Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Hạ Long (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Hạ Long (Có đáp án)

1. AQSỞ GD & ĐT QUẢNG NINH KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào? A. y x3 3x2 2. B. y x3 3x2 2. C. y x4 3x2 2. D. y x4 3x2 2. Câu 2: Cho khối lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo a. a3 3 a3 6 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 12 Câu 3: Tính diện tích xung quanh S của hình nón có bán kính đáy r 4 và chiều cao h 3. A. S 40 . B. S 12 . C. S 20 . D. S 10 . Câu 4: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2. Tính u9. A.u9 26. B.u9 19. C.u9 16. D. u9 29. Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 20. B. 120. C. 25. D. 53. Câu 6: Thể tích V của khối cầu có đường kính 6cm là A.V 18 cm3 . B.V 12 cm3 . C.V 108 cm3 . D. V 36 cm3 . Câu 7: Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ xoay có bán kính đáy r và đường cao h là 2 2 A. Sxq 2 rh. B. Sxq rh. C. Sxq 2 r h. D. Sxq r h.  Câu 8: Tìm tọa độ véc tơ AB biết A 1;2; 3 , B 3;5;2 1
2.     A. AB 2;3; 5 . B. AB 2;3;5 . C. AB 2; 3; 5 . D. AB 2; 3;5 . Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 . A. f x dx 6x C. B. f x dx x C. 1 C. f x dx x3 C. D. f x dx x3 C. 3 1 Câu 10: Tìm tập nghiệm S của phương trình 32x 1 . 3 A. S 0; 1. B. S 1. C. S 0;1. D. S 1. Câu 11: Cho khối nón có bán kính hình tròn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là r,h,l. Thể tích V của khối nón đó là: 1 1 A. V rl. B. V rlh. C. V r 2h. D. V r 2h. 3 3 Câu 12: Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1. Ta có log b bằng a2 1 1 A. log b. B. 2 log b. C. log b. D. 2log b. 2 a a 2 a a Câu 13: Cho hàm số y f x ax4 bx2 c có đồ thị hình dưới đây. Hỏi phương trình 2 f x 1 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 1. C. 3. D. 0. Câu 14: Nghiệm của phương trình log2 x 1 3 là: A. x 7. B. x 2. C. x 2. D. x 8. Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên như sau 2
3. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A. 2;4 . B. 1; . C. ; 1 . D. 1;3 . Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x ln x 1 ex 2019 x 1 trên khoảng 0; . Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Câu 17: Cho hàm số bậc bốn y f x ax4 bx2 c có đồ thị sau Giá trị cực đại của hàm số là A. 2. B. 1. C. 0. D. 1. Câu 18: Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: 1 1 A. V B2h. B.V B2h. C.V Bh. D. V Bh. 3 3 Câu 19: Thể tích của khối hộp chữ nhật có kích thước 1, 2, 3 là: A. 3. B. 1. C. 2. D. 6. Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số y ln x2 3x 2 A. D 1;2 . B. D 2; . C. D ;1 . D. D ;1  2; . Câu 21: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB 3, BC 3, SA  ABC và góc giữa SC với đáy bằng 450. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3
4. A. 3. B. 2 3. C. 3. D. 6. Câu 22: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y xex tại điểm thuộc đồ thị tại điểm có hoành đồ x0 1. A. y e 2x 1 . B. y e 2x 1 . C. y 2x e. D. y 2x e. Câu 23: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng a. Khối trụ tròn xoay có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai tam giác đều ABC và A' B 'C ' có thể tích bằng a3 3 a3 a3 A. . B. . C. a3. D. . 