Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1. chương 3 nguyên hàm, tích phân và ứng dụng A. Kiến thức cần nhớ I. nguyên hàm 1. khái niệm nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Định lí 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I. Khi đó: a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I. Kí hiệu f(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy ta viết: f(x)dx = F(x) + C F '(x) = f(x) Định lí 2: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2. nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. dx = C, dx = x + C. ekx c. e kx.dx = C  x 1 2. x dx = + C, 1. k 1 ax d. a xdx = + C, 0 < a 1. dx 3. = lnx + C, x 0. lna x dx 5. a. = tanx + C. 4. Với k là hằng số khác 0: cos2 x coskx dx a. sinkx.dx = C  b. = cotx + C. k sin2 x sin kx b. coskx.dx = C  k 3. tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lí 3: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì: a. [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx = F(x) G(x) + C. b. Với mọi số thực a 0: af(x)dx = a f(x)dx = a.F(x) + C. 201
2. 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau: Định lí 1: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có: f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)] + C. (1) ở đó F(u) là một nguyên hàm của f(u). Nhận xét rằng: u = u(x) du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng: f(u)du = F(u) + C. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = (u) (nếu có thể). Bước 2: Xác định vi phân dx = ’(u)du. Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du. Bước 4: Khi đó: f(x)dx = g(u)du.  Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm có mẫu số u là mẫu số Hàm f(x, (x) ) u = (x) hoặc u = (x) • Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt: 1 Hàm f(x) = u = x a + x b (x a)(x b) • Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt: u = x a + x b a.sin x b.cosx x x Hàm f(x)= u = tan (với cos 0) c.sin x d.cosx e 2 2 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cơ sở của phương pháp là định lí sau: Định lí 2: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì: u(x).v'(x).dx = u(x)v(x) v(x).u'(x).dx hoặc viết u.dv = uv v.du. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi: f(x)dx = f1(x).f2(x)dx. 202
3. Bước 2: Đặt: u f1 (x) du . dv f2 (x)dx v Bước 3: Khi đó: f(x)dx = uv vdu.  Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. b. Tích phân bất định vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu. II. Tích phân 1. khái niệm tích phân Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I và a, b là hai số bất kì thuộc I. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích b phân của f(x) từ a đến b và kí hiệu là f(x)dx . a Ta có công thức Niutơn Laipnit: b f(x)dx = F(x) b = F(b) F(a). a a b  Chú ý: Tích phân f(x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào a cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy, ta có thể viết: b b b F(b) F(a) = f(x)dx = f(t)dt = f(u)du = a a a Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên khoảng I và a, b là hai số thuộc I (a < b). Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), b trục hành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = f(x).dx . a 2. tính chất của tích phân Định lí 2: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên I và a, b, c là ba số bất kì thuộc I. Khi đó ta có: a Tính chất 1: f(x)dx = 0. a b a Tính chất 2: f(x)dx = f(x)dx . a b 203
