Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 4: Số phức

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Giải tích Lớp 12 - Chương 4: Số phức

1. chương 4 số phức A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức 1. khái niệm số phức Định nghĩa 1 Một số phức là một biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i2 = 1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi. Tập hợp các số phức được kí hiệu là Ê .  Chú ý: 1. Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là: a + 0i = a, a Ă  Ê . 2. Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là thuần ảo): z = 0 + bi = bi (b Ă ); i = 0 + 1i = 1i. 3. Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo. Định nghĩa 2 Hai số phức z = a + bi (a, b Ă ), z' = a' + b'i (a', b' Ă ) bằng nhau nếu và chỉ nếu: a = a', b = b'. Khi đó, ta viết z = z'. 2. biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức z = a + bi (a, b Ă ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b). Khi đó, ta thường viết M(a + bi) hay M(z). Gốc O biểu diễn số 0. Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. ▪ Trục Ox gọi là trục thực. ▪ Trục Oy gọi là trục ảo. 3. phép cộng và phép trừ số phức Định nghĩa 3 Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 Ă ) là số phức z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Như vậy, để cộng hai số phức, ta công các phần thực với nhau, cộng các phần ảo với nhau. Tính chất của phép cộng số phức 1. Tính chất kết hợp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) với mọi z1, z2, z3 Ê . 273
2. 2. Tính chất giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1, z2 Ê . 3. Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z Ê . 4. Với mỗi số phức z = a + bi (a, b Ă ), nếu kí hiệu số phức a bi là z thì ta có: z + ( z) = z + z = 0. Số z được gọi là số đối của số phức z. Định nghĩa 4 Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 Ă ) là tổng của z1 với z2, tức là: z1 z2 = z1 + ( z2) = (a1 a2) + (b1 b2)i. ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức Mỗi số phức z = a + bi (a, b Ă ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) cũng có nghĩa là vectơ OM .   Khi đó, nếu u , u theo thứ tự biểu diễn số phức z , z thì:   1 2 1 2 ▪ u + u biểu diễn số phức z + z .  1  2 1 2 ▪ u1 u2 biểu diễn số phức z1 z2. 4. phép nhân số phức Định nghĩa 5 Tích của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2 Ă ) là số phức z1.z2 = a1a2 b1b2 + (a1b2 a2b1)i.  Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: ▪ Với mọi số thực k, và mọi số phức a + bi (a, b Ă ) ta có k(a + bi) = ka + kbi. ▪ 0z = 0 với mọi số phức z. Tính chất của phép nhân số phức 1. Tính chất giao hoán: z1z2 = z2z1 với mọi z1, z2 Ê . 2. Tính chất kết hợp: (z1z2)z3 = z1(z2z3) với mọi z1, z2, z3 Ê . 3. Nhân với 1: 1.z = z.1 = z với mọi z Ê . 4. Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng): z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1, z2, z3 Ê . 5. số phức liên hợp và môdun của số phức Định nghĩa 6 Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b Ă ) là a bi và được kí hiệu bởi z . Như vậy, ta có: z = a bi = a bi. 274
