Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 4 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 4 - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: 1. Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn: a) lim(un + vn) = limun + limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn un lim un c) lim(un.vn) = limun.limvn d) lim (nếu limvn 0) vn lim vn e) Nếu un 0 , n và limun = a thì a 0 và lim un a f) limkun = klimun 1 1 Đặc biệt: a) lim 0 b) lim 0 với k nguyên dương n nk n c) Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un lim c c d) limq = 0 nếu q 1 un * Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) là: S u u u u với q 1 1 2 3 n 1 q * Giới hạn vô cực: un a) Nếu limun = a và limvn = thì lim 0 vn un b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0, n thì lim vn c) Nếu limun = và limvn = a > 0 thì limun.vn = Đặc biệt: a) limnk = với k nguyên dương b) limqn = nếu q >1 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Tính các giới hạn sau: 4n 1 3n2 n 5 2n 5n3 3 a) lim b) lim c) lim 2n 7 2n2 1 3n3 n2 1 1 n(4 ) 4 4n 1 4 Giải: a) lim lim n lim n 2 7 7 2n 7 n(2 ) 2 2 n n 2 1 5 1 5 2 n (3 ) 3 3n n 5 2 2 3 b) lim lim n n lim n n 2 1 1 2n 1 n2 ( 2 ) 2 2 n2 n2 3 2 3 2 3 3 n ( 5 ) 5 2n 5n 3 2 3 2 3 5 c) lim lim n n lim n n 3 2 1 1 3n n n3 (3 ) 3 3 n n Bài 2: Tính các giới hạn sau: (2 3n)3 (n 1)2 n(2n 1)(3n 2) 4n5 n2 1 a) lim b) lim c) lim 1 4n5 (7 2n)3 (2n 1)(3 n)2 (n2 2) 3 3 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 n (2 ) n (1 ) (2 ) (1 ) 3 2 (2 3n) (n 1) 2 .1 Giải: a) lim lim n n lim n n 2 5 1 1 1 4n n5 ( 4) 4 4 n5 n5 1 1 1 1 n.n(2 ).n(3 ) (2 ).(3 ) n(2n 1)(3n 2) 2.3 3 b) lim lim n n lim n n 3 7 7 3 (7 2n) n3 ( 2)3 ( 2)3 ( 2) 4 n3 n3 1
2. 5 1 1 1 1 5 2 n (4 ) 4 4n n 1 3 5 3 5 4 c) lim lim n n lim n n 2 2 2 1 3 2 1 3 2 2 (2n 1)(3 n) (n 2) n(2 )n2 ( 1)2 n2 (1 ) (2 ).( 1)2 .(1 ) 2.( 1) .1 n n2 n2 n n2 n2 Bài 3: Tính các giới hạn sau: 2n2 2 n 8 9n2 n 1 1 4n2 a) lim b) lim c) lim n2 3 n 7 3 8n3 2 1 2n 1 8 1 8 n2 (2 2 ) 2 2 2n2 2 n 8 3 2 3 2 2 Giải: a) lim lim n n lim n n 2 n2 3 n 7 1 7 1 7 1 n2 ( 1 3 ) 1 3 n3 n2 n3 n2 1 1 1 1 n 9 9 9n2 n 1 2 2 9 3 b) lim lim n n lim n n 3 8n3 2 2 2 3 8 2 n 3 8 3 8 n3 n3 1 1 n 4 4 1 4n2 4 2 c) lim lim n lim n 1 1 1 1 2n n( 2) 2 2 2 n n Bài 4: Tính các giới hạn sau: 2n 5 4n 3 3n 4n 5n ( 2)n 3n a) lim b) lim c) lim d) lim n.3n 3.4n 1 3n 4n 5n ( 2)n 1 3n 1 5 5 n(2 ) 2 n 2n 5 n n 5 1 5 1 Giải: a) lim n lim n lim n lim[(2 ). n ] lim[(2 ). ] 2.0 0 n.3 n.3 3 n 3 n 3 n n 3 3 1 n 4 (1 ) 1 1 3. 4 3 n n 4 1 b) lim lim 4 lim 4 lim n 1 1 n 3.4 1 4n (3 ) 3 1 3 n n 3 4 4 4 n n n n n n n 3 4 3 4 3 4 n n n 5 ( 1) 1 1 3 4 5 n n n n 5 5 1 c) lim lim 5 5 lim 5 5 lim 1 3n 4n 5n 3n 4n 3n 4n n n 1 5n ( 1) 1 3 4 n n n n 1 5 5 5 5 5 5 n n n ( 2) 2 n n 3 [ 1] 1 ( 2) 3 n 1 3 1 1 1 d) lim lim 3 lim . . ( 2)n 1 3n 1 ( 2)n 1 3 n 1 3 1 3 3n 1[ 1] 2 n 1 1 3 3 Bài 5: Tính các giới hạn sau: a) lim( n 2 2n n 2) b) lim( n 2 n n 2 2) c) lim( 3 n3 n 2 n) [ n2 2n (n 2)][ n2 2n (n 2)] Giải: a) lim( n2 2n n 2) lim[ n2 2n (n 2)] lim n2 2n (n 2) 4 4 2 2 n(6 ) 6 n 2n (n 2) 6n 4 6 = lim lim lim n lim n 3 2 2 2 2 2 2 1 1 n 2n n 2 n 2n n 2 n( 1 1 ) 1 1 n n n n 2
