Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 1, Phần 2: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 1, Phần 2: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. 3. Đồ thị của hàm số: ▪ Điểm uốn: 1 y'' = 12x2 2, y'' = 0 12x2 2 = 0 x = . 6 1 Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn 6 1 5 1 5 là U1 ; và U2 ; . 6 36 6 36 ▪ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A( ; 0), B(1; 0). b. Đồ thị y = f(x) gồm: 1. Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x). 2. Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành. Đ7. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ Dạng toán 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất Phương pháp Với hàm số: ax b (C): y = , với c 0, D = ad bc 0 cx d ta lần lượt có: d  a. Tập xác định D Ă \  . c  b. Sự biến thiên của hàm số: ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: a a lim y = nên y = là đường tiệm cận ngang. x c c d lim y = nên x = là đường tiệm cận đứng. d x c c ▪ Bảng biến thiên: ad bc y' . (cx d)2 - Nếu D = ad bc > 0 hàm số đồng biến trên D. - Nếu D = ad bc < 0 hàm số nghịch biến trên D. 69
2. Lập bảng biến thiên: Trường hợp D > 0 x d/c + y' + + a + a y c c Trường hợp D 0 Với D < 0 x= d/c x= d/c I y= a/c I y= a/c x 1 Thí dụ 1. Cho hàm số y . x 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đó, suy ra đồ x 1 thị hàm số y . 2 x b. Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó. c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung. d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tại A’, chứng tỏ rằng A và A’ đối xứng với nhau qua giao điểm I của hai đường tiệm cận. 70
3.  Giải a. Ta lần lượt có: 1. Hàm số xác định trên D Ă \ 2. 2. Sự biến thiên của hàm số: ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim y 1 nên y = 1 là đường tiệm cận ngang. x lim y nên x = 2 là đường tiệm cận đứng. x 2 ▪ Bảng biến thiên: y x = 2 3 y' 0 với mọi x D (x 2)2 hàm số nghịch biến trên D. I x 2 + y = 1 1 y' + + O 1 2 x 1 + 1/2 y = 1 y 1 3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm: 1 A 0; và B( 1; 0). 2 x 1 x 1 Hàm số y được viết lại dưới dạng y , nên đồ thị của nó được suy 2 x x 2 ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đường nét đứt). b. Bạn đọc tự thực hiện bằng phép tịnh tiến toạ độ. c. Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: 1 3 1 (d ) : y y' .x (d ) : y x . A 2 (0) A 4 2 3 d. Tiếp tuyến song song với (dA) nên có hệ số góc k . 4 Hoành độ tiếp điểm A’ của tiếp tuyến với đồ thị (H) là nghiệm của phương trình: x 2 2 x 4 3 3 2 2 (x 2) = 4 (x 2) 4 x 2 2 x 0 loại 5 A' 4; A và A’ đối xứng với nhau qua I. 2 Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm A’ có dạng: 5 3 11 (d ) : y y' .(x 4) (d ) : y x . A' 2 (4) A' 4 2  Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra được phương pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm số này luôn đơn điệu trên miền xác định của nó và luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm 71
4. cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hãy thực hiện như sau: a. Trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc một nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận đứng). b. Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I ở giữa hình. c. Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận. d. Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồi thực hiện vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’. x 4m Thí dụ 2. Cho hàm số (Hm): y = . 2(mx 1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1. 1 b. Chứng minh rằng với mọi m , các đường cong (H m) đều đi 2 qua hai điểm cố định A và B. c. Chứng minh rằng tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với (Hm) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.  