3.  Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy: 1. Số phức liên hợp của z lại là z, tức là z = z. Vì thế người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau. 2. Số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox. Tính chất 1. Với mọi z1, z2 Ê ta có: z1 z2 z1 z2 ; z1z2 z1.z2 . 2. Với mọi số phức z, số z. z luôn là một số thực, và nếu z = a + bi (a, b Ă ) thì: z. z = a2 + b2. Định nghĩa 7 Môđun của số phức z = a + bi (a, b Ă ) là số thực không âm a2 b2 và được kí là z. Như vậy, nếu z = a + bi (a, b Ă ) thì: z = zz = a2 b2 .  Nhận xét: 1. Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó. 2. z = 0 khi và chỉ khi z = 0. 6. phép chia cho số phức khác 0 Định nghĩa 8 1 Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z 1 = z . | z |2 z' Thương của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0 là tích của z' với z z' số phức nghịch đảo của z, tức là = z'.z 1. z z' z'.z  Nhận xét: Như vậy, nếu z ≠ 0 thì = . z | z |2 z' z'.z z'.z z'  Chú ý: Có thể viết = = nên để tính ta chỉ việc nhân cả tử và z | z |2 z.z z mẫu số với z và để ý rằng z z = z2. 1 Nhận xét: 1. Với z ≠ 0, ta có = 1.z 1 = z 1. z z' 2. Thương là số phức w sao cho zw = z'. Từ đó, có thể nói phép chia z (cho số phức khác 0) là phép toán ngược của phép nhân. 275
4. II. Căn bậc hai của số phức phương trình bậc hai 1. căn bậc hai của số phức Định nghĩa 1 Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của w. Nới cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình: z2 w = 0 (với ẩn z).  Chú ý 1: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu w là số thực (tức là w = a): ▪ Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là a . ▪ Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là i a . Trường hợp 2: Nếu w = a + bi (a, b Ă và b ≠ 0) thì z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: z2 = w (x + yi)2 = a + bi x2 y2 a (x2 y2) + 2xyi = a + bi . 2xy b Ghi nhớ về căn bậc hai của số phức w: w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0. w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0). Đặc biệt: Số thực dương a có hai căn bậc hai là a . Số thực âm a có hai căn bậc hai là i a . 2. phương trình bậc hai Cho phương trình: Ax2 + Bx + C = 0, với A, B, C là những số phức và A ≠ 0. Xét biệt thức = B2 4AC, ta có các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm: B  B  z1 = và z2 = 2A 2A trong đó  là một căn bậc hai của . Đặc biệt: ▪ Nếu là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm: B B z1 = và z2 = . 2A 2A ▪ Nếu là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm: B i B i z1 = và z2 = . 2A 2A 276
5. B Trường hợp 2: Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = . 2A  Chú ý 2: 1. Mọi phương trình bậc hai (với hệ số phức) có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). 2. Mọi phương trình bậc n: n n 1 A0z + A1z + + An 1z + An = 0 trong đó A0, A1, , An là n + 1 số phức cho trước, A0 ≠ 0 và n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). III. dạng lượng giác của số phức ứng dụng 1. số phức dưới dạng lượng giác Định nghĩa 1 (Acgumen của số phức z ≠ 0): Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.  Chú ý: 1. Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng + 2k , k Z . 2. Hai số phức z và lz (với z ≠ 0 và l là số thực dương) có cùng acgumen. Định nghĩa 2 (Dạng lượng giác của số phức): Dạng z = r(cos + i.sin ), trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a + bi (a, b Ă ) được gọi là dạng đại số của số phức z.  Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác r(cos + i.sin ) của số phức z = a + bi (a, b Ă ) khác 0 cho trước, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Tìm r: đó là môdun của z, r = a2 b2 ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. Bước 2: Tìm : đó là acgumen của z, là số thực sao cho cos = a b và sin = ; số đó cũng là số đo một góc lượng giác r r tia đầu Ox, tia cuối OM. Chúng ta tổng kết hai bước thực hiện trên bằng phép biến đổi: a b z a2 b2 i = a2 b2 cos i.sin . a2 b2 a2 b2  Chú ý: 1.z = 1 khi và chỉ khi z = cos + i.sin ( Ă ). 277