4. c b c Tính chất 3: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx . a a b b b Tính chất 4: kf(x)dx = k f(x)dx , với k Ă . a a b b b Tính chất 5: [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx . a a a b Để tính f(x)dx ta sử dụng: a a. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp cơ bản. b. Sử dụng máy tính CASIO fx – 570MS, bằng cách thực hiện theo các bước: Bước 1: Thiết lập môi trường bằng cách ấn: MODE 1 b Bước 2: Để tính f(x)dx , ta khai báo theo cú pháp: a dx , a , b ) = . 3. tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau: b  f[u(x)]u'(x)dx f(u)du , với = u(a) và  = u(b). a Từ đó, chúng ta thấy có hai phương pháp đổi biến: Phương pháp 1: Để tính tích phân: b I = g(x)dx a ta thực hiện các bước: Bước 1: Chọn: ▪ Phân tích g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx = f[u(x)]d[u(x)]. ▪ Đặt u = u(x). Bước 2: Thực hiện phép đổi cận: ▪ Với x = a thì u = u(a). ▪ Với x = b thì u = u(b). b u(b) Bước 3: Khi đó g(x)dx = f(u)du . a u(a) Phương pháp 2: Để tính tích phân: b I = f(x)dx , với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a; b] a ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Chọn x = (t), trong đó (t) là hàm số được lựa chọn một cách thích hợp (ảnh của nằm trong tập xác định của f). 204
5. Bước 2: Lấy vi phân dx = ’(t)dt, giả sử ’(t) liên tục. Bước 3: Ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Nếu tính được các cận và  tương ứng theo a và b (với a = ( ) và b = ()) thì ta được:  I = f( (t)). '(t)dt . Hướng 2: Nếu không tính được dễ dàng các cận tương ứng theo a và b thì ta lựa chọn việc xác định nguyên hàm, từ đó suy ra giá trị của tích phân xác định (trong trường hợp này phải là đơn ánh để diễn tả kết quả hàm số của t thành hàm số của x).  Chú ý: Để minh hoạ việc lựa chọn một trong hai hướng trên, ta có ví dụ: 1/ 2 a. Với I = f(x)dx , việc lựa chọn ẩn phụ x = sint, t cho 0 2 2 phép ta lựa chọn hướng 1, bởi khi đó: ▪ Với x = 0, suy ra t = 0. 1 ▪ Với x = , suy ra t = . 2 6 1/ 3 b. Với I = f(x)dx , việc lựa chọn ẩn phụ x = sint, t ta 0 2 2 thường lựa chọn hướng 2, bởi khi đó: ▪ Với x = 0, suy ra t = 0. 1 ▪ Với x = , ta không chỉ ra được số đo góc t. 3 4. tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Cơ sở của phương pháp tích phân từng phần là công sau: b b u(x).v'(x).dx = u(x).v(x) b v(x).u'(x).dx . (1) a a a b Để sử dụng (1) trong việc tính tích phân I = f(x)dx ta thực hiện các bước: a b b Biến đổi tích phân ban đầu về dạng I = f(x)dx = f (x).f (x)dx . Bước 1: 1 2 a a Bước 2: Đặt: u f1 (x) du . dv f2 (x)dx v b Khi đó I = uv b vdu . Bước 3: a a 205
6.  Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: 1. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. b 2. Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I. a 3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau: Dạng 1: Tích phân I = x .lnxdx, với Ă \{ 1} khi đó đặt u = lnx. Dạng 2: Tích phân I = P(x)e xdx (hoặc I = P(x)e xdx ) với P là một đa thức thuộc R[X] và Ă * khi đó đặt u = P(x). Dạng 3: Tích phân I = P(x)sin xdx (hoặc P(x)cos xdx ) với P là đa thức thuộc R[X] và Ă * khi đó đặt u = P(x). Dạng 4: Tích phân I = eaxcos(bx) (hoặc eaxsin(bx)) với a, b 0 khi đó đặt u = cos(bx) (hoặc u = sin(bx)). III. Một số ứng dụng hình học của tích phân 1. Diện tích của hình tròn và của hình elíp a. Hình tròn bán kính R có diện tích S = R2. x2 y2 b. Hình elíp (E): = 1 có diện tích S = ab. a2 b2 2. tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) (f(x) liên tục trên đoạn [a; b]), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b được cho bởi công thức: b S = f(x) dx . a b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b, và đồ thị của hai hàm số y = f1(x) và y = f 2(x) (f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a; b]) được b S = f (x) f (x) dx . cho bởi công thức 1 2 a 3. thể tích của vật thể Giả sử vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song ( ), (). y Ta chọn trục Ox sao cho: Ox  ( ) và giả sử Ox  ( ) a Ox  () và giả sử Ox  () b Giả sử mặt phẳng ()  Ox và ()  Ox = x (a x b) cắt T theo một thiết diện có diện tích S(x) (là hàm số O a x b x liên tục theo biến x). 206
7. Khi đó, thể tích V của vật thể T được cho bởi công thức: b V = S(x)dx . a 4. Thể tích của vật thể tròn xoay a. Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox được cho bởi công thức: b b V = y 2 dx = f 2 (x)dx . a a b. Cho hàm số x = f(y) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy được cho bởi công thức: b b V = x 2 dy = f 2 (y)dy . a a 5. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu a. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng B và chiều cao h được cho 1 bởi V = Bh. 3 b. Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là B1, B2 và chiều cao h được cho bởi: 1 V = (B1 + B2 + B .B )h. 3 1 2 c. Thể tích của khối cầu có bán kính R được cho bởi: 4 V = R3. 3 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. nguyên hàm Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và các tính chất cơ bản của nguyên hàm Phương pháp Sử dụng: ▪ Bảng các nguyên hàm cơ bản. ▪ Các tính chất của nguyên hàm. ▪ Các phép biến đổi đại số. 207
8. Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2 a. f(x) 1 x 2x3 . b. f(x) = (2x + 3)3. x x2  Giải a. Ta có: 1 2 1 1 f(x)dx = 1 x 2x3 dx = 1 x 2 2x3 2x 2 dx 2 x x x 1 1 x 2 x3 1 x 2 1 2 1 2 = x 2. ln x 2. C = x x3 x4 ln x C . 1 3 1 2 1 3 2 x 1 2 b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có phân tích: f(x)dx = (2x 3)3 dx = (8x3 36x2 54x 27)3 dx = 2x4 12x3 27x2 27x C . Cách 2: Ta biến đổi: 1 1 f(x)dx = (2x 3)3 dx = (2x 3)3 d(2x 3) = (2x 3)4 C . 2 8  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: ▪ Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại các công thức 1, 2, 3 trong bảng nguyên hàm. ▪ Câu b) được trình bày theo hai cách với mục đích yêu cầu các em học sinh đưa ra lời đánh giá. Và rút ra nhận định rằng cách 2 luôn được ưu tiên bởi nếu thay (2x + 3)3 bằng (2x + 3)2009 thì không thể sử dụng cách 1. Với cách 2 các em học sinh có thể hiểu theo nghĩa nếu thay x u 1 bằng u thì u du = + C, 1. 1 Thí dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2x2 x 3 x x2 2x 3 a. f(x) . b. f(x) . x2 x 1  Giải a. Ta có: 5 1 2 1 3 2x x 3 x 2x 2 3x 2 f(x)dx = dx = dx = 2x 2 3x 2 dx 2 2 x x 3 1 4 4 3 = x 2 3x 2 C = x x C . 3 3 x 208
9. b. Ta có: 2 x 2x 3 2 1 2 f(x)dx = dx = x 1 dx = x x 2ln x 1 C . x 1 x 1 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: ▪ở câu a) chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng dựa vào bảng nguyên hàm. ▪ở câu b) ngoài việc thực hiện động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ, chúng ta còn sử dụng công thức: du ln u C . u Thí dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x 2 3x x a. f(x) sin 4x cos . b. 2cos 3x 4sin .sin dx . 2 2 2  Giải a. Ta có: x 1 x f(x)dx = sin 4x cos dx = cos4x 2sin C . 