Giải a. Với m = 1 hàm số có dạng: x 4 y = . 2(x 1) 1. Hàm số xác định trên D Ă \ 1. 2. Sự biến thiên của hàm số: ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim y = 1 nên y = 1 là đường tiệm cận ngang. x lim y = nên x = 1 là đường tiệm cận đứng. x 1 ▪ Bảng biến thiên: 3 y' = > 0 với mọi x D Hàm số đồng biến trên D. 2(x 1)2 x 1 + y' + 1/2 y 1/2 3. Đồ thị của hàm số Bạn đọc tự vẽ hình. b. Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của họ (Hm). Khi đó: x0 4m y0 = , m 2(x0y0 + 2)m x0 2y0 = 0, m 2(mx0 1) 72
5. x0y0 2 0 x0 2y0 A( 2;1) . x0 2y0 0 ( 2y0 )y0 2 0 B(2; 1) Vậy, họ (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A( 2; 1) và M2(2; 1). c. Trước tiên, ta có: 4m2 1 y' = . 2(mx 1)2 Khi đó, tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với (Hm) tại hai điểm A và B được cho bởi: 4m2 1 4m2 1 (4m2 1)2 1 kA.kB = y'( 2).y'(2) = . = = . 2( 2m 1)2 2(2m 1)2 4(2m 1)2 .(2m 1)2 4 Dạng toán 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất Phương pháp Với hàm số: ax2 bx c y = , với ad 0, tử, mẫu không có nghiệm chung dx e ta lần lượt có:  Viết lại hàm số dưới dạng y = f(x) = x +  + . dx e e  a. Tập xác định D Ă \  . d  b. Sự biến thiên của hàm số: ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim y = . x e lim y = nên x = là đường tiệm cận đứng. e x d d lim [y ( x + )] = 0 nên y = x +  là đường tiệm cận xiên. x ▪ Bảng biến thiên: d (dx e)2 d y' = = . (dx e)2 (dx e)2 Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e)2 d. Vậy phương trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị. Lập bảng biến thiên: x e/d + y' y 73
6. Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. d. Đồ thị: ▪ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có). Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm số có bốn dạng. I I I I x2 x 2 Thí dụ 1. Cho hàm số (H): y . x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đó, suy ra đồ x2 x 2 thị hàm số (H’): y . x 1 b. Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó. c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(3; 3).  Giải 2 a. Viết lại hàm số dưới dạng y x . y x = 1 x 1 y = x 1. Hàm số xác định trên D Ă \ 1. 2. Sự biến thiên của hàm số: 2 I ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và 1 x các đường tiệm cận: O 1 2 lim y = , lim y = . x x lim y = nên x = 1 là đường tiệm cận đứng. x 1 lim (y x) = 0 nên y = x là đường tiệm cận xiên. x ▪ Bảng biến thiên: 2 y' = 1 + > 0 x D hàm số luôn đồng biến. (x 1)2 x 1 + y' + + y 74
7. 3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm hai điểm A(0; 2) và B( 1; 0). Ta có: x2 x 2 2 với x>1 x x 2 x 1 y . x 1 x2 x 2 với x 1. ▪ Lấy đối xứng phần đồ thị (H) với x < 1 qua trục Ox. b. Bạn đọc tự thực hiện bằng phép tịnh tiến toạ độ. c. Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 2 (d): y = y’(x0)(x x0) + y(x0) (d): y = 1 2 .(x x0) + x0 . (x0 1) x0 1 Điểm A (d) nên: 2 2 3 = 1 2 .(3 x0) + x0 (x0 1) x0 1 2 2 4 4 3 = 3 x0 + 2 .[2 + (1 x0)] + x0 2 = (x0 1) x0 1 (x0 1) x0 1 x0 1 = 1 x0 = 2. Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = 2 có dạng: (d): y = y'(2).(x 2) + y(2) (dA): y = 3(x 2).  Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra được phương pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm số này luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hãy thực hiện như sau: Khả năng 1: Nếu hàm số có cực trị thì trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm A, B đối xứng với nhau qua I, từ đó: a. Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I ở giữa hình. b. Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A và cực trị tương ứng tựa theo hai tiệm cận. c. Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B và cực trị tương ứng tựa theo hai tiệm cận. Khả năng 2: Nếu hàm số không có cực trị chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc một nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận đứng): a. Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đường tiệm cận với lưu ý để tâm đối xứng I ở giữa hình. b. Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận. 75