3. ( n 2 n n 2 2)( n 2 n n 2 2) (n 2 n) (n 2 2) b) lim( n 2 n n 2 2) lim lim n 2 n n 2 2 n 2 n n 2 2 2 2 n(1 ) 1 n 2 1 1 = lim lim n lim n n 2 n n 2 2 1 2 1 2 1 1 2 n( 1 1 ) 1 1 n n 2 n n 2 ( 3 n3 n 2 n)( 3 (n3 n 2 )2 n 3 n3 n 2 n 2 ) c) lim( 3 n3 n 2 n) lim 3 (n3 n 2 )2 n 3 n3 n 2 n 2 n3 n 2 n3 n 2 = lim lim 3 (n3 n 2 )2 n 3 n3 n 2 n 2 3 (n3 n 2 )2 n 3 n3 n 2 n 2 n 2 1 1 1 = lim lim 3 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 n 3 (1 ) n 3 1 n 3 (1 ) 3 1 1 n n n n Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của: a) A B nhân với lượng liên hợp là: A  B . Khi đó: ( A B )( A  B ) = A – B2 b) A B nhân với lượng liên hợp là: A  B . Khi đó: ( A B )( A  B ) = A2 – B c) b) A B nhân với lượng liên hợp là: A  B . Khi đó: ( A B )( A  B ) = A – B d) 3 A B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2  B 3 A B2 Khi đó: ( 3 A B )( 3 A2  B 3 A B2 ) = A B3 e) A 3 B nhân với lượng liên hợp là: A2  A 3 B 3 B2 Khi đó: ( A 3 B )( A2  A 3 B 3 B2 ) = A3 B f) 3 A 3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2  3 AB 3 B2 Khi đó: ( 3 A 3 B )( 3 A2  3 AB 3 B2 ) = A B Bài 6: Tính các giới hạn sau: 1 n2 1 n 1 4n2 1 2n 1 a) lim b) lim c) lim n 2 n 1 3n 2 n2 4n 1 n 1 n 2 n 1 Giải: a) lim lim n 2 n 1 ( n 2 n 1)( n 2 n 1) n 2 n 1 = lim lim( n 2 n 1) n 2 n 1 n2 1 n 1 ( n2 1 n 1)( n2 1 n 1) n2 1 n 1 b) lim lim lim 3n 2 (3n 2)( n2 1 n 1) (3n 2)( n2 1 n 1) 2 1 2 n (1 ) n n 1 1 = lim lim n 2 2 1 1 1 3.1 3 (3n 2)( n 1 n 1) n(3 )n( 1 ) n n2 n n2 4n2 1 2n 1 [ 4n2 1 (2n 1)]( 4n2 1 2n 1)( n2 4n 1 n) c) lim lim n2 4n 1 n ( n2 4n 1 n)( n2 4n 1 n)( 4n2 1 2n 1) [4n2 1 (2n 1)2 ]( n2 4n 1 n) 4n( n2 4n 1 n) = lim lim (n2 4n 1 n2 )( 4n2 1 2n 1) (4n 1)( 4n2 1 2n 1) 3
4. 4 1 4 1 4n2 ( 1 1) 4( 1 1) 2 2 4.2 1 = lim n n lim n n 1 1 1 1 1 1 4.4 2 n(4 )n( 4 2 ) (4 )( 4 2 ) n n n n n n Bài 7: Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 2n2 3n 5) b) lim( 3n4 2n3 1) c) lim( n2 n n 1) 2 3 5 Giải: a) lim(n3 2n2 3n 5) lim n3 (1 ) n n2 n3 2 1 b) lim( 3n4 2n3 1) lim n4 ( 3 ) n n4 1 1 c) lim( n2 n n 1) lim n2 ( 1 ) n n2 Bài 8: Tính các giới hạn sau: 3n2 2n 1 n3 4n 2 3n5 n2 5n 7 a) lim b) lim c) lim 2n3 5 2n2 5 4n3 6n 2 3 3 2 1 3 2 1 2 n ( ) 3n 2n 1 2 3 2 3 0 Giải: a) lim lim n n n lim n n n 0 3 5 5 2n 5 n3 (2 ) 2 2 n3 n3 3 4 2 4 2 3 n (1 ) 1 n 4n 2 2 3 2 3 b) lim lim n n lim n n 2 2 5 2 5 2n 5 n3 ( ) n n3 n n3 5 1 5 7 1 5 7 5 2 n (3 ) 3 3n n 5n 7 3 4 5 3 4 5 c) lim lim n n n lim n n n 3 4 6 2 4 6 2 4n 6n 2 n5 ( ) n2 n4 n5 n2 n4 n5 Bài 9: Tính tổng: 1 1 1 1 a) S = b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – 1 + 2 22 23 2n 1 1 1 1 1 1 1 Giải: a) Ta có: u = , q = . Vậy: S = 2 1 1 2 3 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2 9 2 3 n 1 9 9 9 9 b) Ta có: S = 1 + = 1 + 10 = 1 + 9 = 10 9 10 10 10 10 1 10 Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết: a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111 7 7 7 7 7 Giải: a) 0,7777 = = 10 2 3 7 10 10 10 1 9 10 21 21 21 21 7 172 b) 5, 212121 = 5 = 5 100 5 2 3 1 100 100 100 1 33 33 100 4