2 4 2 b. Ta có: 2 3x x f(x)dx = 2cos 3x 4sin .sin dx = 1 cos6x 2cosx 2cos2x dx 2 2 1 = x sin6x 2sin x sin2x C . 6  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: ▪ Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại các công thức 4.a và 4.b trong bảng nguyên hàm. ▪ở câu b) chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ (cụ thể là phép hạ bậc và biến đổi tích thành tổng) mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng dựa vào bảng nguyên hàm. Thí dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 2x 3x a. f(x) = (e2x ex)2. b. f(x) . 4x  Giải a. Ta có: 2 f(x)dx = e2x ex dx = e4x 2e2x .ex e2x dx 1 2 1 = e4x 2e3x e2x dx = e4x e3x e2x C . 4 3 2 209
10. b. Ta có: 2 x x 2 3 22x 2.2x3x 32x 4x 2.6x 9x f(x)dx = dx = dx = dx 4x 4x 4x x x x x 3 9 2 3 1 9 = 1 2 dx = x . . C . 3 9 2 4 ln 2 ln 4 2 4  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: ▪ Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại công thức 4.c trong bảng nguyên hàm. Tuy nhiên, trước đó chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ. ▪ Câu b) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại công thức 4.d trong bảng nguyên hàm. Tuy nhiên, trước đó chúng ta thực hiện hai động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ. Thí dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 a. f(x) . b. f(x) = tan22x + cot22x. sin2 x.cos2 x  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: 1 sin2 x cos2 x 1 1 f(x)dx = 2 2 dx = 2 2 dx = 2 2 dx sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x = tanx cotx + C. Cách 2: Ta có: 1 4 f(x)dx = dx = dx = 2cot2x + C. sin2 x.cos2 x sin2 2x b. Ta có: 2 2 1 1 f(x)dx = tan 2x co t 2x dx = 1 2 1 2 dx cos 2x sin 2x 1 1 = 2x tan2x + cot2x + C. 2 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: ▪ Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại các công thức 5.a và 5.b trong bảng nguyên hàm. ▪ở câu b) chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ. 210
11. Cuối cùng, thông qua những thí dụ trên các em học sinh cũng đã được làm quen với việc sử dụng các phép biến đổi để làm xuất hiện những toán tử mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng dựa vào bảng nguyên hàm, ý tưởng này sẽ được trình bày cụ thể trong dạng toán tiếp theo. Dạng toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích Phương pháp Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi hàm số ban đầu (hoặc gọi là hàm số dưới dấu tích phân) thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Để tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) bằng phương pháp phân tích, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng: n f(x) =  ifi (x), i 1 với fi(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số. Bước 2: Khi đó: n n f(x)dx = f (x)dx = f (x)dx  i i  i i i 1 i 1  Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích trong bước 1, các em học sinh có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: ▪ Với f(x) = (x 2)(x2 + x + 1) thì bằng việc sử dụng phép nhân đa thức ta viết lại: f(x) = x3 x3 x 2. x2 2x 1 ▪ Với f(x) = thì bằng phép chia đa thức ta viết lại: x 1 4 f(x) = x 3 + . x 1 1 ▪ Với f(x) = thì bằng phép phân tích đa thức thành nhân tử ta x2 3x 2 viết lại: 1 (x 1) (x 2) 1 1 f(x) = = = . (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x 2 x 1 211
