Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 2 (Phần 1) - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 2 (Phần 1) - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG II ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 A. Lý thuyết: * Số phần tử của tập hợp hữu hạn A. Kí hiệu: n(A) hoặc A a) VD: A a,b,c. Ta nĩi: n(A) = 3 hoặc A = 3 1. Quy tắc cộng: Giả sử A và B là các tập khơng giao nhau. Khi đĩ: n(A  B) n(A) n(B) 2. Quy tắc nhân: Giả sử A và B là hai tập hữu hạn bất kì. Khi đĩ: n(A x B) = n(A).n(B) Với A x B là tập hợp tất cả các cặp cĩ thứ tự (a, b), trong đĩ a A , b B 3. Hốn vị: * Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của tập hợp A * Số các hốn vị của A. Ký hiệu: Pn . Viết: Pn 1.2.3 (n 1).n n! (đọc là: n giai thừa) 4. Chỉnh hợp: * Kết quả của việc lấy k phần tử của A ( 1 k n ) và xếp theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử n! * Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ký hiệu: Ak . Viết: Ak n n (n k)! n * Quy ước: a) 1! = 1 b) 0! = 1. Khi đĩ: An Pn n! 5. Tổ hợp: * Một tập con gồm k phần tử của A ( 1 k n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng n! * Số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ký hiệu: Ck . Viết: Ck n n k!(n k)! k n k k 1 k k * Tính chất: a) Cn Cn ( 0 k n ) b) Cn 1 Cn 1 Cn (1 k n ) 6. Nhị thức Niu-tơn: n 0 n 0 n 1 0 n k k 0 n 1 n n a) Cơng thức nhị thức Niu-tơn: (a b) Cna Cna .b Cna .b Cna.b Cn b 0 1 n n 0 1 k k n n b) Cn Cn Cn 2 c) Cn Cn ( 1) Cn ( 1) Cn 0 k n k k c) Số hạng tổng quát trong khai triển là: Cna b * Nếu số hạng thứ 7 (chẳng hạn) thì k = 6 (theo cơng thức tổng quát) k n k k k n k k k Chú ý: a) Cna ( b) Cna ( 1) b 0 1 b) Cn : gọi là hệ số của số hạng thứ 1; Cn : gọi là hệ số của số hạng thứ 2; 7. Phép thử và biến cố: a) Khơng gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử. Ký hiệu:  b) Biến cố: Mỗi tập con A của  * Tập  được gọi là biến cố khơng thể * Tập  được gọi là biến cố chắc chắn c) Biến cố A  \ A được gọi là biến cố đối của A * A và B đối nhau A = B * Nếu A  B  thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc 8. Xác suất của biến cố: n(A) số phần tử của tập A Xác suất của biến cố A. Ký hiệu: P(A). Viết: P(A) n() số phần tử của không gian mẫu Chú ý: a) P(A) 0, A b) P() 1 c) P() 0 d) P(A  B) P(A) P(B) B. Bài tập mẫu: 1. Phép cộng và phép nhân Bài 1: Trong một lớp cĩ 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp Giải: a) + Cĩ 18 cách chọn bạn nam + Cĩ 12 cách chọn bạn nữ Vậy: Cĩ 18 + 12 (cách chọn) 1
2. Bài 2: Trong một hộp chứa 6 quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và 3 quả cầu đen được đánh số từ 7 đến 9. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? Giải: + Cĩ 6 cách chọn quả cầu trắng + Cĩ 3 cách chọn quả cầu đen Vậy: Cĩ 6 + 3 = 9 (cách chọn) Bài 3: Bạn Hồng cĩ hai áo màu khác nhau và 3 quần kiểu khác nhau. Hỏi Hồng cĩ bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? Giải: + Cĩ 2 cách chọn áo + Cĩ 3 cách chọn quần Vậy: Cĩ 2.3 = 6 (cách chọn) Bài 4: Trên giá sách cĩ 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển tiếng Pháp khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách khác nhau? Giải: + Cĩ 10 cách chọn quyển sách tiếng Việt + Cĩ 8 cách chọn quyển sách tiếng Anh + Cĩ 6 cách chọn quyển sách tiếng Pháp Vậy: Cĩ 10.8.6 = 480 (cách chọn) Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) Một chữ số b) 3 chữ số c) 3 chữ số khác nhau d) 3 chữ số chẵn khác nhau e) 3 chữ số lẻ f) 3 chữ số khác nhau lẻ g) 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3 h) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 Giải: