Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Năm học 2012-2013

1. HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 A. Lý thuyết: 1) * Mặt phẳng . Kí hiệu: mp( ) hay ( ) * d nằm trong ( ). Viết: d  ( ) * A thuộc mp( ). Viết: A ( ) 2) Cách xác định một mặt phẳng: a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Viết: mp(ABC) hay (ABC) b) Một điểm A và một đường thẳng d không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. Viết: mp(A, d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A) c) Hai đường thẳng a và b cắt nhau thuộc mặt phẳng. Viết: mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a) 3) Nguyên tắc vẽ hình học không gian: a) Hai đường thẳng song song phải được vẽ song song b) Hai đường thẳng song song và bằng nhau phải được vẽ song song và bằng nhau c) Trung điểm của đoạn thẳng phải được lấy ngay tại điểm chính giữa của đoạn thẳng ấy d) Hai đường thẳng cắt nhau thì phải được vẽ cắt nhau e) Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt ( ) f) Hai góc bằng nhau không nhất thiết phải vẽ bằng nhau nên góc vuông có thể vẽ là góc tù hay nhọn 4) * Nếu d  ( ) và A d thì A ( ) * Nếu A ( ) và B ( )thì AB ( ) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) Phương pháp: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Chẳng hạn: I (ABC), I (MNP) và J (ABC), J (MNP) suy ra: IJ là giao tuyến của hai mp(ABC) và mp(MNP). Viết: IJ (ABC)  (MNP) * Điểm chung thứ nhất thường được biết trước (nhưng cũng có thể phải tìm) * Điểm chung thứ hai là giao điểm hai đường thẳng còn lại không đi qua điểm chung thứ nhất b) Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. ABCD có AD và BC không song song. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SAC) và (SBD) b) (SAD) và (SBC) Giải: a) Ta có: S là điểm chung thứ nhất của hai mp(SAC) và (SBD) S Ta lại có: BD  AC O Nên: O AC O (SAC) và O BD O (SBD) Suy ra: O là điểm chung thứ hai của hai mp(SAC) và (SBD) Vậy: SO là giao tuyến của hai mp(SAC) và (SBD) A b) Ta có: S là điểm chung thứ nhất của hai mp(SAD) và (SBC) D E Vì AD và BC không song song. Gọi E AD  BC O Nên: E AD E (SAD) và E BC E (SBC) C Suy ra: E là điểm chung thứ hai của hai mp(SAD) và (SBC) B Vậy: SE là giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC) Bài 2: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao AM AN cho 1 và 2. Xác định giao tuyến của mp(DMN) với các mp(ABD), (ACD), (ABC), BM NC A (BCD) Giải: * (DMN)(ABD) = ? Ta có: D là điểm chung thứ nhất của hai mp(DMN) và (ABD) M Ta lại có: M (DMN) và M AB M (ABD) D Suy ra: M là điểm chung thứ hai của hai mp(DMN) và (ABD) N Vậy: DM = (DMN)(ABD) B 1 C E
2. * (DMN)(ACD) = ?. Ta có: D là điểm chung thứ nhất của hai mp(DMN) và (ACD) Ta lại có: N AC N (ACD) và N (DMN) Suy ra: DN là điểm chung thứ hai của hai mp(DMN) và (ACD) Vậy: DN = (DMN)(ACD) * (DMN)(ABC) = ?. Ta có: M AB M (ABC) và M (DMN) Suy ra: M là điểm chung thứ nhất của hai mp(DMN) và (ABC) Ta lại có: N AC N (ABC) và N (DMN) Suy ra: N là điểm chung thứ hai của hai mp(DMN) và (ABC) Vậy: MN = (DMN)(ABC) * (DMN)(BCD) = ?. Ta có: D là điểm chung thứ nhất của hai mp(DMN) và (BCD) Vì MN và BC không song song. Gọi E MN  BC Nên: E MN E (DMN)và E BC E (BCD) Suy ra: E là điểm chung thứ hai của hai mp(DMN) và (BCD) Vậy: DE = (DMN)(BCD) Bài 3: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. a) Hãy xác định giao tuyến của hai mp(IJM) và (ACD) b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mp(MNJ) và (ABC) P Giải: a) Ta có: M là điểm chung thứ nhất của hai mp(IJM) và (ACD) A Vì IJ và CD không song song. Gọi K IJ  CD Q Nên: K IJ K (IJM) và K CD K (ACD) L Suy ra: K là điểm chung thứ hai của hai mp(IJM) và (ACD) Vậy: MK = (IJM)(ACD) N M b) Ta có: L JN  AB J D Nên: L JN L (MNJ)và L AB L (ABC) B Suy ra: L là điểm chung thứ nhất của hai mp(MNJ) và (ABC) I Gọi P JN  AD và Q AC  MP C Nên: Q AC Q (ABC) và Q MP  (MNJ) Q (MNJ) K Suy ra: Q là điểm chung thứ hai của hai mp(MNJ) và (ABC) Vậy: LQ = (MNJ)(ABC) 1 Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy M với AM AB. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, 3 A AD. Tìm giao tuyến của hai mp(MIK) và (BCD) Giải: Ta có: MK và BD không song song. Gọi P MK  BD M Nên: P MK P (MIK) và P BD P (BCD) K Suy ra: P là điểm chung thứ nhất của hai mp(MIK) và (BCD) Ta lại có: MI và BC không song. Gọi Q MI  BC I D Nên: Q BC Q (BCD) và Q MI Q (MIK) B P Suy ra: Q là điểm chung thứ nhất của hai mp(MIK) và (BCD) Vậy: PQ = (MIK)(BCD) C Q c) Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mp: 2