6. 2. Khi z = 0 thì z = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(cos + i.sin )). 3. Cần để ý đòi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác r(cos + i.sin ) của số phức z ≠ 0. 2. nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Định lí: Nếu z = r(cos + i.sin ) và z' = r'(cos ' + i.sin ') với r, r' ≥ 0 thì : zz' = rr'[cos( + ') + i.sin( + ')] z r = [cos( ') + i.sin( ')] khi r' > 0. z' r'  Chú ý: Nếu các điểm M, M' biểu diễn theo thứ tự các số phức z, z' khác 0 thì z acgumen của là số đo góc lượng giác tia đầu OM', tia cuối OM. z' 3. công thức moa vrơ (moivre) và ứng dụng Công thức moa vrơ: Với mọi số nguyên dương n, ta có: [r(cos + i.sin )]n = rn(cosn + i.sinn ). Khi r = 1, ta được: (cos + i.sin )n = cosn + i.sinn . ứng dụng vào lượng giác: Ta có: (cos + i.sin )3 = cos3 + i.sin3 . Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được: (cos + i.sin )3 = cos3 + 3cos2 .(i.sin ) + 3cos .(i.sin )2 + sin3 . Từ đó, suy ra: cos3 = cos3 3cos .sin2 = 4cos3 3cos , sin3 = 3cos2 .sin sin3 = 3sin 4sin3 . Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức z = r(cos + i.sin ), r > 0 có hai căn bậc hai là: r cos i.sin 2 2 và r cos i.sin = r cos i.sin . 2 2 2 2 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Số phức Dạng toán 1: Số phức và thuộc tính của nó Phương pháp Với số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra là: 278
7. Dạng 1: Xác định phần thực và phần ảo của số phức z. Khi đó, ta có ngay: ▪ Phần thực bằng a. ▪ Phần ảo bằng b. Chú ý: Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0", khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 1. Dạng 2: Hãy biểu diễn hình học số phức z Khi đó, ta sử dụng điểm M(a; b) để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.  Chú ý: Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm M(a; b)", khi đó ta có ngay số z = a + bi. Dạng 3: Tính môđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z a2 b2 . Dạng 4: Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay z = a bi. Dạng 5: Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a bi. 1 Dạng 6: Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z 1 = z . | z |2 Thí dụ 1. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.  Giải Giả sử tam giác đều ABC (như trong hình vẽ) thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giả sử đỉnh A(0; 1) biểu diễn số phức i. 2 a 3 Gọi a là độ dài cạnh ABC, ta có . AO 1 a 3. 3 2 Từ đó suy ra y 3 1 3 1 ▪ Đỉnh B ; là số phức z i. B B C 2 2 2 2 3 1 3 1 O x ▪ Đỉnh C ; là số phức z i. C 2 2 2 2 1 A Dạng toán 2: Các phép toán về số phức Phương pháp Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép toán (cộng, trừ nhân, chia) trên tập số phức. Chúng ta có các hằng đẳng thức: a2 + b2 = a2 (bi)2 = a bi a bi = z.z .  z 279