a) Cĩ 6 cách chọn. Vậy: Cĩ 6 số b) Gọi số cĩ hai chữ số cĩ dạng: abc + a: cĩ 6 cách chọn + b: cĩ 6 cách chọn + c: cĩ 6 cách chọn Vậy: Cĩ 6.6.6 = 216 (số) c) Gọi số cĩ hai chữ số khác nhau cĩ dạng: abc + a: cĩ 6 cách chọn + b: cĩ 5 cách chọn (vì khác a) + c: cĩ 4 cách chọn (vì c khác a, b) Vậy: Cĩ 6.5.4 = 120 (số) d) Gọi số cĩ 3 chữ số chẵn khác nhau cĩ dạng: abc + c: cĩ 3 cách chọn (vì c = 2,4,6) + a: cĩ 5 cách chọn (vì a khác c) + b: cĩ 4 cách chọn (vì b khác a, c) Vậy: Cĩ 3.5.4 = 60 (số) * Cách khác: Cĩ 120 – 60 = 60 (số) (vì số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số)) e) Gọi số cĩ 3 chữ số lẻ cĩ dạng: abc + c: cĩ 3 cách chọn (vì c = 1,3,5) + a: cĩ 6 cách chọn + b: cĩ 6 cách chọn Vậy: Cĩ 3.6.6 = 108 (số) f) Gọi số cĩ 3 chữ số khác nhau lẻ cĩ dạng: abc + c: cĩ 3 cách chọn (vì c = 1,3,5) + a: cĩ 5 cách chọn (vì khác c) + b: cĩ 4 cách chọn (vì b khác a, c) Vậy: Cĩ 3.5.4 = 120 (số) * Cách khác: Cĩ 120 – 60 = 60 (số) (vì số chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số)) g) Gọi số cĩ 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3 cĩ dạng: abcd + a = 3: cĩ 1 cách chọn + b: cĩ 5 cách chọn + c: cĩ 4 cách chọn (vì c khác a) + d: cĩ 3 cách chọn (vì d khác b, c) Vậy: Cĩ 1.5.4.3 = 60 (số) h) Gọi số cĩ 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 cĩ dạng: abcd + d = 5: cĩ 1 cách chọn + a: cĩ 5 cách chọn (vì a khác 5) + b: cĩ 4 cách chọn (vì b khác a, d) + c: cĩ 3 cách chọn (vì c khác a, b, d) Vậy: Cĩ 1.5.4.3 = 60 (số) Bài 6: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) Bốn chữ số b) Bốn chữ số khác nhau c) Bốn chữ số khác nhau lẻ d) 4 chữ số chẵn khác nhau e) 5 chữ số chẵn f) 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 2
3. Giải: Gọi A 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Gọi số cĩ 4 chữ số cĩ dạng: abcd + a 0: cĩ 7 cách chọn + b: cĩ 8 cách chọn + c: cĩ 8 cách chọn + d: cĩ 8 cách chọn Vậy: Cĩ 7.8.8.8 = 3584 (số) b) Gọi số cĩ 4 chữ số khác nhau cĩ dạng: abcd + a: cĩ 7 cách chọn (vì a khác 0) + b: cĩ 7 cách chọn (vì b khác a) + c: cĩ 6 cách chọn (vì c khác a, b) + d: cĩ 5 cách chọn (vì d khác a, b, c) Vậy: Cĩ 7.7.6.5 = 1470 (số) c) Gọi số cĩ 4 chữ số khác nhau lẻ cĩ dạng: abcd +d: cĩ 4 cách chọn (vì d 1,3,5,7) + a: cĩ 6 cách chọn (vì a khác d và 0) + b: cĩ 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: cĩ 5 cách chọn (vì c khác a, b, d) Vậy: Cĩ 4.6.6.5 = 720 (số) d) * Cách 1: Gọi số cĩ 4 chữ số chẵn khác nhau cĩ dạng: abcd với d = 0;2,4,6 TH1: + d = 0: cĩ 1 cách chọn + a: cĩ 7 cách chọn (vì a khác d) + b: cĩ 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: cĩ 5 cách chọn (vì c khác a, b, d) Vậy: Cĩ 1.7.6.5 = 210 (số) TH2: + d 0: cĩ 3 cách chọn + a: cĩ 6 cách chọn (vì a khác d và 0) + b: cĩ 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: cĩ 5 cách chọn (vì c khác a, b, d) Vậy: Cĩ 3.6.6.5. = 540 (số) Vậy: Tổng cộng cĩ 210 + 540 = 750 (số) * Cách 2: Cĩ 1470 – 720 = 750 (số) e) Gọi số cĩ 5 chữ số chẵn cĩ dạng: abcde với e = 0;2,4,6 + e: cĩ 4 cách chọn + a: cĩ 7 cách chọn (vì a khác 0) + b, c, d: cĩ 83 cách chọn Vậy: Cĩ 4.7.83 = 14336 (số) f) Gọi số cĩ 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 cĩ dạng: abc với c = 0;5 TH1: + c = 0: cĩ 1 cách chọn + a: cĩ 7 cách chọn + b: cĩ 6 cách chọn (c khác a, c) Vậy: Cĩ 1.7.6 = 42 (số) TH2: + c = 5: cĩ 1 cách chọn + a: cĩ 6 cách chọn (vì a khác 0, c) + b: cĩ 6 cách chọn Vậy: Cĩ 1.6.6 = 36 (số) Vậy: Cĩ tất cả 42 + 36 = 78 (số) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Một người cĩ 7 áo và 5 cà vạt. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn: a) Một trong các đồ vật nĩi trên. ĐS: 12 b) Một chiếc áo và một chiếc cà vạt. ĐS: 35 Bài 2: Cĩ 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuơng, trịn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây. ĐS: 12 Bài 3: Một cơ gái cĩ 8 chiếc áo khác nhau, 6 quần tây khác nhau và 3 đơi giày khác nhau để mặc khi đi làm. Nếy mỗi ngày cơ ấy mặc một kiểu (áo, quần, giày) khác nhau đến cơ quan thì trong bao lâu cơ ấy mới thay đổi hết kiểu? ĐS: 144 (ngày) Bài 4: Từ các chữ số 1, 2, 5, 6, 7, 8 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) Một chữ số b) 4 chữ số c) 4 chữ số khác nhau d) 4 chữ số chẵn khác nhau e) 4 chữ số khác nhau lẻ f) 4 chữ số lẻ g) 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 2 h) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ĐS: a) 6 b) 1296 c) 360 d) 180 e) 180 f) 375 g) 120 h) 120 3
4. Bài 5: Cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 5 chữ số b) 5 chữ số khác nhau c) 5 chữ số khác nhau lẻ d) 5 chữ số chẵn khác nhau e) 6 chữ số chẵn f) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ĐS: a) 90000 b) 27216 c) 13440 d) 13776 e) 450000 f) 952 2. Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp: Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 7 chữ số khác nhau b) 4 chữ số khác nhau c) 4 chữ số lẻ khác nhau d) 4 chữ số chẵn khác nhau Giải: a) Số cĩ 7 chữ số khác nhau: cĩ 7! = 5040 (số) 4 b) Số cĩ 4 chữ số khác nhau: cĩ A7 840 (số) c) Gọi số cĩ 4 chữ số lẻ khác nhau cĩ dạng: abcd với d 1;3;5 3 + d: cĩ 3 cách chọn + 3 vị trí a, b, c: cĩ A6 120 cách chọn Vậy: Cĩ 3.120 = 360 (số) d) Gọi số cĩ 4 chữ số chẵn khác nhau cĩ dạng: abcd với d 2;4;6;8 3 + d: cĩ 4 cách chọn + 3 vị trí a, b, c: cĩ A6 120 cách chọn Vậy: Cĩ 4.120 = 480 (số) Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 7 chữ số khác nhau b) 5 chữ số khác nhau c) 4 chữ số chẵn khác nhau Giải: a) Gọi số cĩ 7 chữ số khác nhau cĩ dạng: a1a2a3a4a5a6a7 + a1: cĩ 6 cách chọn (vì a khác 0) + 6 Vị trí a2, a3, a4, a5, a6, a7: cĩ 6! = 720 cách chọn Vậy: Cĩ 6.720 = 4320 (số) b) Gọi số cĩ 5 chữ số khác nhau cĩ dạng: a1a2a3a4a5 4 + a1: cĩ 6 cách chọn + 4 vị trí a2, a3, a4, a5: cĩ A6 360 cách chọn Vậy: Cĩ 6.360 = 2160 (số) c) * Cách 1: Gọi số cĩ 4 chữ số chẵn khác nhau cĩ dạng: a1a2a3a4 với a4 0;2;4;8 3 TH1: + a4 = 0: cĩ 1 cách chọn + 3 vị trí a1, a3, a4: cĩ A6 120 cách chọn Vậy: Cĩ 1.120 = 120 (số) TH2: + a4 0 : cĩ 3 cách chọn + a1: cĩ 5 cách chọn (vì a1 khác a4 và 0) 2 + 2 vị trí a3, a4: cĩ A5 20 cách chọn Vậy: Cĩ 3.5.20 = 300 (số) Vậy: Cĩ tất cả 120 + 300 = 420 (số) * Cách 2: Gọi số cĩ 4 chữ số khác nhau cĩ dạng: a1a2a3a4 3 + a1: cĩ 6 cách chọn (vì a khác 0) + 3 vị trí a2, a3, a4: cĩ A6 120 cách chọn Vậy: Cĩ 6.120 = 720 (số) Gọi số cĩ 4 chữ số lẻ khác nhau cĩ dạng: a1a2a3a4 với a4 1;5;7 + a4: cĩ 3 cách chọn + a1: cĩ 5 cách chọn (vì a khác a4 và 0) 2 + 2 vị trí a2, a3: cĩ A5 20 cách chọn Vậy: Cĩ 3.5.20 = 300 (số) Vậy: Số cĩ 4 chữ số chẵn khác nhau cĩ 720 – 300 = 420 (số) Bài 3: Một lớp học cĩ 25 học sinh. Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phĩ và 1 thủ quỹ mà khơng cho kiêm nhiệm. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ? 3 Giải: Cĩ A25 13800 (cách) Bài 4: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khác vào mười ghế kê thành một dãy? Giải: Cĩ 10! = 3628800 (cách) 4