5. 1 32 1 1 32 289 c) 0,32111 = = 1000 3 4 1 100 10 10 100 1 900 10 3. Bài tập tự luyện Bài 1: Tính các giới hạn sau: 6n 1 3n2 n 5 3 n2 4n 5 3n3 2n2 n a) lim (2) b) lim ( ) c) lim (0) d) lim (3) 3n 2 2n2 1 2 3n3 n2 7 n3 4 2n 1 2n2 n 3 2 n4 1 1 e) lim (0) f) lim ( ) g) lim ( ) n3 4n2 3 3n2 2n 1 3 2n4 n 1 2 Bài 2: Tính các giới hạn sau: n4 (3 5n)2 (n 2)2 2n(3 n2 ) 1 a) lim (1) b) lim (10) c) lim ( ) (n 1)(2 n)(n2 1) 1 7n2 10n4 (1 n)( 2n 5)2 2 Bài 3: Tính các giới hạn sau: n4 2n 3 1 n n 2 3 n6 7n3 5n 8 a) lim ( ) b) lim (0) c) lim (1) 2n2 3 2 n2 n 2n 1 n 12 Bài 4: Tính các giới hạn sau: 2 5n 3n 2.5n 2 4.3n 7n 1 a) lim (0) b) lim ( ) c) lim (7) 3n.4n 7 3.5n 3 2.5n 7n 2n 5n 1 4n 1 6n 2 1 2.3n 6n 1 d) lim (-5) e) lim (0) f) lim ( ) 1 5n 5n 8n 2n (3n 1 5) 3 Bài 5: Tính các giới hạn sau: 1 1 a) lim( n2 n n) ( ) b) lim( n2 n n) ( ) c) lim( n2 n 3 n) ( ) 2 2 3 d) lim( 3 n n3 n 2) (2) e) lim( 4n2 3n 1 2n) ( ) 4 2 f) lim n 5( 2n 3 2n 1) ( 2 ) g) lim( 3 n3 2n2 1 n) ( ) 3 Bài 6: Tính các giới hạn sau: 1 2n2 1 n2 1 n2 4n 4n2 1 1 a) lim (1) b)lim ( 2 1) c) lim ( ) n 1 n2 2 n 1 9n2 1 n 2 4n2 3 2n 1 n( 3 4 n3 n) 16 d) lim (1) e) lim ( ) n2 2n n 4n2 1 2n 3 Bài 7: Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 2n2 n 1) ( ) b) lim( n2 5n 2) ( ) c) lim(n4 3n3 n 2) ( ) Bài 8: Tính các giới hạn sau: 3 3 2 2 2 3n 5n 1 3n n 1 a) lim n ( ) b) lim 2 ( ) c) lim 2 ( ) n 1 n 4 2n n Bài 9: Tính tổng: 1 1 1 1 3 1 1 ( 1)n 10 a) S = 1 ĐS: b) S = -1 + ĐS: 3 32 33 3n 2 10 102 10n 1 11 7 c) S = 2 + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS: 3 Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết: 721 1 101 a) 7, 282828 ĐS: b) 0,3333 ĐS: c) 1,020202 ĐS: 99 3 99 5
6. II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: 1. Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn tại 1 điểm: a) lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) b) lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 f (x) lim f (x) c) lim[f (x).g(x)] lim f (x). lim g(x) d) lim x x0 với lim g(x) 0 x x0 x x0 x x0 x x0 g(x) lim g(x) x x0 x x0 e) Nếu f(x) 0 : lim f (x) lim f (x) f) lim f (x) lim f (x) x x0 x x0 x x0 x x0 * Giới hạn một bên: lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 x x0 * Giới hạn hữu hạn tại vô cực: (cách giải tương tự như dãy số) * Giới hạn vô cực: a) lim f (x) b) lim [ f (x)] x x * Đặc biệt: a) lim xk với k nguyên dương x b) lim xk nếu k là số lẻ c) lim xk nếu k là số chẵn x x Chú ý: a) lim x x0 b) lim c c , c là hằng số x x0 x x0 c c) lim c c , c là hằng số d) lim 0 x x xk * Quy tắc tìm giới hạn: f (x) lim f (x) L lim g(x) lim[f (x).g(x)] lim f (x) L lim g(x) Dấu của lim x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 g(x) x x0 g(x) L Tùy ý 0 L > 0 + L > 0 – L < 0 0 + L < 0 – 2. Bài tập mẫu: 2x2 3 Bài 1: Cho các hàm số: a) f(x) = . Tìm limf (x) 3 x x 3 3x 1 b) f(x) = 5x3 – 2x + 7. Tìm lim f (x) c) f(x) = . Tìm lim f (x) x 2 x2 x 3 x 3 2x2 3 2.32 3 5 3 Giải: a) limf (x) lim x 3 x 3 3 x 3 3 3 b) lim f (x) lim (5x3 2x 7) 5( 2)3 2( 2) 7 29 x 2 x 2 3x 1 3( 3) 1 8 c) lim f (x) lim x 3 x 3 x2 x 3 ( 3)2 ( 3) 3 15 Bài 2: Tính các giới hạn sau: 2x(x 3) 2x2 x 1 a) lim b) lim c) lim(3x2 2 x 5) 2 1 x 2 x 1 x 2x 3 x 4 2 2x(x 3) 4 2x2 x 1 Giải: a) lim b) lim 1 c) lim(3x2 2 x 5) 49 2 1 x 2 x 1 5 x 2x 3 x 4 2 0 Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) 0 x2 x 2 x2 x 6 x3 x2 x 1 8 x3 a) lim b) lim c) lim d) lim x 1 x 1 x 2 x2 4 x 1 x2 3x 2 x 2 x2 3x 2 6
