Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 1, Phần 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 1, Phần 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. phần I: giải tích chương 1 ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số A. Kiến thức cần nhớ I. tính đơn điệu của hàm số 1. điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng I thì: a. Hàm số f(x) là đồng biến trên khoảng I khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc I, ta có: f(x x) f(x) > 0 , với mọi x 0 và x + x I. x b. Hàm số f(x) là nghịch biến trên khoảng I khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc I, ta có: f(x x) f(x) < 0 , với mọi x 0 và x + x I. x Từ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. a. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) 0, x I. b. Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) 0, x I. 2. điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí 1 (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c (a; b) sao cho: f(b) f(a) f(b) f(a) = f '(c).(b a) hay f '(c) = . b a ý nghĩa của định lí Lagrăng: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b)). Hệ số góc của cát tuyến AB là: f(b) f(a) . b a Đẳng thức: f(b) f(a) f '(c) = b a có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Vậy, nếu các giả thiết của định lí Lagrăng được thoả mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB. 7
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. a. Nếu f '(x) > 0, x I thì f(x) đồng biến trên khoảng I. b. Nếu f '(x) f(x0) , với mọi x (a; b)\{x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x). Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 2. điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0 (a; b). Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0. 8
3. 3. điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó: a. Nếu f '(x) 0 với mọi x (x 0; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0. b. Nếu f '(x) > 0 với mọi x (a; x 0) và f '(x) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Tính f’(x). Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ) của phương trình f'(x) = 0. Bước 3: Với mỗi i ta tính f"(xi), khi dó: ▪ Nếu f''(xi) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi. 9
4. III. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. a. Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho: f(x) f(x0) với mọi x D thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu, kí hiệu M = max f(x) . x D b. Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho: f(x) f(x0) với mọi x D thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu, kí hiệu m = min f(x) . x D IV. đồ thị của hàm số và Phép tịnh tiến hệ toạ độ 1. phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ toạ độ Oxy, khi đó trong hệ toạ độ IXY điểm M(X; Y) sẽ có toạ độ: X x x0 x X x0 . Y y y0 y Y y0 2. phương trình đường cong đối với hệ tọa độ mới Phương trình của đường cong y = f(x) đối với hệ toạ độ IXY có dạng: Y = f(X + x0) y0. V. đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = y0 hoặc lim f(x) = y0. x x Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = hoặc lim f(x) = . x x0 x x0 2. đường tiệm cận xiên Định nghĩa 3: Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim [f(x) (ax + b)] = 0 hoặc lim [f(x) (ax + b)] = 0 x x 10
