Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán theo mức độ - Đề số 1 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán theo mức độ - Đề số 1 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 1 ĐỀ KHỞI ĐỘNG (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . Câu 2. Tập xác định của hàm số y x 2 là: A. 0; .B. 2; . C. 0; . D. 2; . Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị trên khoảng 3;3 như hình bên dưới. Khẳng định đúng là: A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 3;3 bằng 3. B. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 3;3 bằng 4. C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 3;3 bằng 3 . D. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng 3;3 . Câu 4. Cho f x ,g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx .B. 2 f x dx 2 f x dx. C. f x g x dx f x dx g x dx .D. f x g x dx f x dx g x dx . 1 1 1 Câu 5. Cho f x dx 2 và g x dx 7 , khi đó 2 f x 3g x dx bằng: 0 0 0 A. 12. B. 25. C. 25. D. 17. Câu 6. Cho a,b,c 0,a 1. Chọn khẳng định sai. b A. log log b log c. B. log bc log b log c. a c a a a a a Trang 1
2. c C. loga b c b a . D. loga b c loga b loga c. Câu 7. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 1. B. x 1. C. x 2. D. x 3. x 1 y 2 z 1 Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : . Điểm nào dưới đây thuộc đường 2 3 1 thẳng d? A. M 1;2;1 . B. N 2;3;1 . C. Q 2; 3;1 . D. P 3;5;0 . x 1 Câu 9. Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây? 4x 1 1 1 A. x . B. y . C. x 1. D. y 1. 4 4 Câu 10. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x 4 2x2 1. B. y x3 3x 1. C. y x3 3x 1. D. y x3 3x2 1. Câu 11. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là: 7 2 2 A. 2 . B. 2!. C. C7 . D. A7 . Câu 12. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1;3 trên đường Ox có tọa độ là: A. 2;0;0 . B. 2;0;3 . C. 0;1;3 . D. 2;1;0 . Câu 13. Nghiệm của phương trình log2 3x 8 2 là: 4 A. 12.B. 4.C. 4. D. . 3 Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 3;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0;1 . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là: A. n 3; 2;1 . B. n 2; 3; 6 . C. n 2;3;6 . D. n 2; 3;6 . Câu 15. Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại: A. 4;3. B. 3;5. C. 5;3. D. 3;4. Câu 16. Cho khối nón có chiều cao h 2 và bán kính đáy r 3. Thể tích của khối nón đã cho bằng: Trang 2
3. A. 24 . B. 6 . C. 4 . D. 36 . Câu 17. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M 3; 5 . Xác định số phức liên hợp z của z. A. z 3 5i. B. z 5 3i. C. z 5 3i. D. z 3 5i. Câu 18. Cho cấp số cộng un với u1 3 và u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng: A. 6. B. 3. C. 12.D. 6. Câu 19. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 là: A. 4.B. 2. C. 0.D. 3. Câu 20. Tìm đạo hàm của hàm số y ln sin x . 1 1 A. y' . B. y' . C. y' tan x. D. y' cot x. sin x sin2 x Câu 21. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón. 2 2 2 2 A. Sxq a . B. Sxq 2a . C. Sxq 2 a . D. Sxq 2 2a . Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AC a, BC 2a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng: A. 60. B. 90. C. 30. D. 45. Câu 23. Số phức z 1 i 1 2i có phần thực là: A. 1. B. 1. C. 2.D. 3. Câu 24. Hiệu giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y x3 3x2 2 là: A. 4.B. 4. C. 2.D. 2. Câu 25. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 9x 10.3x 9 0 . Tổng các phần tử của S bằng: 10 A. 1.B. 2.C. 10.D. . 3 6 6 Câu 26. Với a, b là các số dương tùy ý khác 1. Rút gọn P log b log 2 b ta được: a a A. P 9loga b. B. P 15loga b. C. P 6 loga b. D. P 27loga b. x y 1 z 2 Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 3 x 1 2t d2 : y t , t là tham số. Vị trí tương đối giữa d1 và d2 là: z 1 3t A. d1 chéo d2 . B. d1 trùng d2 .C. d1 song song với d2 .D. d1 cắt d2 . Trang 3
4. Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên và đạo hàm f ' x liên tục 2 trên ¡ . Giá trị của biểu thức f ' x dx bằng: 1 A. 2. B. 4. C. 1. D. 0. Câu 29. Cho ba số thực dương a; b; c khác 1. Đồ thị các hàm số y ax ;y bx ;y cx được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 1 c b. B. 1 a c b. C. 1 a b c. D. a 1 b c. Câu 30. Cho số phức z a bi a,b ¡ . Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là: I. Môđun của z là một số thực dương. 2 II. z2 z . III. z iz z . IV. Điểm M a;b là điểm biểu diễn của số phức z . A. 3.B. 2.C. 1.D. 4. Câu 31. Cho z x x 1 i, x ¡ . Có bao nhiêu số thực x để z2 là số thuần ảo? A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số. Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 1;2;0 và N 5; 1;2 . Mặt phẳng trung trực của đoạn MN có phương trình là: 25 25 A. 4x 3y 2z 0. B. 4x 3y 2z 0. C. 4x 3y 2z 25 0. D. 4x 3y 2z 25 0. 2 2 Câu 33. Một xe ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 16 m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh tại điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 2t 16 trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được cho tới khi dừng hẳn là: A. 60 m.B. 64 m.C. 160 m.D. 96 m. Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB a, A· BC 30 , cạnh C’A hợp với mặt đáy góc 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: a3 a3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 6 2 Trang 4
5. x2 1 Câu 35. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu tiệm cận? x 1 A. 3.B. 1.C. 0.D. 2. Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có B· SC 120,C· SA 60, ·ASB 90 và SA SB SC . Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. I là trung điểm AB.B. I là trọng tâm tam giác ABC. C. I là trung điểm AC.D. I là trung điểm BC. Câu 37. Tìm x để hàm số y x 4 x2 đạt giá trị nhỏ nhất: A. x 2 2. B. x 2. C. x 1. D. x 2. Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều dài bằng độ dài đường sinh của hình trụ, chiều rộng bằng nửa chiều dài. Thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng: A. 108 a3. B. 54 a3. 135 C. 135 a3. D. a3. 2 Câu 39. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số y f x là: A. 2.B. 3.C. 4.D. 5. 30 2 1 Câu 40. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x x 3 là: x 12 10 11 13 A. C30 . B. C30 . C. C30. D. C30 . 1 1 1 2 2 Câu 41. Nếu f x f x dx 5 và f x 1 dx 36 thì f x bằng: 0 0 0 A. 30.B. 31.C. 5.D. 10. Câu 42. Cho phương trình ln2 x 2 2m 1 ln x 3 4m 1 0 (m là tham số). Tập hợp các giá trị của m để 3 phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn e;e là: 1 1 1 A. ;1 . B. ;1 . C. 1;2. D. ;1 . 2 2 2 Trang 5
