Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Năm học 2012-2013
Bạn đang xem tài liệu "Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Năm học 2012-2013", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- huong_dan_on_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_3_nam_hoc_2012_2013.doc
Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Năm học 2012-2013
- HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG III HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 A. Lý thuyết: 1. Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng: * Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng ( ). Ký hiệu: d ( ) d a ( ) d ( ) * Nếu d a * Nếu d b ( ) d ( ) a ( ) a và b cắt nhau d AC * Trong tam giác ABC, nếu d BC d AB ( ) AB tại I * Nếu ( ) là mặt phẳng trung trực của AB I là trung điểm của AB (tức là IA IB) * Nếu M thuộc mp trung trực của AB thì MA = MB * Nếu AB, AC, AD cùng vuơng gĩc với đt d thì AB, AC, AD đồng phẳng (phải chung một điểm A) a// b ( )//() * Nếu b ( ) * Nếu d () a ( ) d ( ) A d ( ) a ( ) * Nếu ( )//() * Nếu a // b d () b ( ) * Nếu AH ( ) thì + H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên ( ) O H + OH là hình chiếu vuơng gĩc của AO trên ( ) + A· OH là gĩc giữa AO và mp( ) với 00 A· OH 900 b là hình chiếu vuông góc của b trên ( ) * Định lý ba đường vuơng gĩc: Nếu a b a b * Nếu: + O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC + Đường thẳng d đi qua O và vuơng gĩc với ABC d là trục của ABC. Khi đĩ: M d MA = MB = MC * Giao điểm của 3 đường trung trực của ABC là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC * Nếu ABC là tam giác vuơng tại A thì tâm đường trịn ngoại tiếp của ABC là trung điểm của cạnh huyền BC * Nếu ABC là tam giác đều thì tâm đường trịn ngoại tiếp của ABC là giao điểm của 3 đường cao (hoặc 3 đường phân giác, 3 đường trung tuyến, 3 đường trung trực) * Nếu ABCD là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật) thì tâm đường trịn ngoại tiếp hình vuơng là giao điểm của 2 đường chéo * Trong tam giác : + Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm + Giao điểm của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm Bài tập mẫu Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng d a ( ) d AC Sử dụng: * Nếu d b ( ) d ( ) * ABC, Nếu d BC d AB a và b cắt nhau b là hình chiếu vuông góc của b trên ( ) * Định lý ba đường vuơng gĩc: Nếu a b a b 1
- Bài 1: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại B và cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABC). a) Chứng minh rằng: BC (SAB) b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh : AH SC Giải: Phân tích cách giải (phương pháp phân tích đi lên): (nháp) a) B C ( S A B ) Trình bày: Ta cĩ: + BC AB (gt) + BC SA (vì SA (ABC) ) Vậy: BC (SAB) (đpcm) BC AB (gt) BC SA (vì SA (ABC) S b) AH SC AH (SBC) H AH SB (gt) (1) AH BC A C BC (SAB) (cm câu a) (2) Trình bày: Ta cĩ: AH SB(gt) (1) Ta lại cĩ : BC (SAB)(cm câu a) BC AH (SAB)(2) B Từ (1) và (2) AH (SBC) AH SC(đpcm) Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, SA (ABCD) a) Chứng minh rằng : DB (SAC) , CD (SAD) và BC (SAB) b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SC và SD. Chứng minh: IJ (SAD) Giải: a) * DB (SAC) : DB (SAC) S DB AC (gt) DB SA (vì SA (ABCD)) Trình bày: Ta cĩ: + DB AC (gt) J + DB SA (vì SA (ABCD)) Vậy: DB (SAC) (đpcm) I A * CD (SAD) : CD (SAD) D CD AD (gt) CD SA (vì SA (ABCD)) B Trình bày: Ta cĩ: + CD AD (gt) C + CD SA (vì SA (ABCD)) Vậy: CD (SAD) (đpcm) * CD (SAD) : BC (SAB) BC AB (gt) BC SA (vì SA (ABCD)) Trình bày: Ta cĩ: + BC AB (gt) + BC SA (vì SA (ABCD)) Vậy: BC (SAB) (đpcm) b) IJ (SA D ) Trình bày: Ta cĩ: + CD (SAD) + IJ // CD (đường TB) IJ // CD CD (SAD) (cmt) Vậy: IJ (SAD) (đpcm) Bài 3: Cho tứ diện SABC cĩ SA vuơng gĩc với mp(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui b) SC (BHK) c) HK (SBC) Giải: a) Trình bày: Gọi I là giao điểm của SK và BC Ta cĩ: + BC SK (gt) + BC SA (vì SA (ABC)) 2