8. c. Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồi thực hiện vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’. Thí dụ 2. Cho hàm số: x2 2mx 2 (Cm): y = . x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. b. Tìm m để hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.  Giải a. Với m = 1, hàm số có dạng: y x2 2x 2 1 y = = x + 1 + . x 1 x 1 2 Ta lần lượt có: 2 1 1. Hàm số xác định trên D = Ă \ 1 . I O x 2. Sự biến thiên của hàm số: 2 ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: y=x+1 x= 1 lim y ; lim y . x x lim y = nên x = 1 là đường tiệm cận x 1 đứng. lim[y (x 1)] = 0 nên y = x + 1 là đường tiệm cận xiên. x ▪ Bảng biến thiên: 2 x 0 1 x 2x 2 y' = 1 2 = 2 , y' = 0 x + 2x = 0 . (x 1) (x 1) x 2 x 2 1 0 + y' + 0 0 + CĐ CT y + + 2 2 3. Đồ thị của hàm số. b. Hàm số có đạo hàm: x2 2x 2m 2 y' = , y' = 0 f(x) = x2 + 2x + 2m 2 = 0. (1) (x 1)2 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 f( 1) 0 2m 3 0 3 m < . (*) ' 0 3 2m 0 2 76
9. Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x1 x2 2 x1x2 2m 2 và toạ độ hai điểm cực trị là A(x1, 2x1 + 2m) và B(x2, 2x2 + 2m). Gọi d1, d2 theo thứ tự là khoảng cách từ các điểm cực trị A và B đến đường thẳng x + y + 2 = 0, ta có: | 3x1 2m 2 | | 3x2 2m 2 | d1 = và d2 = . 2 2 Do đó: d1 = d2 3x1 + 2m + 2 = 3x2 + 2m + 2 x1 x2 (loai vix1 x2 ) 1 4m 2 = 0 m = , thoả mãn (*). 3(x1 x2 ) 4m 4 0 2 1 Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu bài. 2 Đ8. một số bài toán thường gặp về đồ thị Dạng toán 1:( ứng dụng của đồ thị giải phương trình): Biện luận theo m số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (1) Phương pháp Giả sử ta đã có đồ thị (hoặc bảng bến thiên) của hàm số (C): y = f(x), ta có thể thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: f(x) = h(m) (2) Bước 2: Khi đó, số nghiệm phân biệt phương trình của (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = h(m). ▪ Bằng việc tịnh tiến (d) theo Oy và song song với Ox, ta biện luận được số nghiệm của phương trình (1). Thí dụ 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 1. b. Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 1 = m. y A 3  Giải a. Ta lần lượt có: 1 U y = m 1. Hàm số xác định trên D = Ă . x 2. Sự biến thiên của hàm số: 1 O 1 2 ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực: 1 (C) 3 3 1 khi x lim y = lim [ x (1 + 3 ) = . x x x x khi x 77
10. ▪ Bảng biến thiên: y' = 3x2 + 6x, y' = 0 3x2 + 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2. x 0 2 + y' 0 + 0 1 CĐ y CT 3 3. Đồ thị của hàm số: ▪ Điểm uốn: y'' = 6x + 6, y'' = 0 6x + 6 = 0 x = 1. Vì y" đổi dấu khi qua điểm x =  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là U(1; 1). ▪ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A( 1; 3), B(3; 1). Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; 1) làm tâm đối xứng. b. Nhận xét rằng số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m, do đó ta có kết luận: ▪ Với m 3 phương trình có nghiệm duy nhất. ▪ Với m = 1 hoặc m = 3 phương trình có hai nghiệm phân biệt. ▪ Với 1 2. ▪ Từ tính đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba (nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) chúng ta lấy hai điểm A, B có hoành độ đối xứng qua điểm U. ▪ Nối bằng đường thẳng mờ A CT U CĐ B. Sau đó lượn một đường cong đi qua các điểm đó. Lưu ý rằng trong phần đồ thị hàm số, chúng ta bỏ qua: ▪ Việc tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy bởi đó chính là điểm CT. ▪ Việc tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox bởi phương trình x3 + 3x2 1 = 0 không có nghiệm nguyên. 2. Để tăng độ khó cho câu hỏi biện luận số nghiệm của phương trình, người ta có thể thay nó bằng "Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm x > 3", khi đó dựa vào đồ thị câu trả lời là m < 1. 78