3 9 3 Câu 24: Biết f x dx x2 C. Tính f 2x dx. 1 1 A. f 2x dx x2 C. B. f 2x dx x2 C 2 4 C. f 2x dx 2x2 C D. f 2x dx 4x2 C Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 2 có cực đại và cực tiểu? A. m 3. B. m 3. C. m 3. D. m 3. x x Câu 26: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 3 m 2 3 1 có hai nghiệm phân biệt là khoảng a;b . Tính T 3a 8b. A.T 5. B.T 7. C.T 2. D. T 1. Câu 27: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2x cos 2x. 1 1 A. x2 sin 2x C. B. x2 sin 2x C. C. x2 sin 2x C. D. x2 sin 2x C. 2 2 Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , tam giác ABC đều có cạnh 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. a3 3 a3 3 a3 3 A. a3 3. B. . C. . D. . 3 2 6 Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Tìm tọa độ đỉnh A' biết tọa độ các điểm A 0;0;0 ; B 1;0;0 ;C 1;2;0 ; D ' 1;3;5 . A. A' 1; 1;5 . B. A' 1;1;5 . C. A' 1; 1;5 . D. A' 1;1;5 . 4
5. 9x 1 Câu 30: Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? 2020 x2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 20x2 trên đoạn  1;10 là A. 100. B. 100.C. 10 10. D. 10 10. Câu 32: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có tam giác ABC vuông cân tại B và AA' AB a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm hai cạnh AA' và BB '. Tính thể tích khối đa diện ABCMNC ' theo a. a3 2 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 6 2 Câu 33: Biết tập nghiệm của bất phương trình 3x x 9 là a;b . Tính T a b. A.T 3. B.T 1. C.T 3. D. T 1. a3 Câu 34: Cho khối tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . Tính góc giữa cạnh bên và 4 3 mặt đáy? A. 600. B.300. C. 450. D. arctan 2 . Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 và góc ở điỉnh bằng 900. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 25 2. B.5 10. C.5 5. D. 10 5. Câu 36: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD. 16 3 16 2 A. S 8 3 . B. S 8 2 . C. S . D. S . xq xq xq 3 xq 3 2 Câu 37: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 x2 2x , với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x2 8x m có 5 điểm cực trị? A. 18. B. 16. C. 17.D. 15. 1 Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên khoảng 5x2 0; ? A. 0.B. 4. C. 2.D. 3 Câu 39: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N, M là trung điểm của AB và AC. Tính khoảng cách d giữa CN và DM. 5
6. 3 a 10 a 3 a 70 A. d a . B. d . C. d . D. d . 2 10 2 35 2 Câu 40: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x bằng 3 9 27 81 3 82 80 A. . B. . C. 9. D. 0. 9 9 Câu 41: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a. Trên các tia AA', BB ',CC ' lần lượt lấy a 3a A , B ,C cách mặt phẳng đáy ABC một khoảng lần lượt là ,a, . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và 1 1 1 2 2 A1B1C1 . A. 600. B. 900. C. 450. D. 300. Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y x3 a 10 x2 x 1 cắt trục hoành tại đúng một điểm? A. 10. B. 8. C. 11.D. 9. 1 2 Câu 43: Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 55, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu n 3 2 thức x 2 bằng x A. 80640. B. 13440. C. 322560. D. 3360. Câu 44: Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 x 2 a ln x2 x 1 0 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 6;7. B. a 2;3. C. a 6; 5. D. a 8; . Câu 45: Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x 9x 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 3 4 3 4 A. a 0;10 . B. a 10 ;10 . C. a 10 ; . D. a 10 ;10 . Câu 46: Giả sử a,b là các số thực sao cho x3 y3 a.103z b.102 z đúng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn log(x y) z và log(x2 y2 ) z 1. Giá trị của a b bằng: 31 29 31 25 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 47: Cho một mô hình tứ diện đều ABCD cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính R. Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính R nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau? A. 0,461. B. 0,441. C. 0,468. D. 0,448. 6
