 2 Ta có: (do K là trung điểm A C ). A C 3 A K 3 A N 2 Xét tam giác AA C có A K là trung tuyến và , suy ra N là trọng tâm của tam giác AA C . A K 3 Do đó C N đi qua trung điểm I của AA . IM IN 1 Từ M là trọng tâm tam giác ABA và N trọng tâm của tam giác AA C , suy ra: . IB IC 3 Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; IBCC . V IM IN IC 1 Ta có: 1 . . . V2 IB IC IC 9 8 Mà V V V V V . 1 2 9 2 Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC. Trang 23
24. Ta được AH vuông góc với mặt phẳng BB C C , AA song song với mặt phẳng BB C C nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng BB C C bằng khoảng cách từ A đến BB C C và bằng AH. a 3 1 1 a 3 a2 2 a3 6 Ta có: AH , V d I;(BB C C) .S . . . 2 2 3 BCC 3 2 2 12 8 2a3 6 Suy ra: V V . 9 2 27 Câu 49: Đáp án C Cách 1: 2 2 Theo giả thiết f x 4x 6x.ex f x 2019 0 6x 1 ex f x 2019 2x f x ,x ¡ (1). 2 TH1: Nếu 1 ex f x 2019 0 thì x2 f x 2019 0 f x x2 2019 ta có (1) đúng với mọi x ¡ . Do đó f x 7 x2 2019 7 x2 2026 2026 x 2026 . Vì x nguyên dương nên x 1;2;3; ;45 . Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 TH2: Nếu 1 ex f x 2019 0 thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số f x có đạo hàm xác định trên ¡ và thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 Khi đó, tại x 0 ta có f 0 2019 nên 1 ex f x 2019 0 (mâu thuẫn). Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Cách 2: x2 f x 2019 f x 2x2 3x2 2019 Theo giả thiết f x 4x 6x.e 0 f x 4x e 6x.e ,x ¡ . f x 2x2 3x2 2019 f x 2x2 3x2 2019 Suy ra f x 4x .e dx 6x.e dx e e C . Mà f 0 2019 nên e f 0 e 2019 C C 0 . 2 2 Do đó e f x 2x e3x 2019 hay f x x2 2019 . Khi đó f x 7 x2 2019 7 x2 2026 2026 x 2026 . Vì x nguyên dương nên x 1;2;3; ;45 . Vậy có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 50: Đáp án B 1 1 1 1 Ta có OA z , AB z , BC z z , OC z . z z z z Vì OABC là một hình bình hành nên Trang 24