5. Quy tắc: Giả sử khi x thì f(x) . f(x) Ta tìm a = lim (1) x x ▪ Nếu giới hạn (1) không tồn tại hoặc bằng 0 thì đồ thị không có tiệm cận xiên. Trái lại ta đi tìm tiếp b = lim [f(x) ax]. (2) x ▪ Nếu giới hạn (2) không tồn tại thì đồ thị không có tiệm cận xiên. Trái lại ta kết luận đồ thị nhận đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b làm tiệm cận xiên. VI. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Đường lối tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Phương pháp Ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số: a. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: ▪ Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có). ▪ Điền các kết quả vào bảng biến thiên: x y' y Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số: a. Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). b. Xác định một số điểm đặc biệt của thường là các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này). c. Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh).  Chú ý: Khi vẽ đồ thị các em học sinh cần lưu ý rằng "Dáng của đồ thị tương ứng với mũi tên trong bảng biến thiên". 11
6. B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. tính đơn điệu của hàm số Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Phương pháp Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thường là việc giải phương trình y' = 0). Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần). Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ đó, đưa ra lời kết luận.  Chú ý: Trong trường hợp phương trình f'(x) = 0 vô nghiêm, tức là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến, ta có thể bỏ qua việc lập bảng biến thiên. Thí dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = 2x3 + 3x2 + 1.  Giải Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: 2 2 x 0 y' = 6x 6x, y' = 0 6x 6x = 0 . x 1 Giới hạn: lim y = và lim y = + . x x Bảng biến thiên: x 1 0 + y' + 0 0 + 2 y + 1 Vậy, ta có kết luận: ▪ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và (0; + ). ▪ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 0).  Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "Khảo sát sự biến thiên của hàm số". Và với dạng toán này các em cần đặc biệt chú ý tới tập xác định của hàm số thì mới chắc chắn nhận được một bảng biến thiên đúng. 12
7.  Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 3ax2 + 2bx + c = 0. Giới hạn: 3 b c d 3 lim y lim x a 2 3 ( ) .a ( ).a. x x x x x Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a 0 hay ' 0), do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau. Thí dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x4 2x2 5.  Giải Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: 3 3 2 x 0 y' = 4x 4x, y' = 0 4x 4x = 0 4x(x 1) = 0 . x 1 Giới hạn: 2 1 lim y = lim [x4(1 + ) = + . x x x2 x4 Bảng biến thiên: x 1 0 1 + y' 0 + 0 0 + y +  + 6 6 Vậy, ta có kết luận: ▪ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) và (0; 1). ▪ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0) và (1; + ).  Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương có phương trình: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 2x(2ax2 + b) = 0. Do đó, phương trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b 0) hoặc có ba nghiệm phân biệt. , do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau. 13
8. Giới hạn: khi a 0 4 b c lim y = lim ax (1 + 2 + 4 ) = . x x ax ax khi a 0 Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a 0 hàm số đồng biến trên D. Nếu D = ad bc < 0 hàm số nghịch biến trên D. 3 Thí dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x + . x  Giải Miền xác định D = Ă \{0}. Đạo hàm: 14
9. 3 3 y' = 1 , y' = 0 1 x2 3 = 0 x = 3 . x2 x2 Giới hạn: lim y = , lim y = ; lim y = , lim y = + . x x x 0 x 0 Bảng biến thiên: x 3 0 3 + y' 0 0 y  3 +  3  Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng: ax2 bx c (H): y = , dx e với ad 0, tử, mẫu không có nghiệm chung. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta thường lại hàm số dưới dạng:  y = f(x) = x +  + . dx e e Miền xác định D = Ă \{ }. d Đạo hàm: d (dx e)2 d y' = = , (dx e)2 (dx e)2 Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e)2 d. Giới hạn lim y = và lim y = . x x e/d Bảng biến thiên: Ta có các trường hợp: Trường hợp > 0 Phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2. x x1 e/d x2 + y' + 0 0 + CĐ + + y CT Phương trình y' = 0 vô nghiệm x e/d + y' + + + + y 15