12. 1 ▪ Với f(x) = thì bằng sử dụng phương pháp nhận liên hợp ta x 1 x viết lại: x 1 x f(x) = = x 1 x . (x 1) x ▪ Với f(x) = cos3x.cosx thì bằng việc sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta viết lại: 1 f(x) = (cos4x + cos2x). 2 Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. f(x) = (x 1)(x 2). b. f(x) = x(x + 2)9.  Giải a. Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta biến đổi: 1 3 f(x)dx = (x 1)(x 2)dx = (x2 3x + 2)dx = x3 x2 + 2x + C. 3 2 Cách 2: Ta biến đổi: f(x)dx = (x 1)(x 2)dx = (x 1)[(x 1) 1]dx = [(x 1)2 (x 1)]dx 1 1 = [(x 1)2 (x 1)]d(x 1) = (x 1)3 (x 1)2 + C. 3 2 b. Sử dụng đồng nhất thức x = (x + 2) 2, ta được: x(x + 2)9 = [(x + 2) 2](x + 2)9 = (x + 2)10 2(x + 2)9. Khi đó: 9 10 9 f(x)dx = x(x 2) dx = (x 2) 2(x 2) dx (x 2)11 2(x 2)10 = C . 11 10  Nhận xét: Qua thí dụ trên chúng ta bắt đầu làm quen với việc xác định nguyên hàm của các hàm đa thức bằng phương pháp phân tích, cụ thể: 1.ở câu a) chúng ta nhận thấy: ▪ Cách 1 sử dụng phương pháp nhân đa thức để biến đổi tích thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm. ▪ Cách 2 sử dụng đồng nhất thức x 2 = (x 1) 1 để biến đổi nguyên hàm về dạng tổng của các u du. Tuy nhiên, các em học sinh sẽ thấy ngay rằng cách giải này được trình bày chỉ mang tính minh họa bởi nó phức tạp hơn nhiều so với cách 1. 212
13. 2.ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm: I = x(ax + b) dx, với a 0 bằng việc sử dụng đồng nhất thức: 1 1 x = .ax = [(ax + b) b]. a a Thí dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x2 3x 3 1 a. f(x) = . b. f(x) = . x 1 x2 3x 2  Giải a. Ta có: 2 x 3x 3 1 1 2 f (x)dx = dx = x 2 dx = x + 2x + lnx + 1 + C. x 1 x 1 2 b. Ta có: dx dx 1 1 f (x)dx = 2 = dx = dx x 3x 2 (x 1)(x 2) x 1 x 2 x 1 = lnx + 1 lnx + 2 + C = ln C . x 2  Nhận xét: Qua thí dụ trên: 1.ở câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm. 2.ở câu b) chúng ta nhận thấy: 1 A B (A B)x 2A B = = x2 3x 2 x 1 x 2 (x 1)(x 2) Ta được đồng nhất thức 1 = (A + B)x + 2A + B. (1) Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: (Phương pháp đồng nhất hệ số): Đồng nhất đẳng thức, ta được: A B 0 A 1 . 2A B 1 B 1 Cách 2: (Phương pháp trị số riêng): Lần lượt thay x = 1, x = 2 vào hai vế của (1) ta được A = 1 và B = 1. Tức là: 1 1 1 = . x2 3x 2 x 1 x 2 Thí dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 x a. f(x) = . b. f(x) = . 2x 1 2x 1 x2 1 x 213
14.  Giải a. Ta có: dx 2x 1 2x 1 dx f(x)dx = = 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 1 1 1 3 3 = 2x 1 2 2x 1 2 dx = 2x 1 2 2x 1 2 C . 2 6 b. Ta có: 2 xdx x x 1 x dx f(x)dx = = 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 1 = x x2 1dx x2dx = x2 1 2 d(x2 1) x2dx 2 1 3 1 = x2 1 2 x3 C . 3 3  Nhận xét: Để tìm nguyên hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp bậc hai, cụ thể: A B có liên hợp là A B và ngược lại. Tuy nhiên: 1.ở câu a) sau phép lấy liên hợp chúng ta nhận được ngay tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm. 2.ở câu b) chúng ta cần thực hiện thêm việc tách hàm số nhận được thành hai hàm số nhỏ bởi cần tới hai dạng x dx và u du . Thí dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. f(x) = sin3x.cosx. b. f(x) = sin3x.sin2x.cosx.  Giải a. Ta có: 1 1 1 f(x)dx = (sin4x + sin2x)dx = cos4x cos2x C . 2 8 4 b. Ta có phân tích: 1 1 f(x) = sin3x.sin2x.cosx = sin3x(sin3x sin x) = (sin2 3x sin3x.sin x) 2 2 1 = (1 cos6x cos2x cos4x) . 4 214
