Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Tập xác định của hàm số lượng giác: a) Hàm số y tan u . Điều kiện: cosu 0 u k , k ¢ 2 b) Hàm số y cot u . Điều kiện: sinu 0 u k , k ¢ g(x) c) Hàm số y . Điều kiện: sinu 0 u k , k ¢ sin u h(x) d) Hàm số y . Điều kiện: cosu 0 u k , k ¢ cosu 2 * Các trường hợp đặc biệt: a) cosu 1 u k2 , k ¢ b) cosu -1 u k2 , k ¢ c) sinu 1 u k2 , k ¢ d) sinu -1 u k2 , k ¢ 2 2 Ghi nhớ: a) 1 sin u 1 b) 1 cosu 1 c) 0 sin 2 u 1 d) 0 cos2 u 1 e) 0 sin u 1 f) 0 cosu 1 g) 0 sin u 1 h) 0 cosu 1 II. CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. PT sinx = a a) Nếu a 1 a 1hoặc t > 1: PT sinx = a: Vơ nghiệm b) Nếu a 1 1 a 1 x arcsin a k2 ➢ a là những cung khơng đặc biệt: sinx = a ( k ¢ ) x arcsin a k2 1 3 2 ➢ a là những cung đặc biệt như: ; ; 2 2 2 x k2 * sinx = a sinx = sin ( là đơn vị rađian) x k2 x k3600 * sinx = a sinx = sin ( là đơn vị độ) 0 0 x 180 k360 Đặc biệt: a) sinx = 1 x = k2 b) sinx = –1 x = k2 c) sinx = 0 x = k 2 2 2. PT cosx = a. a) Nếu a 1 a 1hoặc t > 1: PT cosx = a: Vơ nghiệm b) Nếu a 1 1 a 1 ➢ a là những cung khơng đặc biệt: cosx = a x = arccosa k2 1 3 2 ➢ a là những cung đặc biệt như: ; ; 2 2 2 * cosx = a cosx = cos x = k2 ( là đơn vị rađian) * cosx = a cosx = cos x = k3600 ( là đơn vị độ) Đặc biệt: a) cosx = 1 x = k2 b) cosx = –1 x = k2 c) cosx = 0 x k 2 3. PT tanx = a. Điều kiện: cosx 0 x k , k ¢ 2 ➢ a là những cung khơng đặc biệt: tanx = a x = arctana + k 3 ➢ a là những cung đặc biệt như: ; 3 ; 1; 0 3 1
2. * tanx = a tanx = tan x k ( là đơn vị rađian) * tanx = a tanx = tan x k1800 ( là đơn vị độ) Đặc biệt: a) tanx = 0 x k b) tanx = 1 x k c) tanx = -1 x k 4 4 4. PT cotx = a. Điều kiện: sinx 0 x k , k ¢ ➢ a là những cung khơng đặc biệt: cotx = a x = arccota + k 3 ➢ a là những cung đặc biệt như: ; 3 ; 1 3 * cotx = a cotx = cot x k ( là đơn vị rađian) * cotx = a cotx = cot x k1800 ( là đơn vị độ) Đặc biệt: a) cotx = 0 x k b) cotx = 1 x k c) cotx = -1 x k 2 4 4 II. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a 0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác b + Bước 1: (1) t = + Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản a 2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a 0) (2) t là một trong những hàm số lượng giác III. PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) (1) + Bước 1: Tính a 2 b2 (nháp) a b c + Bước 2: Chia 2 vế cho a 2 b2 , ta được: sinx + cosx = a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a b + Bước 3: Đặt sin = , cos = a 2 b2 a 2 b2 a b (Nếu , là những cung đặc biệt thì ta viết: sin sin, cos cos ) a 2 b2 a 2 b2 + Bước 4: Áp dụng đảo của cơng thức