Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC: Chứng minh rằng: Mệnh đề P(n) đúng với mọi n ¥ * * Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1 * Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) đúng với mọi n = k 1 (xem đây là giả thiết để c/m bước 3) * Bước 3: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với n = k + 1 Vậy: P(n) đúng với mọi n ¥ * (đpcm) Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp tốn học 1. Bài tập mẫu: Bài 1: Chứng minh rằng với n ¥ * , ta cĩ: 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1) Giải: + B1: Khi n = 1, ta cĩ: VT = 1, VP = 12 = 1 VT = VP (1) đúng 2 + B2: Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = k + B3: Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: 2 2 Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1) = k + 2k + 1 Thật vậy: Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] 2 = Sk + [2(k + 1) – 1] = k + 2k + 1 (1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng với n ¥ * (đpcm) n(3n 1) Bài 2: Chứng minh rằng với n ¥ * thì 2 + 5 + 8 + + (3n – 1) = (1) 2 1(3.1 1) Giải: + Khi n = 1, ta cĩ: VT = 2, VP = 2 VT = VP (1) đúng 2 k(3k 1) + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 2 + 5 + 8 + + (3k – 1) = 2 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: (k 1)[(3(k 1) 1] 3k2 7k 4 Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] = 2 2 Thật vậy: Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] k(3k 1) 3k2 7k 4 = Sk + [3(k + 1) – 1)] = + (3 k + 2) = (1) đúng khi n = k + 1 2 2 Vậy: (1) đúng với n ¥ * (đpcm) Bài 3: Chứng minh rằng với n ¥ * thì n3 – n chia hết cho 3 (1) 3 Giải: Gọi An = n – n 3 + Khi n = 1: A1 = 1 – 1 = 03 (1) đúng 3 + Giải sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = k – k3 3 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = (k + 1) – (k + 1)3 3 3 2 3 2 Thật vậy: Ak + 1 = (k + 1) – (k + 1) = k + 3k + 3k + 1 – k – 1 = k + 3k + 2k 3 2 = (k – k) + (3k + 3k) = Ak + 3k(k + 1) 3 Mà Ak3 và 3k(k + 1)3 nên: Ak + 1 = (k + 1) – (k + 1)3 (1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng với n ¥ * (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng với n ¥ * thì 4.6n + 5n – 4 chia hết cho 5 (1) n n Giải: Gọi An = 4.6 + 5 – 4 1 1 + Khi n = 1: A1 = 4.6 + 5 – 4 = 255 (1) đúng k k + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = 4.6 + 5 – 45 k + 1 k + 1 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = 4.6 + 5 – 45 k + 1 k + 1 k k k k Thật vậy: Ak + 1 = 4.6 + 5 – 4 = 4.6 .6 + 5 .5 – 4 = 24.6 + 5 .5 – 4 k k k k k k – 1 = (4.6 + 5 – 4) + (20.6 + 4.5 ) = Ak + 5(4.6 + 4.5 ) k k – 1 k + 1 k + 1 Mà: Ak5 và 5(4.6 + 4.5 )5 nên: Ak + 1 = 4.6 + 5 – 45 (1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng với n ¥ * (đpcm) 1
