Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Quang Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Quang Hà (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12 TRƯỜNG THPT QUANG HÀ NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M ,m. Giá trị biểu thức P M 2 m2 bằng 1 1 A. P . B. P 1. C. P . D. P 2. 2 4 Câu 2: Cho cấp số nhân un có u1 2 và công bội q 2. Tính u3 ? A.u3 8. B. u3 4. C.u3 18. D. u3 6. Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu như sau: Hàm số y f x đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. 2;0 . B. 0; . C. ; 2 . D. 3;1 . Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết SC a 3. 2a3 6 a3 6 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 12 4 2 2x 1 Câu 5: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y là đúng? x 1 1
2. A. Hàm số nghịch biến trên ¡ \ 1. B. Hàm số đồng biến trên ¡ \ 1. C. Hàm số nghịch biến trên ;1 và 1; . D. Hàm số đồng biến trên ;1 và 1; . Câu 6: Cho hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. x6 Hàm số g x f x2 x4 x2 đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm? 3 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. m 2n 3 x 5 Câu 7: Biết rằng đồ thị hàm số y nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng x m n S m2 n2 2. A. S 0. B. S 2. C. S 1. D. S 1. Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA a 3. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 3 A. 300. B. 600. C. arcsin . D. 450. 5 Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 8x2 16x 9 trên đoạn 1;3 là 13 A. max f x 5. B. max f x 6. C. max f x . D. max f x 0. 1;3 1;3 1;3 27 1;3 Câu 10: Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là: A. Mười sáu. B. Mười hai.C. Ba mươi.D. Hai mươi. Câu 11: Chọn hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. A. 12.B. 10.C. 11.D. 20. Câu 12: Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số nào? 2
3. A. y x3 3x 2. B. y x3 3x 2. C. y x3 3x 2. D. y x3 3x 2. 7 5 2 2 Câu 13: Tìm hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển x ? x A. h 84. B. h 560. C. h 672. D. h 280. x2 mx m Câu 14: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 trên 1;2 bằng 2. Số phần tử của S là A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. x 1 Câu 15: Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây? 4x 1 1 1 A. x 1. B. y 1. C. y . D. x . 4 4 m Câu 16: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 2mx2 3m 5 x đồng biến 3 trên ¡ . A. 6. B. 2. C. 5. D. 4. Câu 17: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  4;4 và có bảng biến thiên trên đoạn  4;4 như sau Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hàm số không có GTLN, GTNN trên  4;4. 3