5. Bài 5: Một cơng ty gồm 10 kỹ sư, 25 cơng nhân. Để lập một ban quản lý cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 cơng nhân làm tổ phĩ, 3 cơng nhân làm tổ viên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập tổ quản lý? 1 Giải: + Chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng: cĩ A10 10 (cách ) 1 + Chọn 1 cơng nhân làm tổ phĩ: cĩ A25 25(cách) 3 + Chọn 3 cơng nhân làm tổ viên: cĩ C24 2024 (cách) Vậy: Cĩ 10.25.2024 = 506000 (cách) Bài 6: Một lớp học cĩ 30 học sinh. Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phĩ học tập và 5 tổ trưởng. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như trên? 2 Giải: * Cách 1: + Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phĩ học tập: cĩ A30 870 (cách) 5 + Chọn 5 tổ trưởng: cĩ C28 98280 (cách) Vậy: Cĩ 870.98280 = 85503600 (cách) 1 * Cách 2: + Chọn 1 lớp trưởng: cĩ A30 30 (cách) 1 + Chọn 1 lớp phĩ học tập: cĩ A29 29 (cách) 5 + Chọn 5 tổ trưởng: cĩ C28 98280 (cách) Vậy: Cĩ 30.29.98280 = 85503600 (cách) Bài 7: Một cái hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lấy ra 4 quả cầu: a) Tùy ý b) Cĩ 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ c) Cĩ nhiều nhất là 2 quả cầu đỏ d) Cĩ ít nhất là 1 quả cầu đỏ 4 Giải: a) Lấy 4 quả cầu tùy ý: cĩ C10 210 (cách) 2 2 b) + Lấy 2 quả cầu trắng: cĩ C7 21 (cách) + Lấy 2 quả cầu đỏ: cĩ C3 3 (cách) Vậy: Cĩ 21.3 = 63 (cách) 2 2 Trình bày khác: Lấy 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ: cĩ C7 .C3 63 (cách) 2 2 c) * Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: cĩ C3 .C7 63 (cách) 1 3 * Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: cĩ C3.C7 105 (cách) 0 4 * Lấy 0 quả cầu đỏ và 4 quả cầu trắng: cĩ C3 .C7 35(cách) Vậy: Cĩ 63 + 105 + 35 = 203 (cách) 1 3 d) * Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: cĩ C3.C7 105 (cách) 2 2 * Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: cĩ C3 .C7 63 (cách) 3 1 * Lấy 3 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng: cĩ C3.C7 7 (cách) Vậy: Cĩ 105 + 63 + 7 = 175 (cách) Bài 8: Một hội đồng quản trị của một cơng ty gồm cĩ 11 người gồm 7 nam và 4 nữ. Người ta muốn lập ban thường trực gồm cĩ 3 người. Hỏi rằng cĩ bao nhiêu cách thành lập, biết rằng: a) Chọn nam, nữ tùy ý b) Phải chọn cĩ đúng một nam c) Phải chọn cĩ ít nhất một nữ d) Phải chọn cĩ nhiều nhất 2 nữ 3 Giải: a) Chọn 3 người nam, nữ tùy ý: cĩ C11 165 (cách) 1 2 b) Chọn cĩ đúng 1nam và 2 nữ: cĩ C7 .C4 42 (cách) 1 2 c) * Chọn 1 nữ và 2 nam: cĩ C4 .C7 84 (cách) 2 1 * Chọn 2 nữ và 1nam: cĩ C4 .C7 42 (cách) 3 0 * Chọn 3 nữ và 0 nam: cĩ C4 .C7 4 (cách) Vậy: Cĩ 84 + 42 + 4 = 130 (cách) 2 1 d) * Chọn 2 nữ và 1 nam: cĩ C4 .C7 42 (cách) 1 2 * Chọn 1 nữ và 2 nam: cĩ C4 .C7 84 (cách) 5
6. 0 3 * Chọn 0 nữ và 3 nam: cĩ C4 .C7 35 (cách) Vậy: Cĩ 42 + 84 + 35 = 161 (cách) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Từ các số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 7 chữ số khác nhau b) 6 chữ số khác nhau c) 6 chữ số lẻ khác nhau d) 6 chữ số chẵn khác nhau e) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ĐS: a) 5040 b) 5040 c) 2880 d) 2160 e) 360 Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 8 chữ số khác nhau b) 4 chữ số khác nhau c) 4 chữ số chẵn khác nhau d) 4 chữ số lẻ khác nhau e) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ĐS: a) 35280 b) 1470 c) 750 d) 720 e) 390 Bài 3: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy? ĐS: 120 Bài 4: Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất một phút. Hỏi cần bao lâu để cĩ thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?. ĐS: 3628800 phút = 60480 giờ Bài 5: Một nhĩm người thành lập cơng ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc, một phĩ giám đốc và một thủ quỹ . Cĩ 10 người hội đủ điều kiện được chọn. ĐS: 720 Bài 6: Một lớp học gồm 42 học sinh trong đĩ cĩ 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Cĩ bao nhiêu cách để chọn ra: a) Một lớp trưởng, một lớp phĩ và một thủ quỹ. ĐS: 68880 b) Một