Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt cầu (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt cầu (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề 4 . MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp: 1) Lập phương trình mặt cầu: Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R . Khi đó phương trình mặt cầu có dạng: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 (1). Ngoài ra để lập phương trình mặt cầu ta có thể tìm các hệ số a, b, c, d trong phương trình : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (2). Với tâm I(a; b; c) , bán kính R2 a2 b2 c2 d 0. Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính. 2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R và mặt phẳng ( ) , h d I, ( ) , H là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( ) . h R thì ( ) và mặt cầu (I) không giao nhau h R thì ( ) và mặt cầu (I) tiếp xúc nhau tại H h R thì ( ) và mặt cầu (I) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H , bán kính r R2 h2 . 3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R và đường thẳng , h d I, , H là hình chiếu của I lên mặt phẳng . h R thì và mặt cầu (I) không giao nhau h R thì và mặt cầu (I) tiếp xúc nhau tại H . Hay là tiếp tuyến của mặt cầu (I) . h R thì và mặt cầu (I) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và H là trung điểm của dây cung AB , do đó: AB2 R2 h2 . 4 155
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 1.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm x 2 y 2 z 3 A(0; 0; 2) và đường thẳng : . Tính khoảng 2 3 2 cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A , cắt tại hai điểm B và C sao cho BC 8 Lời giải.  Đường thẳng qua M 2; 2; 3 và có u 2; 3; 2 vtcp;   AM, u d A,  3 u Gọi H là hình chiếu của A lên thì AH 3 và H là trung điểm của BC nên BH 4 . Vậy bán kính mặt cầu là AB AH2 BH2 5 . 2 Nên phương trình mặt cầu là x2 y2 z 2 25. Ví dụ 2.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : x 1 y 3 z Cho đường thẳng có phương trình: và mặt 2 4 1 phẳng (P) : 2x y 2z 0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Đề thi ĐH Khối D – 2011 Lời giải. Gọi (S) là mặt cầu cần tìm, I là tâm. x 1 2t Phương trình tham số đường thẳng : y 3 4t z t Vì I I 1 2t; 3 4t; t . Ta có (P) tiếp xúc với (S) nên 2(1 2t) (3 4t) 2t d(I, (P)) 1 1 t 2, t 1 3 156
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt t 2 I(5;11; 2) phương trình mặt cầu (S) : (x 5)2 (y 11)2 (z 2)2 1 t 1 I( 1; 1; 1) , suy ra phương trình (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 1 . Ví dụ 3.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho I(1; 2; 2) và mặt phẳng P : 2x 2y z 5 0 1. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) với mp(P) là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 ; 2. Chứng minh rằng mặt cầu (S) nói trong phần 1 tiếp xúc với đường thẳng : 2x 2 y 3 z ; 3. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng và tiếp xúc với (S) . Lời giải. 1. Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu (S) và đường tròn (C). Ta có: 2 r 8 r 4 và d(I, (P)) 3 nên R r2 d2(I, (P)) 5 . Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x 1)2 (y 2)2 (z 2)2 25.  2. Đường thẳng có u (1; 2; 2) là VTCP và đi qua A(1; 3; 0) .      [u , AI] Suy ra AI (0;5; 2) [u , AI] ( 14; 2;5) d(I, )  5 u Vậy đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) . Cách 2. 157
