Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Năm học 2012-2013

1. CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11 (12 – 13) I. Phép biến hình: * Nếu phép biến hình là F thì viết F(M) = M hay M = F(M), ta gọi M là ảnh của điểm M qua phép biến hình F * Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất II. Phép tịnh tiến: 1. Lý thuyết:    * Nếu Tv (M) M MM v * Nếu Tv (M) M và Tv (N) N M N MN MN M N x x * Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất tức là y y  * Tv (d) d v và v cùng phương xM xM a * Biểu thức tọa độ: Nếu Tv (M) M M (xM + a; yM + b) hoặc M = với v (a;b) yM yM b * Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó + Biến tam giác thành tam giác bằng nó + Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A. Giải: * Dựng hình bình hành AB B G T (B) B AG D  Dựng hình bình hành AC C G TAG (C) C T (A) G . Vậy: T (ABC) GB C A AG AG    * Ta có: TAG (D) A DA AG . Dựng điểm D sao cho A G là trung điểm của DG. Bài 2: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép B C tịnh tiến T trong các trường hợp sau: v a) v (1;1) b) v ( 2;1) c) v (0;0) B' C' Giải: a) Tv (A) A (1;3) b) Tv (A) A ( 2;3) c) Tv (A) A (0;2) a) Tv (B) B (2;4) b) Tv (B) B ( 1;4) c) Tv (B) B (1;3) Bài 3: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ của điểm B sao cho A T (B) (tức là A là ảnh của B), biết: v a) v (2; 3) b) v ( 3;1) c) v (0;0) xB xA a Giải: Ghi nhớ: A Tv (B) B(xA – a; yA – b) hay B với v (a;b) yB yA b a) A T (B) B(-1; 7) b) A T (B) B(4; 3) c) A T (B) B(1; 4) v v v Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho M Tv (M) , biết: a) M(-1; 0), M (3; 8) b) M(-5; 2), M (4; -3) c) M(-1; 2), M (4; 5) Giải: a) Ghi nhớ: M T (M) v (x x ;y y ) v M M M M a) v (4;8) b) v (9; 5) c) v (5;3) ” Bài 5: a) Tìm tọa độ của C là ảnh của điểm C(3; -2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v ( 2;4) và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b) Tìm tọa độ ảnh của điểm D(-5; 1) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v (3;2) và phép quay tâm O, góc 900. 1
2. c) Tìm tọa độ của E” là ảnh của điểm E(5; 2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 và phép quay tâm O, góc - 900. ” Giải: a) Gọi C là điểm cần tìm. Ta có: Tv (C) C (1;2) và V(O,2) (C ) C (2; 4) ” b) Gọi D là điểm cần tìm. Ta có: T (D) D ( 2;3) và Q 0 (D ) D ( 3; 2) v (O,90 ) ” c) Gọi E là điểm cần tìm. Ta có: V(O, 3) (E) E ( 15; 6) và Q 0 (E ) E ( 6;15) (O, 90 ) Bài 6: Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v , biết: a) d: x + 3y – 1 = 0 với v (2; 1) b) d: 2x – y – 1 = 0 với v (2; 1) ’ ’ Giải: a) * Cách 1: Gọi Tv (d) d . Khi đó d // d nên PT đt d có dạng: x + 3y + C = 0 ’ ’ Chọn A(1; 0) d. Khi đó: Tv (A) A (3; 1) d nên 3 – 3 + C = 0 C = 0. Vậy: d : x + 3y = 0 ’ ’ * Cách 2: Chọn A(1; 0) d Tv (A) A (3; 1) d và chọn B(-2; 1) Tv (B) B (0;0) d x x x y x 3 y 1 Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là: A A xB xA yB yA 0 3 0 1 x – 3 = -3y – 3 x + 3y = 0 x x 2 x x 2 * Cách 3: Gọi M(x; y) d, Tv (M) M y y 1 y y 1 Ta có: M d x + 3y – 1 = 0 x’ – 2 + 3y’ + 3 – 1 = 0 x’ + 3y’ = 0 M’ d’: x + 3y = 0 ’ ’ b) * Cách 1: Gọi Tv (d) d . Khi đó d // d nên PT đt d có dạng: 2x – y + C = 0 ’ ’ Chọn A(0; -1) d. Khi đó: Tv (A) A (2; 2) d nên 4 + 2 + C = 0 C = -6. Vậy: d : 2x – y – 6 = 0 ’ ’ * Cách 2: Chọn A(0; -1) d Tv (A) A (2; 2) d và chọn B(1; 1) Tv (B) B (3;0) d x x x y x 2 y 2 Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là: A A xB xA yB yA 3 2 0 2 2x – 4 = y + 2 2x – y – 6 = 0 x x 2 x x 2 * Cách 3: Gọi M(x; y) d, Tv (M) M y y 1 y y 1 Ta có: M d 2x – y – 1 = 0 2x’ – 4 – y’ – 1 – 1 = 0 2x’ – y’ – 6 = 0 M’ d’: 2x – y – 6 = 0 Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v ( 2; 1) ’ Giải: * Cách 1: Gọi Tv (d) d . Khi đó d // d nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0 ’ ’ Chọn A (2; -1) d . Khi đó: Tv (A) A A(4; 0) d nên 8 + 0 + C = 0 C = -8 Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0 ’ ’ ’ ’ * Cách 2: Chọn A (2; -1) d , Tv (A) A A(4; 0) d và chọn B (-1; 1) d , Tv (B) B B(1; 2) d x x x y x 4 y 0 Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là: A A xB xA yB yA 1 4 2 0 2x – 8 = -3y 2x + 3y – 8 = 0 x x 2 x x 2 ’ ’ ’ ’ * Cách 3: Gọi M (x ; y ) d , Tv (M) M M = y y 1 y y 1 Ta có: M’ d’ 2x’ + 3y’ – 1 = 0 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0 2x + 3y – 8 = 0 M d: 2x + 3y – 8 = 0 Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v sao cho T (d) d với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0 v Giải: Chọn A(0; 1) d và B(0; -7) d’. Khi đó: T (d) d v (0; 8) v Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tv (C) (C ) a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 và (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4 b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = 0 2
3. ’ ’ Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) và từ (C ), ta có: tâm I (-5; 1) Khi đó: v ( 7;4) Tv (C) (C ) ’ ’ b) Từ (C), ta có: tâm I(1; -2) và từ (C ), ta có: tâm I (-2; 3) Khi đó: T (C) (C ) v ( 3;5) v Bài 10: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết: a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v (3; 4) b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 với v ( 3;1) Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) và bán kính R = 8 2 2 ’ Khi đó: Tv (I) I (5; 5) và R = R = 8 . Vậy: Tv (C) (C') : (x 5) (y 5) 8 x x 3 x x 3 * Cách 2: Gọi M(x; y) (C), Tv (M) M y y 4 y y 4 Ta có: M (C) x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 (x’ – 3)2 + (y’ + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + 8 – 3 = 0 x 2 6x 9 y 2 8y 16 4x 12 2y 8 3 0 x 2 y 2 10x 10y 42 0 M’ (C ) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = 0 b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2 2 2 ’ Khi đó: Tv (I) I ( 6;2) và R = R = 2. Vậy: Tv (C) (C') : (x 6) (y 2) 4 x x 3 x x 3 * Cách 2: Gọi M(x; y) (C), Tv (M) M y y 1 y y 1 Ta có: M (C) (x’ + 3 + 3)2 + (y’ – 1 – 1)2 = 4 M’ (C ) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = 4 Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v Giải: Từ đt d VTCP của d là: u ( 6;4) 3 m Để T (d) d vcùng phương u 12 = -6m m = -2 v 6 4 3. Bài tập tự luyện:  Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD . Xác định điểm F sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, MN. Hãy tìm một phép tịnh tiến biến AFM thành ENF Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v, biết: a) A(2; -3) với v (7;2). ĐS: A’(9; -1) b) B(8; 2) với v ( 7;4) . ĐS: B’(1; 6) c) C(1; 2) với v ( 4;3). ĐS: C’(-3; 5) d) D(-5; -6) với v (4; 