7. x2 x 2 (x 1)(x 2) Giải: a) lim lim lim(x 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x 6 (x 2)(x 3) x 3 5 b) lim lim lim x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4 x3 x2 x 1 (x 1)(x2 1) x2 1 0 c) lim lim lim 0 x 1 x2 3x 2 x 1 (x 1)(x 2) x 1 x 2 1 8 x3 (2 x)(4 2x x2 ) 4 2x x2 d) lim lim lim 12 x 2 x2 3x 2 x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1 0 Bài 4: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) 0 1 1 1 1 3 a) lim b) lim 1 3 x 2x 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 2 1 1 1 x x 1 2x 1 1 Giải: a) lim lim lim lim 4 1 1 1 1 x 2x 1 x 1 x x (2x 1)x(x 1) x (2x 1)x(x 1) x x(x 1) 2 2 2 2 1 3 1 x x2 3 x2 x 2 (x 1)(x 2) b) lim 3 lim 3 lim 3 lim 2 x 1 1 x 1 x x 1 1 x x 1 1 x x 1 (1 x)(1 x x ) x 2 = lim 1 x 1 1 x x2 0 Bài 5: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) 0 2 4 x 2x 2 3x 1 x 3 2x a) lim b) lim c) lim x 0 x x 1 x 1 x 3 x2 3x x 2 2 3x 2 4x2 x 2 d) lim e) lim x 2 x 7 3 x 1 x2 3x 2 2 4 x (2 4 x)(2 4 x) 4 4 x 1 1 Giải: a) lim lim lim lim x 0 x x 0 x(2 4 x) x 0 x(2 4 x) x 0 2 4 x 4 2x 2 3x 1 ( 2x 2 3x 1)( 2x 2 3x 1) b) lim lim x 1 x 1 x 1 (x 1)( 2x 2 3x 1) 2x 2 3x 1 x 1 1 1 = lim lim lim x 1 (x 1)( 2x 2 3x 1) x 1 (x 1)( 2x 2 3x 1) x 1 2x 2 3x 1 4 x 3 2x (x 3 2x)(x 3 2x) x2 3 2x c) lim lim lim x 3 x2 3x x 3 (x2 3x)(x 3 2x) x 3 (x2 3x)(x 3 2x) (x 1)(x 3) x 1 2 = lim lim x 3 x(x 3)(x 3 2x) x 3 x(x 3 2x) 9 3x 2 4x2 x 2 (3x 2 4x2 x 2)(3x 2 4x2 x 2) d) lim 2 lim x 1 x 3x 2 x 1 (x2 3x 2)(3x 2 4x2 x 2) (3x 2)2 (4x2 x 2) 9x2 12x 4 4x2 x 2 = lim lim x 1 (x2 3x 2)(3x 2 4x2 x 2) x 1 (x2 3x 2)(3x 2 4x2 x 2) 6 2 5(x 1)(x ) 5x 11x 6 = lim lim 5 x 1 (x2 3x 2)(3x 2 4x2 x 2) x 1 (x 1)(x 2)(3x 2 4x2 x 2) 7
8. 6 5(x ) 1 = lim 5 x 1 (x 2)(3x 2 4x2 x 2) 2 0 1 x 3 1 x 3 8x 11 x 7 Bài 6: Tính các giới hạn sau: (Dạng ): a) lim b) lim 0 x 0 x x 2 2x2 5x 2 1 x 3 1 x ( 1 x 1) ( 3 1 x 1) 1 x 1 3 1 x 1 Giải: a) lim lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x 1 x 1 ( 1 x 1)( 1 x 1) 1 x 1 1 1 * lim lim lim lim x 0 x x 0 x( 1 x 1) x 0 x( 1 x 1) x 0 1 x 1 2 3 1 x 1 ( 3 1 x 1)[ 3 (1 x)2 3 1 x 1] 1 x 1 * lim lim lim x 0 x x 0 x[ 3 (1 x)2 3 1 x 1] x 0 x[ 3 (1 x)2 3 1 x 1] 1 1 1 x 3 1 x 1 1 1 = lim . Vậy: lim x 0 3 (1 x)2 3 1 x 1 3 x 0 x 2 3 6 3 8x 11 x 7 ( 3 8x 11 3) ( x 7 3) 3 8x 11 3 x 7 3 b) lim lim lim lim x 2 2x2 5x 2 x 2 2x2 5x 2 x 2 2x2 5x 2 x 2 2x2 5x 2 3 8x 11 3 ( 3 8x 11 3)[ 3 (8x 11)2 33 8x 11 9] * lim 2 lim x 2 2x 5x 2 x 2 (2x2 5x 2)[ 3 (8x 11)2 33 8x 11 9] 8x 11 27 8(x 2) = lim lim x 2 2 3 2 3 x 2 1 (2x 5x 2)[ (8x 11) 3 8x 11 9] 2(x 2)(x )[ 3 (8x 11)2 33 8x 11 9] 2 4 8 = lim x 2 1 (x )[ 3 (8x 11)2 33 8x 11 9] 81 2 x 7 3 ( x 7 3)( x 7 3) x 7 9 * lim lim lim x 2 2x2 5x 2 x 2 (2x2 5x 2)( x 7 3) x 2 (2x2 5x 2)( x 7 3) x 2 1 1 = lim lim x 2 1 x 2 1 2(x 2)(x )( x 7 3) 2(x )( x 7 3) 18 2 2 3 8x 11 x 7 8 1 7 Vậy: lim x 2 2x2 5x 2 81 18 162 Bài 7: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) 2x2 x 1 x3 2x 4 7 3x x2 a) lim b) lim c) lim x 5 x2 x 3x3 x2 5 x 3x3 2x 1 2 1 1 1 1 2 x (2 ) 2 2x x 1 2 2 Giải: a) lim lim x x lim x x 2 x 2 x 5 x 5 5 x x2 ( 1) 1 x2 x2 3 2 4 2 4 3 x (1 ) 1 x 2x 4 2 3 2 3 1 b) lim lim x x lim x x x 3 2 x 1 5 x 1 5 3x x 5 x3 (3 ) 3 3 x x3 x x3 8