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. x 1 t Phương trình tham số của : y 3 2t , thay vào phương trình z 2t mặt cầu (S) , 2 ta được: t2 (2t 5)2 (2t 2)2 25 (3t 2)2 0 t 3 5 5 4 Suy ra mặt cầu (S) và giao nhau tại một điểm M( ; ; ) . 3 3 3 Vậy đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M . 3. Vì mp(Q) chứa và tiếp xúc với mặt cầu (S) nên M là tiếp điểm của mp(Q) và mặt cầu (S)  2 11 10 Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua M và nhận IM ; ; làm 3 3 3 VTPT. Vậy phương trình mặt phẳng (Q) : 2x 11y 10z 35 0. Ví dụ 4.4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 1. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm M(1; 5; 2) và qua đường tròn (C) là giao của mp ( ) : 2x 2y z 9 0 và mặt cầu (S ') : x2 y2 z2 2x 4y 4z 40 0 x t 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : y 2 t sao cho z 6 2t giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 2y 2z 1 0 là đường tròn có bán kính r 1 . Lời giải. 1. Cách 1. 158
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Mặt cầu (S ') có tâm I '( 1; 2; 2), R ' 7 , 2 4 2 9 d(I ', ( )) 3 R ' nên đường tròn (C) tồn tại và 22 22 ( 1)2 có bán kính r 2 10 . Gọi H là tâm của (C) x 1 2t Ta có I ' H  ( ) I ' H : y 2 2t . Suy ra tọa độ của H là z 2 t nghiệm của hệ x 1 2t x 3 y 2 2t y 0 H( 3; 0; 3) z 2 t z 3 2x 2y z 9 0 Gọi d là đường thẳng đi qua tâm H và vuông góc với ( ) , suy x 3 2t ra phương trình của d : y 2t . z 3 t Gọi I là tâm của mặt cầu (S) , vì (S) đi qua đường tròn (C) nên I d  Suy ra I( 3 2t; 2t; 3 t) MI (2t 4; 2t 5;1 t) , 9t d(I, ( )) 3 t 3 Mặt khác, ta có: IM2 r2 d2(I, ( )) (2t 4)2 (2t 5)2 (1 t)2 40 9t2 t 1 I( 5; 2; 4), R IM 7 . Vậy phương trình (S) : (x 5)2 (y 2)2 (z 4)2 49 . Cách 2. Vì mặt cầu (S) đi qua đường tròn (C) nên phương trình (S) có dạng: 159
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. x2 y2 z2 2x 4y 4z 40 (2x 2y z 9) 0 x2 y2 z2 (2 2)x (4 2)y (4 )z 40 9 0 . Vì M(1; 5; 2) (S) 44 10 40 9 0  4 . Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 10x 4y 8z 4 0 .  2. Đường thẳng d đi qua A(0; 2; 6) và có u (1;1; 2) là VTCP Phương trình của (P) có dạng: ax b(y 2) c(z 6) 0 Hay ax by cz 2b 6c 0 Trong đó a2 b2 c2 0 và a b 2c 0 a b 2c (1) Mặt cầu (S) có tâm I( 1;1; 1) , bán kính R 2 Theo giả thiết, ta suy ra d(I, (P)) R2 r2 3 a 3b 5c Do đó: 3 4b 7c 3. (b 2c)2 b2 c2 a2 b2 c2 17 (4b 7c)2 3(2b2 4bc 5c2) 5b2 22bc 17c2 0 b c, b c 5 b c ta chọn c 1 b 1 a 1 (P) : x y z 4 0 17 b c ta chọn 5 c 5 b 17 a 7 (P) : 7x 17y 5z 4 0 . Ví dụ 5.4.6 Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: 1. (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau có phương trình: x y 1 z 1 x 2 y 2 z : , : . 1 1 1 1 2 2 3 1 2. (P) chứa hai đường thẳng song song có phương trình: x 2 y 2 z x 2 y 1 z 3 : , : . 2 2 3 1 3 2 3 1 3. (P) chứa đường thẳng 1 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: (S) : x2 y2 z2 8x 2y 4z 7 0. 4. (P) chứa đường thẳng 3 và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất. 160