6. Câu 43. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép). 128 3 128 3 16 3 64 3 A. dm3. B. dm3. C. dm3. D. dm3. 27 81 27 27 7 4x2 khi 0 x 1 Câu 44. Cho hàm số f x . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x 2 4 x khi x 1 và các đường thẳng x 0, x 3, y 0 là: 16 29 A. . B. . C. 10.D. 9. 3 3 Câu 45. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 2 z z 4 và z 1 i z 3 3i . A. 4.B. 3.C. 1.D. 2. Câu 46. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu f ' x như sau: Hỏi hàm số y f x2 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 i 25. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w 2z 2 3i là đường tròn tâm I a;b và bán kính c. Giá trị của a b c bằng: A. 20.B. 17.C. 18.D. 10. Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3; 2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 2 z 3 25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt mặt cầu theo giao tuyến S là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 3. B. T 4. C. T 5. D. T 2. 3a Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, A· BC 60,SA  ABCD ,SA . Khoảng 2 cách từ O đến mặt phẳng SBC bằng: 3a 5a 3a 5a A. . B. . C. . D. . 8 8 4 4 Trang 6
7. mx2 4 2m x 6 Câu 50. Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y cách gốc tọa độ một 2 x 9 khoảng lớn nhất khi m bằng: 1 1 A. . B. . C. 2.D. 1. 2 2 Đáp án 1-A 2-D 3-D 4-A 5-C 6-D 7-A 8-D 9-B 10-C 11-C 12-A 13-B 14-D 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-D 21-B 22-C 23-D 24-A 25-B 26-A 27-C 28-D 29-A 30-C 31-B 32-A 33-B 34-C 35-A 36-D 37-B 38-D 39-D 40-A 41-D 42-B 43-A 44-B 45-B 46-A 47-B 48-A 49-A 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Câu 2: Đáp án D Câu 3: Đáp án D Câu 4: Đáp án A Câu 5: Đáp án C Câu 6: Đáp án D Câu 7: Đáp án A Câu 8: Đáp án D Câu 9: Đáp án B Câu 10: Đáp án C Đồ thị đề cho là đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 nên loại đáp án A. Quan sát đồ thị ta thấy a 0 nên loại đáp án B. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;3 (hoặc hàm số có hai điểm cực trị x 1) nên loại đáp án D. Vậy đó là đồ thị của hàm số y x3 3x 1. Nhận xét: Với bài toán này có thể làm như sau: Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;3 nên loại đáp án A, B, D. Vậy chọn C. Câu 11: Đáp án C Câu 12: Đáp án A Mẹo: Hình chiếu vuông góc của một điểm trên các đường Ox, Oy, Oz lần lượt có dạng x;0;0 ; 0;y;0 ; 0;0;z (trên trục nào thì giữ nguyên tọa độ trục đó còn hai tọa độ còn lại bằng 0). Trang 7
8. Câu 13: Đáp án B Nhập vế trái của phương trình. Bấm phím CALC rồi nhập từng đáp án vào ta thấy khi x 4 thì vế trái bằng vế phải. Vậy phương trình có nghiệm là x 4 . Câu 14: Đáp án D Câu 15: Đáp án D Câu 16: Đáp án B Câu 17: Đáp án A Câu 18: Đáp án D Câu 19: Đáp án A 3 Ta có: 2 f x 3 0 f x . Số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 bằng số giao điểm của đồ thị 2 3 hàm số y f x với đường thẳng y . 2 Câu 20: Đáp án D 1 cos x y' ln sin x ' . sin x ' cot x . sin x sin x Câu 21: Đáp án B Khối nón có thiết diện qua trục là SAB vuông cân tại S, cạnh huyền AB 2a SB a 2 . AB Ta có: r OA a, l SB a 2 . 2 Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là: 2 Sxq rl .a.a 2 2a . Câu 22: Đáp án C Có SA  ABC nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC ·SB, ABC ·SB, AB S·BA . Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB AC2 BC2 a 3 . SA 1 Khi đó tan S·BA nên ·SB, ABC 30 . AB 3 Câu 23: Đáp án D Câu 24: Đáp án A Câu 25: Đáp án B 3x 1 x 0 9x 10.3x 9 0 S 0;2 . x  3 9 x 2 Câu 26: Đáp án A Câu 27: Đáp án C Trang 8
