Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG V GIẢI TÍCH 11 (2012 – 2013) I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: 1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: * Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b) f (x) f (x0 ) y f (x) lim lim ( x x x0 ; y f (x) f (x0 ) ) x x0 x 0 x x0 x * Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó 2. Ý nghĩa của đạo hàm: * f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0)) * Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) với y0 = f(x0) là: y f (x0 )(x x0 ) y0 3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa: PP: * Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Ta có: y = f(x0 + x) – f(x0) y y * Bước 2: Lập tỉ số: * Bước 3: Tìm lim x x 0 x 4. Phương trình tiếp tuyến (PTTT): a) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) * Bước 1: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 (1) * Bước 2: f (x) f (x0 ) * Bước 3: PTTT là: (thay f (x0 ) , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b b) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng a * Bước 1: Ta có: x0 = a y0 = f(x0) = b: M(a; b) * Bước 2: Trình bày như a) c) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ bằng b * Bước 1: Ta có: y0 = b x0 = b (cho f(x) = b): M(a; b) * Bước 2: Trình bày như a) d) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k * Bước 1: Ta có: f (x0 ) = k * Bước 2: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 (1) * Bước 3: f (x) f (x0 ) = k (giải PT này suy ra nghiệm x0) y0 = f(x0) * Bước 4: PTTT là: (thay f (x0 ) , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b e) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b * Bước 1: Ta có: f (x0 ) = k = a * Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2) f) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b * Bước 1: Ta có: f (x0 ) = k = -1: a * Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2) II. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM : 1. Đạo hàm của tổng , hiệu, tích, thương: a) (u v) u v b) (u v) u v c) (u v w) u v w u u v uv c) (u.v) u v uv d) 2 e) (u.v.w) u vw uv w uvw v v 2. Đạo hàm cơ bản và hàm hợp: Hàm cơ bản Hàm hợp 1) (x) 1 1) Không có 2) (x n ) nx n 1 2) (u n ) nu n 1.u 1 u 3) x 3) u 2 x 2 u 4) (kx) k 4) (ku) k.u k k k k 5) 2 5) 2 .u x x u u 1
2. 6) (sin x) cos x 6) (sin u) u cosu 7) (cos x) sin x 7) (cosu) u sin u 1 u 8) (tan x) 8) (tan u) cos2 x cos2 u 1 u 9) (cot x) 9) (cot u) sin 2 x sin 2 u ax b ad bc ax 2 bx c adx 2 2aex be cd Ghi nhớ: 1) y y 2) y y cx d (cx d)2 dx e (dx e)2 ax 2 bx c (ab a b)x 2 2(ac a c)x (bc b c) 1 1 1 1 1 1 3) y 2 y 2 2 a1x b1x c1 (a1x b1x c1) sin x tan x sin u(x) 4) lim 1 5) lim 1 6) lim 1 với lim u(x) 0 x 0 x x 0 x x x0 u(x) x x0 III. VI PHÂN 1) Vi phân: df(x) = f (x)dx hoặc dy = y dx 