lớp trưởng, lớp phĩ, 4 tổ trưởng. ĐS: 157373580 c) Một tổ gồm 5 người trong đĩ cĩ 3 nam và 2 nữ. ĐS: 312800 d) Một nhĩm gồm 6 người trong đĩ cĩ đúng 1 nữ. ĐS: 903210 e) Một nhĩm người gồm 5 người trong đĩ cĩ nhiều nhất 2 nam. ĐS: 269688 f) Một nhĩm người gồm 4 người trong đĩ cĩ ít nhất 1 nam. ĐS: 109550 3. Giải phương trình: Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Giải các phương trình sau: 2 a) A4 14P .Cx 3 b) C3 C2 A2 c) 2C2 3A2 30 x 1 3 x 1 x 1 x 1 3 x 2 x 1 x (x 1)! (x 1)! Giải: a) ĐK: x 3, x ¥ . Ta cĩ: A4 14P .Cx 3 14.3!. x 1 3 x 1 (x 3)! (x 3)!2! 2!(x + 1)! = 14.3!(x – 1)! 2!(x + 1)x (x – 1)! = 14.3.2!(x – 1)! x2 + x – 42 = 0 x 6 . Vậy: Nghiệm của PT là: x = 6 x 7(loại) 2 (x 1)! (x 1)! 2 (x 2)! b) ĐK: x 4, x ¥ . Ta cĩ: C3 C2 A2 . x 1 x 1 3 x 2 3!(x 4)! 2!(x 3)! 3 (x 4)! (x 2)! x 1 x 1 2 (x 2)! x 1 x 1 2 . (x 4)! 6 2(x 3) 3 (x 4)! 6 2(x 3) 3 x 9 2 (x – 1)(x – 3) – 3(x – 1) = 4(x – 3) x – 11x + 18 = 0 x 2(loại) (x 1)! x! c) ĐK: x 2 , x ¥ . Ta cĩ: 2C2 3A2 30 2. 3. 30 x 1 x 2!(x 1)! (x 2)! (x + 1)x + 3x(x – 1) = 30 2x2 – x – 15 = 0 x = 3; x = 5/ 2 (loại) 6
7. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình sau: 3 x 1 2 2 n 2 3 a) Ax 1 Cx 1 14(x 1) b) 3An A2n 42 0 c) Cn 1 2Cn 1 7(n 1) 5 d) P .A2 72 6(A2 2P ) e) A3 5A2 21x f) C4 C3 A2 0 x x x x x x x 1 x 1 4 x 2 ĐS: a) x = 4 b) n = 6 c) n = 5 d) x = 3 hoặc x = 4 e) x = 4 f) x = 11 4. Nhị thức Niu-tơn Bài 1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Niu-tơn: a) (a – 3b)5 b) (2x + 3y)7 c) (3 – x)5 d) (2x – 1)6 5 0 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 Giải: a) (a – 3b) = C5 (1a) (-3b) + C5 (1a) (-3b) + C5 (1a) (-3b) + C5 (1a) (-3b) 4 1 4 5 0 5 + C5 (1a) (-3b) + C5 (1a) (-3b) = a5 – 15a4b + 90a3b2 – 270a2b3 + 405ab4 – 243b5 7 0 7 0 1 6 1 2 5 2 3 4 3 4 3 4 b) (2x + 3y) = C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) 5 2 5 6 1 6 7 0 7 + C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) + C7 (2x) (3y) = 128x7 + 1344x6y + 6048x5y2 + 15120x4y3 + 22680x3y4 + 20412x2y5 + 10206xy6 + 2187y7 5 0 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 5 0 5 c) (3 – x) = C5 3 (–x) + C5 3 (–x) + C5 3 (–x) + C5 3 (–x) + C5 3 (–x) + C5 3 (–x) = 243 – 405x + 270x2 – 90x3 + 15x4 – x5 6 0 6 0 1 5 1 2 4 2 3 3 3 4 2 4 d) (2x – 1) = C6 (2x) (-1) + C6 (2x) (-1) + C6 (2x) (-1) + C6 (2x) (-1) + C6 (2x) (-1) 5 1 5 6 0 6 + C6 (2x) (-1) + C6 (2x) (-1) = 64x6 – 192x5 + 240x4 – 160x3 + 60x2 – 12x + 1 8 2 3 Bài 2: Tìm hệ số x trong khai triển của biểu thức x 2 x Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là: k k 8 k 3 k 8 k 2 k k 8 k k 2k k k 8 3k C8 x . 2 = C8 x .( 3x ) = C8 x .( 3) .x = C8 .( 3) .x x Ứng với số hạng chứa x2, ta cĩ: 8 – 3k = 2 – 3k = – 6 k = 2 2 2 2 Vậy: Hệ số x trong khai triển là: C8 .( 3) = 252 10 1 Bài 3: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển 2x 3 x k k 10 k 1 Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển cĩ dạng: C10x . 3 x 4 4 6 1 4 6 1 15 Vậy: Số hạng thứ 5 là:C10x . 3 = C10x . 12 6 x x x Bài 4: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: 9 15 1 3 3 a) 2 x b) 2x 2 x x 9 k k 1 k k 2 9 k k k 18 3k Giải: a) Số hạng tổng quát trong khai triển là: C9 2 .x C9 (x ) .x C9 .x x Ứng với số hạng khơng chứa x, ta cĩ: – 18 + 3k = 0 k = 6 6 Vậy: Số hạng khơng chứa x là: C9 84 k k 3 15 k 3 k 15 k 45 3k 2 k b) Số hạng tổng quát trong khai triển là: C15 (2x ) . 2 C15 (2) .x .(3x ) x 7