9). ĐS: D’(-1; -15) Bài 4: a) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A(3; 5) là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( 1;2) b) Tìm tọa độ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết và N(-7; 2) v (3; 5) Tv (M) N c) Cho điểm D(-5; 6). Tìm tọa độ của điểm E sao cho D là ảnh của E qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( 2; 8) d) Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho A Tv (B) với v ( 3;9) ĐS: a) C(4; 3) b) M(-10; 7) c) E(-3; 14) d) B(4; -5) Bài 5: Tìm tọa độ của vectơ sao cho , biết: v Tv (A) B a) A(-10; 1), B(3; 8) b) A(-5; 2), B(4; -3) c) A(-1; 2), B(4; 5) d) A(0; 0), B(-3; 4) e) A(5; -2), B(2; 6) f) A(2; 3), B(4; -5) ĐS: a) v (13;7) b) v (9; 5) c) v (5;3) 3
4. d) v ( 3;4) e) v ( 3;8) f) v (2; 8) Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v (4; 3) b) Cho đt d: x – 4y – 2 = 0. Tìm PT đt d’ sao cho T (d) d với v ( 2;5) v c) Cho đt d: 5x + 3y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( 2; 1) d) Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v (3;7) , biết: đt d: 4x – y – 3 = 0 ĐS: a) 2x – y – 6 = 0 b) x – 4y – 20 = 0 c) 5x + 3y + 18 = 0 d) 4x – y – 8 = 0 ’ Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v: d biến thành d : a) d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v ( 2; 1) b) d’: 2x – 4y – 1 = 0 với v (3; 1) c) d’: x – 6y + 2 = 0 với v ( 2;4) d) d’: 5x – 3y + 5 = 0 với v ( 2; 3) ĐS: a) 2x +3y – 8 = 0 b) 2x – 4y + 9 = 0 c) x – 6y – 24 = 0 d) 5x – 3y + 4 = 0 Bài 8: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v, biết: a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v (3; 4). ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = 8 b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + 1 = 0 với v ( 3; 5). ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12 c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v ( 1;4) . ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16 d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9 với v (5;3). ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9 Bài 9: Tìm tọa độ của vectơ sao cho và , biết: v Tv (d) d Tv (C) (C ) a) d: 3x – 2y + 1 = 0 và d’: 3x – 2y – 4 = 0 b) d: 2x + y – 5 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0 c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 và (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 4 2 2 ’ 2 2 d) (C): (x – 5) + (y + 4) = 8 và (C ): (x + 2) + (y – 9) = 8 ĐS: a) v ( 1; 4) b) v (0; 8) c) v (8;5) d) v ( 7;13) Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v (3m; 6). Tìm m để đt d: 4x + 2y – 7 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v. ĐS: m = -4 III. Phép quay 0 x y 1. Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 90 : Q 0 (M) M = (O,90 ) y x 0 x y * Phép quay tâm O, góc -90 : Q 0 (M) M = (O, 90 ) y x 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5) Giải: a) Q 0 (A) A (4; 3) b) Q 0 (B) B (-1; -2) (O,90 ) (O,90 ) c) Q 0 (C) C (-5; 4) d) Q 0 (D) D (3; -2) e) Q 0 (E) E (5; 0) (O,90 ) (O,90 ) (O,90 ) Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1) Giải: a) Q 0 (A) A (5; -2) b) Q 0 (B) B (2; 4) c) Q 0 (C) C (-1; 3) (O, 90 ) (O, 90 ) (O, 90 ) Bài 3: Tìm tọa độ của điểm A sao cho Q 0 (A) B , biết: (O,90 ) a) B(3; -5) b) B(-2; 7) c) B(-3; -1) d) B(4; 6) Giải: a) Q 0 (A) B A(-5; -3) b) Q 0 (A) B A(7; 2) (O,90 ) (O,90 ) c) Q 0 (A) B A(-1; 3) d) Q 0 (A) B A(6; -4) (O,90 ) (O,90 ) Bài 4: Tìm tọa độ của điểm C sao cho D là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8) 4