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5. (P) chứa đường thẳng 2 và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn 210 có bán kính bằng . 6 Lời giải. 1. Đường thẳng qua M (0; 1; 1) và u (1; 1; 1). Đường thẳng 1 1 1 2 qua M ( 2; 2; 0) và u (2; 3; 1). 2 2 Cặp véc tơ chỉ phương của (P) là u (1; 1; 1) và u (2; 3; 1), nên 1 2 một véc tơ pháp tuyến của (P) là n u ;u (2; 3; 5). (P) 1 2 Phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 1 và 2 là 2(x 0) 3(y 1) 5(z 1) 0 2x 3y 5z 2 0. 2. Đường thẳng qua M ( 2; 1; 3) và u ( 2; 3; 1). 3 3 3  Cặp véc tơ chỉ phương của (P) là u (2; 3; 1) và M M (0; 1; 3) 2 2 3  nên một véc tơ pháp tuyến của (P) là n u ; M M 2(5; 3; 1). (P) 2 2 3 Phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 2 và 3 là 5(x 2) 3(y 1) 1(z 3) 0 5x 3y z 4 0. 3. Vì (P) chứa đường thẳng 1 nên (P) đi qua hai điểm thuộc 1 là điểm M1(0; 1; 1) và N1(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (P) qua M1 có dạng a(x 0) b(y 1) c(z 1) 0, a2 b2 c2 0. Vì (P) qua N1 nên c b a. Mặt cầu (S) có tâm I(4; 1; 2) và bán kính R 14. (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi d(I; (P)) R, hay 4a b.0 ( b a).( 1) 14 5a b 14(2a2 2ab 2b2 ) a2 b2 ( b a)2 a2 6ab 9b2 0 a 3b. Chọn b 1 thì a 3; c 2 nên phương trình mặt phẳng cần tìm là (P) : 3x y 2z 3 0. 4. Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn đó qua tâm mặt cầu. Tức là mặt phẳng (P) chứa 3  và đi qua tâm I(4; 1; 2). Ta có u ( 2; 3; 1) và IM ( 6; 2; 5) nên 3 3  một véc tơ pháp tuyến của (P) là n u ; IM (13; 4; 14). (P) 3 3 161
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Phương trình mặt phẳng cần tìm là (P) : 13x 4y 14z 20 0. 5. Vì (P) chứa đường thẳng 2 nên (P) đi qua hai điểm thuộc 2 là điểm M2 ( 2; 2; 0) và N2 (0; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) qua M1 có dạng a(x 2) b(y 2) c(z 0) 0, a2 b2 c2 0. Vì (P) qua N2 nên c 2a 3b. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có 210 bán kính bằng r nên 6 210 49 7 d2(I; (P)) R2 r2 14 d(I; (P)) . 36 6 6 7 6a 3b (2a 3b).( 2) Do đo ù 6 a2 b2 (2a 3b)2 6 2a 3b 7 5a2 12ab 10b2 218 221a2 660ab 435b2 0 a 2b; a b. 221 Nếu a 2b thì chọn b 1 ta có a 2; c 1 nên phương trình mặt phẳng (P) : 2x y z 2 0. 218 Nếu a b thì chọn b 221 ta có a 218; c 227 nên phương 221 trình mặt phẳng (P) : 218x 221y 227z 6 0. Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là (P) : 2x y z 2 0 và (P) : 218x 221y 227z 6 0. CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Lập phương trình mặt cầu (S) biết 1. Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) bán kính R = 5 2. Mặt cầu (S) có tâm nằm trên Ox và đi qua A(1; 2;1), B(3;1; 2) 3. Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 4) và tiếp xúc với mp(P) : 2x y 2z 4 0 . 4. Mặt cầu (S) đi qua C(2; 4; 3) và các hình chiếu của C lên ba trục tọa độ. 162
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5. Mặt cầu (S) có tâm nằm trên mp(Oxy) và đi qua M(1; 0; 2), N( 2;1;1), và P( 1; 1;1) . 6. Có tâm I(6; 3; 4) và tiếp xúc với Oy Bài 2 Lập phương trình mặt cầu (S) , biết (S) : 1. Có tâm I(1;1; 2) và tiếp xúc với mp (P) : x 2y 2z 1 0 ; 2. Có bán kính R 3 và tiếp xúc với mp (P) : x 2y 2z 3 0 tại điểm A(1;1; 3) ; x 2 y 1 z 1 3. Có tâm nằm trên đường thẳng d : và tiếp 3 2 2 xúc với hai mặt phẳng (P) : x 2y 2z 2 0 và (Q) : x 2y 2z 4 0 ; 4. Đi qua bốn điểm A(0;1; 0), B(2; 3;1), C( 2; 2; 2) và D(1; 1; 2) ; 5. Có tâm thuộc mp (P) : x y z 2 0 và đi qua ba điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0) , C(1;1;1) ; x 2 6. Có tâm nằm trên đường thẳng d : và tiếp xúc với hai y 0 mặt phẳng P : x 2z 8 0 và Q : 2x z 5 0 . Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 3; 3; 0 , B 3; 0; 3 , C 0; 3; 3 , D 3; 3; 3 . 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D . 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Bài 4 Lập phương trình mặt cầu S(I; R) biết 1. Mặt cầu có tâm I(2;3;1) và tiếp xúc với đường thẳng x 2 y 1 z 1 : . 1 2 2 163