2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x (a;b) * Đạo hàm cấp hai của y = f(x). Ký hiệu: y f (x) [f (x)] * Đạo hàm cấp ba của y = f(x). Ký hiệu: y f (x) [f (x)] hoặc y(3) f (3) (x) [f (x)] * Đạo hàm cấp bốn của y = f(x). Ký hiệu: y(4) f (4) (x) [f (3) (x)] * Đạo hàm cấp n – 1 của y = f(x). Ký hiệu: y(n 1) f (n 1) (x) * Đạo hàm cấp n của y = f(x). Ký hiệu: y(n) f (n) (x) [f (n 1) (x)] BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau: 2 2 3x 1 a) y tại điểm x0 = 2 b) y = 2x – x + 3 tại x0 = -3 c) y tại x0 = 1 x 1 4 5x Giải: a) * Giả sử x là số gia của đối số tại x0 = 2 2 2 6 2 x 6 2 x Ta có: y = f(2 + x) – f(2) = x 3 3 3( x 3) 3( x 3) y 1 2 x 1 2 y 2 2 2 * y. . * lim lim . Vậy: y (2) x x 3( x 3) x 3( x 3) x 0 x x 0 3( x 3) 9 9 b) * Giả sử x là số gia của đối số tại x0 = –3 Ta có: y = f(–3 + x) – f(–3) = [2(–3 + x)2 – (–3 + x) + 3] – [2.( –3)2 – (–3) + 3] = ( x)2 – 13 x = x( x – 13) y 1 1 y * y. x( x 13). x 13 * lim lim( x 13) 13 . Vậy: y ( 3) 13 x x x x 0 x x 0 c) * Giả sử x là số gia của đối số tại x0 = 1 3(1 x) 1 4 3 x 17 x Ta có: y = f(1 + x) – f(1) = 4 4 4 5(1 x) 1 5 x 1 5 x y 1 17 x 1 17 y 17 * y. . * lim lim 17 . Vậy: y (1) 17 x x 1 5 x x 1 5 x x 0 x x 0 1 5 x Bài 2: Viết PTTT của các hàm số sau: 2x 1 a) y = 2x2 – x + 3 tại điểm M(3; -2) b) y = tại điểm M(1; -3) 3 4x Giải: a) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 y = 4x – 1 y (3) 11 Vậy: PTTT là: y f (x0 )(x x0 ) y0 = 11(x – 3) – 2 = 11x – 35 2
3. b) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 10 y = y (1) 10. Vậy: PTTT là: y = 10(x – 1) + 3 = 10x – 7 (3 4x)2 Bài 3: Viết PTTT của các hàm số sau: 1 2x a) y = x3 – 4x2 + x – 1 tại điểm có hoành độ bằng -2 b) y = tại điểm có tung độ bằng -1 3x 2 3 2 Giải: a) Ta có: x0 = -2 y0 = (-2) – 4(-2) + (-2) – 1 = -27 PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 y = 3x2 – 8x + 1 y (-2) = 29. Vậy: PTTT là: y = 29(x + 2) – 27 = 29x + 31 1 2x0 b) Ta có: 1 1 – 2x0 = –3x0 – 2 x0 = –3 3x0 2 PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 7 y y ( 1) 7 . Vậy: PTTT là: y = –7(x + 3) – 1 = –7x – 22 (3x 2)2 Bài 4: Viết PTTT của các hàm số sau: 2x 1 a) y = có hệ số góc bằng -5 b) y = x3 – 2x2 + 5x – 2 song song với đt d: y = 4x – 1 x 2 1 1 2 c) y = x3 – 3x + 5 vuông góc với đường thẳng d: y = x 3 6 5 Giải: a) Ta có: k = f (x0 ) 5 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 5 5 x 1 y 3 2 2 0 0 y 2 2 5 (x0 – 2) = 1 x0 4x0 3 0 (x 2) (x0 2) x0 3 y0 7 Vậy: PTTT là: * y = –5(x – 1) – 3 = – 5x + 2 * y = – 5(x – 3) + 7 = – 5x + 22 b) Ta có: k = f (x0 ) 4 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 x0 1 y0 2 2 2 2 y = 3x – 4x + 5 3x0 4x0 5 4 3x0 4x0 1 0 1 14 x y 0 3 0 27 1 14 50 Vậy: PTTT là: * y = 4(x – 1) + 2 = 4x – 2 * y = 4(x – ) – = 4x – 3 27 27 1 c) Ta có: k = f (x0 ) 1: 6 