7. Câu 48: Cho phương trình sin 2x cos 2x sin x cos x 2cos2 x m m 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực? A. 9. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 49: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;3 . Bảng biến thiên của hàm số y f ' x được x cho như hình vẽ sau. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 2 A. 4; 2 . B. 2;0 . C. 0;2 . D. 2;4 . Câu 50: Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh A, B,C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn? 3 A.l 1; 2 . B.l 2;3 2 . C.l 3;2 . D. l ;1 . 2 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1-B 2-A 3-C 4-B 5-B 6-D 7-A 8-B 9-C 10-B 11-D 12-C 13-A 14-A 15-D 16-A 17-B 18-C 19-D 20-D 21-C 22-A 23-D 24-C 25-B 26-C 27-B 28-B 29-D 30-C 31-A 32-C 33-B 34-A 35-A 36-D 37-D 38-C 39-D 40-A 41-C 42-A 43-B 44-A 45-D 46-B 47-D 48-C 49-A 50-D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B. Ta thấy đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d nên loại C, D. Dựa vào đồ thị ta có lim y nên a 0 suy ra loại A. x 7
8. Vậy ta chọn đáp án B. Câu 2: Chọn A. Vì ABC.A' B 'C ' là khối lăng trụ đều nên có đáy ABC là tam giác đều và chiều cao AA' a. a2 3 a3 3 Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là V AA'.S a. (đvtt). ABC 4 4 Câu 3: Chọn C. Độ dài đường sinh của hình nón l r 2 h2 42 32 5. Diện tích xung quanh của hình nón S rl 4.5 20 . Câu 4: Chọn B. Ta có u9 u1 9 1 d 3 8.2 19. Câu 5: Chọn B. Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có 5! = 120 cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc. Câu 6: Chọn D. 4 4 Thể tích V của khối cầu có đường kính 6cm là R3 . .33 36 cm3 . 3 3 Câu 7: Chọn A. Theo công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có Sxq 2 rl 2 rh (Do h l). Câu 8: Chọn B.  Ta có AB 3 1;5 2;2 3 2;3;5 . Câu 9: Chọn C. 1 Ta có f x dx 3x2dx 3. x3 C x3 C. 3 Câu 10: Chọn B. 1 Ta có 32x 1 32x 1 3 1 2x 1 1 x 1. 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1. Câu 11: Chọn D. Câu 12: Chọn C. 1 Ta có log b log b. a2 2 a 8
9. Câu 13: Chọn A. 1 Ta có: 2 f x 1 f x . 2 Suy ra số nghiệm của phương trình 2 f x 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng 1 y . 2 Dựa vào hình vẽ trên, suy ra phương trình 2 f x 1 có 2 nghiệm. Câu 14: Chọn A. ĐKXĐ: x 1 0 x 1. 3 Ta có: log2 x 1 3 x 1 2 8 x 7 (thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy nghiệm của phương trình log2 x 1 3 là x 7. Câu 15: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ; 1 và 3; ; hàm số nghịch biến trên 1;3 . Câu 16: Chọn A. Tập xác định: D 0; . f ' x 0 ln x 1 ex 2019 x 1 0 1 x 0; ln x 1 0 ln x 1 e x x e 2019 0 e 2019 x ln 2019 0; x 1 0 x 1 x 1 0; Bảng biến thiên: 9
10. 1 Hàm số đạt cực đại tại x . Đạt cực tiểu tại x ln 2019. e Vậy trên khoảng 0; thì hàm số y f x có 2 điểm cực trị. Câu 17: Chọn B. Dựa vào đồ thị, nhận thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và yCD 1. Câu 18: Chọn C. Khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h có thể tích là V Bh. Câu 19: Chọn D. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là: V 1.2.3 6. Câu 20: Chọn D. 2 x 2 Điều kiện: x 3x 2 0 . x 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D ;1  2; . Câu 21: Chọn C. Ta có góc giữa SC với đáy là S· CA 450. Tam giác ABC vuông tại B AC AB2 BC 2 2 3. SAC vuông tại A suy ra SA AC.tan S· CA 2 3. 1 1 V . .BA.BC.SA 3. S.ABC 3 2 Câu 22: Chọn A. Ta có x0 1 y0 e. y ' ex x 1 y ' 1 2e. 10