2. 1 1 1 1 Bài 5: Cho tổng Sn = 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp 1 1 1 1 6 2 Giải: a) S S 1 1.3 3 2 3 3.5 15 5 2 1 15 3 3 1 28 4 S S 3 5 3.7 35 7 4 7 7.9 63 9 1 1 1 1 n b) Dự đốn: Sn = = (1) 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2n 1 1 1 + Khi n = 1: VT = , VP = VT = VP (1) đúng 3 3 1 1 1 1 k + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = = 1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) 2k 1 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: 1 1 1 1 1 k 1 k 1 Sk + 1 = = 1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) [2(k 1) 1][2(k 1) 1] 2(k 1) 1 2k 3 1 1 1 1 1 Thật vậy: Sk + 1 = 1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) [2(k 1) 1][2(k 1) 1] 1 k 1 = Sk + = + [2(k 1) 1][2(k 1) 1] 2k 1 (2k 1)(2k 3) 2k2 3k 1 (k 1)(2k 1) k 1 = (1) đúng khi n = k + 1 (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) 2k 3 Vậy: (1) đúng với n ¥ * (đpcm) 2. Bài tập tự luyện n(n 1) Bài 1: Chứng minh rằng với n ¥ * thì: a) 1 + 2 + 3 + + n = 2 1 1 1 1 2n 1 n(n 1)(2n 1) b) c) 12 22 32 n2 2 4 8 2n 2n 6 1 n(4n2 1) d) 3 + 9 + 27 + + 3n = (3n 1 3) e) 12 + 32 + 52 + + (2n – 1)2 = 2 3 n2 (n 1)2 n(n 1)(n 2) f) 13 + 23 + 33 + + n3 = g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = 4 3 12 22 32 n2 n(n 1) h) 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2(2n 1) Bài 2: Chứng minh rằng với n ¥ * thì: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 c) n3 + 11n chia hết cho 6 d) 11n + 1 + 122n – 1 chia hết cho 133 e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 f) 13n – 1 chia hết cho 6 g) 3n3 + 15n chia hết cho 9 1 1 1 1 n Bài 3: Cho tổng Sn = . ĐS: Sn = 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1) 4n 1 a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp 1 1 1 1 n Bài 4: Cho tổng Sn = . ĐS: Sn = 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp 2
3. II. DÃY SỐ: * 1. Dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số), Ký hiệu: un = u(n) hoặc (un) với n ¥ Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, , un, Trong đĩ u1 là số hạng đầu; un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số 2. Dãy số hữu hạn: Hàm số u xác định trên tập M = 1,2,3,4, ,m với m ¥ * Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, , um. Trong đĩ: u1 là số hạng đầu; um là số hạng cuối 3. Cách cho một dãy số: a) Cho bằng cơng thức của số hạng tổng quát b) Cho bằng phương pháp mơ tả c) Cho bằng phương pháp truy hồi 4. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn: * a) Dãy số (un) gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un hoặc un + 1 – un > 0 với n ¥ * b) Dãy số (un) gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un hoặc un + 1 – un < 0 với n ¥ * c) Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  một số M: un M, n ¥ * d) Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  một số m: un m, n ¥ * e) Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nĩ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: m un M, n ¥ Bài tập mẫu: Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của dãy số cĩ số hạng tổng quát un cho bởi cơng thức: 3n ( 1)n 2n 1 3n n a) u