9. 3 7 3 1 7 3 1 2 x ( ) 7 3x x 3 2 3 2 0 c) lim lim x x x lim x x x 0 x 3 x 2 1 x 2 1 3x 2x 1 x3 (3 ) 3 3 x2 x3 x2 x3 Bài 8: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) x2 2x 15 2x 3 x x 1 x2 2x 3x a) lim b) lim c) lim 2 d) lim x x 5 x x2 1 x x x x 1 x 4x2 1 x 2 2 15 2 15 x 1 1 x2 2x 15 2 2 1 Giải: a) lim lim x x lim x x 1 x x 5 x 5 x 5 x(1 ) 1 1 x x 3 3 x(1 ) 1 2x 3 1 1 b) lim lim x lim x x 2 x 1 x 1 (1 1) 2 x 1 x x( 1 1) ( 1 1) x2 x2 1 1 1 1 x2 ( ) x x 1 0 c) lim lim x x lim x x 0 x 2 x 1 1 x 1 1 x x 1 x2 (1 ) 1 1 x x2 x x2 2 2 x( 1 3) 1 3 x2 2x 3x 1 d) lim lim x lim x 1 x 2 x 1 2 x 1 2 2 1 4x 1 x 2 x( 4 1 ) 4 1 x x x x Bài 9: Tính các giới hạn sau: (Dạng ) a) lim (3x x2 x 1) b) lim (2x 3 4x2 4x 3) c) lim (2x 3 4x2 4x 3) x x x (3x x2 x 1)(3x x2 x 1) Giải: a) lim (3x x2 x 1) lim x x 3x x2 x 1 2 1 1 1 1 2 2 2 x (8 ) 8 9x x x 1 8x x 1 2 2 = lim lim lim x x lim x x x 2 x 2 x 3 1 1 1 x 3 1 1 1 3x x x 1 3x x x 1 x2 ( ) x x2 x3 x4 x x2 x3 x4 3 4 3 b) lim (2x 3 4x2 4x 3) lim [x(2 4 )] x x x x x2 (2x 3 4x2 4x 3)(2x 3 4x2 4x 3) c) lim (2x 3 4x2 4x 3) lim x x 2x 3 4x2 4x 3 12 2 2 x( 8 ) (2x 3) 4x 4x 3 8x 12 = lim lim lim x x 2 x 2 x 3 4 3 2x 3 4x 4x 3 2x 3 4x 4x 3 x(2 4 ) x x x2 12 8 8 = lim x 2 x 3 4 3 2 2 2 4 x x x2 9
10. Bài 10: Tính các giới hạn sau: a) lim (2x3 5x2 3x 1) b) lim ( x4 5x2 1) c) lim ( 3x2 2x 5) x x x 5 3 1 Giải: a) lim (2x3 5x2 3x 1) lim x3 (2 ) x x x x2 x3 5 1 b) lim ( x4 5x2 1) lim x2 ( 1 ) x x x2 x4 2 5 c) lim ( 3x2 2x 5) lim ( x 3 ) x x x x2 Bài 11: Tính các giới hạn sau: 2x3 5x 3 x5 32 x 5x5 4x6 a) lim b) lim c) lim x 4x2 4 x x4 16 x (1 x)2 3 5 3 5 3 3 x (2 ) 2 2x 5x 3 2 3 2 3 Giải: a) lim lim x x lim x x x 2 x 4 4 x 4 4 4x 4 x3 ( ) x x3 x x3 5 32 32 5 x (1 ) 1 x 32 5 5 b) lim lim x lim x x 4 x 16 1 x 16 1 16 x x5 ( ) x5 x x5 x 6 1 5 1 5 5 6 x ( 4) 4 x 5x 4x 5 5 c) lim lim x x lim x x x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 (1 x) x6 ( ) x6 x5 x4 x6 x5 x4 Bài 12: Tính các giới hạn sau: 5x 7 2x 1 x2 2x 3 5 7x a) lim b) lim c) lim d) lim 1 2 3x 2 x 1 5 5x x ( 3) x 3 x ( ) 2x 1 x 3 2 5x 7 Giải: a) lim 2 3x 2 x 3 2 11 2 (Vì lim (5x 7) 5. 7 0 , lim (3x 2) 0và x 3x 2 0) 2 3 3 2 3 x x 3 3 2x 1 b) lim x 1 5 5x (Vì lim(2x 1) 2.1 1 3 0, lim(5 5x) 0 và x 1 5x 5 5 5x 0 ) x 1 x 1 x2 2x 3 c) lim x ( 3) x 3 (Vì lim (x2 2x 3) 9 6 3 18 0, lim (x 3) 0và x 3 x 3 0 ) x ( 3) x ( 3) 5 7x d) lim 1 x ( ) 2x 1 2 7 17 1 (Vì lim (5 7x) 5 0, lim (2x 1) 0và x 2x 1 0) 1 1 x ( ) 2 2 x ( ) 2 2 2 10
11. 3. Bài tập tự luyện 2x2 3 x 5 2x2 3 x 5 79 Bài 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm lim . ĐS: 5x 1 x 9 5x 1 23 Bài 2: Tính các giới hạn sau: 3x x2 2x 1 4x( x 7) 9 142 a) lim (-3) b) lim ( ) c) lim (7x 3 2x3 ) ( ) 2 2 1 x 2 5 2x x 2 3x x 2 2 x 27 3 Bài 3: Tính các giới hạn sau: 4 x2 x2 5x 6 1 x2 4 x3 x 10 13 a) lim (4) b) lim ( ) c) lim (4) d) lim ( ) x 2 x 2 x 3 x2 3x 3 x 2 x2 3x 2 x 2 x2 2x 2 Bài 4: Tính các giới hạn sau: 2 1 1 1 3 1 4 a) lim 2 ( ) b) lim ( ) x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 2 x 2 3 Bài 5: Tính các giới hạn sau: 1 2x 1 1 x x 2 8 x 3 3 1 a) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( ) x 0 2x 2 x 2 3 4x 1 9 x 6 x 6 6 x 8 3 1 3x 2 4x2 x 2 5 x 5 x 5 d) lim ( ) e) lim (2) f) lim ( ) x 1 x2 2x 3 24 x 1 x2 3x 2 x 0 x 5 Bài 6: Tính các giới hạn sau: 3 8x 11 x 7 7 x 11 3 43 8x 7 a) lim ( ) b) lim ( ) x 2 x2 3x 2 54 x 2 2x2 3x 2 30 Bài 7: Tính các giới hạn sau: 4x2 x 5 5x4 3x2 2x 7 (x 1)2 (7x2 2) 7 a) lim (-4) b) lim (0) c) lim ( ) x 2 3x x2 x 3x5 4x x (2x 3)4 16 Bài 8: Tính các giới hạn sau: x2 2x 3 1 4x x2 2x 3x 2 1 2 x x a) lim (5) b) lim ( ) c) lim (-1) x 4x2 1 2 x x 4x2 1 x 2 3 x x 2 Bài 9: Tính các giới hạn sau: 5 a) lim ( x2 2x 1 x2 7x 3) ( ) b) lim (3x x2 x 1) ( ) x 2 x Bài 10: Tính các giới hạn sau: a) lim (x4 x2 x 1) ( ) b) lim ( 2x3 3x2 5) ( ) c) lim x2 2x 5 ( ) x x x Bài 11: Tính các giới hạn sau: 3x3 4x 16 4 x2 (2x 1)2 (3x 5) a) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( ) x 4 x2 x x 2 x 5x2 3 Bài 12: Tính các giới hạn sau: 2x 7 2x 5 3 8x 2x2 x 7 a) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( ) d) lim ( ) x 1 x 1 x 4 x 4 1 4x 2 x ( 3) 2x 6 x 2 III. HÀM SỐ LIÊN TỤC: 1. Lý thuyết: * Hàm số liên tục tại 1 điểm: Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K. a) Nếu lim f (x) f (x0 ) thì f(x) liên tục tại x0. x x0 b) Nếu lim f (x) f (x0 ) thì f(x) không liên tục tại x0 hay f(x) gián đoạn tại điểm x0 x x0 * Định lý: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c sao cho f(c) = 0 11
12. * Phương pháp: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm f1 (x), neáu x x0 a) Loại 1: Hàm số có dạng: f(x) f2 (x), neáu x x0 Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính lim f(x) lim f1(x) L x x0 x x0 Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0 + Nếu f2(x0) L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0 f1 (x), neáu x x0 b) Loại 2: Hàm số có dạng: f(x) f2 (x), neáu x x0 Bước 1: + Tính lim f(x) lim f (x) L + Tính lim f(x) lim f (x) L + Tính f(x ) = f (x ) 1 1 2 2 0 1 0 x x0 x x0 x x0 x x0 Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 thì hàm số liên tục bên phải tại x0 + Nếu f1(x0) = L2 thì hàm số liên tục bên trái tại x0 + Nếu L1 = L2 = f1(x0) thì hàm số liên tục tại x0 * Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0 * Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b) Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Bước 2: Tính f(a); f(b) và chứng minh f(a).f(b) < 0 Bước 3: Kết luận PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b) Chú ý: Nếu bài toán không cho khoảng (a; b) thì ta phải dự đoán khoảng này 2. Bài tập mẫu Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 3 x 2 x 8 neáu x 4 neáu x 2 x 5 3 a) f(x) x 2 tại x0 = 2 b) f(x) tại x0 = 4 3 12 neáu x 2 neáu x 4 2 Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(2) = 12 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) + lim f(x) lim lim lim(x2 2x 4) 12 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Suy ra: f(2) = lim f(x)= 12. Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2 x 2 3 b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(4) = 2 x 2 ( x 2)( x 2)( x 5 3) (x 4)( x 5 3) + lim f(x) lim lim lim x 4 x 4 x 5 3 x 4 ( x 5 3)( x 5 3)( x 2) x 4 (x 5 9)( x 2) x 5 3 6 3 3 = lim . Suy ra: f(4) = lim f(x)= . Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 4 x 4 x 2 4 2 x 4 2 Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 2x 1 1 x2 7x 8 2 neáu x 0 neáu x 8 a) f(x) x x tại x0 = 0 b) f(x) x 8 tại x0 = -8 2 neáu x 0 9 neáu x 8 Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(0) = 2 2x 1 1 ( 2x 1 1)( 2x 1 1) 2x 1 1 + limf (x) lim lim lim x 0 x 0 x2 x x 0 (x2 x)( 2x 1 1) x 0 x(x 1)( 2x 1 1) 2 lim 1. x 0 (x 1)( 2x 1 1) Suy ra: f(0) limf (x) . Vậy: Hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 0 x 0 12