5. Giải: a) Q 0 (C) D C(-1; -5) b) Q 0 (C) D C(7; -4) (O, 90 ) (O, 90 ) c) Q 0 (C) D C(-3; 2) d) Q 0 (C) D C(8; 4) (O, 90 ) (O, 90 ) Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – 2 = 0 Giải: * Cách 1: Gọi Q 0 (d) d (O,90 ) ’ ’ Chọn A(0; -1) d Q 0 (A) A (1; 0) d và B(2; 4) Q 0 (B) B (-4; 2) d (O,90 ) (O,90 ) x x y y x 1 y 0 Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: A A 2x + 5y – 2 = 0 xB xA yB yA 4 1 2 0 ’ * Cách 2: Gọi Q 0 (d) d d  d nên PT đt d có dạng: 2x + 5y + C = 0 (O,90 ) ’ ’ Chọn A(0; -1) d Q 0 (A) A (1; 0) d . Khi đó: 2 + C = 0 C = -2. Vậy: d : 2x + 5y – 2 = 0 (O,90 ) x y x y * Cách 3: Gọi M(x; y) d Q 0 (M) M (O,90 ) y x y x Ta có: M d: 5x – 2y – 2 = 0 5y’ – 2(-x’) – 2 = 0 2x’ + 5y’ – 2 = 0 M’ d’: 2x + 5y – 2 = 0 Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + 1 = 0 Giải: * Cách 1: Gọi Q 0 (d) d (O, 90 ) ’ ’ Chọn A(2; 1) d Q 0 (A) A (1; -2) d và B(-3; -1) Q 0 (B) B (-1; 3) d (O, 90 ) (O, 90 ) x x y y x 1 y 2 Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: A A 5x + 2y – 1 = 0 xB xA yB yA 1 1 3 2 ’ * Cách 2: Gọi Q 0 (d) d d  d nên PT đt d có dạng: 5x + 2y + C = 0 (O, 90 ) ’ Chọn A(2; 1) d Q 0 (A) A (1; -2) d . Khi đó: 5 – 4 + C = 0 C = -1 (O, 90 ) Vậy: d’: 5x + 2y – 1 = 0 x y x y * Cách 3: Gọi M(x; y) d Q 0 (M) M (O, 90 ) y x y x Ta có: M d: 2x – 5y + 1 = 0 2(-y’) – 5x’ + 1 = 0 –5x’ – 2y’ + 1 = 0 M’ d’: 5x + 2y – 1 = 0 Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 b) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) và bán kính R = 3 ’ 2 2 Khi đó: Q 0 (I) I (5; 2) và bán kính R = R = 3. Vậy: Q 0 (C) (C ) : (x – 5) + (y – 2) = 9 (O,90 ) (O,90 ) x y x y * Cách 2: Gọi M (x; y) (C) Q 0 (M) M (O,90 ) y x y x Ta có: M (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = 9 (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = 9 M’ (C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9 b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) và bán kính R = 3 ’ 2 2 Khi đó: Q 0 (I) I (1; 2) và bán kính R = R = 3. Vậy: (x – 1) + (y – 2) = 9 (O,90 ) x y x y * Cách 2: Gọi M (x; y) (C) Q 0 (M) M (O,90 ) y x y x Ta có: M (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 (y’)2 + (-x’)2 – 4y’ + 2(-x’) – 4 = 0 x 2 y 2 2x 4y 4 0 M’ (C’): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4 5
6. ’ 2 2 Khi đó: Q 0 (I) I (1; 4) và bán kính R = R = 4. Vậy: Q 0 (C) (C ) : (x – 1) + (y – 4) = 16 (O, 90 ) (O, 90 ) x y x y * Cách 2: Gọi M (x; y) (C) Q 0 (M) M (O, 90 ) y x y x C' Ta có: M (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 (–y’ + 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 M’ (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900 b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900 C" c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 900 A Giải: a) Dựng AB = AB’ và (AB, AB’) = 900 Khi đó: B’ là ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900 ’ ’ 0 b) Dựng AC = AC và (AC, AC ) = 90 B' Khi đó: B’C’ là ảnh của BC qua phép quay tâm A, góc quay 900 B G ’ ’ 0 ” c) Dựng GA = GA và (GA, GA ) = 90 , GB = GB A' và (GB, GB”) = 900, GC = GC” và (GC, GC”) = 900 Khi đó: Tam giác A’B”C” là ảnh của tam giác ABC qua 0 phép quay tâm G, góc quay 90 B" C Bài 10: Cho ABC đều có tâm O và phép quay tâm O, góc quay 1200. a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay Q 0 (O,120 ) b) Tìm ảnh của ABC qua phép quay Q 0 (O,120 ) A OA OB Giải: a) Ta có: Q 0 (A) = B; 0 (O,120 ) (OA,OB) 120 OB OC OC OA 120 O Q 0 (B) = C; Q 0 (C) = A 120 0 (O,120 ) 0 (O,120 ) (OB,OC) 120 (OC,OA) 120 120 b) Vậy: Q 0 ( ABC) = BCA B (O,120 ) C Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O 0 a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90 E D C b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900 Giải: a) Dựng AE = AC và (AE, AC) = 900 O Vậy: Q 0 (C) = E (A,90 ) b) Ta có: Q 0 (B) = C; Q 0 (C) = D B (O,90 ) (O,90 ) A Vậy: Q 0 (BC) = CD (O,90 ) Bài 12: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của 0 A M AMN qua phép quay tâm O, góc quay 90 . B Giải: Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của OA và OD Ta có: Q 0 (A) = D; Q 0 (M) = N (O,90 ) (O,90 ) M' ’ ’ Q 0 (M ) = N N (O,90 ) O ’ ’ Vậy: Q 0 ( AMN) = DM N (O,90 ) N' D C Bài 13: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 600 và qua phép tịnh tiến theo vectơ OE 6
7. F Giải: Ta có: * Q 0 (O) = O; Q 0 (A) = B; Q 0 (B) = C A (O,60 ) (O,60 ) (O,60 ) E Q 0 ( OAB) = OBC (O,60 ) *  (O) = E;  (B) = O;  (C) = D O TOE TOE TOE Vậy:  ( OBC) = EOD TOE B D C Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm của AB. F a) Tìm ảnh của AIF qua phép quay Q 0 (O,120 ) A b) Tìm ảnh của AOF qua phép quay Q 0 E (E,60 ) Giải: a) Gọi J là trung điểm của CD I Ta có: Q 0 (A) = C; Q 0 (I) = J; Q 0 (F) = B O (O,120 ) (O,120 ) (O,120 ) Vậy: Q 0 ( AIF) = CJB B D (O,120 ) J b) Ta có: Q 0 (A) = C; Q 0 (O) = D; Q 0 (F) = O (E,60 ) (E,60 ) (E,60 ) C Vậy: Q 0 ( AOF) = CDO (E,60 ) Bài 15: Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (hình bên). Tìm ảnh của ABG trong phép quay 0 tâm B, góc quay -90 . D C Giải: Ta có: Q 0 (A) = C; Q 0 (B) = B; Q 0 (G) = E (B, 90 ) (B, 90 ) (B, 90 ) G F Vậy: Q 0 ( ABG) = CBE (B, 90 ) A E B Bài 16: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm một phép quay biến AOF thành CDO F EA EC Giải: Ta thấy: * Q (A) = C A E 0 (E,600 ) (EA,EC) 60 O EO ED EF EO * Q (O) = D; * Q (F) = O 0 (E,600 ) 0 (E,600 ) (EO,ED) 60 (EF,EO) 60 Vậy: Q ( AOF) = CDO B D (E,600 ) C Bài 17: Cho hai tam giác đều ABD và CBE (hình bên). Tìm một phép quay biến ACD thành BCE. BA BC Giải: Ta thấy: * Q (A) = C C 0 (B, 600 ) (BA,BC) 60 BD BE * Q (B) = B * Q (D) = E D (B, 600 ) 0 (B, 600 ) (BD,BE) 60 Vậy: Q ( ABD) = CBE (B, 600 ) 3. Bài tập tự luyện: A B E Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(4; -2) b) B(-5; 3) c) C(-6; -7) d) D(2; 9) ĐS: a) A’(2; 4) b) B’(-3; -5) c) C’(7; -6) d) D’(-9; 2) 7
8. Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) E(3; 5) b) F(-4; 6) c) M(7; -2) d) N(-3; -8) ĐS: a) E’(5; -3) b) F’(6; 4) c) M’(-2; -7) d) N’(-8; 3) Bài 3: Tìm tọa độ của điểm M sao cho Q 0 (M) N , biết: (O,90 ) a) N(-3; 2) b) N(4; -7) c) N(-5; -1) d) N(5; 9) ĐS: a) M(2; 3) b) M(-7; -4) c) M(-1; 5) d) M(9; -5) Bài 4: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: a) F(4; 7) b) F(3; -2) c) F(5; -6) d) F(-3; -8) ĐS: a) E(-7; 4) b) E(2; 3) c) E(6; 5) d) E(8; -3) Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết : a) d: 2x – 3y + 2 = 0 b) d: 3x + y = 0 c) d: y – 3 = 0 d) d: x + 1 = 0 e) d: – 4x + 2y + 3 = 0 f) d: 2x + 5y – 2 = 0 g) d: x – 7y – 3 = 0 ĐS: a) d’: 3x + 2y + 2 = 0 b) d’: x – 3y = 0 c) d’: x + 3 = 0 d) d’: y + 1 = 0 e) d’: 2x + 4y – 3 = 0 f) d’: 5x – 2y – 2 = 0 g) d’: 7x + y – 3 = 0 Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết : a) d: x + 3y – 1 = 0 b) d: 2x – y + 5 = 0 c) d: 3x – 2y = 0 ĐS: a) d’: 3x – y – 1 = 0 b) d’: x + 2y – 5 = 0 c) d’: 2x + 3y = 0 Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) (C): x2 + (y – 2)2 = 4 c) (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = 9 b) (C’): (x + 2)2 + y2 = 4 c) (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16 Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25 c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – 8 = 0 ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16 b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25 c) (C’): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49 Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua phép quay tâm O góc 600. Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và tâm O. a) Tìm ảnh của OC qua phép quay tâm B, góc quay 900 b) Tìm ảnh của AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900 Bài 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm a) Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900 b) Tìm ảnh của đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900 Bài 12: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm một phép quay biến ABC thành chính nó. Bài 13: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm một phép quay biến hình vuông ABCD thành chính nó. Bài 14: Cho ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1 a) Tìm một phép quay biến AC1C thành ABB1 b) Tìm một phép quay biến ACA1 thành B1CB IV. Phép vị tự: 1. Lý thuyết: x kx ’ a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M . Ký hiệu: V(O,k) (M) M y ky ’ b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C ). Viết: V(O,k) (C) (C ) Gọi I, R và I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) và (C’) ’ Khi đó: V(O,k) (I) I và R = k R 8
9. 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 2 a) A(-3; 4), k = -2 b) B(2; -6), k = c) C(4; 5), k = 3 d) D(-3; -12), k = 2 3 Giải: a) V(O, 2) (A) A (6; -8) b) V 1 (B) B (1; -3) (O, ) 2 c) V(O,3) (C) C (12; 15) d) V 2 (D) D (2; 8) (O, ) 3 Bài 2: Tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 1 a) B(-2; 6), k = 2 b) B(0; 3), k = c) B(3; -1), k = -3 d) B(-5; -2), k = 3 2 Giải: a) V(O,2) (A) B A(-1; 3) b) V 1 (A) B A(0; 9) (O, ) 3 1 c) V(O, 3) (A) B A(-1; ) d) V 1 (A) B A(10; 4) (O, ) 3 2 Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k) (A) A : a) A(-2; 4), A’(1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10) c) A(-3; -8), A’(-9; -24) 1 Giải: a) V (A) A k = b) V (A) A k = 2 c) V (A) A k = 3 (O,k) 2 (O,k) (O,k) Bài 4: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3 b) d: x – 4y + 2 = 0, k = 2 ’ ’ Giải: a) * Cách 1: Gọi V(O, 3) (d) d d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = 0 ’ Chọn A(2; 3) d V(O, 3) (A) A (-6; -9) d . Khi đó: -24 + 27 + C = 0 C = -3 Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0 ’ ’ * Cách 2: Chọn A(2; 3) d V(O, 3) (A) A (-6; -9) d và B(-1; -1) d V(O, 3) (B) B (3; 3) d x x y y x 6 y 9 PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: A A 12x – 9y – 9 = 0 x B x A yB yA 3 6 3 9 4x – 3y – 3 = 0 ’ ’ b) * Cách 1: Gọi V 1 (d) d d // d nên PT đt d có dạng: x – 4y + C = 0 (O, ) 2 ’ Chọn A(-2; 0) d V 1 (A) A (-1; 0) d . Khi đó: -1 + C = 0 C = 1 (O, ) 2 Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + 1 = 0 ’ * Cách 2: Chọn A(-2; 0) d V 1 (A) A (-1; 0) d’ và B(6; 2) d V 1 (B) B (3; 1) d (O, ) (O, ) 2 2 x x y y x 1 y 0 PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: A A x – 4y + 1 = 0 x B x A yB yA 3 1 1 0 Bài 5: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4 2 Giải: a) Gọi V 1 (C) (C ) . Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) và bán kính R = 1 (O, ) 2 ’ 1 1 ’ 2 2 1 Khi đó: V 1 (I) I (-1; 2) và bán kính R = R = . Vậy: (C ): (x + 1) + (y – 2) = (O, ) 2 2 2 4 b) Gọi V(O,4) (C) (C ). Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4 9
10. ’ ’ 2 2 Khi đó: V(O,4) (I) I (12; -8) và bán kính R = 4 R = 16. Vậy: (C ): (x – 12) + (y + 8) = 256 Bài 6: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết: 1 2 a) k = b) k = 2 c) k = M 2 3     1 1 B Giải: a) Dựng AD AB, AE AC V 1 (B) D và V 1 (C) E 2 2 (A, ) (A, )     2 2 D b) Dựng AM 2AB , AN 2AC P A N E C V(A,2) (B) M và V(A,2) (C) N  2   2  Q c) Dựng AQ AB, AP AC V 2 (B) Q và V 2 (C) P (A, ) (A, ) 3 3 3 3 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O. Tìm ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2   A' Giải: a) Dựng OA 2OA V (A) A B'   (O ,2)  A OB 2OB V (B) B ; OC 2OC V (C) C B   (O,2) (O,2) O C OD 2OD V(O,2) (D) D . D D' Vậy: A’B’C’D’ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị C' tự tâm O, tỉ số k = 2 3. Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 5), tỉ số k = -3 b) B(4; -1), tỉ số k = 2 c) C(-1; 3), tỉ số k = 4 1 2 1 d) D(-2; -8), tỉ số k = e) E(3; 9), k = f) F(3; -7), tỉ số k = 2 3 3 7 ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2) c) C’(-4; 12) d) D’(1; 4) e) E’(2; 6) f) F’(1; ) 3 Bài 2: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 1 a) F(-2; 8), tỉ số k = 2 b) F(3; -2), tỉ số k = c) F(5; 1), tỉ số k = 2 4 ĐS: a) E(-1; 4) b) E(6; -4) c) F(-20; -4) Bài 3: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 5x – 2y + 2 = 0, tỉ số k = 3 b) d: 3x + y – 4 = 0, tỉ số k = -2 1 2 c) d: 4x – y = 0, tỉ số k d) d: x + 3y – 2 = 0, tỉ số k = 3 3 ĐS: a) d’: 5x – 2y + 6 = 0 b) d’: 3x + y + 8 = 0 c) d’: 4x – y = 0 d) d’: 3x + 9y + 4 = 0 Bài 4: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3 b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0, tỉ số k = 4 1 1 c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k = d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + 3 = 0, tỉ số k = 2 3 ĐS: a) (C’): (x + 9)2 + (y – 3)2 = 4 b) (C’): (x – 4)2 + (y + 12)2 = 12 c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 9 d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua 1 phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k = b) Tâm G, tỉ số k = 2 c) Tâm A, tỉ số k = -2 2 Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh 1 BC, CA, AB. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k = 2 10