b) u c) u n 4n ( 1)n 1 n n2 n 2n 2 8 13 2 5 7 9 11 Giải: a) 5 số hạng đầu là: ; 1; ; ; b) 5 số hạng đầu là: 3; ; ; ; 5 13 15 3 4 9 16 25 3 9 2 27 3 81 243 5 c) 5 số hạng đầu là: ; ; ; ; 2 4 8 8 32 u1 1 Bài 2: Cho dãy số với n 1 un 1 un 2n 1 2 a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = n (1) Giải: a) 5 số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25 2 b) + Khi n = 1, ta cĩ: u1 = 1 = 1 (1) đúng 2 + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk = k 2 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 = (k + 1) 2 2 Thật vậy: uk + 1 = uk + 2k + 1 = k + 2k + 1 = (k + 1) (1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng khi n ¥ * 2n 1 Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 2n 1 31 a) Tìm 6 số hạng đầu của dãy số b) Tìm xem là số hạng thứ mấy của dãy số 29 5 7 9 11 13 Giải: a) 6 số hạng đầu là: 3; ; ; ; ; 3 5 7 9 11 2n 1 31 31 b) Ta cĩ: 58n + 29 = 62n – 31 4n = 60 n = 15. Vậy: là số hạng thứ 15 2n 1 29 29 u 2 1 Bài 4: Cho dãy số (un) xác định như sau: 1 với n 1 u 2 n 1 un n 1 a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp un = (1) n c) Tìm số hạng thứ 101 của dãy số 3
4. 3 4 5 6 7 Giải: a) 6 số hạng đầu của dãy số là: 2; ; ; ; ; 2 3 4 5 6 1 1 b) + Khi n = 1: u1 = 2 (1) đúng 1 k 1 + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk = k (k 1) 1 k 2 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 = k 1 k 1 1 k k 2 * Thật vậy: uk + 1 = 2 – = 2 – = (1) đúng khi n = k + 1. Vậy: (1) đúng khi n ¥ uk k 1 k 1 101 1 102 c) Số hạng thứ 101 là: u101 = 101 101 * Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số (un) 1) Cách 1: + Lập hiệu H = un + 1 – un và xét dấu biểu thức này * * + Nếu H > 0,n ¥ thì dãy số (un) tăng + Nếu H 0, n ¥ ) un * * + Nếu T > 1,n ¥ thì dãy số (un) tăng + Nếu T 0 Suy ra: H > 0 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng * un 1 2(n 1) 1 2n 1 Cách 2: Vì un > 0, n ¥ : Xét tỷ số: T = un 2n 1 2n 1 2n 1 * Do > 1, n ¥ T > 1 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng 2n 1 n 1 n n 1 3n 2n 1 b) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = 3n 1 3n 32n 1 32n 1 2n + 1 * 2n 1 * Do – 2n + 1 0, n ¥ 0, n ¥ : Xét tỷ số: T = n 1 . un 3 n 3n n 1 * Do 0 và (2n + 1 + 1)(2n + 1) > 0, n ¥ * > 0 , n ¥ * (2n 1 1)(2n 1) H > 0 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng n 1 n 2n 1 n 1 n * un 1 2 1 2 1 2 2 2 1 Cách 2: Vì un > 0, n ¥ : Xét tỷ số: T = n 1 . n 2n 1 n 1 n un 2 1 2 1 2 2 2 1 4
5. 2n 1 n 1 n 2 2 2 1 * Do 1, n ¥ T > 1 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng 22n 1 2n 1 2n 1 n 1 1 n 2 d) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = n 1 2 n 3 * Do n + 2 > 0 và n + 3 > 0, n ¥ H > 0 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng 2 * un 1 n 1 1 n 2 (n 2)(n 2) n 4n 4 Cách 2: Vì un > 0, n ¥ : Xét tỷ số: T = . 