13. b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(-8) = -9 x2 7x 8 (x 1)(x 8) + lim f (x) lim lim lim (x 1) 9 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 Suy ra: f(-8) = lim f (x) = -9. Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = -8 x 8 Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1 x khi x 3 x 5 khi x 5 2 a) f (x) x 2x 3 tại x0 = 3 b) f (x) 2x 1 3 tại x0 = 5 khi x 3 2 6 2x (x 5) 3 khi x 5 Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(3) = -2 x2 2x 3 (x 1)(x 3) x 1 + lim f (x) lim lim lim 2 x 3 x 3 6 2x x 3 2(x 3) x 3 2 + lim f (x) lim(1 x) 2. Suy ra: lim f (x) lim f (x) f (3) 2. x 3 x 3 x 3 x 3 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 3 b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(5) = 3 x 5 (x 5)( 2x 1 3) + lim f (x) lim lim x 5 x 5 2x 1 3 x 5 ( 2x 1 3)( 2x 1 3) (x 5)( 2x 1 3) 2x 1 3 lim lim 3 x 5 2x 1 9 x 5 2 + lim f (x) lim[(x 5)2 3] 3. Suy ra: lim f(x) = lim f(x) = f(5) = 3 x 5 x 5 x 5 x 5 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 5 2x2 2x khi x 1 Bài 4: a) Cho hàm số f (x) x 1 . Xét tính liên tục của hàm số trên R. 5 khi x 1 x2 5x 4 khi x 1 b) Cho hàm số f (x) x 1 . Xét tính liên tục của hàm số trên R. 5 8x khi x 1 Giải: a) TXĐ: D = R 2x2 2x * Với x 1: f(x) = là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của x 1 nó. Vậy nó liên tục trên các khoảng ( ;1) và (1; ) * Với x = 1: + f(1) = 5 2x2 2x 2x(x 1) + lim lim lim 2x 2 f (1) . Vậy: hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( ;1) và (1; ) nhưng gián đoạn tại x0 = 1 x2 5x 4 b) * Trên (1; ), ta có: f(x) = là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc x 1 tập xác định của nó. Vậy nó liên tục trên các khoảng (1; ) * Trên ( ;1), ta có: f(x) = 5 – 8x là hàm số đa thức nên nó liên tục trên khoảng ( ;1) * Xét tại x0 = 1: + f(1) = 5 – 8.1 = -3 x2 5x 4 (x 1)(x 4) + lim lim lim(x 4) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + lim(5 8x) 5 8.1 3. Suy ra: lim f(x) lim f(x) f(1) .Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên R x 1 x 1 x 1 Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục: 13
14. 1 x 1 neáu x 0 x 2 neáu x 1 a) f(x) tại x = 0 b) f(x) tại x = 1 x 0 2 2 0 x (a 1)x 1 neáu x 1 2a x neáu x 0 Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(0) = 2a 1 x 1 ( 1 x 1)( 1 x 1) 1 x 1 1 1 + lim f(x) lim lim lim lim x 0 x 0 x x 0 x( 1 x 1) x 0 x( 1 x 1) x 0 1 x 1 2 1 1 Hàm số liên tục tại x0 = 0 f(0) = lim f(x) 2a = a = x 0 2 4 b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – 1 = a2 – 1 2 + lim f(x) lim(x 2) 3. Hàm số liên tục tại x0 = 1 f(1) = lim f(x) a – 1 = 3 a = 2 x 1 x 1 x 1 Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục: x3 1 x 3 3x 1 neáu x 1 neáu x 1 a) f(x) x 1 tại x0 = -1 b) f(x) x 1 tại x0 = 1 2 2 mx x m neáu x 1 3mx 2 neáu x 1 Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(-1) = m + 1 + m2 x3 1 (x 1)(x2 x 1) + lim f(x) lim lim lim (x2 x 1) 3 x ( 1) x ( 1) x 1 x ( 1) x 1 x ( 1) + lim f(x) lim (mx2 x m2 ) m 1 m2 x ( 1) x ( 1) 2 Hàm số liên tục tại x0 = -1 f(-1) = lim f(x) lim f(x) m + m + 1 = 3 m = 1; m = -2 x ( 1) x ( 1) b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(1) = 3m + 2 x 3 3x 1 ( x 3 3x 1)( x 3 3x 1) + lim f(x) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 3 3x 1) x 3 3x 1 2(x 1) 2 1 = lim lim lim x 1 (x 1)( x 3 