8. k 15 k 45 3k k 2k k 15 k 45 5k k = C15 (2) .x .3 .x C15 (2) .x .3 Ứng với số hạng khơng chứa x, ta cĩ: 45 – 5k = 0 k = 9 9 6 9 Vậy: Số hạng khơng chứa x là: C15.2 .3 6304858560 Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau: a) (3x + y)6 b) (2x + 3)7 c) (5x – 6)21 d) (4 – 3y)12 Giải: a) Tổng các hệ số là: (3.1 + 1)6 = 4096 b) Tổng các hệ số là: (2.1 + 3)7 = 78125 c) Tổng các hệ số là: (5.1 – 6)21 = –1 d) Tổng các hệ số là: (4 – 3.1)12 = 1 n 1 Bài 6: Trong khai triển x 2 cĩ tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm hệ số của số x hạng chứa x3. 0 0 1 1 2 2 Giải: Tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28, ta cĩ: ( 1) Cn ( 1) Cn ( 1) Cn 28 n! n! n! n(n 1) C0 C1 C2 28 28 1 n 28 n n n 0!n! 1!(n 1)! 2!(n 2)! 2 9 n 6(loại) 1 n2 – 3n – 54 = 0 (vì n , ) Khai triển của biểu thức là: 2 n ¥ x 2 n 9 x Số hạng tổng quát trong khai triển là: k k 9 k 1 k 9 k 2 k k 9 k k 2k k k 9 3k C9 x . 2 = C9 x .( x ) = C9 x .( 1) .x = C9 .( 1) .x x Ứng với số hạng chứa x3, ta cĩ: 9 – 3k = 3 – 3k = – 6 k = 2 3 3 3 Vậy: Hệ số x trong khai triển là: C9 .( 1) = – 84 Bài 7: Biết hệ số của x3 trong khai triển của (1 – 4x)n là –1280. Tìm n k n k k k k k Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là: Cn1 .( 4x) Cn .( 4) x 3 3 3 3 YCĐB k = 3. Mà: Hệ số của x là –1280, ta cĩ: Cn ( 4) 1280 Cn 20 n! 20 n(n – 1)(n – 2) = 120 n3 – 3n2 + 2n – 120 = 0 n = 6 3!(n 3)! BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Niu-tơn: a) (a + 2b)5 b) (3x – 2y)6 c) (3x – y)7 d) (3x + 1)8 e) (2 – 3x)6 ĐS: a) a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5 b) 729x6 – 2916x5y + 4860x4y2 – 4320x3y3 + 2160x2y4 – 576xy5 + 64y6 c) 2187x7 – 5103x6y + 5103x5y2 – 2835x4y3 + 945x3y4 – 189x2y5 + 21xy6 – y7 d) 6561x8 + 17496x7 + 20412x6 + 13608x5 + 5670x4 + 1512x3 + 252x2 + 24x + 1 e) 64 – 576x + 2160x2 – 4320x3 + 4860x4 – 2916x5 + 729x6 Bài 2: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 – x)12. ĐS: 792 5 3 2 10 10 Bài 3: Cho khai triển 3x 2 . Tìm số hạng chứa x . ĐS: – 810x x n 2 1 Bài 4: Trong khai triển x 2 cĩ tổng các hệ số của 3 số hạng đấu là 11. x a) Tìm số hạng thứ 2 b) Tìm số hạng cuối c) Tìm hệ số của số hạng chứa x-4 1 ĐS: a) 4x4 b) c) 4 x8 Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau: a) (6x – 1)8 b) (4x + 3y)7 c) (7x – 6)32 d) (5 – 6x)25 e) (3x – 4)17 8
9. ĐS: a) 390625 b) 823543 c) 1 d) –1 e) –1 6 3 2 Bài 6: Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: x 2 . ĐS: 12 x Bài 7: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90. Tính n. ĐS: n = 5 Bài 8: Tìm số hạng khơng chứa x trong các khai triển sau: 8 10 9 3 1 3 1 2 1 a) x ĐS: 28 b) 2x 2 ĐS: 3360 c) 2x 4 ĐS: 5040 x x x 5. Phép thử và biến cố - Xáx suất Bài 1: Gieo một đồng tiền 2 lần. a) Mơ tả khơng gian mẫu b) Xác định các biến cố: A: “Kết quả gieo hai lần là như nhau” B: “Cĩ ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp” D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp” Giải: a) Khơng gian mẫu là:  SS,NN,SN,NS b) A = SS,NN B = SS,SN,NS C = NS D = SS,SN Bài 2: Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ a) Mơ tả khơng gian mẫu b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn” Giải: a) Khơng gian mẫu là:  (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) b) A = (1,3),(2,4) B = (1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) =  \ (1,3) Bài 3: Gieo một con súc sắc hai lần a) Mơ tả khơng gian mẫu b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề : A = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) B = (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) C = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) Giải: a) Khơng gian mẫu là: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),   (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)  Hoặc  (i, j) | i, j ¥ ;1 i, j 6 