4. B. min y 4 và max y 10. 4;4 4;4 C. max y 10 và min y 10.  4;4  4;4 D. max y 0 và min y 4. 4;4 4;4 Câu 18: Cho K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y f x liên tục và xác định trên K. Mệnh đề nào không đúng? A. Nếu hàm số y f x đồng biến trên K thì f ' x 0,x K. B. Nếu f ' x 0,x K thì hàm số y f x đồng biến trên K. C. Nếu hàm số y f x là hàm số hằng trên K thì f ' x 0,x K. D. Nếu f ' x 0,x K thì hàm số y f x không đổi trên K. Câu 19: Cho hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ. 1 1 8 4 A. . B. . C. . D. . 252 945 63 63 Câu 20: Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số 2x 3 2x 4 2 x x 4 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 2x 2 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Gọi E là điểm trên cạnh SC sao cho EC 2ES. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD, cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M , N. Tính theo V thể tích khối chóp S.AMEN. V V V V A. . B. . C. . D. . 12 27 9 6 Câu 22: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1, liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên như sau: 4
5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt. A. 1;1. B. 2; 1 . C. 2; 1 . D. 1;1 . Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng a3 3 2a3 3 A. 2a3 3. B. . C. . D. a3 3. 3 3 Câu 24: Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn? A. 220. B. 219 1. C. 220 1. D. 219. Câu 25: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 1. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng: a 3 a 2 a 15 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 2 5 7 Câu 27: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ: 5
6. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 0. 3 2 Câu 28: Gọi M xM ; yM là một điểm thuộc C : y x 3x 2, biết tiếp tuyến của C tại M cắt C tại 2 2 điểm N xN ; yN (khác M ) sao cho P 5xM xN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính OM. 5 10 7 10 10 10 10 A.OM . B.OM . C.OM . D. OM . 27 27 27 27 Câu 29: Hàm số y x3 3x2 4 đồng biến trên khoảng nào? A. ;0 . B. 1;2 . C. 2; . D. 0;3 . 2x 1 Câu 30: Tìm lim . x x 1 A. 3. B. 1.C. 1. D. 2. Câu 31: Cho khối chóp có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng? 1 A.V Bh. B.V Bh. C.V Bh. D. V 3Bh. 3 Câu 32: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên Khẳng định nào dưới đây sai? A. f 1 là một giá trị cực tiểu của hàm số.B. x0 0 là điểm cực đại của hàm số. C. x0 1 là điểm cực tiểu của hàm số. D. M 0;2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 6
7. Câu 33: Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 4 2 2 2 A. B. 2. C. . D. 2 3. 3 3 Câu 34: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V. 3 2a3 9 2a3 a3 2 3 2a3 A.V . B.V . C.V . D. V . 320 320 96 80 Câu 35: Cho k ¥ ,n ¥ . Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào là công thức đúng? n! A.C k C k C k 1 (với 1 k n). B. Ak (với 1 k n). n 1 n n n k! n k ! n! C.C k C k 1 (với 1 k n). D. C k (với 1 k n). n 1 n n n k ! Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu S lên mặt phẳng ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho ·AHB 1500 , B· HC 1200 ,C· HA 900. Biết tổng diện tích các mặt 124 cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 9 4 A. . B. . C. 4a3. D. 4. 2 3 Câu 37: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số f ' x như hình vẽ dưới đây 1 3 3 Xét hàm số g x f x x3 x2 x 2019. Trong các mệnh đề sau: 3 4 2 I g 0 g 1 . II min g x g 1 .  3;1 7