cộng + Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản Ghi nhớ: a) sinx + cosx = 2 cos x = 2 sin x 4 4 b) sinx – cosx = 2 cos x = 2 sin x 4 4 Chú ý: Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 + Bước 1: TH1: cosx = 0 x k , k ¢ . Khi đĩ: sin2x = 1 2 * Nếu VT VP x k khơng là n0 của PT * Nếu VT = VP x k là n0 của PT 2 2 + Bước 2: TH2: cosx 0 x k , k ¢ (chia 2 vế cho cos2x): PT atan2x + btanx + c = 0 2 + Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác. Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0 tanx = 1 x = k 4 b) sinx + cosx = 0 tanx = -1 x = k 4 2
3. IV. CUNG LIÊN KẾT: 1. Cung đối nhau: a) cos( ) = cos b) sin( ) = – sin c) tan( ) = – tan d) cot( ) = – cot 2. Cung bù nhau: a) cos( ) = – cos b) sin( ) = sin c) tan( ) = – tan d) cot( ) = – cot 3. Cung hơn kém : a) cos( ) = – cos b) sin( ) = – sin c) tan( ) = tan d) cot( ) = cot 4. Cung phụ nhau: a) sin( ) = cos b) cos( ) = sin 2 2 c) tan( ) = cot d) cot( ) = tan 2 2 5. Cung hơn kém : a) cos( ) = – sin b) sin( ) = cos 2 2 2 c) tan( ) = – cot d) cot( ) = – tan 2 2 Lưu ý: a) sin( k2 ) = sin b) cos( k2 ) = cos c) tan( k ) = tan d) cot( k ) = cot sin nếu k chẵn cos nếu k chẵn e) sin( k ) = f) cos( k ) = sin nếu k lẻ cos nếu k lẻ V. CƠNG THỨC CỘNG: a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb VI. CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI: a a 1 a) sin2a = 2sinacosa b) sina = 2sin .cos c) sin2a.cos2a = sin 2 2a 2 2 4 2tan a d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a e) tan2a = 1 tan 2 a VII. CƠNG THỨC HẠ BẬC 1 cos2a 1 1 a) cos2a = = cos2x 1 + cos2x = 2cos2x 2 2 2 1 cos2a 1 1 1 cos2a b) sin2a = = cos2x 1 – cos2x = 2sin2x c) tan 2 a 2 2 2 1 cos2a a VIII. CƠNG THỨC TÍNH THEO tan t 2 2t 1 t 2 2t a) sin a b)cosa c) tan a 1 t 2 1 t 2 1 t 2 IX. CƠNG THỨC NHÂN BA 1 a) sin3a = 3sina – 4sin3a sin3a = (3sina – sin3a) 4 1 3tan a tan3 a b) cos3a = 4cos3a – 3cosa cos3a = (3cosa + cos3a) c) tan3a 4 1 3tan 2 a X. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 1 a) cosacosb = [cos(a b) cos(a b)] b) sinasinb = [cos(a b) cos(a b)] 2 2 1 1 c) sinacosb = [sin(a b) sin(a b)] d) cosasinb = [sin(a b) sin(a b)] 2 2 3
4. XI. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a b a+b a b a) cosa + cosb = 2cos cos b) cosa – cosb = –2sin sin 2 2 2 2 a+b a b a+b a b c) sina + sinb = 2sin cos d) sina – sinb = 2cos sin 2 2 2 2 sin(a b) e) tan a tan b cosa cosb XII. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin cos a) tan = b) cot = c) tan . cot = 1 cos sin 1 1 d) sin 2 cos2 1 e) 1 cot 2 f) 1 tan 2 sin 2 cos2 BÀI TẬP MẪU I. Hàm số lượng giác: Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: 2 3sin x sin x 2 3 1 sin x a) y b) y c) y d) y x 1 cos2x sin 2cos 2x 3sin 2x 3 3 3 4 e) y = tan 2x f) y = 6cot x g) y = tan 3x sin2x 6 3 4 x Giải: a) ĐK: k x 3k , k ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ 3k ,k ¢  3 5 5 b) ĐK: 2x k 2x k x k , k ¢ . 3 2 6 12 2 5  Vậy: TXĐ: D = ¡ \ k ,k ¢  12 2  3 c) ĐK: 3sin 2x 3 0 sin 2x 1 2x k2 x k , k ¢ 4 4 4 2 8 3  Vậy: TXĐ: D = ¡ \ k ,k ¢  8  d) ĐK: 1 cos2x 0 cos2x 1 2x k2 x k , k ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ k ,k ¢   e) ĐK: 2x k x k , k ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ k ,k ¢  6 2 3 2 3 2   f) ĐK: x k x k , k ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ k ,k ¢  3 3 3   g) ĐK: 3x k x k , k ¢ . Vậy: D = ¡ \ k ,k ¢  4 2 4 3 4 3  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: 2sin3x 5 cosx 1 5 sin x 4 a) y b) y c) y d) y 2x 3 3sin2x 3cos sin 2x 2 2cos 3x 3 3 4 x 3 e) y = tan f) y = cot 2x g) y = tan 2x 3cos5x 3 3 2 5 6 4
5. 1 3sin3x 5 2cosx 2x x 2 h) y i) y j) y cot x cos(2x 1) 1 3sin 3 5 4 3 3 3 3 2 5 ĐS: a) x k b) x k c) x k d) x k e) x k3 4 2 6 2 12 3 4 2 1 3 8 f) x k g) x k h) x k i) x k6 j) x k4 10 2 3 2 2 2 3 II. Phương trình lượng giác: BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản) 3 2 1 a) sin3x = 3 b) cos(2x + 1) = c) sin (x – 2) = d) cos2x = 2 3 3 3x e) sin 2x = 1 f) cos 1 g) tan2x = 1 h) cotx = 3 3 2 4 3 3 Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1) b) cos(2x + 1) = : VN (vì 1) 2 2 2 2 x 2 acrsin k2 x 2 acrsin k2 2 3 3 c) sin (x – 2) = , k ¢ 3 2 2 x 2 arcsin k2 x 2 arcsin k2 3 3 1 1 1 1 d) cos2x = 2x arccos k2 x arccos k , k ¢ 3 3 2 3 e) sin 2x = 1 2x k2 2x = k2 x = k , k ¢ 3 3 2 6 12 3x 3x 3x 5 5 4 f) cos 1 k2 k2 x = k , k ¢ 2 4 2 4 2 4 6 3 g) tan2x = 1 2x k x k , k ¢ h) cotx = 3 x arccot3 k , k ¢ 4 8 2 Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản) 2x 1 0 3 a) sin 2x 0 b) cos c) sin(2x 40 ) d) tan(2x + 1) = 0 3 3 4 2 2 x 2 3 e) cos f) tan(3x ) 3 g) cot(200 2x) h) cot(3x 1) 3 3 2 6 3 Giải: a) sin 2x 0 2x k x k , k ¢ 3 3 6 2 2x 2 11 k2 x k3 2x 1 2x 2 3 4 3 8 b) cos cos cos 3 4 2 3 4 3 2x 2 5 k2 x k3 3 4 3 8 3 2x 400 600 k3600 c) sin(2x 400 ) sin(2x 400 ) sin( 600 ) 0 0 0 0 2 2x 40 180 60 k360 2x 1000 k3600 x 500 k1800 , k ¢ 0 0 0 0 2x 200 k360 x 100 k180 5