11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y 2e x 1 e y e 2x 1 . Câu 23: Chọn D. 2 a 3 a 3 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là: R . . 3 2 3 a 3 Bán kính đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác đều ABC và A' B 'C ' chính là bán kính đáy khối trụ: R . 3 2 3 2 a 3 a Thể tích khối trụ tròn xoay cần tìm: V R h . .a . 3 3 Câu 24: Chọn C. Ta có: f x dx x2 C f x 2x. Suy ra: f 2x dx 2.2xdx 2x2 C. Câu 25: Chọn B. Ta có y ' 3x2 6x m. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 0 9 3m 0 m 3. Câu 26: Chọn C. x Đặt t 2 3 ,t 0, khi đó x log t và mỗi t 0 cho ta đúng một nghiệm x. 2 3 m Phương trình đã cho được viết lại t 1 0 t 2 t m 0 * . Bải toàn trở thành tìm m để phương trình t * có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2. 0 1 4m 0 1 1 P t1t2 0 0 m . Suy ra: a 0;b . m 0 4 4 S t1 t2 0 Vậy T 3a 8b 2. Câu 27: Chọn B. 1 Ta có: 2x cos 2x dx 2xdx cos 2xdx x2 sin 2x C. 2 Câu 28: Chọn B. 11
12. 3 2 2 Ta có: S ABC . 2a a 3 4 1 1 a3 3 V S .SA a2 3.a . S.ABC 3 ABC 3 3 Câu 29: Chọn D.     Hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' AD BC và AA' DD ' xD xA xC xB xD 0 1 1 xD 0   * AD BC yD yA yC yB yD 0 2 0 yD 2 zD zA zC zB zD 0 0 0 zD 0 xA' xA xD' xD xA' 0 1 0 xA' 1   * AA' DD ' yA' yA yD' yD yA' 0 3 2 yA' 1 zA' zA zD' zD zA' 0 5 0 zA' 5 Vậy A' 1;1;5 . Câu 30: Chọn C. 9x 1 Hàm số y 2020 x2 TXĐ: D 2020; 2020 Ta có: lim y ; lim y x 2020 x 2020 đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x 2020 và x 2020 9x 1 Vậy đồ thị hàm số y có 2 đường tiệm cận. 2020 x2 Câu 31: Chọn A. Xét hàm số y x4 20x2 liên tục trên  1;10 và có 12
13. x 0 3 2 2 y ' 4x 40x 4x x 10 nên y ' 0 4x x 10 0 x 10 x 10 L Mà y ' 1 1, y ' 0 0, y ' 10 100 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 20x2 trên đoạn  1;10 là 100. Câu 32: Chọn C. 1 a2 Diện tích đáy là: S .a.a . ABC 2 2 a2 a3 Thể tích khối lăng trụ là: V .a V. ABC.A'B'C ' 2 2 Gọi P là trung điểm cạnh CC ' ta có 2 2 1 2 2 a3 a3 VABCMNC ' V VA'B'C 'MN V .VA'B'C 'MNP V . V V . . 3 3 2 3 3 2 3 Câu 33: Chọn B. 2 2 Ta có: 3x x 9 3x x 32 x2 x 2 x2 x 2 0 x 1;2 . Vậy T a b 1 2 1. Câu 34: Chọn A. 13
14. Gọi M ,G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm ABC. Do S.ABC là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của S lên ABC là trọng tâm ABC. Suy ra SG  ABC . Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là S· AG. a 3 2 2 a 3 a 3 a2 3 Ta có: AM ; AG AM . ;S . 2 3 3 2 3 ABC 4 a3 1 a3 1 a2 3 a3 Theo đề bài: V .SG.S .SG. SG a. S.ABC 4 3 3 ABC 4 3 3 4 4 3 SG a Trong SAG vuông tại G ta có: tan S· AG 3 S· AG 600. AG a 3 3 Câu 35: Chọn A. Hình nón có góc ở đỉnh bằng 900 nên O· SA 450 , suy ra SOA vuông cân tại O. Khi đó h r 5,l h2 r 2 52 52 5 2. Vậy diện tích xung quanh của hình nón là Sxq .r.l .5.5 2 25 2 . 14
15. Câu 36: Chọn D. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD. 2 3 4 3 Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD. Khi đó HI , BH . 3 3 Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD Và HI là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là 2 3 r HI . 3 Tứ diện ABCD đều nên AH  BCD , suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện. Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 32 4 6 AB AH BH AH AB BH 4 AH . 3 3 3 4 6 4 6 Vậy chiều cao của hình trụ là h AH . Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là l . Diện tích 3 3 2 3 4 6 16 2 xung quanh của hình trụ là S 2 rl 2 . . . xq 3 3 3 Câu 37: Chọn D. Ta có y ' 2x 8 f ' x2 8x m . Hàm số y f x2 8x m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f ' x2 8x m 0 có bốn nghiệm phân biệt khác 4. Mà f ' x 0 có hai nghiệm đơn là x 0 và x 2 nên 15