8. III Hàm số g x nghịch biến trên 3; 1 . IV max g x max g 3 ; g 1 .  3;1  3;1 Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thuộc các đoạn AB AD thẳng AB và AD(M và N không trùng với A) sao cho 2 4. Kí hiệu V ,V lần lượt là thể tích của AM AN 1 V các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số 1 . V 2 1 3 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 4 14 Câu 39: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình bên dưới Hàm số g x f 3 x đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau? A. 4;7 . B. 1;2 . C. 2;3 . D. ; 1 . Câu 40: Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA 3a, SB 4a, SC 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC . 5a3 A.V 20a3. B.V 10a3. C.V . D. V 5a3. 2 Câu 41: Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận? x 1 A. y x2. B. y 2x. C. y . D. y 0. x Câu 42: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f ' x như hình bên dưới 8
9. Đặt g x f x x, khẳng định nào sau đây là đúng? A. g 1 g 1 g 2 . B. g 1 g 1 g 2 . C. g 2 g 1 g 1 . D. g 1 g 1 g 2 . Câu 43: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 3x2 tại điểm M 1; 2 . A. y 3x 1. B. y 3x 1. C. y 3x 5. D. y 2. Câu 44: Cho phương trình: sin3 x 2sin x 3 2cos3 x m 2cos3 x m 2 2cos3 x cos2 x m. Có bao 2 nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm x 0; ? 3 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 45: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm . Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó AE 2 cm , AH x cm ,CF 3 cm ,CG y cm . Tìm tổng x y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. 7 2 A. x y 7. B. x y 5. C. x y . D. x y 4 2. 2 9
10. Câu 46: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2, cạnh bên bằng 2a. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAC và SCD . Tính cos . 21 21 21 21 A. . B. . C. . D. . 2 14 3 7 Câu 47: Cho hàm số y x4 2x2 có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x4 2x2 m có hai nghiệm phân biệt. A. m 1 hoặc m 0. B. 0 m 1. C. m 1. D. m 0. Câu 48: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y m 2 x3 3x2 mx 6 có hai điểm cực trị A. 1. B. 4. C. vô số. D. 2. 1 x 1 Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y có hai tiệm cận x2 1 m x 2m đứng? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 50: Cho khối đa diện đều giới hạn bởi hình đa diện H , khẳng định nào sau đây là sai? A. Các mặt của H là những đa giác đều có cùng số cạnh. B. Mỗi cạnh của một đa giác của H là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác. C. Khối đa diện đều H là một khối đa diện lồi. D. Mỗi đỉnh của H là đỉnh chung của cùng một số cạnh. 10
11. ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-A 4-B 5-C 6-D 7-A 8-B 9-C 10-D 11-C 12-B 13-D 14-D 15-C 16-A 17-C 18-B 19-C 20-A 21-D 22-B 23-C 24-B 25-C 26-C 27-C 28-D 29-B 30-D 31-A 32-D 33-C 34-A 35-A 36-B 37-D 38-C 39-B 40-B 41-C 42-A 43-A 44-A 45-C 46-D 47-A 48-D 49-A 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A. 1 1 Từ bảng biến thiên, ta thấy M ,m . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Vậy P M m . 2 2 2 Câu 2: Chọn A. 2 2 Ta có: u3 u1.q 2.2 8. Câu 3: Chọn A. f ' x 0 với x 2;0 nên hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . Câu 4: Chọn B. 11
12. a2 3 ABC là tam giác đều cạnh a nên S . ABC 4 Hai mặt bên SAB , SAC cùng vuông góc với mặt đáy nên SA  ABC . Trong tam giác vuông SAC ta có: SA SC 2 AC 2 3a2 a2 a 2. 1 1 a2 3 a3 6 Thể tích của khối chóp S.ABC là V S .SA . .a 2 3 ABC 3 4 12 Câu 5: Chọn C. Tập xác định D ¡ \ 1. 3 Ta có y ' 0 với mọi x D. Suy ra, hàm số nghịch biến trên ;1 và 1; . x 1 2 Câu 6: Chọn D. Ta có g ' x 2xf ' x2 2x5 4x3 2x. 2x 0 g ' x 0 2 4 2 . f ' x x 2x 1 0 1 t 0 2 Đặt t x t 0 , khi đó 2 t 1 1 có nghiệm x 0, x 1, x 2. t 2 f ' t t 2 2t 1 0 t 1 0 x2 1 1 x 1. 2 t 0 x 1 f ' t t 2t 1 . t 1 x 1 Bảng biến thiên 12
13. x 2 1 0 1 2 g ' x + 0 + 0 0 + 0 0 g x x6 Suy ra, hàm số g x f x2 x4 x2 đạt cực tiểu tại một điểm. 3 Câu 7: Chọn A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục Ox m 2n 3 0 . Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục Oy m n 0. Suy ra m,n là nghiệm của hệ phương trình: m 2n 3 0 m 1 S 0. m n 0 n 1 Câu 8: Chọn B. Có SD, ABCD SD, AD SDA. SA Xét SAD vuông tại A có: tan SDA 3 SDA 600 SD, ABCD 600. AD Câu 9: Chọn C. Hàm số liên tục trên đoạn [1;3]. x 4 1;3 2 2 + Ta có: f ' x 3x 16x 16; f ' x 0 3x 16x 16 0 4 x 1;3 3 13
14. 4 13 13 + f 1 0; f 3 6; f . Vậy max f x . 3 27 1;3 27 Câu 10: Chọn D. Hình mười hai mặt đều có 20 đỉnh. Câu 11: Chọn C. Giả sử hình chóp có đáy là đa giác n cạnh n 3 nên có n cạnh bên. Tổng số cạnh của hình chóp là 2n 20 n 10. Khi đó hình chóp có 10 mặt bên và 1 mặt đáy. Vậy hình chóp có 11 mặt. Câu 12: Chọn B. Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a 0, đồ thị hàm số đi qua điểm 0;2 nên chỉ có hàm số y x3 3x 2 thỏa mãn điều kiện trên. Câu 13: Chọn D. Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: k k 2 7 k 2 k k 14 3k Tk 1 C7 x C7 2 .x . x Vì số hạng có chứa x5 nên: 14 3k 5 k 3. 3 3 Vậy hệ số cần tìm là h C7 .2 280. Câu 14: Chọn D. x2 mx m Đặt y h x x 1 x2 mx m x2 x2 2x Xét hàm số f x m, ta có: f ' x 0,x 1;2. x 1 x 1 x 1 2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên đoạn 1;2. 1 4 min f x f 1 m,max f x f 2 m. 1;2 2 1;2 3 1 1 4 4 2 Nếu m 0 m thì max h x m , suy ra: m 2 m (thỏa mãn). 2 2 1;2 3 3 3 3 m l 4 4 1 1 2 Nếu m 0 m thì max h x m , suy ra: m 1 . 3 3 1;2 2 2 5 m 2 14