8. (a + bi)2 = a2 b2 + 2abi; (a bi)2 = a2 b2 2abi. (a + bi)3= a3 3a + (3a2b b3)i; (a bi)3= a3 + 3a (3a2b + b3)i. Thí dụ 1. Tìm phần thực phần ảo của số phức z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (với x, y Ă ).Với x, y nào thì số phức đó là số thực ?  Giải a. Ta biến đổi: z = (x2 + 2xyi y2) – (2x + 2yi) + 5 = x2 y2 2x + 5 + 2y(x 1)i. Vậy nó có phần thực bằng x2 y2 2x + 5 và phần ảo bằng 2y(x 1). b. Số phức đã cho là số thực điều kiện là: 2y(x 1) = 0 x = 1 hoặc y = 0. 3 2i 1 i Thí dụ 2. Tìm phần thực phần ảo và môđun của số phức z . 1 i 3 2i  Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: (3 2i)(1 i) (1 i)(3 2i) 1 5i 5 i 23 63 z = = = i . 2 13 2 13 26 26 23 63 4498 Vậy nó có phần thực bằng , phần ảo bằng và môđun bằng . 26 26 26 Cách 2: Ta biến đổi: (3 2i)(3 2i) (1 i)2 13 2i (13 2i)(1 5i) z = = = (1 i)(3 2i) 1 5i 26 1 23 63 = (23 63i) = i . 26 26 26 23 63 4498 Vậy nó có phần thực bằng , phần ảo bằng và môđun bằng . 26 26 26 Thí dụ 3. Tìm điểm biểu diễn các số phức sau: 2 2 3 3 a. z = 2 i + 2 i . b. z = 2 i 2 i .  Giải a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 2 2 z = 2 i + 2 i = 2 + 2i 2 + i2 + 2 2i 2 + i2 = 2. Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z. Cách 2: Ta biến đổi: 2 2 z = 2 i + 2 i = ( 2 + i + 2 – i)2 2( 2 + i)( 2 – i) = 8 2(2 i2) = 2. Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z. 280
9. Cách 3: Ta biến đổi: 2 2 z = 2 i + 2 i = ( 2 + i 2 + i)2 + 2( 2 + i)( 2 – i) = 4i2 + 2(2 i2) = 2. Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 3 3 z = 2 i 2 i = 2 2 + 6i + 3i2 2 + i3 ( 2 2 6i + 3i2 2 i3) = 12i + 2i3 = 12i 2i = 10i. Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z. Cách 2: Ta biến đổi: 3 3 z = 2 i 2 i = ( 2 + i – 2 + i)3 + 3( 2 + i)( 2 – i) ( 2 + i – 2 + i) = 8i3 + 6i(2 i2) = 8i + 18i = 10i. Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z. Dạng toán 3: Chứng minh tich chất của số phức Phương pháp Sử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của chúng. 1 Thí dụ 1. Chứng minh rằng phần thực của số phức z bằng (z + z ), phần ảo của 2 1 số phức z bằng (z – z ). 2i  Giải Với số phức z = a + bi (a, b Ă ), ta có: 1 1 1 (z + z ) = (a + bi + a bi ) = (a + bi + a bi) = a là phần thực của z. 2 2 2 1 1 (z – z ) = (a + bi a bi )( i) = b là phần ảo của z. 2i 2 Thí dụ 2. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z 0 1 i và z' = z. Chứng minh rằng OAB là vuông cân (O là gốc toạ độ). 2  Giải Ta lần lượt có:   1 i 1 i 2 OA = OA = z, OB = OB = z = | z | = z, 2 2 2    1 i 1 i 2 AB = AB = OB OA = z z = | z | = z. 2 2 2 281
10. Từ đó, suy ra OB = AB và: 2 2 2 2 2 2 z z 2 2 OB + AB = = z = OA OAB là vuông cân tại B. 2 2 Dạng toán 4: Tập hợp điểm Phương pháp Câu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K". Khi đó: Dạng 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun). Khi đó, ta sử dụng công thức z a2 b2 . Dạng 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Khi đó, ta sử dụng kết quả: a. Để z là số thực điều kiện là b = 0. b. Để z là số thực âm điều kiện là: a 0 . b 0 c. Để z là số thực dương điều kiện là: a 0 . b 0 d. Để z là số ảo điều kiện là a = 0. Chú ý: Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dưới dạng một biểu thức phức. Thí dụ 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2: a. Là số ảo. b. Là số thực âm. c. Là số thực dương. d. Có môđun bằng 1.  Giải Với số phức z = x + yi (x, y Ă ), ta có: z2 = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi. a. Để z2 là số ảo điều kiện là: 2 2 x y 0 x y = 0 (x y)(x + y) = 0 . x y 0 Vậy, tập hợp điểm các điểm M thuộc hai đường phân giác của góc giữa trục thực, trục ảo. 282