b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt 6 chấm” B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8” C: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau” Bài 4: Gieo một con súc sắc hai lần . a) Xác định khơng gian mẫu b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Số chấm ở hai lần gieo là bằng nhau” B: “Tổng số chấm khơng nhỏ hơn 10” C: “Tổng số chấm chia hết cho 3” D: “Mặt 5 chấm xuất hiện ở lần gieo đầu” Giải: a)  (i, j) | i, j ¥ ;1 i, j 6 n() 36 n(A) 6 1 b) A = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) n(A) = 6 P(A) = n() 36 6 n(B) 6 1 B = (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) n(B) = 6 P(B) = n() 36 6 C = (1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6) n(C) = 12 n(C) 12 1 P(C) = n() 36 3 9
10. n(D) 6 1 D = (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) n(D) = 6 P(D) = n() 36 6 Bài 5: Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) a) Xác định khơng gian mẫu b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp” B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau” C: “Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp” D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” Giải: a) Khơng gian mẫu là:  SSS,SSN,SNN,SNS,NSS,NSN,NNS,NNN n( ) = 8 n(A) 4 1 b) A = SSS,SSN,SNS,SNN n(A) = 4 P(A) = n() 8 2 n(B) 2 1 n(C) 3 B = SSS,NNN P(B) = C = SSN,SNS,NSS P(C) = n() 8 4 n() 8 n(D) 7 D = SSS,SSN,SNS,NSN,NSS,SNN,NNS n(D) = 7 P(D) = n() 8 Bài 6: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn b) Chia hết cho 3 c) Lẻ và chia hết cho 3 Giải: Khơng gian mẫu là: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 n( )= 20 n(A) 10 1 a) A = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 P(A) = n() 20 2 n(B) 6 3 n(C) 3 b) B = 3,6,9,12,15,18 P(B) = c) C = 3,9,15 P(C) = n() 20 10 n() 20 Bài 7: Một tổ cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất sao cho trong 2 người đĩ: a) Cả hai đều là nữ b) Khơng cĩ nữ nào c) Ít nhất một người là nữ d) Cĩ đúng một người là nữ 2 Giải: * Số cách chọn 2 người là: C10 45 . Vậy: n() 45 n(A) 3 1 a) A: “Cả 2 đều là nữ” n(A) = C2 = 3 P(A) = 3 n() 45 15 n(B) 21 7 b) B: “Khơng cĩ nữ nào” n(B) = C2 21 P(B) = 7 n() 45 15 n(C) 24 8 c) C: “Ít nhất một người là nữ” n(C) = C1 .C1 C2 .C0 24 P(C) = 3 7 3 7 n() 45 15 n(D) 21 7 d) D: “Cĩ đúng một người là nữ” n(D) = C1 .C1 21 P(C) = 3 7 n() 45 15 Bài 8: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được: a) 3 viên bi xanh b) 3 viên bi đỏ c) 3 viên bi cùng màu d) 3 viên bi khác màu e) Ít nhất 2 viên bi xanh 3 Giải: * Số cách lấy 3 viên bi là: C12 220 . Vậy: n() 220 n(A) 56 14 a) A: “3 viên bi xanh” n(A) = C3 56 P(A) = 8 n() 220 55 n(B) 4 1 b) B: “3 viên bi đỏ” n(B) = C3 4 P(A) = 4 n() 220 55 n(C) 60 3 c) C: “3 viên bi cùng màu” n(C) = C3 C3 60 P(C) = 8 4 n() 220 11 10
11. n(D) 160 8 d) D: “3 viên bi khác màu” n(D) = 220 (C3 C3 ) 160 P(D) = 8 4 n() 220 11 n(C) 60 3 e) E: “Ít nhất 2 viên bi xanh” n(D) = C3 C3 60 P(C) = 8 4 n() 220 11 Bài 9: Trên giá sách cĩ 4 quyển sách Tốn, 3 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hĩa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển. a) Tính n() b) Tính xác suất của các biến cố sau: 1) Ba quyển lấy ra thuộc ba mơn khác nhau 2) Cả 3 quyển lấy ra đều là sách Tốn 3) Ít nhất lấy được một quyển sách Tốn 3 Giải: a) Số cách chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách là: C9 84 . Vậy: n() 84 n(A) 24 2 b)1)A:“3 quyển lấy ra thuộc 3 mơn khác nhau” n(A) =C1 .C1 .C1 24 P(A) = 4 3 2 n() 84 7 n(B) 4 1 2) B: “Cả 3 quyển lấy ra đều là sách Tốn” n(B) = C3 4 P(B) = 4 n() 84 21 3) C: “Ít nhất lấy được một