6. 1 d) tan(2x + 1) = 0 2x + 1 = k x = k , k ¢ 2 2 x 2 x x 3 e) cos cos cos k2 x k6 , k ¢ 3 2 3 4 3 4 4 f) tan(3x ) 3 tan(3x ) tan 3x k x k , k ¢ 6 6 3 6 3 6 3 3 g) cot(200 2x) cot(200 2x) cot 600 200 2x 600 k1800 x 200 k900 3 1 h) cot(3x 1) 3 cot(3x 1) cot 3x 1 k x k , k ¢ 6 6 3 18 3 Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp) a) 3cosx + 7 = 0 b) 2sin2x 2 0 c) 2cos 2x 1 0 d) 3cos3x 1 0 4 3x 0 0 e) 3tan 3 0 f) 2cot(2x 15 ) 2 0 g) 3 3 tan 30 x 0 2 3 7 7 Giải: a) 3cosx + 7 = 0 cosx = : VN (vì 1) 3 3 2x k2 x k 2 4 8 b) 2sin2x 2 0 sin2x sin2x sin , k ¢ 2 4 3 2x k2 x k 4 8 1 c) 2cos 2x 1 0 cos 2x cos 2x cos 4 4 2 4 3 7 7 2x k2 2x k2 x k 4 3 12 24 , k ¢ 2x k2 2x k2 x k 4 3 12 24 1 1 1 1 2 d) 3cos3x 1 0 cos3x 3x arccos k2 x arccos k 3 3 3 3 3 3x 3x 3 3x e) 3tan 3 0 tan tan tan 2 3 2 3 3 2 3 6 3x 3x 2 k k x k , k ¢ 2 3 6 2 2 3 3 2 f) 2cot(2x 150 ) 2 0 cot(2x 150 ) cot(2x 150 ) cot 450 2 2x 150 450 k1800 x 300 k900 , k ¢ g) 3 3 tan 300 x 0 tan 300 x 3 tan 300 x tan600 300 x 600 k1800 x 300 k900 , k ¢ Bài 4: Giải các phương trình sau: a) sin 2x sin x b) tan x t an2x c) cos(2x – ) – sin3x = 0 3 4 4 3 d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = 0 g) sin3x – cos5x = 0 h) sin4x + cos2x = 0 i) sin3x + sinx = 0 6
7. u v k2 Ghi nhớ: a) sinu = sinv b) cosu = cosv u = v + k2 u v k2 c) tanu = tanv u = v + k d) cotu = cotv u = v + k e) cosu = – cosv cosu = cos( – v) f) sinu = – sinv sinu = sin(–v) g) cosu = sinv cosu = cos v h) sinu = cosv sinu = sin v 2 2 i) tanu = – tanv tanu = tan(–v) j) cotu = tanv cotu = cot v 2 7 2x x k2 x k2 3 4 12 Giải: a) sin 2x sin x , k ¢ 3 4 13 2 2x x k2 x k 3 4 36 3 b) tan x t an2x x = 2x + k –3x = k x = k , k ¢ 4 4 4 12 3 c) cos(2x – ) – sin3x = 0 cos(2x – ) = sin3x cos 2x = cos 3x 3 3 3 2 2 2x 3x k2 x k 3 2 6 5 2x = 3x + k2 , k ¢ 3 2 2x 3x k2 x k2 3 2 6 x k2 3x 2x k2 d) sin3x = sin2x 2 , k ¢ 3x 2x k2 x k 5 5 x k 3x x k2 e) cos3x = cosx 3x = x + k2 , k ¢ 3x x k2 x k 2 f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0 cos5x = – cos2x cos5x = cos( – 2x) 2 x k 5x 2x k2 7 7 5x = ( 2x ) + k2 , k ¢ 5x 2x k2 2 x k 3 3 7x 3x * Cách 2: cos5x + cos2x = 0 2cos cos = 0 2 2 7x 7x 2 cos 0 k x k 2 2 2 7 7 3x 3x 2 cos 0 k x k 2 2 2 3 3 g) sin3x – cos5x = 0 sin3x = cos5x sin3x = sin 5x 2 7
8. 3x 5x k2 x k 2 16 4 , k ¢ 3x 5x k2 x k 2 4 x k 3x x k2 2 h) sin3x + sinx = 0 sin3x = –sinx sin3x = sin(–x) , k ¢ 3x x k2 x k 2 Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích) a) cosx(sin2x + 1) = 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 c) 2sin2xsin x 3 sin x 0 d) cos2x – cos3x + cos4x = 0 e) sin5x + sin3x – cosx = 0 f) cos2x + sin4x = 0 g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx cosx 0 Giải: a) cosx(sin2x + 1) = 0 sin2x 1 0 * cosx = 0 x k , k ¢ * sin2x = – 1 2x k2 x k , k ¢ 2 2 4 sin x cosx 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 2cos2x 1 0 * sinx + cosx = 0 tanx + 1 = 0 tanx = -1 x k , k ¢ 4 1 * cos2x = cos2x = cos 2x k2 x k , k ¢ 2 3 