11. b. Để z2 là số thực dương điều kiện là: x2 y2 0 x 0 . xy 0 y 0 Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Ox (trục thực) trừ gốc O. c. Để z2 là số thực âm điều kiện là: x2 y2 0 x 0 . xy 0 y 0 Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Oy (trục ảo) trừ gốc O. d. Để z2 có môđun bằng 1 điều kiện là: 2 2 x2 y2 (2xy)2 1 x2 y2 1 x2 + y2 = 1. Vậy, tập hợp điểm M thuộc đường tròn đơn vị. Thí dụ 2. Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn (1 + i 3 )z + 2, trong đó z – 1 2.  Giải Ta biến đổi: x 2 yi (1 + i 3 )z + 2 = x + yi (1 + i 3 )z = x 2 + yi z = 1 i 3 Khi đó: x 2 yi x 3 i(y 3) z – 1 = 1 = 1 i 3 1 i 3 [x 3 i(y 3)](1 i 3) x y 3 i(y x 3 3 3) = = 4 4 z – 1 2 x y 3 i(y x 3 3 3) 8 (x y 3)2 (y x 3 3 3)2 8 2 2 2 2 4 (x 3) (y 3) 8 (x 3) + (y 3 ) 16. Vậy, tập hợp điểm M thuộc hình tròn tâm I(3; 3 ) bán kính R = 4. Dạng toán 5: Phương trình phức Phương pháp Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức. Cách 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Giả sử số phức cần tìm là z = a + bi (x, y Ă ). 283
12. Bước 2: Thay z vào phương trình và sử dụng sử dụng bằng nhau của hai số phức để tìm a, b. Bước 3: Kết luận về số phức z cần tìm. Thí dụ 1. Tìm nghiệm phức của phương trình: 2 i 1 3i a. z . b. iz 1 z 2 i 2 i z z 1 0 . 1 i 2 i  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng: (2 i)(1 i) ( 1 3i)(2 i) (1 3i) 1 7i z z 12 12 22 12 2 5 2 1 7i 2 (1 7i)(1 3i) 22 4i z . = . = . 5 1 3i 5 12 32 25 22 4 Vậy, phương trình có nghiệm z = + i. 25 25 b. Ta biến đổi phương trình về dạng: iz 1 0 (1) z 2 i 0 (2) 2 i z z 1 0 (3) Ta lần lượt: 1 ▪ Với phương trình (1), ta biến đổi iz = 1 z = i. i ▪ Với phương trình (2), ta biến đổi: z 2 i z = 2 + i. ▪ Với phương trình (3), ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi (3) về dạng: 1 1(1 i) 1 1 (1 + i)z = –1 z = = = i . 1 i 12 12 2 2 Cách 2: Giả sử z = a + bi (a, b Ă ), ta có: (3) (2 + i)(a + bi) (a + bi) + 1 = 0 2a b + (a + 2b)i (a + bi) + 1 = 0 a b + 1 + (a + b)i = 0 a b 1 0 2b 1 a 1/ 2 1 1 z = i . a b 0 a b b 1/ 2 2 2 1 1 Vậy, phương trình có ba nghiệm z = i, z = 2 + i và z = i . 2 2 284
13. Đ2. căn bậc hai của số phức và phương trình bạc hai Dạng toán 1: Căn bậc hai của số phức Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường hợp đặc biệt. Thí dụ 1. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. 2 2 3. b. i.  Giải a. Số 2 2 3 < 0 nên có hai căn bậc hai là: 2 i 2 2 3 = i 3 2 2 = i 2 1 = i 2 1 . b. Giả sử số z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của i, tức là ta có: i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi 1 2 y 1 x y x2 y2 0 2x y 2 2 2x . 2xy 1 2 1 4 2 x 0 4x 1 0 x y 2x 2 2 Vậy, số i có hai căn bậc hai là (1 i) . 2  Nhận xét: Như vậy, để tìm căn bậc hai của các số phức trên: ▪ Câu a) chúng ta sử dụng ngay kết quả của trường hợp 1 trong chú ý của phần căn bậc hai. ▪ Câu b) chúng ta sử dụng thuật toán đã được trình bày trong trường hợp 2 của chú ý của phần căn bậc hai. Với số ảo dạng z = bi nếu chúng ta sử dụng đánh giá về dấu của x và y thì sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm của hệ phương trình. Cụ thể hệ trong câu b) sẽ được thực hiện như sau: x y x2 y2 0 x y 2 1 2xy 1 2xy 1và x,y cùngdấu x 2 2 x y . 2 Thí dụ 2. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. 3 + 4i. b. 4 6i 5 .  Giải a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: 285