3. a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) HD: a) Gọi O = AC  BD . (SAC)(SBD) = SO b) Gọi E CD  AB. (SAB)(SCD) = SE c) Gọi F AD  BC . (SAD)(SBC) = SF Bài 2: Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mp(ECD) với các mp(ABC), (ABD), (BCD) và (ACD) HD:*(ECD)(ABC) = EC;*(ECD)(ABD) = ED;*(ECD)(BCD) = CD;*(ECD)(ACD) = CD Bài 3: Cho S làmột điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). HD: Gọi O AC  BD . (SAC)(SBD) = SO Bài 4: Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mp(SAC) với các mp(SAD), (SCE) và (SBE). HD: * (SAC)(SAD) = SA; * (SAC)(SCE) = SC; * Gọi AC  BE . (SAC)(SBE) = SO Bài 5: Cho 4 điểm S, A, B, C không đồng phẳng. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) (SAN) và (SCM) b) (SCM) và (BIC) HD: a) Gọi O AN  CM . (SAN)(SCM) = SO b) Gọi J SM  BI . (SCM)(BIC) = CJ Bài 6: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của ABC. Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh CD và BD sao cho IJ không song song với BC a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ABC) b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của ABD sao cho JN cắt AD tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ACD) HD: a) Gọi K IJ  BC . (IJM)(ABC) = MK b) Gọi P JN  AB và Q MP  AC . (MNJ)(ACD) = LQ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện AB và CD không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SBM) và (SCD) b) (ABM) và (SCD) c) (ABM) và (SAC) HD: a) (SBM)(SCD) = SM b) Gọi N AB CD. (ABM)(SCD) = MN c) Gọi P MN  AC. (ABM)(SAC) = AP Bài 8: Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NAD). HD: (MBC)(NAD) = MN Bài 9: Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: a) (AMN) và (ABC) b) (ABN) và (ACM) HD: a) Gọi P MN  BC .(AMN)(ABC) = AP b) Gọi Q BN  CM. (ABN)(ACM) = AQ Bài 10: Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm tùy ý trên SB, AB, BC sao cho JK không song song với AC và SA không song song với IJ. Định giao tuyến của hai mp(IJK) và (SAC) HD: Gọi P JK  AC và Q IJ  SA . (IJK)(SAC) = PQ Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Định giao tuyến của mp(EFG) với các mp(BCD) và (ACD) HD: * (EFG)(BCD) = IG * (EFG)(ACD) = FH Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mp: a) (SAM) và (SBD) b) (SBM) và (SAC) HD: * Gọi P AM  BD. (SAM)(SBD) = SP; * Gọi Q AC  BM . (SBM)(SAC) = SQ Bài 13: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trong ABC và ACD. Tìm giao tuyến của: a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) HD: * Gọi Q AM  BC và P AN  CD . (AMN)(BCD) = PQ * Gọi E CM  AB và E CN  AD. (CMN)(ABD) = EF 1 Bài 14: Cho tứ diện ABCD. M nằm trên AB sao cho AM = MB. N nằm trên AC sao cho AN = 3NC. 4 Điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tyến của mp(MNI) với các mp(BCD), (ABD) và (ACD) HD: * Gọi E BC  MN . (MNI)(BCD) = IE; * Gọi P IE  BD . (MNI)(ABD) = MP * Gọi Q IE  CD. (MNI)(ACD) = NQ Bài 15: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. 3