15. 1 4 4 1 1 1 4 1 11 Nếu m 0 m m thì: m m 2, suy ra: 2 3 3 2 2 2 3 2 6 4 2 m 2 m 4 3 3 m 2 (không thỏa mãn). 3 4 10 m 2 m 3 3 5 2 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn: m và m . 2 3 Câu 15: Chọn C. 1 1 1 Ta có: lim y ; lim y đường thẳng y là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 4 x 4 4 Câu 16: Chọn A. Tập xác định: D ¡ . *) Nếu m 0 ta có y 5x. Đồ thị hàm số luôn đồng biến trên ¡ . *) Nếu m 0. Ta có: y ' mx2 4mx 3m 5. Hàm số đồng biến trên ¡ y ' 0,x ¡ . mx2 4mx 3m 5 0,x ¡ . ' 0 4m2 m 3m 5 0 . a 0 m 0 m2 5m 0 m 0 0 m 5 0 m 5 m 0 Kết hợp với điều kiện ta có: 0 m 5. Vậy 0 m 5,m ¢ m 0;1;2;3;4;5. Câu 17: Chọn C. Dựa vào đồ thị ta có max y 10 khi x 4 và min y 10 khi x 4.  4;4  4;4 Tuy nhiên hàm số không có GTLN, GTNN trên 4;4 . Câu 18: Chọn B. Phát biểu đúng là “nếu f ' x 0,x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x đồng biến trên K ". 15
16. Câu 19: Chọn C. Số phần tử của không gian mẫu là n  10! Gọi A là biến cố “xếp 5 nam và 5 nữ ngồi đối diện nhau” Đánh số cặp ghế đối diện nhau là C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 Xếp 5 bạn nam vào 5 cặp ghế có 5! cách. Xếp 5 bạn nữ vào 5 cặp ghế có 5! cách. Ở mỗi cặp ghế, ta có 2 cách xếp một cặp nam, nữ ngồi đối diện. Số phần tử của A là n A 5!.5!.25 460800. n A 460800 8 P A . n  10! 63 Câu 20: Chọn A. Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 nên loại đáp án C và D. 5 Xét đáp án A có y ' 0,x D, tiệm cận ngang là đường thẳng y 2, tiệm cận đứng là đường x 1 2 thẳng x 1 nên chọn. 2 Xét đáp án B có y ' 0,x D nên loại. x 1 2 Câu 21: Chọn D. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Trong SAC . Gọi I SO  AE. Từ I, kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M , N. Gọi K là trung điểm EC SE EK KC. 16
17. SI SE 1 Do OK là đường trung bình của tam giác CAE OK / /IE . SO SK 2 SM SN SI 1 Do MN / /BD SB SD SO 2 Ta có: VS.AMBN VS.AMB VS.ABN . VS.AME SM SE 1 1 1 1 . . VS.AME VS.ABC . VS.ABC SB SC 2 3 6 6 VS.ANE SN SE 1 1 1 1 . . VS.ANE VS.ACD . VS.ADC SD SC 2 3 6 6 1 1 V V V V V V . S.AMBN S.AMB S.ABN 6 S.ABC S.ACD 6 S.ABCD 1 V V. S.AMBN 6 Câu 22: Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt khi m 2; 1 . Câu 23: Chọn C. 2 Diện tích của hình chữ nhật ABCD là SABCD AB.AD a.2a 2a . 1 1 2a3 3 Thể tích của khối chóp S.ABCD là V SA.S a 3.2a2 (đvtt). S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 24: Chọn B. k Số tập hợp con khác rỗng của tập hợp A mà có k phần tử là C20 k ¥ ,0 k 20 . 2 4 20 Khi đó tổng số tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn là S C20 C20 C20 . 20 0 1 2 2 20 20 Xét 1 x C20 C20 x C20 x C20 x . 20 0 1 2 20 Cho x 1, ta được 2 C20 C20 C20 C20 1 17
18. 0 1 2 20 Cho x 1, ta được 0 C20 C20 C20 C20 2 . Công vế theo vế (1) và (2), ta được 20 0 2 4 20 20 19 2 2 C20 C20 C20 C20 2 S 1 2 S 2 1. Câu 25: Chọn C. Từ đồ thị hàm số dễ thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại đúng 1 điểm nên phương trình f x 1 có đúng 1 nghiệm. Vậy mệnh đề C đúng. Câu 26: Chọn C. Trong mp ABC kẻ hình bình hành ABDC, AE  BD; trong mp SAE kẻ AH  SE. Theo giả thiết: SA  ABC SA  BD BD  SAE AE  BD BD  AH mà AH  SE nên AH  SBD . Ta lại có BD / / AC AC / / SBD d AC, SB d AC, SBD d A, ABD AH . Mặt khác: Vì SA  ABC nên ·SA, ABC S· BA 600 , SA AB.tan 600 a 3. Vì ABDC là hình bình hành nên ·ABD 1800 B· AC 1200 do đó điểm E nằm ngoài đoạn thẳng BD và góc a 3 ·ABE 600 AE ABsin 600 . 2 Tam giác SAE vuông có: 18