15. Khi đó: 1 f(x)dx = (1 cos6x cos2x cos4x)dx 4 1 1 1 1 = x sin6x sin2x sin 4x C . 4 6 2 4  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm cho các hàm số lượng giác trên chúng ta sử dụng phương pháp phân tích, cụ thể: 1.ở câu a) chúng ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Các em học sinh hãy nhớ lại: 1 cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x y)] 2 1 sinx.siny = [cos(x y) cos(x + y)] 2 1 sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x y)] 2 1 cosx.siny = [sin(x + y) sin(x y)] 2 2.ở câu b) chúng ta sử dụng phép phân tích dần và khi xuất hiện những hàm sinx hoặc cosx bậc cao chúng ta sử dụng công thức hạ bậc. Các em học sinh hãy nhớ lại: 1 cos2x 1 cos2x sin2x = và cos2x = . 2 2 3sin x sin3x 3cos x cos3x sin3x = và cos3x = . 4 4 Thí dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. f(x) = cos3x. b. f(x) = tan3x.  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 3 1 1 1 f(x)dx = cos xdx = (3cosx + cos3x)dx = 3sin x sin3x C . 4 4 3 Cách 2: Ta biến đổi: f(x)dx = cos3xdx = cos2x.cosx.dx = (1 sin2x)cosx.dx 1 = cosx.dx sin2x.d(sinx) = sinx sin3x + C. 3 b. Sử dụng đồng nhất thức: 3 2 1 1 tan x = tan x.tanx = 2 1 tan x = tan x. 2 tan x . cos x cos x 215
16. Ta được: 1 1 sin x f(x)dx = tan x. 2 tan x dx = tan x. 2 dx dx cos x cos x cosx d(cosx) 1 = tan x.d(tan x) = tan2x + ln|cosx| + C. cosx 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm cho các hàm số lượng giác trên: 1.ở câu a) việc trình bày theo hai cách với mục đích cho các em học sinh thấy tính linh hoạt trong các phép biến đổi lượng giác của hàm số dưới dấu tích phân. n 2.ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với I n = cot dx (hoặc n In = tan dx), với n 2. Thí dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 1 a. f(x) = . b. f(x) = . sin4 2x e2x 1  Giải dx 1 a. Sử dụng kết quả d(cot 2x) , ta được: sin2 2x 2 dx 1 dx 1 f(x)dx = = . = (1 cot2 2x)d(cot 2x) sin4 2x sin2 2x sin2 2x 2 1 1 = cot 2x cot3 2x C . 2 6 b. Sử dụng đồng nhất thức 1 = (e2x + 1) e2x, ta được: 1 (e2x 1) e2x e2x = = 1 . e2x 1 e2x 1 e2x 1 Suy ra: e2x d(e2x 1) f(x)dx = 1 dx = dx = x lne2x + 1 + C. 2x 2x e 1 e 1 Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp đổi biến. Thí dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau: 4 cosx.dx a. x 2x2 1 dx . b. . 2sin x 3 sin(2x 1)dx xdx c. . d. . cos2 (2x 1) x4 1 216
17.  Giải 1 a. Đặt u = 2x2 1, suy ra du = 4x.dx xdx du . 4 Từ đó: 4 1 1 1 1 1 x 2x2 1 dx = u4du = . u5 C = u5 C = (2x2 1)5 C . 4 4 5 20 20 1 b. Đặt u = 2sinx 3, suy ra du = 2cosx.dx cosx.dx du . 2 Từ đó: cosx.dx 1 du 1 1 = = ln u C = ln 2sin x 3 C . 2sin x 3 2 u 2 2 1 c. Đặt u = cos(2x 1), suy ra du = 2sin(2x 1)dx sin(2x 1)dx = du . 2 Từ đó: sin(2x 1)dx 1 du 1 1 = = C = C . cos2 (2x 1) 2 u2 2u 2cos(2x 1) 1 d. Đặt u = x2, suy ra du = 2x.dx xdx du . Từ đó: 2 xdx 1 du 1 1 1 1 4 = 2 = du = ln u 1 ln u 1 C x 1 2 t 1 2 u 1 u 1 2 1 u 1 1 x2 1 = ln C = ln C . 2 u 1 2 x2 1  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: 1.ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = x 2 + 1 chúng ta nhận u 1 được nguyên hàm dạng u du = + C, 1. 1 2.ở câu b) việc lựa chọn ẩn phụ được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ nhất trong bảng dấu hiệu. 3.ở câu c) chúng ta không lựa chọn việc đặt t = MS bởi nó có dạng u2 nên (u2)’ = 2u’.u không phù hợp với TS. Lời giải này được đề xuất dựa trên nhận xét đạo hàm của cos thì bằng sin. ý tưởng này được tiếp tục sử dụng trong câu d). Thí dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau: a. x.sin(x2 1)dx. b. esinx.cosx cos2x.dx.  Giải 1 a. Đặt u = x2 1, suy ra du = 2xdx xdx = du . 2 217