10. Trường hợp < 0 Phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 x x1 e/d x2 + y' 0 + + 0 + CĐ y CT Phương trình y' = 0 vô nghiệm x e/d + y' y + + Thí dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y 2x x2 .  Giải Ta có điều kiện: 2x x2 0 0 x 2 D = [0; 2]. Đạo hàm: 2 2x 1 x y' = = , y' = 0 1 x = 0 x = 1. 2 2x x2 2x x2 Bảng biến thiên: x 0 1 2 + y' 0 1 y 0 0  Nhận xét: Hàm vô tỉ dạng: 2 (H): y = ax bx c , với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = {x Ă | ax2 + bx + c 0}. Đạo hàm: 2ax b y' = , 2 ax 2 bx c Bảng biến thiên: có 4 trường hợp khác nhau về chiều biến thiên. Thí dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y x x.  Giải Ta có điều kiện: x 0 D = [0; + ). 16
11. Đạo hàm: 1 1 1 y' = 1 , y' = 0 1 = 0 x = . 2 x 2 x 4 Bảng biến thiên: x 0 1/4 + y' 0 0 1/4 + y CT Dạng toán 2: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng I Phương pháp Chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm y'. Bước 3: Lập luận cho các trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau: a. Hàm số đồng biến trên I khi: Hàm số xác định trên I y' 0, x I, dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm b. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k y' 0, x [a-k; a] , dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của [a-k; a] và x [a-k; a] không thoả mãn  Chú ý: Để giải các biểu thức điều kiện của y' phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là phương pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải. Thí dụ 1. Cho hàm số y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. Tìm m để: a. Hàm số đồng biến trên Ă . b. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . c. Hàm số nghịch biến trên đoạn  1 / 2; 1 / 2. d. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.  Giải Hàm số xác định trên D = Ă . Đạo hàm: y' = 12x2 + 2(m + 3)x + m, y' = 0 f(x) = 12x2 + 2(m + 3)x + m = 0. (1) a. Hàm số đồng biến trên Ă khi: y' ≥ 0, x Ă f(x) ≥ 0, x Ă ' ≤ 0 17
12. (m + 3)2 12m ≤ 0 (m 3)2 ≤ 0 m 3 = 0 m = 3. Vậy, với m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài. b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi: y' ≥ 0, x 0; f(x) ≥ 0, x 0; (m 3)2 0 ' 0 m 3 (m 3)2 0 (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ' 0 m 3 m 3 (1) có nghiệm x1 x2 0 S 0 0 m 3 6 P 0 m 0 m / 12 0 m ≥ 0. Vậy, với m ≥ 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. 1 m Cách 2: Nhận xét rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x = và x = . 2 6 Từ đó, hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi: y' ≥ 0, x 0; f(x) ≥ 0, x 0; 0 m 3 (1) có nghiệm kép 1 m 0 0 m 3 m ≥ 0. (1) có nghiệm x x 0 2 6 1 2 m 3 m 1 0 6 2 Vậy, với m ≥ 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Cách 3: Hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi: y' ≥ 0, x 0; 12x2 + 2(m + 3)x + m ≥ 0, x 0; m(2x + 1) 12x2 6x, x 0; m 6x , x 0; m Max ( 6x) 0 m ≥ 0. x 0; Vậy, với m ≥ 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. 1 m c. Nhận xét rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x = và x = . 2 6 1 1 Từ đó, hàm số nghịch biến trên đoạn ; khi: 2 2 1 1 1 1 1 m y' ≤ 0, x ; f(x) ≤ 0, x ; ≤ m ≥ 3. 2 2 2 2 2 6 Vậy, với m ≥ 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài. 18