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x0 )(x x0 ) y0 6 x 3 y 5 2 2 2 0 0 y = x – 3 x0 3 6 x0 9 0 x0 3 y0 5 Vậy: PTTT là: * y = 6(x – 3) + 5 = 6x – 13 * y = 6(x + 3) + 5 = 6x + 23 Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 1 3 2 3 2 a) y = 2x4 – 5x3 + x2 – 15 b) y x3 x 2 x c) y x x3 0,6x5 3 3 5 7 4 5 2 3 2 Giải: a) y = 8x3 – 15x2 + 2x b) y = 2x2 – x + c) y = + 3x2 – 3x4 3 5 5 Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau: x 1 5 a) y 3cos x sin x x 5 b) y 5tan x cot x 3 2 4 1 1 5 1 Giải: a) y = –3sinx – cosx + b) y = – – 2 x 6 x cos2 x 2sin 2 x Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 3
4. x cos x a) y 2 x x b) y c) y 2xsin x d) y (2x 1) tan x x x x 1 3 Giải: a) y = – [x x x( x) ] = – x – = x x = x 2 x 2 2 1 1 .x x sin x. x cos x. ( x) .x x.(x) (cos x) . x cos x.( x) b) y = = 2 x 2 x x 2 ( x)2 x 2 x x xsin x cos x = 2x 2 2x x c) y = (2x) .sin x 2x.(sin x) = 2sinx + 2xcosx 2x 1 d) y = (2x 1) tan x (2x 1)(tan x) = 2tanx + cos2 x Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 a) y 3x x 1 b) y = (4x3 – 2x2 – 5x)(x2 – 7x) c) y = (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x) x 3 3 3 3 1 Giải: a) y = 3x x 1 3x x 1 = 3 x 1 3x . 2 x x x x 2 x b) y = (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x)’ = (12x2 – 4x – 5)(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)(2x – 7) = 12x4 – 84x3 – 4x3 + 28x2 – 5x2 + 35x + 8x4 – 28x3 – 4x3 + 14x2 – 10x2 + 35x = 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x Cách khác: y = 4x5 – 28x4 – 2x4 + 14x3 – 5x3 + 35x2 = 4x5 – 30x4 + 9x3 + 35x2 y = 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x c) y = (x – 1)’(2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)’(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)’ = (2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)2x(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(– 2) = 6 – 4x + 3x2 – 2x3 + 6x2 – 4x3 – 6x + 4x2 – 4x – 2x3 + 4 + 2x2 = –8x3 + 15x2 – 14x + 10 Cách khác: y = (2x + x3 – 2 – x2)(3 – 2x) = 6x – 4x2 + 3x3 – 2x4 – 6 + 4x – 3x2 + 2x3 = – 2x4 + 5x3 – 7x2 + 10x y = – 8x3 + 15x – 14x + 10 Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau: sin x cos x 3x 2 x 2 2x 3 a) y b) y = c) y sin x cos x 1 4x 5x 1 (sin x cos x) (sin x cos x) (sin x cos x)(sin x cos x) Giải: a) y (sin x cos x)2 (cos x sin x)(sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x) = (sin x cos x)2 sin x cos x cos2 x sin 2 x sin x cos x sin x cos x sin 2 x cos2 x sin x cos x = (sin x cos x)2 2cos2 x 2sin 2 x 2(cos2 x sin 2 x) 2 = (sin x cos x)2 (sin x cos x)2 (sin x cos x)2 (3x 2) (1 4x) (3x 2)(1 4x) 3(1 4x) (3x 2)( 4) 5 b) y = = (1 4x)2 (1 4x)2 (1 4x)2 3.1 ( 2).( 4) 5 Cách khác: y (chỉ sử dụng để viết PT tiếp tuyến) (1 4x)2 (1 4x)2 ( x 2 2x 3) (5x 1) ( x 2 2x 3)(5x 1) ( 2x 2)(5x 1) ( x 2 2x 3).5 c) y = (5x 1)2 (5x 1)2 4