- BC (SAI) BC AI AI là đường cao của ABC H AI (H là trực tâm của ABC) Vậy: AH, SK, BC đồng qui tại I (đpcm) Phân tích: Gọi I là giao điểm của SK và BC S AH, SK, BC đồng quy tại I H AI AI là đường cao của ABC K BC AI A C H I BC (SAI) B BC SK (gt) BC SA (vì SA (ABC)) b) SC (BHK) SC (BHK) SC BK (K là trực tâm SBC) SC BH BH (SAC) BH AC (H là trực tâm ABC) BH SA (vì SA (ABC)) Trình bày: Ta cĩ: + BH AC (H là trực tâm ABC) + BH SA (vì SA (ABC)) BH (SAC) SC BH và SC BK (K là trực tâm SBC) SC (BHK) (đpcm) c) HK (SBC) . Ta cĩ: + SC (BHK) (theo câu b) HK SC (1) Ta lại cĩ: + BC (SAI) HK (theo câu a) HK BC (2) Từ (1) và (2) HK (SBC) (đpcm) Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, SA vuơng gĩc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng: AH SC và AK SC. Từ đĩ suy ra AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng b) Chứng minh rằng: HK (SAC). Từ đĩ suy ra HK AI Giải: a) * Ta cĩ: AH SB (gt) (1) S Ta lại cĩ: + BC AB (gt) + BC SA (vì SA (ABCD)) I BC (SAB) AH BC AH (2) K Từ (1) và (2) AH (SBC) AH SC (đpcm) (a) * Ta cĩ: AK SD (gt) (1) H Ta lại cĩ: + CD AD (gt) A D + CD SA (vì SA (ABCD)) CD (SAD) AK CD AK (2) O B Từ (1) và (2) AK (SCD) AK SC (đpcm) (b) C * AI SC (c). Từ (a), (b) và (c) AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng b) Ta cĩ: + BD AC (đường chéo hình vuơng ABCD) + BD SA (vì SA (ABCD)) BD (SAC) (1) SK SH Ta cĩ: SAB = SAD SB = SD SH = SK HK // BD (2) SD SB Từ (1) và (2) suy ra: HK (SAC) AI HK AI 3
- A Phương pháp: Xác định và tính gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) a) Tìm hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng d trên mp( ) Cụ thể: Ta cĩ: AH ( ) OH là hình chiếu vuơng gĩc của AO trên ( ) A· OH là gĩc giữa AO và mp( ) với O = AO( ) 0 b) Nếu đt d vuơng gĩc với mp( ) gĩc giữa đt d và mp( ) bằng 90 O H c) Tính gĩc: Vận dụng tỉ số gĩc nhọn trong tam giác vuơng đối kề đối * sin * cos * tan huyền huyền kề d) Tính cạnh: Áp dụng: + Định lý Pitago cạnh 3 + Trong tam giác đều: đường cao = + Trong hình vuơng: đường chéo = cạnh 2 2 Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng ABCD cạnh a, cĩ cạnh SA = a 2 và SA vuơng gĩc với mp(ABCD) a) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên các đường thẳng SB, SD. Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mp(AMN) b) Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) S Giải: a) * Ta cĩ: AM SB (gt) (1) Ta lại cĩ: + BC AB (gt) N + BC SA (vì SA (ABCD)) BC (SAB) AM BC AM (2) M a 2 Từ (1) và (2) AM (SBC) AM SC (đpcm) (a) * Ta cĩ: AN SD (gt) (1) A D Ta lại cĩ: + CD AD (gt) B + CD SA (vì SA (ABCD)) C CD (SAD) AN CD AN (2) Từ (1) và (2) AN (SCD) AN SC (đpcm) (b) Từ (a) và (b) SC (AMN). Vậy : Gĩc giữa SC và (AMN) bằng 900 b) Ta cĩ: SA (ABCD) AC là hình chiếu vuơng gĩc của SC trên (ABCD) S· CA là gĩc giữa SC và (ABCD) SA a 2 * Tính S· CA : Xét tam giác vuơng SAC tại A, ta cĩ: tanS· CA 1 S· CA = 450 AC a 2 (vì AC là đường chéo = cạnh 2 = a 2 ) Bài 