19. 2 1 1 1 1 1 5 2 3a a 15 2 2 2 2 2 2 AH AH . AH SA AE a 3 a 3 3a 5 5 2 a 15 Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là . 5 Câu 27: Chọn C. Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị Vậy đáp án đúng là đáp án C. Câu 28: Chọn D. Hàm số y x3 3x2 2 TXĐ: D ¡ 2 Ta có: y ' 3x 6x Tiếp tuyến của C tại M xM ; yM có phương trình là: 2 3 2 y 3xM 6xM x xM xM 3xM 2 Tiếp tuyến của C tại M cắt C tại điểm N xN ; yN (khác M ) nên xM ; xN là nghiệm của phương trình: 3 2 2 3 2 x 3x 2 3xM 6xM x xM xM 3xM 2 3 3 2 2 2 x xM 3 x xM 3xM 6xM x xM 0 2 x xM x xM x 2xM 3 0 x 2xM 3 M khác N xM 2xM 3 3xM 3 xM 1 xN 2xM 3 2 2 2 2 2 2 Khi đó: P 5xM xN 5xM 2xM 3 9xM 12xM 9 3xM 2 5 5 với xM 2 2 Dấu “=” xảy ra 3x 2 0 3x 2 0 3x 2 x (thỏa mãn) M M M M 3 2 2 2 26 2 26 10 10 Với xM yM OM 3 27 3 27 27 10 10 Vậy OM . 27 Câu 29: Chọn B. 2 x 0 Ta có y ' 3x 6x 0 x 2 19
20. x 0 2 y ' 0 + 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 30: Chọn D. 1 1 x 2 2 2x 1 x Ta có lim lim lim x 2. x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x Câu 31: Chọn A. 1 Thể tích của khối chóp đã cho là V Bh. 3 Câu 32: Chọn D. M 0;2 là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Câu 33: Chọn C. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của CD ta có: 3 2 2 3 BM 2 3; BG BM 2 3 3 20
21. 2 3 2 6 AG  (BCD) AG  BG SG AB2 BG 2 22 ( )2 . 3 3 1 1 S BM.CD . 3.2 3 BCD 2 2 1 1 2 6 2 2 V AG.S . 3. ABCD 3 BCD 3 3 3 Câu 34: Chọn A. DD ' ED 2 Xét mặt phẳng chứa tam giác ABD . Gọi D ' trên IE sao cho DD '/ / AQ ta có: MQ EQ 3 KD DD ' DD ' 1 Mà KDD ' : KAM KA AM 2MQ 3 21
22. Gọi M ' trên BD sao cho MM '/ / AB. Ta có: 1 1 1 1 3 1 5 M 'Q BQ . BE BE EM ' 3EQ QM ' BE BE 3 3 4 12 4 12 6 MM ' EM ' 5 5 MM ' IB IB EB 6 6 MM ' QM 1 5 IB 1 IB 2 AI 3 Xét mặt tam giác ABQ . Ta có AB QA 3 6 AB 3 AB 5 AB 5 AJ AK 3 Vì MN / /PQ / /CD MN / / ACD MN / /JK / /CD AC AD 4 a3 2 Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a V ABCD 12 3 3 VAIJK AI AJ AK 3 3 3 27 27 27 a 2 9 2a Ta lại có: . . . . VAIJK VABCD VABCD AB AC AD 5 4 4 80 80 80 12 320 Câu 35: Chọn A. k k k 1 Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp công thức đúng là Cn 1 Cn Cn (với 1 k n). n! n! Công thức Ak ,C k ,C k C k 1 là các công thức sai. n k! n k ! n n k ! n 1 n Câu 36: Chọn B. Gọi R1, R2 , R3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HAC Áp dụng định lý sin vào các HAB, HBC, HAC ta có: · AB AB 2R1 sin AHB R1 2. 2sin ·AHB · BC 2 3 BC 2R2 sin BHC R2 . 2sin B· HC 3 22