14. Cách 1: Giả sử số z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của 3 + 4i, tức là ta có: 3 + 4i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi 2 y 2 2 2 x y 3 x y 2 x 2xy 4 2 2 4 2 x 3 x 3x 4 0 x 2 y x 2 và y 1 x . 2 x 2và y 1 x 4 Vậy, số 3 + 4i có hai căn bậc hai là (2 + i). Cách 2: Ta có phân tích: 3 + 4i = 3 + 2.2i = 3 + 2.2.i = (2 + i)2. Vậy, số 3 + 4i có hai căn bậc hai là (2 + i). b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Giả sử số z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của 4 6i 5 , tức là ta có: 4 6i 5 = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi 3 5 y 2 2 3 5 x y 4 x y 2 x 2xy 6 5 2 3 5 4 2 x 4 x 4x 45 0 x 3 5 y x 3 và y 5 x . 2 x 3và y 5 x 9 Vậy, số 4 6i 5 có hai căn bậc hai là 3 i 5 . Cách 2: Ta có phân tích: 2 2 4 6i 5 = 4 2.3 5i = 4 2.3 5i = 32 2.3 5i 5i = 3 5i . Vậy, số 4 6i 5 có hai căn bậc hai là 3 i 5 .  Nhận xét: ý tưởng cho cách giải 2 trong thí dụ trên với mỗi số phức dạng a + bi (a, b thực khác 0) có thể được giải thích như sau: b b Ta viết bi 2. i , tới đây cần một phép phân tích số i thành hai số 2 2 2 2 b1 và b2i sao cho b1 b2i a . Đối với các em học sinh đã biết vận dụng định lí Viét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai thì đây là công việc đơn giản. 286
15. Dạng toán 2: Phương trình bậc hai Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai. Thí dụ 1. Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a. z2 2z + 2 = 0. b. z2 2iz + 1 = 0.  Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Phương trình có ' = 12 2 = –1 nên nó có hai nghiệm phân biệt là: z1, 2 = 1 i. Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 (z 1) = 1 = i z 1 = i z1, 2 = 1 i. Vậy, phương trình có hai nghiệm z1, 2 = 1 i. b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Phương trình có = (–2i)2 4 = –8 có hai căn bậc hai là 2i 2 . Nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là: 2i 2i 2 z1, 2 = = (1 2 )i. 2 Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 z 2iz 1 = 2 (z i) = 2 z i = i 2 z1, 2 = (1 2 )i. Vậy, phương trình có hai nghiệm z1, 2 = (1 2 )i.  Chú ý: a. Với phương trình bậc hai có biệt số là số phức chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tính biệt số = a + bi. Bước 2: Tìm hai căn bậc hai của (giả sử ) theo thuật toán đã biết trong dạng toán 1. Bước 3: Kết luận, phương trình có hai nghiệm: B  z1, 2 = . 2A b. Từ đó, ta thấy công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không, vì: B  B  B z z 1 2 2A 2A A . B  B  B2 2 B2 4AC C z .z . 1 2 2A 2A 4A 4A 4A2 A Thí dụ 2. Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a. z2 + (2 i)z 2i = 0. b. 4z2 2z i 3 = 0. 287
16.  Giải a. Phương trình có: = (2 i)2 + 8i = 3 + 4i = (2 + i)2 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 1 1 z1  (2 i) (2 i) 2 và z2  (2 i) (2 i) i . 2 2 Vậy, phương trình có hai nghiệm z1 = 2 và z2 = i. b. Phương trình có ' 1 4i 3 . Giả sử số  = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của ' 1 4i 3 , tức là ta có: 1 + 4 3 i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi 2 3 2 2 2 3 x y 1 y y x x 2 2xy 4 3 2 4 2 x 2 3 / x 1 x x 12 0 2 3 2 3 y y x 2 và y 3 x x . 