2 un n 1 2 n 1 (n 3)(n 1) n 4n 3 2 n 4n 4 * Do > 1, n ¥ T > 1 un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng n2 4n 3 n n 1 2 3 4 e) u ( 1) . , ta cĩ: u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = n n 1 2 3 4 5 Nhận thấy: u1 u3; u3 0, n ¥ dãy số (un) bị chặn dưới n2 n 2 2n n 1 n 1 * Ta lại cĩ: un = 2 2, n ¥ (lấy tử chia cho mẫu) n2 n n2 n dãy số (un) bị chặn trên. Vậy: Dãy số (un) bị chặn 2n 1 * b) Ta cĩ: un 0, n ¥ dãy số (un) bị chặn dưới n2 2 2n 1 2n 1 2n 1 1 * Ta lại cĩ: un 2 2 , n ¥ dãy số (un) bị chặn trên. n2 2 n2 n n Vậy: Dãy số (un) bị chặn 3 2n 1 * c) Ta cĩ: u 0 , n ¥ dãy số (un) bị chặn dưới n n 1 3 2n 1 * Ta lại cĩ: Dãy (un) khơng cĩ số M nào mà u M , n ¥ n n 1 dãy số (un) khơng bị chặn trên. Vậy: Dãy số (un) khơng bị chặn n n ( 1) * d) Ta cĩ: u 0, n ¥ dãy số (un) bị chặn dưới n 2n 1 n n ( 1) n 1 1 1 1 1 2 * Ta lại cĩ: u , n ¥ dãy số (un) bị chặn trên n 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2 6 3 Vậy: Dãy số (un) bị chặn Bài tập tự luyện Bài 1: Viết năm số hạng đầu của dãy số cĩ số hạng tổng quát un cho bởi cơng thức: n n 2n 1 1 n a) un n b) un n c) un 1 d) un 2 1 2 1 n n2 1 u1 1 Bài 2: Cho dãy số (un), biết: với n 1 un 1 un 3 5
6. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 c) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số (596) d) Tìm xem 245 là số hạng thứ mấy của dãy số (83) 2n Bài 3: Cho dãy số (un) định bởi: u n n2 1 9 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Số là số hạng thứ mấy của dãy số (9) 41 n 1 Bài 4: Cho dãy số (un), biết: u n n(n 1) 12 3 a) Tìm số hạng thứ 25 của dãy số ( ) b) Số là số hạng thứ mấy của dãy số (7) 325 28 u1 1 Bài 5: Cho dãy số (un) xác định như sau: với n 2 un 2un 1 1 n a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 2 – 1 c) Tìm xem 1023 là số hạng thứ mấy của dãy số (10) u1 2 Bài 6: Cho dãy số (un), biết: với n 1 un 1 2un 1 n – 1 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh un = 2 + 1 bằng phương pháp quy nạp b) Tìm xem 257 là số hạng thứ mấy của dãy số (9) 5 u 1,u 1 2 2 Bài 7: Cho dãy số (un), biết: với n 3 1 u (3u u ) n 2 n 1 n 2 2n 1 3 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) CM bằng phương pháp quy nạp: u n 2n 1 Bài 8: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau: 2 2 2 n n 1 a) un = 2n – 5 (tăng) b) u (giảm) c) u (tăng) n n 1 n n2 1 n2 n 1 2n 1 d) u (giảm) e) u (giảm) n n2 1 n 2n n d) un 2n ( 1) (khơng tăng, khơng giảm) Bài 9: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:. 1 n 1 2n 1 a) u 2(giảm) b) u (tăng) c) u (giảm) n n n n 1 n 5n 2 3n n d) u ( 1)n (2n 1) (khơng tăng, khơng giảm) e) u (tăng) n n 2n Bài 10: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:. 1 – 2n n 2n 1 a) un = 10 (giảm) b) un = 3 – 7 (tăng) c) u (tăng) n n2 Bài 11: Xét tính bị chặn của dãy số (un) sau: 1 1 4n2 1 a) u ( 0 u ,n ¥ * ; bị chặn) b) u ( 0 u 1,n ¥ * ; bị chặn) n (n 2)2 n 9 n n3 4n n 2 n 1 * n 2 3 2 * c) un (un 2 , n ¥ ; bị chặn dưới) f) un (1 un ,n ¥ ; bị chặn) n n2 1 2 n 1 2n ( 1)n 1 d) u ( u 1 ,n ¥ * ; bị chặn) e) u ( u 1,n ¥ * ; bị chặn) n n 1 2 n n 2n 1 3 n 6