13. d. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi: y' 0, trên đoạn có độ dài bằng 1 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 x2 = 1 ' 0 ' 0 m 9 2 2 ' ' 6 (m 3) = 36 . | x1 x2 | 1 1 m 3 12 Vậy, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi m = 9 hoặc m= 3.  Nhận xét: Trong lời giải trên: ▪ Với nội dung câu b), các em có thể thấy rằng phương pháp hàm số thường được ưu tiên lựa chọn. ▪ Với nội dung câu c), ta nhớ lại rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) nếu có hai nghiệm x1, x2 thì: 2 ' x1 x2 = hoặc x1 x2 = . | a | | a | 1 m Ngoài ra, vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = và x2 = 2 6 và y’ nhận giá trị âm trong khoảng này nên ta có điều kiện là: 1 m m 9 x1 x2 = 1 1 m 3 6 . 2 6 m 3 x 1 Thí dụ 2. Cho hàm số y . x m Với giá trị nào của m: a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ? b. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) ?  Giải Miền xác định D = Ă \{m}. Đạo hàm: 1 m y' . (x m)2 a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi: y' 0, x D và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 1 m 1. Vậy, với m > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Trước hết là hàm số cần xác định trên (0; + ), điều kiện là m 0. (*) Hàm số đồng biến với trên (0; + ) khi: y' 0, x (0; + ) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm (*) 1 m > 0 m < 1 0 m 1. Vậy, với 0 m 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. 19
14.  Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán trên: a.ở câu a), đã nhận cả nghiệm m = 1, bởi thiết lập điều kiện là 1 m 0. Các em học sinh cần nhớ kỹ nội dung định lí 2. b.ở câu b), đã không kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trên khoảng ( ; 0). Ngoài ra, các em học sinh cũng cần nhớ rằng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên miền xác định của nó. x2 x m2 Thí dụ 3. Cho hàm số y . Với giá trị nào của m: x 1 a. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ? b. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1) và (2; 4) ?  Giải Miền xác định D = Ă \{1}. Đạo hàm: 2 2 x 2x 1 m 2 2 y' , y' = 0 x 2x + 1 m = 0 x1, 2 = 1 ± m. (x 1)2 a. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi: y' ≥ 0, x D và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x2 2x + 1 m 2 ≥ 0, x D và dấu "=" chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm ’ ≤ 0 m2 ≤ 0 m = 0. Vậy, với m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Nhận xét rằng y’ chỉ nhận giá trị âm trong khoảng (x1; x2)\{1}. Từ đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1) và (2; 4) khi: 1 m 0 4 1 m m 1 và m 3 m 3. 1 m 0 4 1 m m 1 và m 3 Vậy, với m 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý. Để hiểu được lập luận trong lời giải câu b) của ví dụ trên các em học sinh hãy phác thảo bảng biến thiên của hàm số, cụ thể: x x1  x2 + y' + 0 0 + CĐ + + y CT để đặt được các điểm x = 0, x = 2, x = 4 vào vị trí thích hợp. Thí dụ 4. Cho hàm số y = x4 2mx2 m2. Với giá trị nào của m: a. Hàm số nghịch biến trên (1; + ) ? 20
15. b. Hàm số nghịch biến trên ( 1; 0) và (2; 3)?  Giải Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: y' = 4x3 + 4mx, y' = 0 4x3 + 4mx = 0 4x(x2 m) = 0. a. Hàm số nghịch biến trên (1; + ) khi: y' 0, x (1; + ) 4x(x2 m) 0, x (1; + ) x(x2 m) 0, x (1; + ) f(x) = x2 m 0, x (1; + ) f(1) 0 1 m 0 m 1. Vậy, với m 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Hàm số nghịch biến trên ( 1; 0)(2; 3) khi: y' 0, x ( 1; 0)(2; 3) 4x(x2 m) 0, x ( 1; 0)(2; 3) 4x(x2 m) 0, x ( 1; 0)(2; 3) 4x(x2 m) 0, x ( 1; 0) f (x) x2 m 0, x ( 1; 0) 2 2 4x(x m) 0, x (2; 3) f (x) x m 0, x (2; 3) S(0,m) f ( 1) 0 1 m 0 1 m 4. f (2) 0 4 m 0 Vậy, với 1 m 4 thoả mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý. Để hiểu được lập luận trong lời giải trên các em học sinh hãy lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Nhận thấy đồ thị hàm số f(x) = x2 m là một Parabol nhận trục Oy làm trục đối xứng và cắt Oy tại điểm S(0; m). Cách 2: Sử dụng khái niệm đường tròn của hình học giải tích trong mặt phẳng. Dạng toán 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có: a. Nếu f'(x) = 0, x [a; b] Hàm số f(x) là hàm hằng trên [a; b] f(x) = f(x0) với x0 [a; b]. b. Nếu f '(x) 0, x [a; b] Hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] f(a) f(x) f(b). c. Nếu f '(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b] f(b) f(x) f(a). Thí dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 21