2 2 2 x 2 và y 3 (x 4)(x 3) 0 x 4 Tức là, biệt số ' có hai căn bậc hai là (2 + i 3 ) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 1 1 1 1 z 1 (2 i 3) 1 i 3 và z 1 (2 i 3) 3 i 3 . 1 4 4 2 4 4 1 1 Vậy, phương trình có hai nghiệm z 1 i 3 và z 3 i 3 . 1 4 2 4  Nhận xét: Như vậy, để giải các phương trình trên: ▪ở câu a) bằng việc nhận xét được ngay rằng 3 + 4i = (2 + i) 2 chúng ta đã giảm thiểu được các bước tìm căn bâc hai của . ▪ Câu b) chúng ta cần sử dụng thuật toán để tìm căn bậc hai của '. Tuy nhiên, với những người có kinh nghiệm họ có thể nhẩm được. Thí dụ 3. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).  Giải Với hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện đầu bài, ta có: z1 z2 4 i z1.z2 5(1 i) suy ra z1, z2 là nghiệm của phương trình: z2 (4 i)z + 5(1 i) = 0 288
17. phương trình có = (4 i)2 20(1 i) = 5 + 12i. Giả sử số  = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của = 5 + 12i, tức là ta có: 5 + 12i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi 6 y 2 2 6 6 x y 5 x y y 2 x x 2xy 12 2 6 4 2 2 x 5 x 5x 36 0 x 4 x x 2 và y 3 . x 2 và y 3 Tức là, biệt số có hai căn bậc hai là (2 + 3i). Nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là: 4 i (2 3i) 4 i (2 3i) z1 = = 3 + i; z2 = = 1 2i. 2 2 Vậy, hai số cần tìm là 3 + i và 1 2i. Dạng toán 3: Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình bậc cao Phương pháp a. Đối với phương trình bậc ba thì chúng ta cần thực hiện phép nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử (tức nhận được một phương trình tích). b. Đối với phương trình bậc bốn dạng đặc biệt chúng ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Thí dụ 1. Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức): a. z3 1 = 0. b. z3 – 3z2 + 4z – 2 = 0.  Giải a. Ta biến đổi phương trình về dạng: z 1 0 1 i 3 2 z 1, z (z 1)(z + z + 1) = 0 2 1 2, 3 . z z 1 0 2 Vậy, phương trình có ba nghiệm z 1, z2, z3 và chúng theo thứ tự được biểu diễn 1 3 1 3 bằng các điểm M (1; 0), M ; và M ; trên mặt phẳng phức. 1 2 3 2 2 2 2 b. Vì tổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có một nghiệm bằng 1 nên ta biến đổi phương trình về dạng: z 1 0 z 1 2 1 (z 1)(z 2z + 2) = 0 2 . z 2z 2 0 z2, 3 1 i 3 Vậy, phương trình có ba nghiệm z 1, z2, z3 và chúng theo thứ tự được biểu diễn bằng các điểm M1(1; 0), M2 1; 3 và M3 1; 3 trên mặt phẳng phức. 289
18.  Chú ý: a. Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu a) do thói quen tìm nghiệm thực nên đã chỉ ra nghiệm duy nhất x = 1. Các em học sinh cần ghi nhớ nội dung chú ý 2 trong phần lí thuyết, nên sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi phương trình ban đầu về dạng tích. b. ở câu b) chúng ta sử dụng kết quả a + b + c + d = 0 thì phương trình az3 + bz2 + cz + d = 0 (với a, b, c, d là những số thực) có nghiệm bằng 1, do đó nó được phân tích thành: (z 1)(Az2 + Bz + C) = 0. Tương tự, nếu phương trình az3 + bz2 + cz + d = 0 có: a b + c d = 0 thì nó có nghiệm bằng 1, do đó nó được phân tích thành: (z + 1)(Az2 + Bz + C) = 0. c. Các em học sinh hãy chứng minh rằng "Kết quả trên vẫn đúng với phương trình bậc ba có hệ số phức". Thí dụ 2. Giải các phương trình sau: a. z4 1 = 0. b. z4 + 1 = 0.  Giải a. Biến đổi phương trình về dạng: (z2 – 1)(z2 + 1) = 0 z = 1 và z = i. b. Biến đổi phương trình về dạng: z2 i (1) z4 i2 = 0 (z2 i)(z2 + i) = 0 . 2 z i (2) Ta lần lượt: ▪ Với phương trình (1), giả sử số z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của 2i, tức là ta có: i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi x y x y x2 y2 0 x y 2 1 1 2xy 1 xy 1và x, ycùngdấu x x 2 2 1 x y . 2 1 Suy ra, phương trình (1) có hai nghiệm là 1 i . 2 ▪ Với phương trình (2), giả sử số z = x + yi (x, y Ă ) là căn bậc hai của i, tức là ta có: i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi x2 y2 0 x y 2xy 1 xy 1và x, y tráidấu 290