6: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, SB vuơng gĩc với đáy. BC = 2a, AC = a, SB = a. Xác định và tính gĩc giữa cạnh SA vá mp(ABC) S Giải: Ta cĩ: SB (ABC) AB là hình chiếu vuơng gĩc của SA trên (ABC) S· AB là gĩc giữa SA và (ABC) SB * Tính S· AB: + Xét tam giác vuơng SAB tại A, ta cĩ: tanS· AB a AB 2 2 2 2 2 2a + AB = BC AC 4a a 3a a 3 B C SB a 3 a Vậy: tanS· AB S· AB = 300 AB a 3 3 A Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD và cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABCD). SI SK Gọi I, K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho . Chứng minh: SB SD a) BD SC b) IK (SAC) 4
- c) Xác định và tính gĩc giữa SC và mp(ABCD), biết SA a 3 , AC = a. ĐS: 600 HD: a) C/m: BD (SAC) b) C/m: IK // BD Bài 2: Cho tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABC) và cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B. SM SN Trong mp(SAB) kẻ AM vuơng gĩc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SB SC Chứng minh rằng: a) BC (SAB) b) AM (SBC) c) SB AN; HD: SB (AMN) d) Xác định và tính gĩc giữa cạnh bên SC và mp(ABC), biết AB = a, SC = 2a. ĐS: 450 Bài 3: Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân cĩ chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC a) Chứng minh rằng: BC (ADI) b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng: AH (BCD) a Bài 4: Cho hình thoi S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD và cĩ SA = SB = SC = SD = . Gọi O là 2 giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) AC (SBD) a 3 c) BD (SAC) d) Xác định và tính gĩc giữa SA và (ABCD), biết SA . ĐS: 600 4 Bài 5: Trong mp( ) cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là điểm nằm ngồi mp( ) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO ( ) b) Nếu trong mp(SAB) kẻ SH AB tại H thì AB (SOH) c) Xác định và tính gĩc giữa cạnh bên SB và mp(ABCD), biết BD = 4 3 , SO = 2. ĐS: 300 Bài 6: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = a 3 . SB vuơng gĩc với mp(ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác vuơng HD: Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) lần lượt là những tam giác vuơng tại B, B, C, A b) Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của B trên SA. CMR: BK SD ; HD: C/m: BK (SAD) c) Xác định và tính gĩc giữa cạnh bên SC và mp(ABCD), biết SA = 2a. ĐS: 450 Bài 7: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuơng gĩc với đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: BC (SAI) b) Gọi O là trực tâm của tám giác ABC. Chứng minh rằng: CO (SAB) c) Kẻ OH SI. Chứng minh rằng: OH SC a d) Xác định và tính gĩc giữa cạnh bên SB và mp(ABC), biết SA = . ĐS: 300 3 2. Hai mặt phẳng vuơng gĩc * Gĩc giữa hai mặt phẳng (ABM) và (ABN) cắt nhau theo giao tuyến AB MI AB N Nếu thì M· IN là gĩc giữa (ABM) và (ABN) NI AB * Diện tích hình chiếu vuơng gĩc của một đa giác : M Nếu S là diện tích của đa giác H nằm trong ( ), S1 là diện tích của đa giác H1 nằm trong (), H1 là hình chiếu vuơng gĩc của H thì S1 Scos với là gĩc giữa 2 mp( ) và () A * Hai mp( ) và () vuơng gĩc với nhau. Kí hiệu: ( ) () I d ( ) * Nếu ( ) () B d () * Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ cĩ các cạnh bên vuơng gĩc với đáy. Độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng. Hai mặt đáy song song, bằng nhau và cùng vuơng gĩc với các cạnh bên. Các mặt bên là những hình chữ nhật * Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, 5
- hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác, * Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều. VD: Hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều * Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình bình hành * Hình hộp chữ nhật: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình chữ nhật * Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình vuơng * Hình chĩp đều: + Đáy là đa giác đều + Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các gĩc bằng nhau + Các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy các gĩc bằng nhau + Chân đường cao trùng với tâm của đáy Bài tập mẫu Phương pháp : a) Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và () vuơng gĩc với nhau d ( ) Sử dụng định lí: Nếu ( ) () d () b) Xác định và tính gĩc giữa hai mặt phẳng: MI AB Nếu thì M· IN là gĩc giữa (ABM) và (ABN) (hình ở trên) NI AB Chú ý: AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABM) và (ABN) Bài 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt a phẳng (ABC) và SA = . S 2 a) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: (SAH) (ABC) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) c) Tính diện tích tam giác SBC Giải: a) Ta cĩ: + BC SA (vì SA (ABC)) + BC AH (vì AH là đường cao ABC đều) A C Suy ra: BC (SAH) và BC (ABC) Vậy: (SAH) (ABC) (đpcm) H b) Ta cĩ: + BC (SAH) (c/m câu a) BC SH và BC AH B Suy ra: S· HA là gĩc giữa 2 mp(ABC) và (SBC) SA a a 3 a 2 1 Xét tam giác vuơng SAH tại A, ta cĩ: tanS· HA = : . S· HA = 300 AH 2 2 2 a 3 3 c) Ta cĩ: SA (ABC) ABC là hình chiếu vuơng gĩc của SBC. S a2 3 3 a2 (cạnh)2 3 Vậy: S S .cosS· HA S ABC : (vì S ) ABC SBC SBC cos300 4 2 2 đều 4 2 2 2 1 1 2 2 1 a a 3 a Cách khác: S SBC SH.BC = SA AH .BC .a 2 2 2 2 2 2 Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng. Cạnh bên SA vuơng gĩc với mp(ABCD) a) Chứng minh rằng: (SAD) (SCD), (SAC) (SBD), (SAB) (SBC) S b) Gọi BE, DF lần lượt là hai đường cao của SBD. E Chứng minh rằng: (ACF) (SBC), (ACE) (SDC), (AEF) (SAC) Giải: a) * (SAD) (SCD) F Ta cĩ: + CD AD (gt) + CD SA (vì SA (ABCD)) CD (SAD) và CD (SCD) (SAD) (SCD) (đpcm) A D 6 B C
- * (SAC) (SBD). Ta cĩ: + BD AC (đường chéo hình vuơng) + BD SA (vì SA (ABCD)) BD (SAC) và BD (SBD) (SAC) (SBD) (đpcm) * (SAB) (SBC). Ta cĩ: + BC AB (gt) và BC SA (vì SA (ABCD)) BC (SAB) và BC (SBC) (SAB) (SBC) (đpcm) b) * (ACF) (SBC). Ta cĩ: + DA SA (vì SA (ABCD)) và DA AB (gt) DA (SAB) DA SB và DF SB (gt) SB (ADF) SB AF (1) Ta lại cĩ: BC (SAB) AF BC AF (2) Từ (1) và (2) AF (SBC) mà AF (ACF) (ACF) (SBC) (đpcm) * (ACE) (SDC). Ta cĩ: + AB SA (vì SA (ABCD)) và AB AD (gt) AB (SAD) AB SD và BE SD (gt) SD (ABE) SD AE (1) Ta lại cĩ: CD (SAD) AE CD AE (2) Từ (1) và (2) AE (SDC) mà AE (ACE) (ACE) (SDC) (đpcm) * Ta cĩ: + AF (SBC) AF SC (1) + AE (SDC) AE SC (2) Từ (1) và (2) SC (AEF) mà SC (SAC) (AEF) (SAC) (đpcm) Bài 3: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, SA vuơng gĩc với mp(ABC). Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB. AB = a 2 , SA = a 6 S a) Chứng minh rằng: (SAB) (SBC), (SBC) (AHC) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABC) Giải: a) * (SAB) (SBC) Ta cĩ: + BC AB (gt) và BC SA (vì SA (ABC)) H BC (SAB) mà BC (SBC) (SAB) (SBC) (đpcm) * (SBC) (AHC) A C Ta cĩ: + AH SB (gt) (1) + BC (SAB) AH BC AH (2) B Suy ra: AH (SBC) mà AH (AHC) (SBC) (AHC) (đpcm) b) Ta cĩ: + BC AB (gt) và BC (SAB) BC SB Vậy: S· BA là gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABC) SA a 6 * Tính S· BA : Xét tam giác vuơng SAB tại A, ta cĩ: tanS· BA 