16. A = sin2(x 2 ) + sin2x + sin2(x + 2 ). 3 3  Giải Xét hàm số 2 2 A = sin2(x ) + sin2x + sin2(x + ). 3 3 Ta có: 2 2 2 2 A ' = 2sin(x ).cos(x ) + 2sinx.cosx + 2sin(x + ).cos(x + ) x 3 3 3 3 4 4 = sin(2x ) + sin2x + sin(2x + ) 3 3 4 = 2sin2x.cos + sin2x = sin2x + sin2x = 0 3 Hàm số không đổi. 3 Ngoài ra ta còn có A = A(0) = . 2 3 Vậy, ta có A = không phụ thuộc vào x. 2  Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh đẳng thức ". Và ở đây, các em cần nhớ rằng cũng có thể sử dụng các phép biến đổi lượng giác thuần tuý để thực hiện yêu cầu trên, cụ thể ở đây ta sử dụng các công thức hạ bậc. Thí dụ 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. sinx 0. b. sinx > x với mọi x 0 sin( x) x, đpcm.  Nhận xét: 1. Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức". Và ở đây, các em 22
17. cần nhớ rằng phương pháp này thường được áp dụng cho những bất đẳng thức không mẫu mực. 2. Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f'(x) 0, x [a; b] (hoặc f '(x) 0, x [a; b]), trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x. 3. Từ những bất đẳng thức đơn giản trên người ta có thể xây dựng ra những bất đẳng thức phức tạp hơn, cụ thể: ▪ Với bất đẳng thức sinx x chúng ta xây dựng được bài toán: "Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta đều có: tanA + tanB + tanC > " Và khi đó, để chứng minh những bất đẳng thức dạng trên chúng ta cần thực hiện theo các bước: Bước 1: Lựa chọn hàm đặc trưng (y = sinx x hoặc tanx x). Bước 2: Chứng minh hàm số luôn đơn điệu trên D. Bước 3: áp dụng. Thí dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3 x3 a. sinx > x với mọi x > 0. b. sinx 0. 6 Đạo hàm: x2 f'(x) = 1 cosx, f''(x) = x + sinx, 2 f'''(x) = 1 + cosx 0 f''(x) nghịch biến với x > 0 f''(x) 0 f''(x) 0 f'(x) nghịch biến với x > 0 f'(x) 0 f'(x) 0 f(x) nghịch biến với x > 0 x3 f(x) 0 x sinx 0 6 x3 sinx > x với x > 0. 6 b. Sử dụng kết quả trên với lập luận: ( x)3 x3 x 0 ( x) < sin( x) x + < sinx 6 6 23
18. x3 sinx 2x với mọi x 0; . 2  Giải Xét hàm số f(x) = sinx + tanx 2x, có đạo hàm: 1 f'(x) = cosx + 2 cos2 x Nhận xét rằng với x D 0; ta có: 2 1 1 Côsi cosx + 2 > cos2x + 2 2 2 = 0 cos2 x cos2 x f'(x) > 0 với 0 f(0) với 0 0 với 0 2x với mọi x D.  Chú ý: 1. Bất đẳng thức sát hơn so với bất đẳng thức trên là: 2sinx + tanx > 3x với mọi x 0; 2 2. Và từ bất đẳng thức này người ta xây dựng được: "Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta đều có: 2 1 (sin A sin B sin C) (ta n A ta n B ta n C) " 3 3 Và để giải bài toán trên ta thực hiện như sau: Viết lại bất đẳng thức dưới dạng: 2(sin A sin B sin C) (ta n A ta n B ta n C) 3 (2sin A ta n A 3A) (2sin B tan B 3B) (2sin C tan C 3C) 0 Xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx x trên khoảng 0; . 2 Hàm số đồng biến trên 0; Theo chứng minh trên. 2 Vậy, ta được: 2sinA + tanA 3A > 0. (1) 2sinB + tanB 3B > 0. (2) 24
19. 2sinC + tanC 3C > 0. (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dạng toán 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ Phương pháp Sử dụng các tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc, ta có các hướng áp dụng sau: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) k. (1) Bước 2: Xét hàm số y f(x), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu. Bước 3: Khi đó, phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Tìm x0 sao cho f(x0) k. Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x x0. Hướng 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) g(x). (2) Bước 2: Xét các hàm số y f(x) và y g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y f(x) là đồng biến còn hàm số y g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Bước 3: Khi đó, phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Tìm x0 sao cho f(x0) g(x0). Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x x0. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u) f(v). (3) Bước 2: Xét hàm số y f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu. Bước 3: Khi đó: (3) u v với u, v Df. Thí dụ 1. Giải phương trình tanx x = 0.  Giải Điều kiện: cosx ≠ 0 x k , k  . 2 Xét hàm số f(x) = tanx x với x k , k  . , ta có: 2 1 f '(x) 1 tan2 x 0, x k , k  . cos2 x 2 25