3 6 sin x 0 c) 2sin2xsin x 3 sin x 0 sinx(2sin2x – 3 ) = 0 2sin2x 3 0 * sinx = 0 x = k , k ¢ 2x k2 x k 3 3 6 * sin2x sin2x = sin , k ¢ 2 3 2x k2 x k 3 3 d) cos2x + cos3x + cos4x = 0 cos4x + cos2x + cos3x = 0 2cos3xcosx + cos3x = 0 cos3x 0 3x k x k 2 6 3 cos3x(2cosx + 1) = 0 1 , k ¢ cosx 2 2 2 cosx cos x k2 3 3 e) sin5x + sin3x – cosx = 0 2sin4xcosx – cosx = 0 cosx(2sin4x – 1) = 0 x k x k 2 2 cosx 0 x k 2 1 4x k2 x k , k ¢ sin 4x 6 24 2 2 sin 4x sin 6 5 4x k2 x k 6 24 2 f) cos2x + sin4x = 0 cos2x + 2sin2xcos2x = 0 cos2x(1 + 2sin2x) = 0 8
9. x k x k 4 2 4 2 cos2x 0 2x k 2 1 2x k2 x k , k ¢ sin2x 6 12 2 sin2x sin( ) 6 7 2x k2 x k 6 12 g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0 – 2sin2xsinx – 2sin2x = 0 x k sin x 0 x k 2sinx(sin2x + sinx) = 0 2x x k2 sin2x sin x sin2x sin( x) 2x x k2 x k x k 2 3x k2 x k , k ¢ 3 x k2 x k2 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0 (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0 1 x k2 cosx cosx cos 3 2 3 , k ¢ sin x cosx tan x 1 x k 4 Bài 6: Giải các phương trình sau: 2cos2x a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) 0 c) cos2xtanx = 0 1 sin2x 1 1 Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x (sin5x – sinx) = (sin9x – sinx) 2 2 x k 5x 9x k2 2 sin5x = sin9x , k ¢ 5x 9x k2 x k 14 7 2cos2x b) 0 . ĐK: sin2x 1 1 sin2x 2x k2 x k (loại) 2 4 2cos2x = 0 cos2x = 0 , k ¢ 2x k2 x k 2 4 c) cos2xtanx = 0. ĐK: cosx 0 cos2x.sin x cos2x 0 2x k x k 0 cos2xsinx = 0 2 4 2 , k ¢ cosx sin x 0 x k x k Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác) x a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b) 2cos2 2 cosx 2 0 c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0 2 d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0 9
10. 1 sin x 2 Giải: a) * Cách 1: 2sin x + 3sinx – 2 = 0 2 sinx = sin 6 sin x 2(loại) x k2 x k2 6 6 , k ¢ 5 x k2 x k2 6 6 1 t * Cách 2: Đặt t = sinx, 1 t 1. PT trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0 2 t 2(loại) x k2 x k2 1 6 6 Suy ra: sinx = sinx = sin , k ¢ 2 6 5 x k2 x k2 6 6 x 2 cos x x x b) 2cos2 2 cos 2 0 2 2 cos cos 2 2 x 2 4 cos 2 (loại) 2 x k2 x k4 , k ¢ 2 4 2 3 tan x tan( ) x k 2 tan x 6 6 c) 3tan x – 2 3 tanx + 3 = 0 3 tan x 3 tan x tan x k 3 3 d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 6(1 – sin2x) + 5sinx – 2 = 0 – 6sin2x + 5sinx + 4 = 0 1 sin x x k2 x k2 2 6 6 sinx = sin , k ¢ 4 6 5 sin x (loại) x k2 x k2 3 6 6 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 5(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0 –5cos2x + 3cosx + 8 = 0 cosx 1 8 x = k2 , k ¢ cosx (loại) 5 2 f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0 4cot x 2 0 – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0 cot x cot x 1 x k 4 1 , k ¢ cot x 1 2 x arctan k 2 Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx) a) sinx + cosx = 2 b) cosx – 3 sinx = 1 c) 3sin2x + 4cos2x = 5 d) 3 sinx – cosx = 2 e) 2sin2x + 3 sin2x = 3 f) cos3x – sinx = 3 (cosx – sin3x) 10