5. 10x 2 2x 10x 2 5x 2 10x 15 5x 2 2x 17 = = (5x 1)2 (5x 1)2 Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 4 a) y = (2x3 – 3x + 5)5 b) y 3 5x x 2 c) y c) y 5 3x (2x 3)3 ' ' Giải: Vận dụng công thức: y yu .u x a) y 5(2x3 3x 5)4 (2x3 3x 5) 5(2x3 3x 5)4 (6x 2 3) ' 2 u x 6x 3 Cách khác: Đặt: u = 2x3 – 3x + 5 y = u5. Ta có: ' 4 yu 5u Vậy: y 5u 4 (6x 2 3) 5(2x3 3x 5)4 (6x 2 3) (3 5x x 2 ) 5 2x b) y 2 3 5x x 2 2 3 5x x 2 ' u x 5 2x 2 Cách khác: Đặt: u = 3 – 5x – x y = u . Ta có: ' 1 . yu 2 u 1 5 2x Vậy: y ( 5 2x). 2 u 2 3 5x x 2 2(5 3x) 6 c) y (5 3x)2 (5 3x)2 u' 3 2 x 2 6 Cách khác: Đặt: u = 5 – 3x y = . Ta có: 2 . Vậy: y 3. 2 = 2 u ' u (5 3x) yu 2 u 4[(2x 3)3 ] 12(2x 3)2 (2x 3) 24(2x 3)2 24 d) y [(2x 3)3 ]2 (2x 3)6 (2x 3)6 (2x 3)4 u' 6(2x 3)2 4 x Cách khác: Đặt: u = (2x – 3)3 y = . Ta có: 4 u ' yu 2 u 4 24(2x 3)2 24(2x 3)2 24 2 Vậy: y 6(2x 3) 2 3 2 6 4 u [(2x 3) ] (2x 3) (2x 3) Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau: x a) y = cos2x b) y = tan3x c) y sin x 2 1 d) y cot 2 1 3x Giải: a) y = 2cosx(cosx)’ = 2cosx(–sinx) = –2sinxcosx = –sin2x 1 3sin 2 x 1 3sin 2 x b) y = 3tan2x(tanx)’ = 3tan2x. = . cos2 x cos2 x cos2 x cos4 x (x 2 1) x cos x 2 1 c) y ( x 2 1) cos x 2 1 = cos x 2 1 2 x 2 1 x 2 1 x x x x 1 3x d) y = 2cot . cot = 2cot . x 1 3x 1 3x 1 3x sin 2 1 3x 5
6. x (1 3x) x(1 3x) x (1 3x)2 x 1 = 2cot . = 2cot . x x 1 3x sin 2 1 3x (1 3x)2 sin 2 1 3x 1 3x Bài 12: Giải các bất phương trình sau: x 2 x 4 x 2 x 1 x a) y 0 với y b) y 0 với y c) y 0 với y x 1 x 2 x 1 x 2 4x 4 x 2 2x 3 Giải: a) y , ĐK: x 1. Khi đó: y 0 x2 + 2x – 3 > 0 x 1 (x 1)2 2x 2 2 b) y , x ¡ . Khi đó: y 0 – 2x2 + 2 0 1 x 1 (x 2 x 1)2 x 2 4 c) y , ĐK: x 2 . Khi đó: y 0 – x2 + 4 2 (x 2 4x 4)2 2 3 1 3 Bài 13: a) f(x) = x3 – 2x2 + , g(x) = x2 – 2x – . Giải bất PT: f (x) g (x) 3 4 2 2 3 b) f(x) = 3x3 + x2 – 7x + 3 , g(x) = 2x3 + 3x2 + 11x – 3 . Giải bất PT: f (x) g (x) 2 Giải: a) f (x) = 2x2 – 4x, g (x) = x – 2 1 Khi đó: f (x) g (x) 2x2 – 4x > x – 2 2x2 – 5x + 2 > 0 x 2 2 b) f (x) = 9x2 + 3x – 7, g (x) = 6x2 + 6x + 11 Khi đó: f (x) g (x) 9x2 + 3x – 7 < 6x2 + 6x + 11 3x2 – 3x – 18 < 0 –2 < x < 3 1 2 3 Bài 14: a) Tính f ( 1) , biết: f(x) = x x 2 x3 f ( ) 2 x x b) Tính 2 , biết: f(x) = 2sin2x + 3x – 5, g(x) = – cos g (1) 4 2 1 4 9 1 4 9 Giải: a) f (x) = f ( 1) = 1 4 9 6 x 2 x3 x 4 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4 b) f (x) = 4cos2x + 3 f ( ) = 4.cos + 3 = –1 2 f ( ) x x 1 g (x) = + sin g (1) = sin = . Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 g (1) Bài 15: Tìm vi phân của các hàm số sau: sin3x a) y = 5x3 – 2x + 3 b) f (x) sin3[cos(3x 2)] c) y 1 x 2 Giải: a) y (5x3 2x 3) 15x 2 2. Vậy: dy = y dx = (15x2 – 2)dx b) f (x) = 3sin 2[cos(3x 2)]. sin[cos(3x 2)] 3sin 2[cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].[cos(3x 2)] = 3sin 2[cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].[ sin(3x 2)].(3x 2) = 9sin 2[cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].sin(3x 2) Vậy: df(x) = f (x)dx = 9sin 2[cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].sin(3x 2) dx (sin3x) (1 x 2 ) sin3x(1 x 2 ) 3(1 x 2 )cos3x 2xsin3x c) y (1 x 2 )2 (1 x 2 )2 6