7. III. CẤP SỐ CỘNG * 1. Nếu (un) là CSC (un) cĩ cơng sai d thì un 1 un d với n ¥ Đặc biệt: Khi d = 0 thì CSC là một dãy số khơng đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau) 2. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2 trong đĩ u1 là số hạng đầu, d là cơng sai u u 3. Các số hạng của cấp số cộng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n n 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: a) S (u u ) b) S [2u (n 1)d] n 2 1 n n 2 1 Bài tập mẫu Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?. Tìm số hạng đầu và cơng sai của 5 3n n u1 1 nĩ ? (nếu cĩ) a) un 9 5n b) un c) un 2 1 d) 4 un 1 1 un Phương pháp: Xét hiệu H = un 1 un ; a) Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng b) Nếu H = f(n) thì dãy số khơng phải là cấp số cộng Giải: a) Xét hiệu: un + 1 – un = 9 – 5(n + 1) – (9 – 5n) = 9 – 5n – 5 – 9 + 5n = – 5 Vậy : Dãy số un = 9 – 5n là một cấp số cộng. Số hạng đầu là: u1 = 9 – 5 = 4 ; cơng sai là: d = – 5 5 3(n 1) 5 3n 5 3n 3 5 3n 3 b) Xét hiệu: un + 1 – un = 4 4 4 4 5 3n 1 3 Vậy: Dãy số u là một cấp số cộng. Số hạng đầu là: u1 = ; cơng sai là: d = n 4 2 4 n 1 n n 1 n c) Xét hiệu: un + 1 – un = 2 1 2 1 2 2 n Vậy: Dãy số un 2 1khơng phải là 1 cấp số cộng. d) Ta cĩ: u1 = 1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = 0, u1 1 Nhận thấy: u2 – u1 = –1 u3 – u2 = 1. Vậy: Dãy số khơng phải là 1 cấp số cộng un 1 1 un Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) cĩ số hạng tổng quát: un 7n 3 a) Tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC b) Tìm u2012 c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC Giải: a) Số hạng đầu: u1 = 4; cơng sai: d = 7 b) u2012 = 14081 n 100 c) S100 = [2u (n 1)d] [2.4 (100 1).7] 35050 2 1 2 d) Ta cĩ: 7n – 3 = 1208 n = 173. Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275 a) Tìm cơng thức số hạng tổng của cấp số cộng. b) Tìm u99 c) Số 1502 là số hạng thứ bao nhiêu ? d) Tìm n Giải: a) un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).3 = 2 + 3n b) * Cách 1: u99 = 5 + (99 – 1).3 = 299 * Cách 2: u99 = 2 + 3.99 = 299 c) * Cách 1: un = u1 + (n – 1)d 1502 = 5 + (n – 1).3 3n = 1500 n = 500 * Cách 2: un = 2 + 3n 1502 = 2 + 3n 3n = 1500 n = 500 n n 2 d) Ta cĩ : Sn = [2u (n 1)d] 34275 = [2.5 (n 1).3] 68550 = 10n + 3n – 3n 2 1 2 n 150 3n2 + 7n – 68550 = 0 457 . Vậy: n = 150 n (loại) 3 Bài 4: Cho cấp số cộng (un) cĩ u20 = – 52 và u51 = – 145. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đĩ. Giải: Ta cĩ: u20 = u1 + 19d; u51 = u1 + 50d 7
8. u1 19d 52 u1 5 Khi đĩ, ta cĩ hệ: u1 50d 145 d 3 Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).