16. x2 8x m 0 x2 8x m 0 f ' x2 8x m 0 có bốn nghiệm phân biệt khác 4 khi và chỉ khi 2 2 x 8x m 2 x 8x m 2 0 ' 16 m 0 m 16 16 32 m 0 m 16 m 16. ' 16 m 2 0 m 18 16 32 m 2 0 m 18 Kết hợp điều kiện m nguyên dương nên có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài ra. Câu 38: Chọn C. 2 Ta có: y ' 3x2 m . 5x3 1 Hàm số y x3 mx đồng biến trên 0; 5x2 y ' 0,x 0; . 2 3x2 m 0,x 0; 5x3 2 m 3x2 ,x 0; 5x3 2 m max g x với g x 3x2 . 0; 5x3 2 6 1 Xét g x 3x2 trên 0; , ta có g ' x 6x ; g ' x 0 x . 5x3 5x4 5 5 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra m 2,6. Vậy m 2 và m 1 thỏa mãn. Câu 39: Chọn D. 16
17. Gọi P là trung điểm của AN MP / /CN, MP  DMP CN / / DMP d CN, DM d CN, DMP d N, DMP d A, DMP . a3 2 Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a V . ABCD 12 3 VA.DMP AP AM 1 1 a 2 Ta có . VA.DMP VA.DBC . VA.DBC AB AC 8 8 96 a 3 Tam giác ACD đều cạnh a, có M là trung điểm của AC DM . 2 a 3 1 a 3 Tam giác ABC đều cạnh a, có N là trung điểm của AB CN MP CN . 2 2 4 a Tam giác ADP, có AP , AD a, P· AD 600. 4 a 13 DP AD2 AP2 2.AD.AP.cos P· AD . 4 DM DP MP a 13 3 3 Đặt p . 2 8 a2 35 S p p DM p DP p MP DMP 32 a3 2 3. 1 3V a 70 Lại có V S .d A, DMP d A, DMP A.DMP 96 . A.DMP DMP 2 3 V DMP a 35 35 32 a 70 Vậy d CN, DM . 35 Câu 40: Chọn A. 17
18. Điều kiện: x 0. 2 1 4 2 Ta có log x.log x.log x.log x log x 3 9 27 81 3 2.3.4 3 3 x 9 4 log x 2 log x 16 3 (thỏa mãn điều kiện). 3 1 log3 x 2 x 9 82 Vậy tổng các nghiệm bằng . 9 Câu 41: Chọn C. Từ B1 dựng mặt phẳng song song với ABC cắt AA' và CC ' tại A2 ,C2. a a2 a 5 a 5 Ta có A A BB AA A B A A2 A B a2 , tương tự B C , AC a 2. Vậy 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 4 2 1 1 2 1 1 tam giác A1B1C1 cân tại B1. AC 2 a 3 Khi đó đường cao ứng với đỉnh B của tam giác A B C là B C 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 a2 6 a2 3 S ;S , mặt khác tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A B C trên mặt phẳng A1B1C1 4 ABC 4 1 1 1 ABC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và A1B1C1 . S 2 Ta có cos ABC 450. S 2 A1B1C1 Câu 42: Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 a 10 x2 x 1 0 1 x3 10x2 x 1 ax2. 18
19. Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên x3 10x2 x 1 x3 a 10 x2 x 1 0 1 a. x2 2 x3 10x2 x 1 x3 x 2 x x 2 x 1 Xét hàm số f x f ' x x2 x3 x3 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có một nghiệm khi a 11 suy ra a 10; 9; ; 1. Câu 43: Chọn B. 1 2 *) Xét phương trình Cn Cn 55 n ¥ Điều kiện . n 2 n! n! C1 C 2 55 55 n n n 1 ! n 2 !2! n n 1 n 55 2 n2 n 110 0 n 11 n 10 n 10 3 2 3 2 Với điều kiện n 2 ta chỉ chọn n 10, khi đó x 2 x 2 x x 10 k 3 2 k 3 10 k 2 k k 30 5k *) Số hạng tổng quát trong khai triền x 2 là: C10 x . 2k C10.2 .x . x x Số hạng không chứa x ứng với 30 5k 0 k 6. 6 6 Số hạng cần tìm là C10 2 13440. Câu 44: Chọn A. 19