3 S· BA = 600 AB a 2 Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là tâm của hình thoi và SB vuơng a 3 S gĩc với mp(ABCD). BD = a và SB = 6 a) Chứng minh rằng: (SBD) (ABCD) b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của B trên SO. Chứng minh rằng: (BHC) (SAC) H c) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(SAC) và (ABCD) B C Giải: a) Ta cĩ: + AC BD (đường chéo hình thoi) + AC SB (vì SB (ABCD)) O AC (SBD) mà AC (ABCD) (SBD) (ABCD) (đpcm) A D b) Ta cĩ: + BH SO (gt) (1) Ta lại cĩ: + AC (SBD) BH AC BH (2) Từ (1) và (2) BH (SAC) mà AC (SAC) (BHC) (SAC) (đpcm) c) Ta cĩ: + AC (SBD) SO (c/m câu a) SO AC và BD AC S· OB là gĩc giữa hai mp(SAC) và (ABCD) SB a 3 a a 3 2 3 Xét tam giác vuơng SOB tại B, ta cĩ: tanS· OB : . S· OB= 300 OB 6 2 6 a 3 7
- Bài 5: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng 2a, H là chân đường cao của hình chĩp. Gọi M là trung điểm của BC. S a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAM) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABC), biết SH = a Giải: a) Ta cĩ: + BC AM (gt) + BC SM (gt) Suy ra: BC (SAM) mà BC (SBC) (SBC) (SAM) (đpcm) b) Ta cĩ: + BC AM (gt) A C + BC SM (gt) H M Suy ra: S·MH là gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABC) SH B Xét tam giác vuơng SHM vuơng tại H, ta cĩ: tanS·MH HM 2a 3 1 a 3 a 3 Mà: AM = a 3 HM = AM = . Suy ra: tanS·MH a : 3 S·MH = 600 2 3 3 3 A Ghi nhớ: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC 2 1 thì AG AM , GM AM P N 3 3 1 G và GM AG B C 2 M Bài 6: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, SO là đường cao của hình chĩp. Gọi M a 3 là trung điểm của CD. SM = S 3 a) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD), (SCD) (SOM) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(SCD) và (ABCD) Giải: a) * Ta cĩ: + AC BD (gt) + AC SO (vì SO (ABCD)) AC (SBD) mà AC (SAC) (SAC) (SBD) (đpcm) * Ta cĩ: + CD SM (gt) và CD OM (gt) A D CD (SOM) mà CD (SCD) (SCD) (SOM) (đpcm) O M B b) Ta cĩ: + CD SM (gt) và CD OM (gt) C S·MOlà gĩc giữa hai mp(SCD) và (ABCD) OM a a 3 3 Xét tam giác vuơng SOM tại O, ta cĩ: cosS·MO : S·MO= 300 SM 2 3 2 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ AB (BCD). Trong BCD vẽ các đường cao BE và EF cắt nhau tại O, a 6 trong mp(ADC) vẽ DK AC tại K. Biết BE = a 2 và AB = 3 a) CMR: * (ADC) (ABE). HD: c/m: CD (ABE) * (ADC) (DFK). HD: c/m: DF (ABC) DF AC và c/m: AC (DFK) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(ADC) và (BCD). ĐS: 300 Bài 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BC = a. SA vuơng gĩc với đáy. a) Chứng minh rằng: (SAB) (SBC) b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB và K là điểm bất kỳ trên SC. CMR: (AHK) (SBC) 3a c) Xác định và tính gĩc giữa 2 mp(SBC) và (ABC). Biết SC = 2a và SA = . ĐS: 600 2 Bài 3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, SB vuơng gĩc với đáy. Kẻ BK vuơng 8
- 1 3 gĩc với AD tại K. BK = và SB = 2 4 a) Chứng minh rằng: (SAB) (SAC), (SBD) (SCD), (SAD) (SBK) b) Xác định và tính gĩc giữa hai mp(SAD) và (ABCD). ĐS: 300 Bài 4: Trong mp( ) cho tam giác ABC vuơng ở B. Một đoạn thẳng AD vuơng gĩc với ( ) tại A. a a a) CMR: A· BD là gĩc giữa hai mp(DBC) và (ABC). Tính A· BD , biết AB = và DB = 6 3 b) CMR: (ABD) (BCD) c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và với DB. CMR: HK // BC Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và cĩ SA = SB = SC = a. a) Chứng minh rằng: (SBD) (ABCD). HD: AC (SBD) b) Chứng minh rằng: SBD