( –3) = 8 – 3n Bài 5: Cho cấp số cộng (un) cĩ u18 – u3 = 75. Tìm cơng sai d Giải: Áp dụng cơng thức: um = uk + (m – k)d Khi đĩ : u18 = u3 + (18 – 3).d u18 – u3 = 15d 15d = 75 d = 5 Bài 6: Cho cấp số cộng (un) cĩ u4 + u12 = 90. Tìm S15 Giải: Ta cĩ: u4 + u12 = u1 + 3d + u1 + 11d = 2u1 + 14d = 90 15 15 Suy ra : S15 = (2u 14d) .90 675 2 1 2 Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng (un), biết: u u 18 u u 15 u 8 a) 1 6 b) 9 4 c) 6 2 2 u3 u7 22 u3.u8 184 u2 u4 16 17 u 1 u1 u6 18 u1 u1 5d 18 2u1 5d 18 3 Giải: a) u u 22 u 2d u 6d 22 2u 8d 22 4 3 7 1 1 1 d 3 u9 u4 15 u1 8d u1 3d 15 5d 15 b) u3.u8 184 (u1 2d)(u1 7d) 184 (u1 2d)(u1 7d) 184 d 3 d 3 d 3 2 (u1 6)(u1 21) 184 u1 27u1 58 0 u1 2; u1 29 u 8 u 5d 8 u 8 5d c) 6 1 1 2 2 2 2 2 2 u2 u4 16 (u1 d) (u1 3d) 16 (8 4d) (8 2d) 16 u1 6 u1 8 5d u1 2 hoặc 2 14 20d 96d 112 0 d 2 d 5 Bài tập tự luyện Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?. Tìm số hạng đầu và cơng sai của nĩ ? (nếu cĩ) n n 7 3n a) un = 5 – 2n (CSC) b) un = 1(CSC) c) un = 3 (khơng là CSC) d) un = (CSC) 2 2 Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) cĩ số hạng tổng quát: un 5 4n a) Tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC (u1 = 1; d = – 4) b) Tìm u2013 (–8047) c) Tính tổng 200 số hạng đầu (–79400) d) Số – 8019 là số hạng thứ mấy của CSC (2006) Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = –7 ; d = 2 và Sn = 7040 a) Tìm cơng thức số hạng tổng của cấp số cộng (un = 2n – 9) b) Tìm u1973 (3937) c) Số 4013 là số hạng thứ bao nhiêu ? (2011) d) Tìm n (88) Bài 4: Cho cấp số cộng (un) cĩ u30 = 83 và u80 = 233. Tìm số hạng tổng quát của CSC đĩ. (3n – 7) Bài 5: Cho cấp số cộng (un) cĩ u20 – u5 = – 15. Tìm cơng sai d (d = –1) Bài 6: Cho cấp số cộng (un) cĩ u2 + u22 = 60. Tìm S23 (690) Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng (un), biết: u u u 10 u u 8 u u 50 u 8 a) 1 3 5 b) 7 3 c) 7 15 d) 7 2 2 u1 u6 17 u2 .u7 75 u4 u12 1170 u13 23 u1 16 u1 3 u1 17 u1 21/ 5 u1 0 u1 7 ĐS: a) b) ; c) ; d) d 3 d 2 d 2 d 3 d 3 d 5/ 2 8
9. IV. CẤP SỐ NHÂN * 1. Nếu (un) là cấp số nhân với cơng bội q, ta cĩ: un + 1 = un.q với n ¥ Đặc biệt: a) Khi q = 0: CSN cĩ dạng: u1, 0, 0, , 0, b) Khi q = 1: CSN cĩ dạng: u1, u1, u1, , u1, c) Khi u1 = 0 thì cơng bội q: CSN cĩ dạng: 0, 0, 0, , 0, n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 , trong đĩ u1 là số hạng đầu và q là cơng bội 2 3. Các số hạng của cấp số nhân: uk uk 1.uk 1 với k 2 hay uk uk 1.uk 1 n u1(1 q ) 4. Tổng n số hạng đầu của CSN: S với q 1. Đặc biệt : Nếu q = 1 thì Sn = n.u1 n 1 q Bài tập mẫu 1 Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = . a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát 2 3 b) Tìm u12 c) Hỏi là số hạng thứ mấy? 256 n 1 11 n – 1 1 1 3 Giải: a) Ta cĩ: un = u1.q = 3. b) u12 = 3. = 2 2 2048 n 1 n 1 n 1 8 3 1 1 1 1 1 c) Ta cĩ: = 3. = = n – 1 = 8 n = 9 256 2 2 256 2 2 3 Vậy: Số là số hạng thứ chín 256 Bài 2: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18. a) Tìm cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên 2 2 2 Giải: a) Ta cĩ: u3 = 18 u1.q = 18 2.q = 18 q = 9 q 3 2(1 310 ) 2[1 ( 3)10 ] b) * Với q = 3: S10 = 59048 ; * Với q = –3: S10 = 29524 1 3 1 ( 3) 2n + 1 Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 2 a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và