3x 1) x 1 (x 1)( x 3 3x 1) x 1 x 3 3x 1 2 + lim f(x) lim(3mx 2) 3m 2 x 1 x 1 1 5 Hàm số liên tục tại x0 = 1 f(1) = lim f(x) lim f(x) 3m + 2 = m = x 1 x 1 2 6 Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: a) x4 + x3 – 3x2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (-1; 1) b) x4 – 6x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3 ) c) x3 – 7x – 5 = 0 có ít nhất hai nghiệm d) 2x5 – 7x2 + 3 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3) Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + 1. Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 1] f( 1) 3 * Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < 0. Vậy: PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-1 ; 1) f(1) 1 b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + 1. Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 0] và [0; 3 ] f( 1) 4 * Suy ra: f(-1).f(0) = -4 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0) f(0) 1 f(0) 1 * Suy ra: f(0).f( 3 ) = -8 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3 ) f( 3) 8 Vậy: PT f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3 ) c) Đặt: f(x) = x3 – 7x – 5. Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] và [0; 3] f( 1) 1 * Suy ra: f(-1).f(0) = -5 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0) f(0) 5 14
15. f(0) 5 * Suy ra: f(0).f(1) = -5 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3) f(3) 1 Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm d) Đặt: f(x) = 2x5 – 7x2 + 3. Ta có: f(x) liên tục [-4; 0], [0; 1] và [1; 3] f( 4) 2157 * Suy ra: f(-4).f(0) = -6471 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-4; 0) f(0) 3 f(0) 3 * Suy ra: f(0).f(1) = -6 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 1) f(1) 2 f(1) 2 * Suy ra: f(-1).f(0) = -852 < 0 PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (1; 3) f(3) 426 Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3) 3. Bài tập tự luyện Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau: x3 27 1 2x 3 neáu x 3 neáu x 2 a) f(x) 3 x tại x0 = 3 b) f(x) 2 x tại x0 = 2 27 neáu x 3 1 neáu x 2 x 8 3 2 neáu x 1 x 2 1 x neáu x 2 c) f(x) tại x0 = 1 d) f(x) x 2 tại x0 = 2 1 neáu x 1 2 2 neáu x 2 6 Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau: x2 5x 4 x3 3x2 2x 3 neáu x 1 2 neáu x 2 a) f(x) x 1 tại x0 = 1 b) f(x) x 5x 6 tại x0 = -2 1 neáu x 1 x 4 neáu x 2 x 3 2 x 1 neáu x 1 neáu x 1 x 1 c) f(x) 2 x 1 tại x0 = 1 d) f(x) tại x0 = 1 1 2x neáu x 1 x neáu x 1 4 Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R: x2 x 2 x3 8 neáu x 2 neáu x 2 a) f(x) x 2 b) f(x) 4x 8 5 x neáu x 2 3 neáu x 2 Bài 4: Định a để hàm số sau liên tục: x3 x2 2x 2 8 2x 2 neáu x 1 neáu x 2 a) f(x) x 1 tại x0 = 1 b) f(x) x 2 tại x0 = -2 2 3x a neáu x 1 3x a a neáu x 2 Bài 5: Định m để hàm số sau liên tục: x2 3x 2 2 2 2 neáu x 2 m x neáu x 2 a) f(x) x 2x tại x0 = 2 b) f(x) tại x0 = 2 (1 m)x neáu x 2 mx m 1 neáu x 2 Bài 6: Chứng minh rằng phương trình: a) x4 – 3x2 + 5x – 6 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2) b) x5 – 5x – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm c) x3 + 3x2 – 4x – 7 = 0 có nghiệm nằm trong khoảng (-4; 0) d) x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5) e) x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng (-2; 2) 15