vuơng tại S. HD: c/m: SAC = ABC = ADC Bài 6: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ SH là đường cao. Chứng minh rằng: a) SA BC. HD: c/m: BC (SAH) b) SB AC. HD: c/m: AC (SBH) Bài 7: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm cùa hình vuơng ABCD. a) Tính độ dài đoạn thẳng SO b) Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: (MBD) (SAC). HD: BD (SAC) c) Tính độ dài đoạn OM và tính gĩc giữa hai mp(MBD) và (ABCD). ĐS: M· OC = 450 a HD: * SOC vuơng tại O và M là trung điểm của SC OM = 2 * Vì BD (SAC) BD OM (SAC) và BD OC. Vậy: M· OC là gĩc giữa 2 mp(MBD) và (ABCD) Bài 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm I và cạnh a và cĩ gĩc A bằng 600, cạnh a 6 SC = và SC vuơng gĩc với mp(ABCD). 2 a a) CMR: (SBD) (SAC) b) Trong SCA kẻ IK SA tại K. Tính IK. ĐS: IK = 2 IK IA a 3 3a 2 HD: b) AKI ~ ACS ; IA = ; AC = 2IA; SA = SC SA 2 2 c) CMR: B· KD 900 và suy ra mp(SAB) (SAD) a HD: * ABD đều cạnh a IB = ID = IK = BKD vuơng tại K 2 * C/m: SA (BDK) SA DK và SA BK B· KD là gĩc giữa 2 mp(SAB) và (SAD) 3 Khoảng cách: * Nếu AH ( ) thì AH là khoảng cách từ * Nếu a và b chéo nhau, AB a, AB b thì AB A đến mặt phẳng ( ) A là đoạn vuơng gĩc chung của a và b a b H A O B Bài tập mẫu Bài 1: Cho tứ diện S.ABC cĩ ABC là tam giác vuơng cân tại B và AC = 2a, cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABC) và SA = a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC) 9
- S Giải: a) Kẻ AH SB (1) Ta cĩ: + CB AB (gt) và CB SA (vì SA (ABC)) Suy ra: CB (SAB) CB AH (SBC) (2) Từ (1) và (2), ta cĩ: AH (SBC) Vậy: AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC) a H * AB2 + BC2 = AC2 2AB2 = 4a2 AB = a 2 K 2a 1 1 1 1 1 3 2a 2 a 6 C * AH2 AH A O AH2 SA2 AB2 a 2 2a 2 2a 2 3 3 b) Dựng OK // AH OK (SBC). Vậy OK là khoảng cách từ O đến mp(SBC) B 1 1 a 3 a 3 * OK = AH . 2 2 3 6 Bài 2: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh bên bằng 2a a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) S b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) Giải: a) Ta cĩ: SO (ABCD) SO là khoảng cách từ S đến mp(ABCD) 2 2 2 2 a 2 a 14 * SO = SA OB 4a H 2 2 A b) Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ OH SM (1) D Ta cĩ: + CD SO (vì SO (ABCD)) và CD OM O M Suy ra: CD (SOM) OH CD OH (2) B C Từ (1) và (2), ta cĩ: OH (SCD). Suy ra: OH là khoảng cách từ O đến mp(SCD) 1 1 1 4 2 30 7a 2 a 210 * OH2 = OH = OH2 OM2 SO2 a 2 7a 2 7a 2 30 30 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC). ĐS: SH = a Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a và cĩ gĩc B· AD = 600. Gọi O là giao 3a điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuơng gĩc với mp(ABCD) và SO = . Gọi E, F lần lượt là 4 trung điểm của BC, BE. a) CMR: (SOF) (SBC). HD: BC (SOF) b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp(SBC) 3a * d(O, (SBC)) = OH = . HD: Kẻ OH SF, c/m OH (SBC) 8 3a * d(A, (SBC)) = IK = 2OH = . HD: Gọi I FO AD , dựng IK SF IK (SBC). 4 Vì AD // (SBC) nên d(A, (SBC)) = d(I, (SBC)) = IK Bài 3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a cĩ gĩc B· AD = 600 và SA = SB = a 3 a 15 SD = . a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) và độ dài cạnh SC. ĐS: SH = (H là hình 2 6 a 7 chiếu vuơng gĩc của S trên (ABCD) hay H là trọng tâm đều ABD), SC = 2 b) CMR: (SAC) (ABCD). HD: Vì SH (ABCD) c) CMR: SB BC. HD: SC2 = SB2 + BC2 SBC vuơng tại B (theo địng lý Pitago) d) Gọi là gĩc giữa hai mp(SBD) và (ABCD). Tính tan . ĐS: S· OH , tan = 5 10