20. Với a 0 có x2 x 2 a ln x2 x 1 0 x2 x 2 0,x ¡ suy ra a 0 thỏa mãn. Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị a 0. 3 Đặt t x2 x 1, có t . 4 3 Bất phương trình đưa về tìm a 0 để t 1 a ln t 0,t . 4 a 3 Đặt f t t 1 a ln t có f ' t 1 0,a 0,t . t 4 Bảng biến thiên 3 7 3 7 Có f t 0,t khi và chỉ khi a ln 0 a 6,08 a 6;7 . 3  4 4 4 4ln 4 Câu 45: Chọn D. Xét hàm số f (x) a x 9x 1(x ¡ ) Ta có: f (0) 0; f '(x) a x ln a 9 Để f (x) 0(x ¡ ) thì Min f (x) 0 f (0) f (x) là hàm số đồng biến trên [0;+ ) và nghịch biến trên ¡ ( ;0] suy ra f '(0) 0 a0 ln a 9 a e9 8103. Vậy a (103 ;104 ] . Câu 46: Chọn B. log(x y) z x y 10z Ta có: x2 y2 10(x y) 2 2 2 2 z 1 z log(x y ) z 1 x y 10 10.10 Khi đó: x3 y3 a.103z b.102 z (x y)(x2 xy y2 ) a.(10z )3 b.(10z )2 (x y)(x2 xy y2 ) a.(x y)3 b.(x y)2 x2 xy y2 a.(x y)2 b.(x y) b b x2 xy y2 a.(x2 2xy y2 ) .(x2 y2 ) x2 y2 xy (a )(x2 y2 ) 2axy 10 10 20
21. b 1 a 1 a Đồng nhất hệ số, ta được: 10 2 2a 1 b 15 29 Vậy a b . 2 Câu 47: Chọn D. Gọi tứ diện đều là ABCD, rõ ràng nếu bán kính R của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh A lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh BC và CD lần lượt tại M và N, có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh A đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh B hoặc D. Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC,CD sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất. Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác AMN cân tại A. Đặt CM x, 0 x 1 , ta có MN CM CN x. 1 AM 2 CM 2 CA2 2CM.CA.cos600 x2 1 2x. x2 x 1 AM x2 x 1 2 AN AM x2 x 1. 2 2 AM 2 AN 2 MN 2 2 x x 1 x x2 2x 2 Ta có cos M· AN 2.AM.AN 2 x2 x 1 2 x2 x 1 2 2 2 x2 2x 2 x 3x 4x 4 sin M· AN 1 2 2 2 x x 1 2 x x 1 21
22. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là MN x2 x 1 RAMN 2sin M· AN 3x2 4x 4 R chính là giá trị nhỏ nhất của RAMN trên khoảng 0;1 . x2 x 1 Xét f x , x 0;1 , sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của f x là 0.4478. 3x2 4x 4 Vậy giá trị nhỏ nhất mà R có thể nhận được gần với 0.448. Câu 48: Chọn C. Điều kiện: 2cos2 x m 0 Ta có: sin 2x cos 2x sin x cos x 2cos2 x m m 0 2sin x.cos x 2cos2 x 1 sin x cos x 2cos2 x m m 0 sin x cos x 2 sin x cos x 2cos2 x m 2cos2 x m * . Đặt f t t 2 t; với t 0. Ta có f ' t 2t 1 0;t 0 Phương trình (*) có dạng: f sin x cos x f 2cos2 x m sin x cos x 2cos2 x m 1 sin 2x 2cos2 x m sin 2x cos 2x m. Điều kiện có nghiệm thực của phương trình này là: m2 2 2 m 2. Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực là 1;0;1. Câu 49: Chọn A. x 1 x Ta có: g(x) f (1 ) x g '(x) . f '(1 ) 1;x ¡ 2 2 2 Xét phương trình: 1 x x g '(x) 0 . f '(1 ) 1 0 f '(1 ) 2(*) 2 2 2 Thử lần lượt từng đáp án, ta được: 22
23. x x Đáp án A: x ( 4; 2) 1 (2;3) f '(1 ) 2 => Đáp án A đúng 2 2 x x Đáp án B: x ( 2;0) 1 (1;2) f '(1 ) 1 => Đáp án B sai 2 2 x x Đáp án C: x (0;2) 1 (0;1) f '(1 ) 1=> Đáp án C sai 2 2 x x Đáp án D: x (2;4) 1 ( 1;0) f '(1 ) 1 => Đáp án D sai 2 2 Câu 50: Chọn D. Gọi D là trung điểm của đoạn AB, kẻ OI  SD, dễ dàng chứng minh được OI  SAB . Suy ra I là tâm đường tròn C giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng SAB . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của đường tròn C với SB, SA; K là trung điểm của MB. a 3 Giả sử AB a, theo giả thiết ta suy ra OC 1 1 a 3. 2 3 1 SO.OD 2 OD2 1 4 Ta có SD CD ,OD , SO SC 2 OC 2 2,OI , ID , SI . 2 2 SD 3 SD 6 3 7 Gọi r là bán kính đường tròn C , khi đó r 1 OI 2 . 3 1 2 Ta có tam giác SIK vuông tại K và góc ISK 300 suy ra IK IS 2 3 IK 2 Xét tam giác MIK có cos I I 280 MIN 640 IM 7 23
24. 64 7 16 7 Khi đó chiều dài cung MN bằng . . Vậy tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt 180 3 135 16 7 bên của hình chóp là l 0,94. 45 24