9.  Ta có: d1 qua M1 0;1; 2 và có vectơ chỉ phương u1 2;1;3 .  d2 có vectơ chỉ phương u2 2; 1; 3 1. 2;1;3 .     Ta có u2 1.u1 nên u1 cùng phương với u2 và M1 d2 nên suy ra d1 song song với d2 . Câu 28: Đáp án D 2 f ' x dx f 2 f 1 2 2 0 . 1 Câu 29: Đáp án A Do hàm số y ax nghịch biến trên ¡ nên a 1. Do hàm số y bx và y cx đồng biến trên ¡ nên b;c 1 . x x x b b Ta có: x 0; ,b c 1 1 b c . c c Vậy a 1 c b . Mẹo: Kẻ đường thẳng x 1 lần lượt cắt các đồ thị tại các điểm. Tung độ của các giao điểm khi đó chính là a, b, c. Dẫn tới kết quả a 1 c b . Câu 30: Đáp án C Ta thấy nhận xét I sai vì môđun có thể bằng 0; nhận xét IV là sai, tọa độ của M là a; b ; nhận xét II sai ví dụ z 2i , ta có 4 4 (vô lí). Câu 31: Đáp án B 2 2 Ta có: z x x 1 i 2x 1 2x x 1 i . 1 x 2 2 2x 1 0 1 1 1 Số phức z là số thuần ảo khi x 0 x z i. 2x x 1 0 2 2 2 x 1 Có một số thực x. Câu 32: Đáp án A 1 Gọi I là trung điểm MN I 3; ;1 . 2  Ta có: MN 4; 3;2 .  Mặt phẳng trung trực của MN đi qua trung điểm I của MN và có vectơ pháp tuyến MN 4; 3;2 : 1 25 4 x 3 3 y 2 z 1 0 4x 3y 2z 0 . 2 2 Câu 33: Đáp án B Khi ô tô dừng hẳn thì v t 0 2t 16 0 t 8 . Quãng đường mà ô tô đi được cho đến khi dừng (trong 8 giây cuối) là: Trang 9
10. 8 8 2t 16 dt t2 16t 64 m . 0 0 Câu 34: Đáp án C a 3 ABC vuông tại A có AC AB.tan A· BC . 3 1 a2 3 S .AB.AC . ABC 2 6 Ta có: ·C' A, ABC C· ' AC 60 . ACC' vuông tại C có CC' AC.tan C· ' AC a . a2 3 a3 3 Vậy V S .CC' .a . ABCA'B'C' ABC 6 6 Câu 35: Đáp án A x2 1 x2 1 TXĐ: D ¡ \ 1 . Ta có: lim y lim ;lim y lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x2 1 x2 1 lim y lim 1; lim y lim 1 x x x 1 x x x 1 Suy ra y 1, y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận. Sử dụng máy tính: x2 1 Nhập biểu thức y . Sau đó bấm CALC. Nhập giá trị 109 và bấm bằng ta thu được kết quả 1. x 1 Nhập giá trị 109 và bấm bằng ta thu được kết quả -1. Nhập giá trị 1 10 9 và bấm bằng ta thấy giá trị rất lớn (tiến ra dương vô cùng). Nhập giá trị 1 10 9 và bấm bằng ta thấy giá trị rất nhỏ (tiến ra âm vô cùng). Câu 36: Đáp án D Đặt SA SB SC a . Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều cạnh a và tam giác SAB vuông cân tại S SA SC AC a; AB a 2 . Xét tam giác SBC ta có: BC2 SB2 SC2 2.SB.SC.cos B· SC 3a2 . Do AB2 AC2 2a2 a2 3a2 BC2 nên tam giác ABC vuông tại A. Vì SA SB SC nên hình chiếu của S trên ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác ABC vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC. Câu 37: Đáp án B Trang 10
11. Tập xác định: D  2;2 . x 4 x2 x x 0 ' 1 0 4 2 2 y x x 2 2 x . 4 x2 4 x2 4 x x Ta có y 2 2 2;y 2 2;y 2 2 . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 2 . Câu 38: Đáp án D Chiều dài hình chữ nhật bằng đường sinh hình trụ nên chiều dài bằng 6a. 3a Chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng bằng 3a suy ra EF . 2 Khoảng cách giữa trục và thiết diện bằng 3a nên OE 3a . 2 2 3a 3a 5 Bán kính trụ R 3a . 2 2 2 3a 5 135 Thể tích trụ 2 . .6 3 . V R h a a 2 2 Câu 39: Đáp án D Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y f x tại ba điểm phân biệt nên ta có bảng biến thiên của y f x như sau: Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Câu 40: Đáp án A 30 30 k 30 1 30 k 1 2 k 2 . k 60 5k Ta có: P x x 2 C30 x 3 C30 x . x k 0 x k 0 12 Số hạng cần tìm không chứa x có k thỏa mãn 60 5k 0 k 12 . Vậy số hạng không chứa x là C30 . Câu 41: Đáp án D 1 1 2 2 Ta có: f x 1 dx 36 f x 2 f x 1 dx 36 . 0 0 1 1 2 2 f x 2 f x 1 dx f x f x dx 36 5 0 0 1 3 f x 1 dx 31 0 1 1 3 f x dx dx 31 0 0 Trang 11