4. a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD) b) M là điểm trên AB, N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) HD: a) (IBC)(JAD) = IJ b) Gọi P DN  CI và Q BI  DM. (IBC)(DMN) = PQ AM AN Bài 16: Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho . Tìm giao MB NC tuyến của hai mp(DMN) và (BCD). HD: Gọi E MN  BC. (DMN)(BCD) = DE 2) Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) a) Phương pháp: ➢ Phương pháp 1: 1) Tìm a  ( ) 2) Chỉ ra được d  a M . Suy ra: d  ( ) M (hình 1) ➢ Phương pháp 2: 1) Tìm () chứa d 2) Tìm giao tuyến của ( ) và (). Chẳng hạn: ( )() = a d 3) Trong (), chỉ ra d  a M . Suy ra: d  ( ) M (hình 2)  d M a Hình 2 M a Hình 1 b) Bài tập mẫu: A Bài 1: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. K Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mp(BCD) Giải: Gọi J AG  BC G Ta có: + DJ (BCD) B D + E DJ  GK (vì GK và DJ không song song) J Vậy: GK(BCD) = E E C A Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên 1 3 các cạnh AB, AD với AI IB và AJ JD . I 2 2 Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD) J Giải: Ta có: + BD  (BCD) B K + K IJ  BD (vì IJ và BD không song song) D Vậy: IJ (BCD) = K C Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên 1 2 4 A các cạnh AB, BC, CD sao cho AI AB, BJ BC, CK CD . 3 3 5 Tìm giao điểm của mp(IJK) và AD. I Giải: Vì BD và JK không song song. Gọi E IJ  BD Khi đó: + IE  (IJK) F D + F IE  AD B E Vậy: AD(IJK) = F K J 4 C
5. Bài 4: Cho tam giác ABC và một điểm O ở ngoài mp(ABC). Trên các đoạn OA, OB, OC ta lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ O không trùng với các đầu mút các đoạn thẳng đó. Trong tam giác ABC lấy điểm M. Tìm giao điểm của: C' a) B’C’ với mp(OAM) b) OM với mp(A’B’C’) A' ’ ’ D' Giải: a) B C  (OAM) = ? M' Gọi D AM  BC OD  (OAM) B' Gọi D B C  OD . A C ’ ’ Vậy: B C  (OAM) = D M b) OM  (A’B’C’) = ? D Gọi M A D  OM và A D  (A B C ) B Vậy: OM  (A’B’C’) = M Bài 5: Cho 4 điểm S, A, B, C không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên đoạn SC, ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS. S a) Tìm giao điểm của BC và mp(IHK) b) Gọi M là trung điểm của IH. Tìm giao điểm của KM với mp(ABC) K Giải: a) Vì IK và AC không song song I Gọi D AC  IK   Gọi E DH BC và DH (IHK) M A Vậy: BC  (IHK) = E D C b) Ta có: DE  (ABC) N Gọi N DE  KM H E Vậy: KM  (ABC) = N B Bài 6: Cho hình thang ABCD đáy lớn AB và S (ABCD). Lấy I, J, K S lần lượt trên SA, SB, SC. a) Tìm giao điểm của IK với mp(SBD) b) Tìm giao điểm của (IJK) với SD, SC Giải: a) Gọi O AC  BD I J Gọi L IK  SO và SO  (SBD) L H Vậy: IK  (SBD) = L K b) * Ta có: K JK  SC và JK  (IJK) A B Vậy: (IJK)  SC = K * Gọi H JL  SD và JL  (IJK) O Vậy: (IJK)  SD = H D C Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt S trên AD và SB. a) Tìm giao điểm K của MN và (SAC) b) Tìm giao điểm L của DN với (SAC) Giải: a) Gọi O BM  AC N L Gọi K MN  SO và SO  (SAC) K Vậy: MN  (SAC) = K A D M b) Gọi I BD  AC O Gọi L DN  SI và SI  (SAC) I Vậy: DN  (SAC) = L B c) Bài tập tự luyện: C Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD không phải là trung điểm . Tìm giao điểm của: a) CD với mp(MNK) b) AD và mp(MNK) HD: a) Gọi E CD  NK ; CD  (MNK) = E b) Gọi F AD  ME ; AD  (MNK) = F 5
6. Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với BC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD. a) Tìm giao điểm của MN và mp(BCD) b) Mp(OMN) cắt các đường thẳng BD và CD tại H và K. Xác định các điểm H và K HD: a) Gọi E MN  BC ; MN  (BCD) = E b) * Gọi H OE  BD ; DB  (OMN) = H * Gọi K OE  CD ; CD  (OMN) = K Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, AB, BC. Giả sử đường thẳng JK cắt các đường thẳng AD, CD tại M, N. Tìm giao điểm của các đường thẳng SD và SC với mp(IJK). HD: * Gọi P IM SD ; SD  (IJK) = P * Gọi Q PN SC ; SC  (IJK) = Q Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt trên các cạnh AC, BC, BD. a) Tìm giao điểm của CP với mp(MND) b) Tìm giao điểm của AP và mp(MND) HD: a) * Gọi I = ND  CP ; CP(MND) = I b) Gọi J = IMAP; AP(MND) = J Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lấn lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp(MNP) HD: Gọi K = NPCD; CD(MNP) = K Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là điểm tùy ý trên cạnh SD. a) Tìm giao điểm K của IM với mp(SBC) b) Tìm giao điểm N của SC với mp(IJM) HD: a) Gọi P = ADBC; Gọi