23. · AC AC 2R3 sin CHA R1 1. 2sin C· HA Gọi r1,r2 ,r3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện S.HAB, S.HBC, S.HAC. 2 2 2 SH Nhận xét: Trong hình chóp S.HAB với SH  HAB ta có r1 R1 . 2 2 2 2 2 2 SH 2 2 SH 2 2 SH Khi đó r1 R1 ;r2 R2 ;r3 R3 . 2 2 2 3.SH 2 Suy ra r 2 r 2 r 2 R2 R2 R2 . 1 2 3 1 2 3 4 124 Do tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là 3 2 2 2 124 2 2 2 31 Ta có: 4 r1 r2 r3 r1 r2 r3 . 3 3 2 31 2 2 2 3.SH 2 4 31 2 2 2 16 4 3 Khi đó: R1 R2 R3 SH R1 R2 R3 SH . 3 4 3 3 3 3 1 1 4 3 22 3 4 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V .S .SH . . (đvtt). 3 ABC 3 3 4 3 Câu 37: Chọn D. 2 3 3 Ta có: g ' x f ' x x x f ' x h x . 2 2 3 3 Ta vẽ đồ thị hàm số h x x2 x và y f ' x trên cùng một hệ trục: 2 2 Đồ thị hàm số y h x có đỉnh I 1; 2 và đi qua các điểm 3; 3 , 1;1 . x 3 1 1 g ' x 0 0 + 0 g x g 3 g 1 g 1 Từ bảng biến thiên suy ra I g 0 g 1 . Đúng. 23
24. II min g x g 1 . Đúng.  3;1 III Hàm số g x nghịch biến trên 3; 1 . Đúng. IV max g x max g 3 ; g 1 . Đúng.  3;1  3;1 Vậy cả bốn mệnh đề đều đúng. Câu 38: Chọn C. V V V V V Ta có: 1 S.MBCDN S.ABCD S.AMN 1 S.AMN 1 k V VS.ABCD VS.ABCD VS.ABCD V S S 1 AM.AN Với k S.AMN AMN AMN VS.ABCD SABCD 2SABD 2 AB.AD AB AD AB AD AB AD AM AN 1 Mặt khác ta có: 4 2 2 .2 2 . . AM AN AM AN AM AN AB AD 2 1 AM.AM 1 Suy ra: k . 2 AB.AD 4 1 AB 2AD AM 2AM kmin 2 N  D, M là trung điểm của AB. 4 AM AN AD AN V 1 3 Suy ra: 1 1 k 1 . V min 4 4 Câu 39: Chọn B. 24
25. x 3 Ta có y g x f x 3 y ' . f ' x 3 . x 3 x 3 1 L x 2  x 4 y ' 0 x 3 1 (Hàm số không có đạo hàm tại x 3). x 1 x 7 x 3 4 BBT x 1 2 3 4 7 y ' 0 + 0 | | + 0 0 + y Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 40: Chọn B. Vì SA, SB, SC đôi một vuông góc nên AS  SBC và SBC vuông tại S. 1 1 Nên thể tích khối chóp SABC là V .SA.SB.SC .3a.4a.5a 10a3. 6 6 Câu 41: Chọn C. x 1 Hàm số y có tập xác định D ;0  0; . x Ta có: 25
26. lim y 1; lim y 1. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1. x x lim y ; lim y . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 0. x 0 x 0 x 1 Vậy đồ thị của hàm số y có tiệm cận. x Câu 42: Chọn A. Hàm số g x f x x có tập xác định D ¡ , có đạo hàm g ' x f ' x 1. Ta có: g ' x 0 f ' x 1. 1 Nhận xét số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x và đường thẳng y 1. Ta có đồ thị như sau: x 1 Khi đó g ' x 0 x 1 . x 2 Với x 1 là nghiệm kép, x 1; x 2 là nghiệm đơn. Ta có bảng biến thiên: x 1 1 2 g ' x + 0 0 0 + g x g 1 g 1 g 2 26
27. Suy ra g 1 g 1 g 2 . Câu 43: Chọn A. Ta có y ' 3x2 6x Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M là k y ' 1 3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 3x2 tại điểm M 1; 2 là y y ' 1 x 1 2 3x 1. Câu 44: Chọn A. sin2 x 2sin x 3 2cos3 x m 2cos3 x m 2 2cos3 x cos2 x m sin3 x 2sin x 1 cos2 x 2 2cos3 x m 2cos3 x m 2 2cos3 x m sin3 x 2sin x sin2 x 2 2cos3 x m 2cos3 x m 2 2cos3 x m Đặt u 2cos3 m 2 u2 2cos3 x m 2 Phương trình trở thành: sin3 x 2sin x sin2 x 2 u2 2 u u2 2 sin3 x 2sin x sin2 x 2 u3 u2 2u 2 1 Xét hàm đặc trưng: f t t3 t 2 2t 2 f ' t 3t 2 2t 2 0,t ¡ f t là hàm đồng biến Phương trình 1 f sin x f u u sin x Với u sin x ta có 2cos3 x m 2 sin x 2cos3 x m 2 sin2 x m 2cos3 x cos2 x 1 Đặt X cos x phương trình trở thành m 2X 3 X 2 1 2 3 1 Với x 0; X ;1 . 2 2 1 2 Ứng với mỗi X ;1 thì có duy nhất một giá trị của x 0; do đó phương trình ban đầu có đúng một 2 3 2 1 nghiệm x 0; thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ;1 3 2 Xét hàm g X 2X 3 X 2 1 27