11. Thí dụ 2. (Đề thi đại học khối A 2006): a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 9x2 + 12x 4. b. Tìm m để phương trình 2x3 9x2 + 12x = m có 6 nghiệm phân biệt.  Giải a. Ta lần lượt có: 1. Hàm số xác định trên D = Ă . 2. Sự biến thiên của hàm số: ▪ Giới hạn của hàm số tại vô cực: 3 9 12 4 lim y = lim x 2 2 3 x x x x x khi x = . khi x ▪ Bảng biến thiên: y' = 6x2 18x + 12, y' = 0 6x2 18x + 12 = 0 x = 1 hoặc x = 2. x 1 2 + y' 0 + 0 1 CT y CĐ 0 3. Đồ thị của hàm số: ▪ Điểm uốn: 3 y'' = 12x 18, y'' = 0 x 18 = 0 x . 2 3 3 1 Vì y" đổi dấu khi qua x nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là U ; . 2 2 2 Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng. ▪ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(0; 4), B(3; 1). b. Hàm số y = 2x3 9x2 + 12x 4 là hàm số chẵn, nên đồ thị (T) của nó gồm hai phần: ▪ Phần của đồ thị hàm số y = 2x3 9x2 + 12x 4 với x ≥ 0. ▪ Lấy đối xứng phần của đồ thị trên qua Oy. Viết lại phương trình dưới dạng: 2x3 9x2 + 12x 4 = m 4. Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị (T) với đường thẳng y = m 4, do đó để nó có 6 nghiệm phân biệt điều kiện là: 0 < m 4 < 1 4 < m < 5. Vậy, với 4 < m < 5 thoả mãn điều kiện đầu bài. 79
12. Dạng toán 2: Giao điểm của hai đồ thị Phương pháp Với yêu cầu thường gặp là "Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(x0; y0), biện luận theo k số giao điểm của (d) và đồ thị hàm số (C): y = f(x)", ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x). Bước 2: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi: y = k(x x0) + y0. Bước 3: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: f(x) = k(x x0) + y0. (1) Khi đó số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm phân biệt thuộc tập D của phương trình (1). Thí dụ 1. (Đề thi đại học khối D 2006): Cho hàm số: (C): y = x3 3x + 2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Đường thẳng (d) có phương trình y = m(x 3) + 20. Hoành dộ giao điểm là nghiệm của phương trình: x3 3x + 2 = m(x 3) + 20 (x 3)(x2 + 3x + 6 m) = 0. x 3 2 . (I) g(x) x 3x 6x m 0 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt điều kiện là hệ (I) có ba nghiệm phân biệt, tức: Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 g 0 4m 15 0 15 m 24. g(3) 0 24 m 0 4 15 Vậy, với m 24 thoả mãn điều kiện đầu bài. 4 Thí dụ 2. Cho hàm số: (C): y = 2x3 + 3x2 + 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm các giao điểm của đường cong (C) với parabol (P): y = 2x2 + 1. c. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm của chúng. d. Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P). 80
13.  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: 2x3 + 3x2 + 1 = 2x2 + 1 2x3 + x2 = 0 (1) x 0 y 1 1 3 . x y 2 2 1 3 Vậy, ta được (C)  (P) = {A(0; 1), B( ; )}. 2 2 c. Vì A là giao điểm kép (x = 0 là nghiệm kép) nên phương trình tiếp tuyến tại A của (C) và (P) giống nhau, cụ thể: (dA): y 1 = y'(0).x (dA): y = 1. Tại giao điểm B lần lượt với (C) và (P): ▪ Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x do đó phương trình tiếp tuyến tại B có dạng: 1 3 1 1 1 3 3 (d B): y = y'( ).(x + ) (d A): y = x + . 2 2 2 2 4 ▪ Với (P) ta có y' = 4x do đó phương trình tiếp tuyến tại B có dạng: 2 3 1 1 2 1 (d B): y = y'( ).(x + ) (d B): y = 2x + . 