7. 3(1 x 2 )cos3x 2xsin3x Vậy: dy = y dx = dx (1 x 2 )2 d(cos x) d(cos x) (cos x) dx sin x Bài 16: Tìm . Giải: tan x d(sin x) d(sin x) (sin x) dx cos x Bài 17: Cho f(x) = (2x – 3)5. Tính f (3) và f (3) Giải: * f (x) 5(2x 3)4 (2x 3) 10(2x 3)4 * f (x) 40(2x 3)3 (2x 3) 80(2x 3)3 * f (x) 240(2x 3)2 (2x 3) 480(2x 3)2 Vậy: * f (3) 80(2.3 3)3 2160 * f (3) 480(2.3 3)2 4320 Bài 18: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y x 1 x 2 b) y x 2 sin x c) y = xcos2x x 2 1 2x 2 Giải: a) y = (x) 1 x 2 x( 1 x 2 ) 1 x 2 1 x 2 1 x 2 (1 2x 2 )x 4x 1 x 2 2 4x(1 x 2 ) x(1 2x 2 ) x(3 2x 2 ) y = 1 x ( 1 x 2 )2 (1 x 2 ) 1 x 2 (1 x 2 ) 1 x 2 b) y 2x.sin x x 2 cos x y = 2sinx + 2xcosx + 2xcosx + x2(–sinx) = 2sinx + 4xcosx – x2sinx c) y = cos2x – 2xsin2x; y = –2sin2x – (2sin2x + 4xcos2x) = – 4sin2x – 4xcos2x Bài 19: a) Chứng minh rằng: Với y = xsinx, ta có: xy 2(y sin x) xy 0 x 3 b) Chứng minh rằng: Với y , ta có: 2y 2 (y 1)y x 4 c) Chứng minh rằng: Với y cot 2x , ta có: y 2y2 2 0 Giải: a) Ta có: y = sinx + xcosx; y = cosx + cosx – xsinx = 2cosx – xsinx Vậy: xy 2(y sin x) xy x(2cos x xsin x) 2(sin x x cos x sin x) x 2 sin x = 2xcosx – x2sinx – 2xcosx + x2sinx = 0 (đpcm) x 4 x 3 7 14 b) Ta có: y = ; y (x 4)2 (x 4)2 (x 4)3 98 x 3 14 98 98 2 Vậy: 2y (y 1)y 4 1 . 3 4 4 0(đpcm) (x 4) x 4 (x 4) (x 4) (x 4) 2 c) Ta có: y = . sin 2 2x 2 2 2 Vậy: y 2y2 2 2cot 2 2x 2 0 (đpcm) sin 2 2x sin 2 2x sin 2 2x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau: 2 1 x 1 a) y = x + x tại x0 = 1 b) y = tại x0 = 2 c) y tại x0 = 0 x x 1 2 2 x x 1 d) y = 2x – x + 2 tại x0 = 1 e) y tại x0 = 0 x 1 x 1 Bài 2: a) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = tại điểm A(2; 3). ĐS: y = –2x + 7 x 1 3 2 b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x + 4x – 1 tại điểm có hoành độ x0 = –1. ĐS: y = –5x – 3 2 c) Viết PTTT của đồ thị h/số y = x – 4x + 4 tại điểm có tung độ y0 = 1. ĐS: y = –2x + 3, y = 2x + 5 d) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 5x2 + 2 có hệ số góc bằng -7 7
8. 3x 1 1 e) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = có hệ số góc bằng 1 x 2 f) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 song song với đường thẳng d: y = 9x + 2. ĐS: y = 9x – 15, y = 9x + 17 3x 2 g) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0 x 1 1 17 1 9 ĐS: y = x ; y x 4 4 4 4 Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 1 x 4 2x3 4x 2 a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3 