K = SPIM = K; IM((SBC) = K b) Gọi N = JKSC; SC(IJM) = N Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. K là điểm trên cạnh BD và không trùng vối trung điểm của BD. a) Tìm giao điểm của CD và (MNK) b) Tìm giao điểm của AD và (MNK) HD: Gọi H = NKCD; CD(MNK) = H b) Gọi J = HMAD; AD(MNK) = J Bài 8: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là 2 điểm trên cạnh AC, AD. O là 1 điểm bên trong BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO) b) AO và (BMN) HD: a) Gọi P = BOCD; Gọi K = APMN; MN(ABO) = K b) Gọi H = BKAO; AO(BMN) = H 3) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy: a) Phương pháp: + CM 3 điểm thẳng hàng (hoặc nhiều điểm thẳng hàng), ta chứng minh chúng là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt + CM 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một b) Bài tập mẫu: A Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD sao cho PN cắt CD tại I, PM cắt BD tại J, MN cắt BC tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng P Giải: Ta có: * I = PNCD I là điểm chung của 2 mp(MNP) và (BCD) M * J = PMBD J là điểm chung của 2 mp(MNP) và (BCD) J D * K = MNBC K là điểm chung của 2 mp(MNP) và (BCD) B N Vậy: 3 điểm I, J, K thẳng hàng S C I Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Lấy điểm M trên cạnh SD. K AB cắt CD tại K M a) Xác định giao điểm L của đường thẳng SC với mp(ABM) L b) Chứng minh rằng 3 điểm M, L, K thẳng hàng Giải: a) Ta có: K = ABCD. Gọi L = MKSC A Vậy: L = SC(ABM) (vì MK (ABM)) B K 6 D C
7. b) Ta có: * M là điểm chung của 2 mp(ABM) và (SCD) * L là điểm chung của 2 mp(ABM) và (SCD) * K là điểm chung của 2 mp(ABM) và (SCD) Vậy: 3 điểm M, L, K thẳng hàng Bài 3: Cho tứ diện ABCD, I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB, M và N lần lượt là hai 1 1 K điểm thuộc cạnh AD, DC sao cho MA = MD, ND = NC. 2 2 a) Tìm giao tuyến PQ của (IMN) và (ABC) b) Chứng minh rằng MN, PQ và AC đồng quy. A Giải: a) * Gọi P = INBC Nên: P IN P (IMN) và P BC P (ABC) M P là điểm chung thứ nhất của 2 mp(IMN) và (ABC) Q * Gọi Q = IMBD Nên: Q IM Q (IMN) và Q BD Q (ABC) I B D Q là điểm chung thứ hai của 2 mp(IMN) và (ABC) P Vậy: PQ = (IMN) (ABC) N b) * Trong mp(ACD), ta có: AC cắt MN tại K * Trong mp(ABC), ta có: PQ cắt AC tại K C * Trong mp(IMN), ta có: MN cắt PQ tại K Vậy: MN, PQ và AC đồng quy tại K (vì MN, PQ và AC không đồng phẳng) A Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N, P lần lượt trên AB, AC, BD sao cho MN cắt BC tại I, MP cắt AD tại J. M Chứng minh rằng PI, NJ, CD đồng quy Giải: * Trong mp(BID), ta có: PI cắt CD tại K N * Trong mp(ACJ), ta có: NJ cắt CD tại K P * Trong mp(MIJ), ta có: NJ cắt PI tại K B D Vậy: PI, NJ, CD đồng quy tại K K J (vì PI, NJ, CD không đồng phẳng) C I c) Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. a) Chứng minh rằng S, I, J thẳng hàng b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: SO, AM, BN đồng quy Bài 2: Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm I trên đường thẳng BD sao cho I không thuộc đoạn thẳng BD. Trong mặt phẳng (ABD), ta kẻ một đường thẳng đi qua I và cắt đoạn thẳng AB tại K, cắt đoạn thẳng AD tại L. Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng qua I cắt CB và CD lần lượt tại M, N. a) Gọi E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của KN và LM. Chứng minh rằng 3 điểm A, E, F thẳng hàng b) Giả sử hai đường thẳng LN và KM cắt nhau tại H. CMR: 3 điểm A, C, H thẳng hàng Bài 3: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng ( ) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mp() qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q. a) Gọi I = AMDN, J = BPEQ. CMR: 4 điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Giả sử ANDM = K, BQEP = L. CMR: 3 điểm S, K, L thẳng hàng Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD và S (ABCD). Gọi M là điểm trên SC, gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Tìm giao điểm N của SB và mp(ADM) b) Chứng minh rằng SO, AM, DN đồng quy 7