2 2 2 2 d. Bằng việc xét dấu biểu thức ở VT của (1), ta có kết luận: 1 ▪ (C) nằm dưới (P) khi x thuộc ( ; ). 2 1 ▪ (C) nằm trên (P) khi x thuộc ( ; + )\{0}. 2 1 Thí dụ 3. a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 x + 1 và đồ thị (H) của hàm số y = . x 1 b. Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c. Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới của (H).  Giải c. Bạn đọc tự giải. d. Hoành dộ giao điểm là nghiệm của phương trình: 1 x3 x2 x + 1 = = 0 (1) x 1 x 1 x3 = 0 x = 0 A(0; 1). Vậy, hai đồ thị (P) và (H) cắt nhau tại điểm A(0; 1). Ta lần lượt có: ▪ Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A có dạng: (d1): y 1 = y'(P)(0).x (d1): y = x + 1. 81
14. ▪ Phương trình tiếp tuyến của (H) tại A có dạng: (d2): y 1 = y'(H)(0).x (d2): y = x + 1. Nhận thấy (d1)  (d2), tức là (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A. e. Bằng việc xét dấu biểu thức ở VT của (1), ta có kết luận: ▪ (H) nằm dưới (P) khi x thuộc ( ; 1) và (0; + ). ▪ (H) nằm trên (P) khi x thuộc ( 1; 0). Thí dụ 4. Cho hàm số: 2x 1 y = . x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Với các giá trị nào của m đường thẳng (dm) đi qua điểm A( 2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho: ▪ Tại hai điểm phân biệt ? ▪ Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Đường thẳng (dm) có phương trình: (dm): y = m(x + 2) + 2 (dm): y = mx + 2m + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (dm) với đồ thị hàm số là: 2x 1 = mx + 2m + 2 x 1 f(x) = mx2 3mx + 2m + 3 = 0 với x 1. (1) ▪ Đường thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 m 0 m 0 m 0 2 2 0 9m 4m(2m 3) 0 m 12m 0 f( 1) 0 3 0 3 0 m 12. Vậy, với m 12 đồ thị hàm số cắt đường thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt. ▪ Đường thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 < 1 < x2 af( 1) < 0 m.3 < 0 m < 0. Vậy, với m < 0 đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d m) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. Thí dụ 5. Cho hàm số: x 2 (H): y = . 2x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 82
15. b. Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên. c. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của họ đường thẳng. Khi đó: y0 = mx0 + m 1, m (x0 + 1)m 1 y0 = 0, m x0 1 0 x0 1 M( 1; 1) (H). 1 y0 0 y0 1 Vậy, họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định M( 1; 1) của đường cong (H) khi m biến thiên. c. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số là: x 2 = mx + m 1 2x 1 1 f(x) = 2mx2 3(m 1)x + m 3 = 0 với x . (1) 2 Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị: 1 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 về một phía của 2 1 2m 0 m 0 x1 x2 2 2 0 m 6m 9 0 3 m < 0. 1 x x m.f( 1/ 2) 0 m 0 2 1 2 Vậy, với 3 m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. 2x2 x 1 Thí dụ 6. Cho hàm số (H): y = . x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ? c. Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số là: 2x2 x 1 = m x f(x) = 3x2 (m + 2)x + m + 1 = 0 với x 1. (1) x 1 83
16. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 0 m2 8m 8 0 m 4 2 6 . (2) f(1) 0 2 0 m 4 2 6 Vậy, với m > 4 + 2 6 hoặc m < 4 2 6 thỏa mãn điều kiện đầu bài. c. Với kết quả trong b), phương trình (1) có hai nghiệm xA, xB thoả mãn: m 2 x x A B 3 A(xA, m xA), B(xB, m xB). m 1 x x A B 3 Khi dó, tọa độ trung điểm M(x; y) của AB được cho bởi: x x x x m 2 x A B x A B x 2 2 6 6x m 2 y y x x m 2 6y 5m 2 y A B y m A B y m 2 2 6 30x 6y 12 = 0 5x y 2 = 0. Vậy, tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên thuộc đường thẳng 5x y 2 = 0. Thí dụ 7. Cho hàm số y = x 4 (m + 1)x2 + m. a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.  Giải a. Bạn đọc tự giải. b. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau tức là đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình: y = x4 (m + 1)x2 + m = 0. (1) Đặt t = x2, t 0, khi đó (1) có dạng: t2 (m + 1)t + m = 0. (2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t1 < t2 ' 0 (m 1)2 4m 0 b / a 0 m 1 0 0 < m 1, c / a 0 m 0 và khi đó bốn nghiệm của (1) là t2 , t1 , t1 , t2 . 84
17. Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng: t2 t1 2 t1 t2 = 3 t1 t2 = 9t1. (3) t1 t2 2 t1 Theo định lí Vi - ét ta có: t1 t2 m 1 (I) t1t2 m Thay (3) vào (I) được: m 9 t1 9t1 m 1 10t1 m 1 9m2 82m + 9 = 0 . 2 1 t1.(9t1 ) m 9t1 m m 9 1 Vậy, với m = 9 hoặc m = đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành 9 ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. Dạng toán 3: Sự tiếp xúc của hai đồ thị Phương pháp Sử dụng mệnh đề: "Hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f(x) g(x) " f '(x) g'(x) Khi đó, nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm. Thí dụ 1. Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số: 1 3 3x f(x) = x2 + x và g(x) = 2 2 x 2 tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.  Giải Xét hệ phương trình: 1 3 3x x2 x f(x) g(x) 2 2 x 2 x = 0 y = 0. f '(x) g'(x) 3 6 x 2 2 (x 2) Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại gốc O. ▪ Phương trình tiếp tuyến chung có dạng: 3 (d): y = g'(0).x (d): y = x. 2 85
18. Thí dụ 2. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: f(x) = x2 + 3x + 6, g(x) = x3 x2 + 4 và h(x) = x2 + 7x + 8 tiếp xúc với nhau tại điểm A( 1; 2).  Giải Ta lần lượt thực hiện: ▪ Xét hệ phương trình: f(x) g(x) x2 3x 6 x3 x2 4 x3 3x 2 0 2 2 f '(x) g'(x) 2x 3 3x 2x 3x 3 0 x = 1 y = 2. Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A( 1; 2). ▪ Xét hệ phương trình: f(x) h(x) x2 3x 6 x2 7x 8 x2 2x 1 0 f '(x) h'(x) 2x 3 2x 7 4x 4 0 x = 1 y = 2. Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = h(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A( 1; 2). Thí dụ 3. Tìm các hệ số a và b sao cho parabol y = 2x 2 + ax + b tiếp xúc với 1 1 hypebol y = tại điểm M ; 2 . x 2  Giải 1 Để (P) tiếp xúc với (H) điều kiện là hệ sau có nghiệm x = : 2 2 1 1 1 2x2 ax b 2 2. a. b x 2 2 9 a = 6 và b = . 1 1 2 4x a 2 4. a 4 x 2 9 Vậy, với a = 6 và b = thỏa mãn điều kiện đầu bài. 2 Dạng toán 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương pháp Với hàm số: (C): y = f(x) 1. Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; f(x0)) của (C) có phương trình: (d): y y0 = f'(x0)(x x0). 2. Với yêu cầu "Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA)", ta có thể lựa chọn một trong hai cách: 86
19. Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y y(x0) = f'(x0)(x x0). Bước 2: Điểm A(xA; yA) (d), ta có: yA y(x0) = f'(x0)(xA x0) Tiếp điểm x0 Phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Phương trình (d) đi qua A(xA; yA) có dạng: (d): y = k(x xA) + yA. Bước 2: (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: f(x) k(x xA ) yA Hệ số góc k f '(x) k Phương trình tiếp tuyến. 3. Với yêu cầu "Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k", ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Xét hàm số, ta tính đạo hàm y' = f'(x). Bước 2: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: f'(x) = k Hoành độ tiếp điểm x0. Bước 3: Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y y(x0) = f'(x0)(x x0). Cách 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Phương trình với hệ số góc k có dạng: (d): y = kx + b. Bước 2: Để (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: f(x) kx b Giá trị b f '(x) k Phương trình tiếp tuyến.  Chú ý: Khi sử dụng cách 1 ngoài việc có được phương trình tiếp tuyến chúng ta còn nhận được toạ độ tiếp điểm. 1 (Đề thi đại học khối B 2004): Cho hàm số (C): y = x3 2x2 + 3x. Thí dụ 1. 3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng (d) là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 87