18. Từ đó: 1 1 1 x.sin(x2 1)dx = sin u.du = cosu C = cos(x2 1) C . 2 2 2 1 b. Đặt u = sinx.cosx = sin2x , suy ra du = cos2x.dx. Từ đó: 2 esinx.cosx cos2x.dx = eudx = eu + C = esinx.cosx + C.  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: 1.ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = x 2 1 chúng ta nhận được nguyên hàm dạng: cosu.du = sinu + C, tương tự với sinu.du = cosu + C. 2.ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = sinx.cosx chúng ta nhận được nguyên hàm dạng: au eu.du = eu + C, tương tự với au.du = C . lna Thí dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau: dx tan2 x 1dx a. . b. . sin2(2x 1) x 1  Giải 1 a. Đặt u = 2x 1, suy ra du = 2dx dx du . 2 Từ đó: dx 1 du 1 1 = = co t u C = co t(2x 1) C . sin2(2x 1) 2 sin2 u 2 2 dx dx b. Đặt u x 1 , suy ra du 2du . Từ đó: 2 x 1 x 1 2 tan x 1dx 2 1 = 2 tan u.du =2 2 1 du = tanu u C = tan x 1 x 1 C. x 1 cos u  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: 1.ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = 2x + 1 chúng ta nhận được nguyên hàm dạng: du du co t u C , tương tự với tan u C . sin2 u cos2 u 2.ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u x 1 chúng ta nhận được một nguyên hàm lượng giác, để rồi sử dụng phương pháp phân tích để tìm nó. Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới việc lựa chọn ẩn phụ được đề xuất dựa trên các dấu hiệu trong bảng dấu hiệu. 218
19. Thí dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau: dx a. x x2 1dx. b. . 2 x 1 x 1 1  Giải a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt u = x2 1 , suy ra: u2 = x2 1 2udu = 2xdx xdx = udu. Từ đó: 1 1 x x2 1dx = u.udu = u2du = u3 C = (x2 1)3 C . 3 3 1 Cách 2: Đặt u = x2 1, suy ra du = 2xdx xdx du . 2 Từ đó: 1 2 3 1 x x2 1dx = udu = u2du = u 2 C = (x2 1)3 C . 3 3 b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt u x 1 , suy ra: u2 = x + 1 2udu = dx. Từ đó: dx 2udu 2 = = 2 (u 1) 2 d(u 1) = C 2 2 x 1 x 1 1 u(u 1) u 1 2 = C . x 1 1 Cách 2: Đặt u x 1 1, suy ra: dx dx du = = 2du. 2 x 1 x 1 Từ đó: dx 2du 2 2 = = C = C . 2 2 x 1 x 1 1 u u x 1 1  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: 1.ở câu a) chúng ta nhận thấy: ▪ Cách 1 được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ hai trong bảng dấu hiệu. ▪ Cách 2 chúng ta trình bày dựa trên nhận xét (x2 1)' = 2x điều này sẽ cho phép chúng ta khử được x trong hàm số cần tìm nguyên hàm. 219
20. Các em học sinh có thể thấy ngay rằng độ phức tạp trong lời giải của hai cách này là như nhau. Tuy nhiên, điều này đã thay đổi trong câu b). 2.ở câu b) chúng ta nhận thấy: ▪ Cách 1 được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ hai trong bảng dấu hiệu. ▪ Cách 2 chúng ta trình bày dựa trên nhận xét rằng 1 x 1 1 ' điều này sẽ cho phép ta khử được 2 x 1 1 trong hàm số cần tìm nguyên hàm. x 1 dx Thí dụ 5. Tìm nguyên hàm L = . cos x 2  Giải Biến đổi nguyên hàm về dạng: dx L . sin x Ta có thể trình bày theo các cách sau: x Cách 1: Đặt u = tan , suy ra: 2 1 1 1 x 1 2dt dt = . dx = (1 + tan2 )dx = (1 + t2)dx dx = . x 2 2 2 cos2 2 2 1 t 2 Khi đó: 2du 2 du x L = 1 u = = lnu + C = ln tan C . 2u u 2 1 u2 Cách 2: Ta biến đổi: x d ta n dx 1 dx 2 x L = = = = ln tan C . x x x x x 2sin .cos 2 ta n .cos2 ta n 2 2 2 2 2 2 Cách 3: Ta biến đổi: 2 x 2 x x x sin cos dx sin cos 2 2 1 2 2 L = = dx x x 2 x x 2sin .cos cos sin 2 2 2 2 220