20.  Hàm đồng biến trên D Ă \ k , k  . 2  Do đó, nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy: f(0) = 0 0 = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.  Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình". Và ở đây, các em cần nhớ rằng phương pháp này thường được áp dụng cho những phương trình không mẫu mực. Thí dụ 2. Giải phương trình 1 x 1 x 2x3 6x.  Giải Điều kiện: 1 x 0 x 1 x 1. 1 x 0 x 1 Tới đây ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng: 1 x 1 x 2x3 6x 0. Xét hàm số f (x) 1 x 1 x 2x3 6x trên D = [ 1; 1], ta có: 1 1 f '(x) 6x2 6 0, x D 2 1 x 2 1 x Hàm nghịch biến trên D. Do đó, nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy: f(0) = 1 1 = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Cách 2: Ta lần lượt: ▪ Xét hàm số f (x) 1 x 1 x trên D = [ 1; 1], ta có: 1 1 f '(x) 0, x D Hàm số f(x) nghịch biến trên D. 2 1 x 2 1 x ▪ Xét hàm số g(x) = 2x3 + 6x trên D = [ 1; 1], ta có: g’(x) = 6x2 + 6 > 0, x D Hàm số g(x) đồng biến trên D. Do đó, nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Với x = 0, ta thấy: 1 1 = 0 + 0 0 = 0, đúng nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 26
21. Cách 3: Viết lại phương trình dưới dạng: 1 x (1 x)3 1 x (1 x)3. (1) Xét hàm số f (t) t t 3 trên trên D = [0; + ), ta có: 1 f '(t) t2 0, x D Hàm số luôn đồng biến trên D. 2 t Khi đó: (1) f(1 x) f(1 + x) 1 x = 1 + x x = 0. Vậy, phương trình có nghiệm x 0. Thí dụ 3. Giải bất phương trình: x3 x2 3x + 2 + 6x 7 > 0.  Giải Xét hàm số f(x) x3 x2 3x + 2 + 6x 7. ▪ Miền xác định D Ă . ▪ Đạo hàm: 2 3x 2x 9 nếu x 2 x 1 f’(x) hàm số đồng biến trên D. 2 3x 2x 3 nếu1 x 2 Mặt khác ta có f(1) 0, suy ra bất phương trình có nghiệm là x > 1.  Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải bất phương trình". Và ở đây, các em cần nhớ rằng phương pháp này thường được áp dụng cho những bất phương trình không mẫu mực. Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sinmx + cosmx = 1 nghiệm đúng với mọi x.  Giải Đặt f(x) = sinmx + cosmx, khi đó yêu cầu bài toán được phát biểu dưới dạng: f '(x) 0, x (1) f(x) = 1, x f / 4 1 (2) Giải (1): Ta được: m.cosx. sinm 1x msinx.cosm 1x = 0, x m 0 m 0 m.sinx.cosx(sinm 2x cosm 2x) = 0, x . m 2 m 2 sin x cos x, x m 2 Ta xét từng trường hợp của m để giải (2): ▪ Với m = 0, ta được: 0 0 2 2 f = + = 2, không thoả mãn. 4 2 2 27
22. ▪ Với m = 2, tương tự ta được f = 1, thoả mãn. 4 Vậy, với m = 2 phương trình nghiệm đúng với mọi x. Thí dụ 5. Giải hệ phương trình: sin x sin y y x , với x D 0; . x 2y 2  Giải Viết phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: sinx + x = siny + y. (*) Xét hàm số f(t) = sint + t trên D, ta có: f '(t) = cost + 1 > 0 với x D Hàm số f(t) đồng biến trên D. Vậy, phương trình (*) được viết dưới dạng: f(x) f(y) x y. Khi đó, hệ có dạng: x y x y x y . x 2y 3x 3 Vậy, hệ phương trình có nghiệm x y . 3  Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình". Và ở đây, các em cần nhớ rằng phương pháp này thường được áp dụng cho những hệ phương trình không mẫu mực. Đ2. cực trị của hàm số Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số Phương pháp Để tìm cực trị của hàm số y = f(x), ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thường là việc giải phương trình y' = 0), giả sử có x = x0. Bước 3: Lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Nếu xét dấu được y' thì lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lí: Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b) và y'(x0) = 0 với x0 (a; b). 28