11. 1 1 Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = 2 sinx + cosx = 1 (chia 2 vế cho 12 12 2 ) 2 2 sinxcos + cosxsin = 1 sin x 1 x k2 x = k2 , k ¢ 4 4 4 4 2 4 1 1 * Cách 2: sinx + cosx = 2 sinx + cosx = 1 sinxsin + cosxcos = 1 2 2 4 4 cosxcos + sinxsin = 1 cos x = 1 x = k2 x = k2 , k ¢ 4 4 4 4 4 * Cách 3: sinx + cosx = 2 2 cos x 2 cos x 1 4 4 x k2 x k2 , k ¢ 4 4 1 3 1 1 b) * Cách 1: cosx – 3 sinx = 1 cosx – sinx = cosxcos – sinxsin = 2 2 2 3 3 2 x k2 x k2 1 3 3 cos x cos x cos 2 , k ¢ 3 2 3 3 x k2 x k2 3 3 3 1 3 1 1 * Cách 2: cosx – 3 sinx = 1 cosx – sinx = sin cosx – cos sinx = 2 2 2 6 6 2 x k2 x k2 6 6 sin x = sin 2 , k ¢ 6 6 x k2 x k2 3 6 6 3 4 3 4 c) 3sin2x + 4cos2x = 5 sin2x + cos2x = 1. Đặt: cos = ; sin = 5 5 5 5 (1) sin2xcos + cos2xsin = 1 sin(2x + ) = 1 2x + = k2 2 x = k ( k ¢ ) 2 4 3 1 d) * Cách 1: 3 sinx – cosx = 2 sinx – cosx = 1 sinxsin – cosxcos = 1 2 2 3 3 2 cosxcos – sinxsin = –1 cos x = –1 x = k2 x = k2 , k ¢ 3 3 3 3 3 3 1 * Cách 2: 3 sinx – cosx = 2 sinx – cosx = 1 sinxcos – cosxsin = –1 2 2 6 6 sin x = –1 x = k2 x = k2 , k ¢ 6 6 2 3 1 cos2x e) 2sin2x + 3 sin2x = 3 2. 3 sin2x 3 3 sin2x cos2x 2 2 3 1 sin2x – cos2x = 1 sin2xcos – cos2xsin = –1 2 2 6 6 11
12. sin 2x = –1 2x = k2 x = k , k ¢ 6 6 2 6 f) cos3x – sinx = 3 (cosx – sin3x) cos3x – sinx = 3 cosx – 3 sin3x 1 3 1 3 cos3x + 3 sin3x = sinx + 3 cosx cos3x sin3x sin x cosx 2 2 2 2 cos3xcos + sin3xsin = cosxcos + sinxsin cos 3x = cos x 3 3 6 6 3 6 3x x k2 x k 3 6 12 , k ¢ 3x x k2 x k 3 6 8 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: 0 x a) sin 2x 1 b) cos(x 45 ) 1 c) tan2x = 0 d) cot = 0 3 2 3 2 e) cos 2x f) sin3x g) tan(2x + 1) = 2 h) cot3x = –5 6 2 3 5 ĐS: a) x k b) x 2250 k3600 c) x k d) x k2 e) Vơ nghiệm 12 2 1 2 2 x arcsin k 3 3 3 1 1 1 f) g) x arctan2 k h) x arccot( 5) k 1 2 2 2 2 2 3 3 x arcsin k 3 3 3 3 Bài 2: Giải các phương trình sau: 2 0 1 5 3 a) sin3x b) cos 2x 30 c) tan 2x 3 d) cot 2x 2 2 4 2 3 2 x k 0 0 12 3 x 75 k180 13 ĐS: a) b) c) x k d) x k 2 x 450 k1800 24 2 12 2 x k 4 3 Bài 3: Giải các phương trình sau: 0 x 0 a) 2sin x 2 0 b) 2cos(3x 45 ) 3 0 c) 3 cot 20 3 0 4 3 x 0 d) 2cos 2x 2 0 e) 2sin 10 1 0 f) 3tan 2x 3 0 4 2 3 0 0 x k2 x 25 k120 0 0 ĐS: a) 2 b) c) x 150 k540 x 50 k1200 x k2 0 0 x k x 80 k720 d) 4 e) f) x k x 4000 k7200 12 2 x k 12