21. x x x = ln cos ln sin C = ln tan C . 2 2 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm trên chúng ta lựa chọn phép đổi biến dựa trên đề xuất của dấu hiệu thứ ba trong bảng dấu hiệu. Tuy nhiên, do tính đặc thù của các hàm số lượng giác nên nếu biết vận dụng đúng các phép biến đổi lượng giác chúng ta có thể nhận được một lời giải đơn giản hơn, đó chính là các cách giải 2 và 3. sin x.cos3 x.dx Thí dụ 6. Tìm nguyên hàm . 1 cos2 x  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt t = 1 + cos2x, suy ra: 1 dt = 2sinx.cosx.dx sinx.cosx.dx = dt. 2 Khi đó: sin x.cos3 x.dx cos2 x.cosx.sin x.dx 1 (t 1)dt = = 1 cos2 x 1 cos2 x 2 t 1 1 1 1 2 2 = t dt = (lnt t) + C = [ln(1 + cos x) 1 cos x] + C. 2 t 2 2 Cách 2: Đặt t = cos2x, suy ra: 1 dt = 2sinx.cosx.dx sinx.cosx.dx = dt. 2 Khi đó: sin x.cos3 x.dx cos2 x.cosx.sin x.dx 1 t.dt 1 1 2 = 2 = = 1 dt 1 cos x 1 cos x 2 1 t 2 1 t 1 1 = [t ln1 + t] + C = [ln(1 + cos2x) 1 cos2x] + C. 2 2 Cách 3: Đặt u = cosx, suy ra du = sinx.dx. Khi đó: 3 3 cos x.sin x.dx t dt t 1 2 1 2 2 = 2 = t 2 dt = t + ln(1 + t ) + C 1 cos x 1 t 1 t 2 2 1 = [ln(1 + cos2x) 1 cos2x] + C. 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm trên: 1. Cách 1 được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ nhất trong bảng dấu hiệu. 221
22. 2. Cách 2 được trình bày dựa trên nhận định: 1 sinx.cos3x.dx = cos2x.cosx.sinx.dx = cos2 x.d(cos2 x) . 2 3. Cách 3 được đề xuất dựa trên kiến thức: ▪ Để chọn t = sinx thì cần có cos2k + 1x, k  . ▪ Để chọn t = cosx thì cần có sin2k + 1x, k  . Trong những trường hợp còn lại (sin và cos có bậc chẵn) phép đổi biến thường được lựa chọn là: ▪ Đặt t = tanx khi đó: dx dt dt = = (1 + tan2x)dx = (1 + t2)dx dx = ; cos2 x 1 t2 ▪ Đặt t = cotx khi đó: dx dt dt = = (1 + cot2x)dx = (1 + t2)dx dx = . sin2 x 1 t2 Thí dụ 7. Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a. . b. . x x/2 e e 1 ex  Giải a. Đặt t = e x/2, suy ra: 1 dx dt = e x/2dx 2dt = , 2 ex/2 dx dx e x/2dx 2tdt 1 = = = = 2(1 + )dt ex ex/2 ex (1 e x/2 ) ex/2 (1 e x/2 ) 1 t t 1 Khi đó: 1 I = 2 (1 + )dt = 2(e x/2 + ln|e x/2 + 1|) + C. t 1 b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt t = 1 ex t2 = 1 + ex suy ra: x 2tdt dx 2tdt 2dt 2tdt = e dx dx = 2 & = 2 = 2 . t 1 1 ex t(t 1) t 1 Khi đó: dt t 1 1 ex 1 I = 2 2 = ln + C = ln + C. t 1 t 1 1 ex 1 Cách 2: Đặt t = e x/2 suy ra: 1 dx dt = e x/2dx 2dt = , 2 ex/2 dx dx dx 2dt = = = . 1 ex ex (e x 1) ex/2 e x 1 t2 1 222
23. Khi đó: dt I = 2 = 2ln|t + t2 1 | + C = 2ln|e x/2 + e x 1 | + C. t2 1  Nhận xét: Trong thí dụ trên ở câu a), chúng ta đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn phép đổi biến t = e x/2, tuy nhiên với cách đặt t = ex/2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán. dx Thí dụ 8. Tìm nguyên hàm , với a 0. x2 a  Giải Đặt t = x + x2 a suy ra: x x2 a x dx dt dt = (1 + )dx = dx = x2 a x2 a x2 a t Khi đó: dt I = = ln|t| + C = ln|x + x2 a | + C t Dạng toán 4: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. x.dx Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm . sin2 2x  Giải Đặt: u x du dx dx 1 . dv v co t 2x sin2 2x 2 Khi đó: x.dx 1 1 cos2x.dx = x.cot2x + co t 2x.dx = x.cot2x + sin2 2x 2 2 sin2x 1 = x.cot2x + ln sin2x + C. 4  Nhận xét: Đây là ví dụ mở đầu minh hoạ phương pháp lấy nguyên hàm từng phần và hai câu hỏi được đặt ra là: 1. Câu 1 "Tại sao lại lựa chọn phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ?", để trả lời câu hỏi này chúng ta sử dụng nhận xét: 223