cơng bội q b) Tính S14 c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân 2(n 1) 1 2n 3 un 1 2 2 2n 3 2n 1 2 Giải: a) Xét tỷ số: 2n 1 2n 1 2 2 4 un 2 2 2n + 1 3 Vậy: Dãy số (un) với un = 2 là cấp số nhân. Số hạng đầu: u1 = 2 = 8 và cơng bội q = 4 8(1 46 ) b) Ta cĩ: S6 = 10920 1 4 2n + 1 2n + 1 11 2n + 1 c) Ta cĩ: un = 2 2048 = 2 2 = 2 2n + 1 = 11 n = 5 Vậy: Số 2048 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân u1 u5 51 Bài 4: Cho cấp số nhân (un) cĩ . a) Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân u2 u6 102 b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 3069 ? c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ? 4 4 u1 u5 51 u1 u1q 51 u1(1 q ) 51 (1) Giải: a) u u 102 5 4 2 6 u1q u1q 102 u1(1 q )q 102 (2) Thay (1) va (2), ta được: 51.q = 102 q = 2. Suy ra: u1.17 = 51 u1 = 3 n 3.(1 2 ) n n n 10 b) Ta cĩ: Sn = 3069 1 – 2 = – 1023 2 = 1024 2 = 2 n = 10 1 2 Vậy: Tổng của 10 số hạng đầu sẽ bằng 3069 n – 1 n – 1 n – 1 n – 1 12 c) Ta cĩ: un = u1.q 12288 = 3.2 2 = 4096 2 = 2 n – 1 = 12 n = 13 Vậy: Số 12288 là số hạng thứ 13 9
10. Bài 5: Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết: 32 u 5 9 u4 u2 72 u4 u2 270 a) b) c) 64 u u 144 u u 810 u 5 3 3 5 6 27 32 32 u u q4 (1) 5 9 1 9 32 64 2 Giải: a) Thay (1) vào (2), ta được: .q q = 64 64 9 27 3 u u q4 .q (2) 6 27 1 27 4 2 32 Suy ra: u1. = u1 = 18 3 9 3 2 u4 u2 72 u1.q u1q 72 u1.q(q 1)) 72 (1) b) u u 144 4 2 2 5 3 u1.q u1q 144 u1.q.q(q 1) 144 (2) Thay (1) vào (2), ta được: 72q = 144 q = 2. Suy ra: u1.2.3 = 72 u1 = 12 3 2 u4 u2 270 u1q u1q 270 u1q(q 1) 270 (1) c) u u 810 2 4 2 3 5 u1q u1q 810 u1q.q(1 q ) 810 (2) Thay (1) va (2), ta được: 270q = 810 q = 3. Suy ra: u1.3.10 = 270 9 Bài tập tự luyện Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ?. Tìm số hạng đầu và cơng bội của 2n 1 n 3n 1 nĩ ? (nếu cĩ). a) un = ( 5) (CSN) b) un = ( 1) .3 (CSN) 1 Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = ; q = 3. 3 1 n – 1 a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát ( u ( ).3 ) b) Tìm u9 (–2187) n 3 c) Hỏi –59049 là số hạng thứ mấy? (n = 12) 3 Bài 3: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = -3, u6 = 32 1 3069 a) Tìm cơng bội ( ) b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên ( ) 2 512 2n 1 n 3 Bài 4: Cho dãy số (un) với un = ( 2) . 2 9 a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và cơng bội q (u1 = –3 ; q = ) 2 16113 2187 b) Tính S5 ( ) c) Hỏi số là số hạng thứ mấy của cấp số nhân (n = 4) 16 8 u2 u5 156 Bài 5: Cho cấp số nhân (un) cĩ . u3 u6 468 a) Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân (u1 = 2; q = –3) b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng – 29524 ? (10) c) Số 1458 là số hạng thứ mấy ? (7) Bài 6: Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết: u5 96 u7 u4 702 u4 u6 540 u4 u2 25 a) b) c) d) u7 384 u6 u3 234 u2 u4 60 u3 u1 50 200 1 ĐS: a) u1 = 6; q = 2 b) u1 = -1; q = 3 c) u 2 ; q = 3 d) u1 = ; q = 1 3 2 10