13. Bài 4: Giải các phương trình sau: a) sin 3x sin x b) cos 2x cos x 4 6 3 4 c) tan 2x tan x d) cot3x cot x 5 3 3 5 7 2 x k x k 24 36 3 2 ĐS: a) b) c) x k d) x k 13 45 2 6 2 x k x k2 48 12 Bài 5: Giải các phương trình sau: a) cos3x – sin2x = 0 b) sin3x + sin5x = 0 c) cos4x + cosx = 0 d) sin3x + cos7x = 0 2 2 x k x k x k x k 10 5 4 5 5 8 2 ĐS: a) b) c) d) 2 x k2 x k x k x k 2 2 3 3 20 5 Bài 6: Giải các phương trình sau: a) cosx(sin2x – cos2x) = 0 b) 2cosxsin3x + sin3x = 0 c) (cosx + 1)(2sin2x – 3 ) = 0 2 ĐS: a) x k ; x k b) x k ; x k2 2 8 2 3 3 c) x k2 ; x k ; x k 6 3 Bài 7: Giải các phương trình sau: a) cos3x – cos4x + cos5x = 0 b) sin7x – sin3x = cos5x c) cos2x – cos8x + cos6x = 1 d) cos2x – sin2x = sin3x + cos4x e) sin2x – 2cosx = 0 f) cos5x – cosx = 2sin22x 3 g) sin3xcosx – cos3xsinx = h) sin2x + cosx – 2sinx – 1 = 0 i) 2cos2x + 2sinxcos2x = 1 8 j) 2sin2x + 2 sin4x = 0 k) sinx + sin2x + sin3x = 0 l) 2cos2xcos3x = 1 + cos2x + cos5x x k x k 10 5 x k 3 x k 8 4 8 4 ĐS: a) b) x k c) x k d) x k2 12 6 x k2 3 5 x k 5 x k 3 x k2 12 6 x k x k2 x k 2 x k 6 2 12 2 e) f) x k2 g) h) x k2 x k2 2 x k 7 2 x k 3 2 x k2 5 6 x k2 6 x k x k x k 2 2 2 i) x k j) k) l) 4 2 3 2 x k x k2 x k2 7 8 3 3 x k2 6 13
14. Bài 8: Giải các phương trình sau: sin x 3 cosx a) sin2xcos3x = sin3xcos4x b) cos5xcosx = cos4x c) 0 sin x cos 4 x k x k ĐS: a) ; b) x k c) x k x k x k 5 3 12 6 5 Bài 9: Giải các phương trình sau: a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 b) 3cos22x – 5cos2x + 2 = 0 c) 4tan2x – 5tanx + 1 = 0 x x d) sin2 + cos + 1 = 0 e) 3cosx = cos2x – 1 f) cos2x – sinx – 1 = 0 2 2 g) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0 h) 3tanx – cotx + 2 = 0 i) 3sin2x + 4cosx + 4 = 0 x k2 2 x k x k 4 ĐS: a) x k2 b) 1 2 c) d) x 2 k4 6 x arccos k2 1 2 3 x arctan k 5 4 x k2 6 x k2 6 x k 2 4 e) x k2 f) x k g) x k2 h) i) x k2 3 1 5 x arctan k x k2 3 6 Bài 10: Giải các phương trình sau: a) 3 cosx sin x 2 b) cos3x – sin3x = 1 c) 2cosx – sinx = 2 d) 2sin2x + 3 sin2x = 3 e) 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x f) 3 sinx – cosx = 1 g) 2sinx – 2cosx = 2 h) sin2x – cos2x + 3 sin2x = 2 i) sin4x + 3 cos4x – 2 = 0 j) 5sinx + 4cosx = 5 2 x k 7 3 x k2 2 1 ĐS: a) x k2 b) c) ( cos ; sin ) 6 2 x 2 k2 5 5 x k 6 3 5 x k2 x k2 3 x k2 12 d) x k e) f) 3 g) h) x k 3 4 2 13 3 x k x k2 x k2 9 3 12 x 2 k2 1 5 2 5 4 i) x k ; x k j) ( cos ; sin ) 48 2 48 2 41 41 x k2 2 Bài 11: Giải các phương trình sau: (Đại học) a) (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx b) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 5 ĐS: a) x k2 ; x k ; x k b) x k ; x k2 ; x k2 2 12 12 4 2 14