quyển sách Tốn” n(C) 74 37 n(C) = C1 .C2 C2 .C1 C3 .C0 74 P(C) = 4 5 4 5 4 5 n() 84 42 Hoặc C: “3 quyển lấy ra khơng cĩ quyển sách Tốn nào” n(C) 74 37 n(C) = C3 10 n(C) = 84 – 10 = 74 P(C) = 5 n() 84 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau: 1 1 a) A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”. ĐS: P(A) = B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. ĐS: P(B) = 2 2 2 c) C: “Xuất hiện mặt cĩ số chấm khơng nhỏ hơn 3”. ĐS: P(C) = 3 Bài 2: Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tính xác suất của các 3 1 biến cố sau: a) A: “Hai bi cùng màu trắng”. ĐS: b) B: “Hai bi cùng màu đỏ”. ĐS: 10 10 2 3 c) C: “Hai bi cùng màu”. ĐS: d) D: “ Hai bi khác màu”. ĐS: 5 5 Bài 3: Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đĩ các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫy nhiên một thẻ. a) Xác định khơng gian mẫu. ĐS:  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 1 b) Tính xác suất các biến cố sau: A: “Lấy được thẻ màu đỏ”. ĐS: 2 2 1 B: “Lấy được thẻ màu trắng”. ĐS: C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”. ĐS: 5 2 Bài 4: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. a) Xác định khơng gian mẫu. ĐS:  S,NS,NNS,NNNS,NNNN 3 b) Tình xác suất các biến cố sau: A: “Số lần khơng vượt quá 3”. ĐS: 5 2 B: “Số lần gieo là 4”. ĐS: 5 11
12. Bài 5: Bạn thứ nhất cĩ một đồng tiền, bạn thứ hai cĩ con súc sắc (đều cân đối, đồng chất). Xét phép thử “Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đĩ bạn thứ hai gieo con súc sắc” a) Mơ tả khơng gian mẫu của phép thử này. ĐS:  S1,S2,S3,S4,S5,S6,N1,N2,N3,N4,N5,N6 1 b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”. ĐS: 2 1 1 B: “Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. ĐS: C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ”. ĐS: 6 2 Bài 6: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số tứ đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của các biến cố sau: 1 3 a) A: “Quả cầu ghi số chẵn”. ĐS: b) B: “Quả cầu ghi số chia hết cho 3”. ĐS: 2 10 3 17 c) C = A  B. ĐS: d) D: “Quả cầu ghi số khơng chia hết cho 6”. ĐS: 20 20 Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần a) Hãy mơ tả khơng gian mẫu. ĐS:  (x,y) | x,y ¥ ;1 x,y 6 b) Xác định và tính xác suất các biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo khơng bé hơn 10”. 1 ĐS: A = (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) ; P(A) = 6 B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”. 11 ĐS: B = (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6); P(B) = 36 Bài 8: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả cầu. Tính xác suất của các biến cố sau sao cho: 8 209 a) Bốn quả cầu lấy ra cùng màu. ĐS: b) Cĩ ít nhất một quả cầu màu trắng. ĐS: 105 210 97 23 c) Bốn quả cầu lấy ra khác màu. ĐS: d) Cĩ nhiều nhất 2 quả cầu trắng. ĐS: 105 42 Bài 9: Gieo một con súc sắc 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau: 11 a) A: “Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”. ĐS: 36 1 b) B: “Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 7”. ĐS: 6 1 c) D: “Tích số chấm trong 2 lần gieo là số lẻ”. ĐS: 4 7 d) E: “Tổng số chấm ở 2 lần gieo nhỏ hơn 8 và chia hết cho 3”. ĐS: 36 Bài 10: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng, 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu. Lấy 1 ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất các biến cố sau: a) Lấy được 3 bi xanh. ĐS: 22 b) Lấy được ít nhất 1 bi vàng. 34 ĐS: C3 C2 .C1 C2 .C1 C1 .C2 C1 .C2 C1 .C1 .C1 136 ; P(B) 3 3 5 3 4 3 5 3 4 3 4 5 55 3 c) Lấy được 3 viên bi cùng màu. ĐS: C3 C3 C3 15 ; P(C) 5 3 4 44 12