8. Bài 5: Cho tứ diện ABCD, lấy I, J lần lượt trên cạnh AB, AC với IJ không song song với BC. Lấy điểm O trong tam giác BCD a) Tìm các giao điểm E, F, G của (OIJ) với CD, BD, AD b) Chứng minh rằng AD, EJ, IF đồng quy Bài 6: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD. Các điểm R, S lần lượt thuộc AD, 1 1 AC sao cho AR = AD, AS = AC. Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, MS, NR đồng quy 3 3 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của hai đường chéo, M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. Chứng minh rằng 3 đường thẳng SO, BN, CM đồng quy 4. Xác định thiết diện: a) Phương pháp: Xác định thiết diện của hình chóp với mp(P: Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp đến khi các giao tuyến này khép kín thì ta sẽ được một thiết diện b) Bài tập mẫu: S Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. M F Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp(AMN) N Giải: Ta có: * (SBC)(AMN) = MN * (SAB) (AMN) = AM P B C Gọi E = ADBC, F = MNSE , P = AFSD E * (SAD)(AMN) = AP * (SCD)(AMN) = NP D Vậy: Thiết diện cần tìm là tứ giác AMNP A Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM) S Giải: Ta có: * (ABM)(ABCD) = AB Gọi O = ACBD, I = SOBM, E = AISC, F = EMSD F * (ABM)(SBC) = BE * (ABM)(DCS) = EF M * (ABM)(SAD) = AF Vậy: Thiết diện cần tìm là tứ giác ABEF A D I E O B Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một hình bình hành. C Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh CB và CD. S M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK) Giải: Ta có: * (MHK)(ABCD) = HK M Gọi I = HKAB, J = HKAD F E = MISB, F = MJSD E A J * (MHK)(SBC) = HE D * (MHK)(SAB) = EM K * (MHK)(SAD) = MF B H C * (MHK)(SCD) = FK I Vậy: Thiết diện cần tìm là ngũ giác HEMFK c) Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Một điểm M trên cạnh SD sao cho SD = 3SM. a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD) b) Xác định giao điểm I của BM và (SAC) 8
9. c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp(MAB) Bài 2: Cho tứ diện ABCD, điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB, N là hai điểm thuộc 1 1 cạnh AD, DC sao cho MA MD , ND NC 2 2 a) Xác định giao tuyến PQ của (IMN) và (ABC) b) Xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện c) Chứng minh MN, PQ, AC đồng quy Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD) b) Tìm giao điểm F của SD với (AMB) c) Xác định thiết diện tạo bởi (AMB) và hình chóp S.ABCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm của SD với (AMN) c) Tìm thiết diện tạo bởi mP(AMN) và hình chóp S.ABCD BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho điểm A không nằm trên mp( ) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mp(ABC) b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mp(BCD) và DEF) Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy Bài 3: Cho tứ giác ABCD nằm trong mp( ) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mp( ) và M là trung điểm của đoạn SC. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mp(MAB) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy. Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNP) b) Tìm giao tuyến của hai mp(MNP) và (ACD) Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. a) Tìm giao tuyến của hai mp(IBC) và (KAD) b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB, AC. Tìm giao tuyến của hai mp(IBC) và (DMN) Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mp(PMN) và (BCD) b) Tìm giao điểm của mp(PMN) và BC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mp đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE) b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(C’AE) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM) b) Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC) c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC) d) Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM) 9