b) y x x 2 0,5x 4 c) y 1 4 3 2 3 5 x3 x 2 1 2 3 d) y x 5 f) y x5 x 4 x3 x 2 4x 5 3 2 2 3 2 Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 a) y 5sin x 3cos x 3 b) y 3 x cot x 3tan x 2,5 c) y = 2sinx + 7cosx – cotx 3 Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 x a) y 2x x 1 b) y c) y x cot x d) y (2 3x)cos x x sin x e) y = (1 – x2)cosx f) y = sin5xcos2x g) y = (2 – x2)sinx + 2xcosx Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 2 a) y 6 x 7x 3 b) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1) c) 3x x 1 2 x x d) y = (x + 1)(1 – 2x)(3x2 + 2) e) y = (2x – 3)(x5 – 2x) f) y = x(2x – 1)(3x + 2) g) y = 3x5(8 – 3x2) h) y = (x2 + 1)(5 – 3x2) i) y = (x – 2) x 2 1 Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau: sin x cos x sin x x sin x sin 2x cos2x a) y b) y = c) y d) y sin x cos x x sin x 1 cos x sin 2x cos2x cos x 3cos x tan x e) y 2 x sin x f) y g) y x 2x 1 sin x 2 Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 7 2 3 n 2 2 a) y = (x – 5x ) b) y m 2 c) y 2 5x x c) y 2 x (2 3x) 1 5 2 x d) y 1 2tan x e) y f) y g) y cos2 3x 2 4x 3 2x Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau: x a) y = sin3x b) y = cot2x c) y cos x 2 1 d) y tan 2 x cot x 2 e) y cos 1 x Bài 12: Tính đạo hàm các hàm số sau: 2x 3 5x x 1 2x 3 a) y b) y c) y d) y x 2 1 x 2 x 1 5x 2 7 3x x 2 2x 3 x 2 7x 3 x 2 7x 5 e) y f) y g) y 3 4x x 2 3x 1 3x x 2 Bài 13: Giải các bất phương trình sau: x 2 x 2 x 2 3 2x 1 a) y 0 với y b) y 0 với y c) y 0 với y x 1 x 1 x 2 x 4 8
9. Bài 14: a) f(x) = x3 x 2 , g(x) = 3x 2 x 2 . Giải bất PT: f (x) g (x) x 2 b) f(x) = 2x3 x 2 3 , g(x) = x3 3 . Giải bất PT: f (x) g (x) 2 c) f(x) = x3 – 3x2 + 2. Giải các bất PT: y 0 và y 3 2 x 2 x3 d) f (x) , g(x) = . Giải bất PT: f(x) g (x) x 2 3 2 4 5 6 Bài 15: a) Tính f ( 1) , biết: f (x) x x 2 x3 7x 4 f (1) x b) Tính , biết: f(x) = x2 , (x) = 4x + sin (1) 2 1 1 c) Tính g (1), biết: g(x) x 2 x x Bài 16: Tìm vi phân của các hàm số sau: a) y = 3 – 2x + 4x3 b) f (x) cos(sin3x) c) y sin 2 (cos2x) d) y = sin3(2x + 1) e) y = (2 + sin22x)3 f) f (x) sin x 2x g) y 2sin 2 4x 3cos3 5x Bài 17: Tìm dy, biết: x cos x a) y (a, b là hằng số) b) y c) y = (x2 + 4x + 1)(x2 – x ) d) y = tan2x a b 1 x 2 d(tan x) Bài 18: Tìm d(cot x) Bài 19: a) Cho f(x) = (x + 10)6. Tính f (2) và f (0) b) Cho g(x) = sin3x. Tính g ( ) , g (0) , g ( ) 2 18 c) Cho f(x) = 1 x . Tính f(3) + (x – 3)f (3) Bài 20: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1 1 a) y b) y c) y = tanx d) y = cos2x 1 x 1 x Bài 21: a) Chứng minh rằng: Với y = xtanx, ta có: x 2 y 2(x 2 y2 )(1 y) 0 b) Chứng minh rằng: Với y 2x x 2 , ta có: y3y 1 0 c) Chứng minh rằng: Với y tan x , ta có: y y2 1 0 d) Chứng minh rằng: Với y x 2 1, ta có: y2 y xy y cos2 x e) Chứng minh rằng: Với f (x) , ta có: f ( ) 3f ( ) 3 1 sin 2 x 4 4 9