28. X 0 g ' X 6X 2 2X ; g ' X 0 1 X 3 Bảng biến thiên X 1 1 0 1 2 3 g ' X + 0 0 + g X 80 0 27 3 3 1 Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc X ;1 khi và chỉ khi 2 m 3 80 m 0 27 Mà m nguyên nên m 3; 2; 1;0 do vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Câu 45: Chọn C. CG CF y 3 Hai tam giác AHE và CFG đồng dạng suy ra: xy 6. AE AH 2 x Ta có: SEFGH SABCD SAHE SBEF SCFG SDGH 1 1 1 1 36 .2x .4.3 .3.y . 6 x . 6 y 2 2 2 2 3 1 36 x 6 .y . 36 6 x y xy 2 2 3 1 3 36 x 6 .y . 36 6 x y 6 9 2x y 2 2 2 6 9 Với y , ta có: S 9 2x . x EFGH x 9 9 9 3 2 Xét hàm số f x 9 2x , trên khoảng 0;6 ta có: f ' x 2 , f ' x 0 2 0 x . x x2 x2 2 Ta có bảng biến thiên: 28
29. x 3 2 0 6 2 f ' x 0 + f x 9 6 2 3 2 Từ bảng biến thiên suy ra: min S min f x 9 6 2 khi x y 2 2. EFGH 0;6 2 7 2 Vậy x y . 2 Câu 46: Chọn D. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD . Hình chóp S.ABCD đều nên H là tâm hình vuông ABCD, SAC  ABCD AC và SH  ABCD SAC  ABCD . Ta có: HD  AC HD  SAC . 1 CD  HM Gọi M là trung điểm của CD, suy ra: CD  SHM mà CD  SCD . CD  SH SCD  SHM nên từ H kẻ đường thẳng vuông góc với SM tại K, suy ra HK  SCD 2 SCD  SHM SM Từ 1 và 2 suy ra: SAC , SCD HD, HK K· HD. 1 1 Tam giác KHD vuông tại K có HD BD a 2. 2 a. 2 2 29
30. 1 1 1 1 1 2 1 7 a 21 HK . HK 2 HM 2 SH 2 HM 2 SD2 HD2 a2 4a2 a2 3a2 7 HK 21 Vậy cos . HD 7 Câu 47: Chọn A. Số nghiệm của x4 2x2 m là số điểm chung giữa đường thẳng y m và đồ thị hàm số đã vẽ. m 1 Phương trình đã cho có hai nghiệm . m 0 Câu 48: Chọn D. Tập xác định D ¡ . Nếu m 2 thì y 3x2 2x 6 là hàm số bậc hai nên không thể có hai điểm cực trị. Xét m 2 lúc đó y m 2 x3 3x2 mx 6 là hàm số bậc ba, hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có y ' 3 m 2 x2 6x m, phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 0 9 3m m 2 0 m2 2m 3 0 3 m 1. Vậy tập các giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị là m 3;1 \ 2. Do đó có tất cả là 2 số nguyên để hàm số y m 2 x3 3x2 mx 6 có hai điểm cực trị là m 1 và m 0. Câu 49: Chọn A. ĐK: x 1 và x2 1 m x 2m 0 Xét phương trình 1 x 1 0 vô nghiệm. Xét phương trình x2 1 m x 2m 0 * . Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK x 1. 30
31. 2 m 5 2 6 0 1 m 8m 0 m2 10m 1 0 . m 5 2 6 Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là x1 x2 ta có: af 1 0 m 2 0 m 2 x1 x2 1 S 2 m 4 1 2 m 2 m 4 2 m ¢ Kết hợp điều kiện ta có: m 2;5 2 6 m 2; 1;0. Thử lại: 2 x 4 Với m 2 x 3x 4 0 TXD : D 4; x 1 1 x 1 Khi đó hàm số có dạng y có 1 tiệm cận đứng x 4 Loại. x2 3x 4 x 1 3 2 Với m 1 x 2x 2 0 TXD : D 1;1 3  1 3; x 1 3 1 x 1 Khi đó hàm số có dạng y có 2 tiệm cận đứng x 1 3 TM. x2 2x 2 2 x 1 Khi m 0 x x 0 TXD : D  1;1  0; x 0 1 x 1 Khi đó hàm số có dạng y có 2 tiệm cận đứng x 0; x 1 TM. x2 x Vậy m 1;0. Câu 50: Chọn B. 31