12. 1 1 1 1 3 1 31 3 1 31 3 30 10 f x dx x 0 f x dx f x dx f x dx 0 0 0 0 Câu 42: Đáp án B ln x 3 x e3 Từ phương trình đã cho ta có: . 4m 1 ln x 4m 1 x e 1 Yêu cầu bài toán e e4m 1 e3 1 4m 1 3 m 1. 2 Câu 43: Đáp án A Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là OA 4 dm . 1 1 Thể tích của hình nón V .r2.h . 16 h2 .h với 0 h 4 . 3 3 1 4 3 Ta có V' h 16 32 V' h 0 h . 3 3 128 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là dm3 . 27 Câu 44: Đáp án B Xét các phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2 4 x 0 x 2; x 2 1; 7 7 4x2 0 x 0;1 2 1 2 3 1 2 3 Suy ra S 7 4x2 dx 4 x2 dx 4 x2 dx 7 4x2 dx 4 x2 dx x2 4 dx 0 1 2 0 1 2 1 3 2 3 3 4 3 x x 4 16 11 16 7x x 4x 4x 7 3 10. 3 0 3 1 3 2 3 3 3 3 Câu 45: Đáp án B Đặt z a bi . Khi đó ta có hệ phương trình: Trang 12
13. 2 2 4 4 2 2 a b a a b 4 a 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 18 a 1 b 1 a 3 b 3 a b a b a b a b 2 2b 4 b2 4 2b 4 4 a 2b 4 2 a 2b 4 5b 16b 12 8b 16 a 2b 4 2 a 2b 4 b 5 5b2 16b 12 8b 16 . b 2 2 5b 16b 12 8b 16 14 b 5 24 2 8 14 Vậy ta có các số phức z 2i;z i;z i thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 2 5 5 3 5 5 Câu 46: Đáp án A Ta có: y' x2 2x ' f ' x2 2x 2x 2 f ' x2 2x . x 1 2x 2 0 x 1 2 2 2x 2 0 x 2x 2 Khi đó y' 0 x 1 2 . 2 2 f ' x 2x 0 x 2x 1 x 3 x2 2x 3 x 1 x 2 Từ bảng xét dấu ta thấy f ' x 0 . x 3 x2 2x 2 x 1 Khi đó f ' x2 2x 0 . 2 x 2x 3 x 3 Bảng biến thiên: Câu 47: Đáp án B Gọi w x yi x;y ¡ . Điểm biểu diễn số phức w trong mặt phẳng tức là điểm M x;y . Ta có: w 2z 2 3i 2z w 2 3i 2z w 2 3i z 2 i z 2 i 25 Trang 13
14. 2z 4 2i 2z 4 2i 100 w 2 3i 4 2i w 2 3i 4 2i 100 w 2 5i w 2 5i 100 x 2 y 5 i x 2 y 5 i 100 2 2 x 2 y 5 100 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn M là đường tròn tâm I 2;5 và bán kính R 10 a b c 17 . Câu 48: Đáp án A Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 , bán kính R 5 . Giả sử P cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính R’. 2 2 2 2 Ta có: R' R d I; P 25 d I; P . R' nhỏ nhất khi d I; P lớn nhất. Lại có: d I; P IH IK d I; AB hằng số. d I; P lớn nhất bằng IK khi P đi qua K và vuông góc với IK. Tìm tọa độ điểm K Phương trình mặt phẳng Q đi qua I 1;2;3 và vuông góc với AB là x y 2z 5 0 .  Phương trình đường thẳng AB đi qua B 0;1;0 và nhận vectơ chỉ phương AB 3;3; 6 3 1; 1;2 là x t y 1 t . z 2t K AB K t0 ;1 t0 ;2t0 K AB  Q K 1;0;2 . K Q K Q  Phương trình P đi qua K 1;0;2 và nhận IK 0; 2; 1 1 0;2;1 làm vectơ pháp tuyến là 2y z 2 0 a 0;b 2;c 1 T a b c 3 . Câu 49: Đáp án A ABC đều do A· BC 60 và AB BC . Lấy I làm trung điểm BC, kẻ AH  SI tại H (1). Ta có: AI  BC (do ABC đều), mà BC  SA BC  SAI , AH  SAI BC  AH 2 . Từ (1) và (2) AH  SBC tại H AH d A, SBC . a 3 Ta có ABC đều cạnh a AI . 2 Trang 14
15. 1 1 1 4 4 16 3a Xét SAI vuông tại A có đường cao AH: AH d A, SBC . AH2 SA2 AI 2 9a2 3a2 9a2 4 d O, SBC OC 1 1 3a Ta có: d O, SBC d A, SBC . d A, SBC AC 2 2 8 Câu 50: Đáp án B Để đồ thị có hai điểm cực trị thì phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta tìm được điều kiện 14 m 0 hoặc m . Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị có phương trình là: 33 mx2 4 2m x 6 ' y mx 2 m . 2 x 9 ' Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là: 2 2 m 2 m 2 2 2 2 2 2 h 2 m 1 h m 4m 4 h 1 m 4m h 4 0 * m2 1 m 1 3 Khi h 1 thì m . Khi thì (*) là phương trình bậc hai của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này 4 có nghiệm là ' 4 h2 1 h2 4 0 h2 h2 5 0 h 5 . 1 Khi h 5 thì 4m2 4m 1 0 m (thỏa mãn). 2 Chú ý: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: Hàm bậc ba y ax3 bx2 cx d , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là dư trong phép chia đa thức y cho đa thức y’. A x A' x Hàm phân thức y , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là y . B x B' x Trang 15