19. x y x y 1 2 1 1 x y . x x 2 2 2 1 Suy ra, phương trình (1) có hai nghiệm là 1 i . 2 1 Vậy, phương trình đã cho có bốn nghiệm là 1 i . 2  Nhận xét: 1. Như vậy, qua ví dụ trên: a.ở câu a) chúng ta sử dụng hằng đẳng thức để chuyển phương trình ban đầu về tích của hai phương trình bậc hai. b.ở câu b) chúng ta sử dụng tính chất i 2 = 1 để làm xuất hiện dạng A2 B2 = (A B)(A + B). 2. Chúng ta đều biết rằng các phương trình trùng phương dạng: az4 + bz2 + c = 0 được giải bằng việc sử dụng ẩn phụ t = z2. Đ3. dạng lượng giác của số phức và ứng dụng Dạng toán 1: Dạng lượng giác của của số phức Phương pháp Sử dụng kiến thức được trình bày trong nhận xét của phần 1. 1 * Thí dụ 1. Tìm dạng lượng giác của các số phức z , –z, , kz (k Ă ), biết: z a. z = 1 + i 3 . b. z = r(cos + i.sin ), với r > 0.  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Với z = 1 + i 3 , ta có: Môdun r = 1 3 = 2, 1 3 Acgumen thỏa mãn cos = và sin = chọn = . 2 2 3 Từ đó, suy ra z = 2 cos i.sin và khi đó: 3 3 z = 2 cos i.sin = 2 cos i.sin ; 3 3 3 3 4 4 –z = 2 cos i.sin = 2 cos i.sin = 2 cos i.sin ; 3 3 3 3 3 3 291
20. 1 1 1 1 = z = .2 cos i.sin = cos i.sin ; z z.z 4 3 3 2 3 3 2k cos i.sin nếu k 0 3 3 kz = . 4 4 2k cos i.sin nếu k 0 3 3 Cách 2: Chúng ta thường sử dụng ngay phép biến đổi: 1 3 i z = 1 + i 3 = 2 = 2 cos i.sin ; 2 2 3 3 1 3 z 2 i 2 cos i.sin = 1 i 3 = 1 i 3 = = ; 2 2 3 3 1 3 4 4 2 i 2 cos i.sin –z = 1 i 3 = = ; 2 2 3 3 1 1 1 i 3 1 i 3 1 1 3 1 i cos i.sin = = = = = . z 1 i 3 1 3 4 2 2 2 2 3 3 b. Ta lần lượt có: ▪ Số phức z có môdun r và acgumen bằng nên có dạng: z = r[cos( ) + i.sin( )]. ▪ Số phức z có môdun r và acgumen bằng + nên có dạng: z = r[cos( + ) + i.sin( + )]. 1 1 1 1 ▪ Số phức = z có môdun r = và acgumen bằng nên có dạng: z z.z r2 r 1 1 = (cos + i.sin ). z r ▪ Số phức kz có môdun kz = kr và acgumen bằng nếu k > 0 và là + nếu k < 0 nên có dạng: kr(cos i.sin ) nếu k 0 kz = . kr[cos( ) i.sin( )] nếu k 0 Thí dụ 2. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 3 i . a. Tìm dạng lượng giác của z1, z2. z1 b. Sử dụng kết quả trong a) tính z1z2 , . z2  Giải a. Ta lần lượt có: 1 1 z1 = 1 + i 2 i 2 cos i.sin , 2 2 4 4 292
21. 3 1 z 3 i 2 i 2 cos i.sin . 2 2 2 6 6 b. Ta lần lượt có: 5 5 z1z2 2.2 cos i.sin 2 2 cos i.sin , 4 6 4 6 12 12 z1 2 2 cos i.sin cos i.sin . z2 2 4 6 4 6 2 12 12  Chú ý: Nếu thực hiện các phép toán trên dưới dạng đại số: a. Ta có: z1z2 (1 i) 3 i 3 1 3 1 i 3 1 3 1 2 2 i 2 2 2 2 3 1 5 3 1 5 từ đó, suy ra cos , sin . 2 2 12 2 2 12 b. Ta có: z 1 i 1 i 3 i 1 1 3 1 3 1 i z2 3 i 4 4 2 2 3 1 2 3 1 i 2 4 4 2 3 1 2 3 1 từ đó, suy ra cos , sin . 4 12 4 12 Dạng toán 2: Các ứng dụng Phương pháp Sử dụng dạng lượng giác của số phức để thực hiện các phép toán. Sử dụng công thức moa vrơ (moivre) và ứng dụng. Thí dụ 1. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của số phức: z = cos i.sin .  Giải Viết lại số phức z dương dạng chuẩn: z = cos( ) i.sin( ) từ đó, suy ra nó có hai căn bậc hai là: cos i.sin và cos i.sin . 2 2 2 2 293