20.  Giải a. Bạn đọc tự làm. b. Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm uốn của (C) là: 2 8 (d): y = y'(2)(x 2) + (d): y = x + . 3 3 Ta có: y' = x2 4x + 3, suy ra hệ số góc cuả tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc đồ thị hàm số (C) là: 2 2 k = y'(x0) = x0 4x0 + 3 = (x0 2) 1 1, tức là kmin = 1 đạt được khi x0 = 2 = xU, đpcm. Thí dụ 2. (Đề thi đại học khối D 2005): Cho hàm số: 1 3 m 2 1 (Cm): y = x x + , với m là tham số. 3 2 3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. b. Gọi M là điểm thuộc (C m) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x y = 0.  Giải a. Bạn đọc tự làm. b. Ta có: y' = x2 mx. m Từ giả thiết, suy ra M( 1, ) và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có 2 phương trình: m m (d): y = y’( 1)(x ) (d): (1 + m)x y + 1 + = 0. 2 2 Để (d) song song với đường thẳng 5x y = 0 điều kiện là: 1 m 5 m m = 4. 1 0 2 Vậy, với m = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài. ax2 bx Thí dụ 3. Cho hàm số y = . x 1 a. Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A 5 1; và tiếp tuyến của (C) tại điểm O có hệ số góc bằng 3. 2 b. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được ở trong câu a). 88
21.  Giải a. Trước tiên ta có: ax2 2ax b y' = hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O là kO = y'(0) (x 1)2 3 = b b = 3. Vì điểm A thuộc đồ thị hàm số nên: 5 a( 1)2 ( 3)( 1) = a = 2. 2 ( 1) 1 Vậy, với a = 2 và b = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài. b. Bạn đọc tự giải. x 1 Thí dụ 4. Cho hàm số (C): y = . x 2 a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung. b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm B(3; 4). c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A.  Giải a. Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình: x 0 x 0 1 x 1 1 A 0; . y y 2 x 2 2 Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: 1 3 1 (dA): y = y'(0).x (dA): y x . 2 4 2 b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phương trình tiếp tuến có dạng: 3 x0 1 (d): y y(x0) = f'(x0)(x x0) (d): y 2 (x x0 ) . (x0 2) x0 2 Tiếp tuyến (d) đi qua điểm B nên: 3 x0 1 2 4 2 (3 x0 ) x0 6x0 9 0 x0 = 3. (x0 2) x0 2 Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y 3(x 3) 4 (d): y = 3x + 13. 89
22. Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua điểm B(3; 4) nên có phương trình y = k(x 3) + 4. Để (d) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: x 1 k(x 3) 4 x 2 x 1 3 2 2 (x 3) 4 x 6x + 9 = 0 3 x 2 (x 2) 2 k (x 2) x = 3 k = 3. Khi đó, phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = 3x + 13. c. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: 3 Cách 1: Tiếp tuyến song song với (dA) nên có hệ số góc k . 4 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: x 2 2 x 4 3 3 2 2 (x 2) = 4 . (x 2) 4 x 2 2 x 0 loại Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 4 có dạng: 3 11 (d): y = y'(4).(x 4) + y(4) (d): y x . 4 2 3 Cách 2: Đường thẳng (d) song song với (dA) nên có phương trình y x b . 4 Để (d) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: x 1 3 x 1 3 x 1 3 x b x b x b x 2 4 x 2 4 x 2 4 11 b . 3 3 x 2 2 x 4 2 2 (x 2) 4 x 2 2 x 0 (loại) 3 11 Khi đó, phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y x . 4 2 Thí dụ 3. (Đề thi đại học khối B 2006): Cho hàm số: x2 x 1 (C) : y . x 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).  Giải a. Bạn đọc tự thực hiện. b. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên (dA): y = x 1. Tiếp tuyến vuông góc với (dA) nên có hệ số góc k = 1. 90