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. x 2 y 3 z 2. Mặt cầu có tâm I(1;3;5) và cắt : tại hai điểm 1 1 1 A,B sao cho AB 12. x 2 y 3 z 1 3. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : , đi qua 1 1 2 x 4 y 6 z 19 M(2;3;20) và tiếp xúc với d : . 3 2 2 Bài 5 Lập phương trình mặt cầu S(I, R) biết x 2 y 1 z 1 1. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng : và 1 2 2 tiếp xúc với mặt phẳng ( 1) : 3x 2y z 6 0 và mặt phẳng ( 2) : 2x 3y z 0 x 2 y 3 z 2. Mặt cầu có tâm I(1; 3;5) và cắt : tại hai 1 1 1 điểm A, B sao cho AB 12 x 2 y z 3 3. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : , đi 1 1 2 x 2 y 2 z 4 qua M(1;1; 4) và tiếp xúc với d : . 1 1 4 Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình : 2x 2y z 4 0 và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài 7 Cho mặt cầu (S) :(x 1)2 y2 (z 2)2 9.Chứng minh rằng 1. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) :2x 2y z 5 0. Tìm tọa độ tiếp điểm M. x 3 y 1 z 2. Mặt cầu cắt đường thẳng : tại hai điểm phân 2 1 1 biệt. Tìm tọa độ các giao điểm đó. Bài 8. Lập phương trình mặt cầu S(I; R) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( 1 ) : 6x 3y 2z 35 0, ( 1 ) : 6x 3y 2z 63 0.Đồng thời mặt cầu 1. Có một tiếp điểm là A(5; 1; 1). 2. Qua hai điểm B(1; 3; 2), C( 1; 0; 3). 164
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 9. Lập phương trình đường thẳng biết 1. song song với (P) : x y z 0 và cắt đường thẳng 1; 2 lần x y z x 1 y z 1 lượt tại A,B sao cho AB 2 với : , : . 1 1 1 2 2 2 1 1 2. thuộc mặt phẳng (Q) : x y z 2 0, vuông góc với đường x 3 y 2 z 1 thẳng d : đồng thời khoảng cách từ giao điểm của 2 1 1 d và (Q) đến bằng 42. 3. qua điểm C(0; 5; 0), vuông góc với đường thẳng d1 và tiếp xúc x 1 y 1 z với mặt cầu (S) với d : và 1 1 2 2 (S) : x2 y2 z2 4x 6y 2z 5 0. Bài 10. Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 6z m 0. Tìm m sao cho 1. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x 2y 2z 1 0. 2. Mặt cầu cắt mặt phẳng (Q) :2x y 2z 1 0 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 4 . x 1 y z 2 3. Mặt cầu cắt đường thẳng : tại hai điểm 1 2 2 phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông ( I là tâm mặt cầu). Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz 1. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2x 2y z 1 0, () : x 2y 2z 4 0 và mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 4x 6y m 0 . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 8 . 2. Cho mặt phẳng P : 2x 2y z m2 3m 0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) . Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm 165
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. Cho hai đường thẳng có phương trình x 3 t x 2 y 3 z 4 1 : , 2 : y 1 (t ¡ ). 2 5 1 z 10 t Gọi A,B lần lượt là các điểm trên 1, 2 sao cho AB vuông góc với 1 và 2. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với 1 tại điểm A, tiếp xúc với 2 tại điểm B. Bài 12. Cho đường tròn (C) là giao tuyến của ( ) : x 2y 2z 1 0 và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 4x 6y 6z 17 0 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) 2. Viết phương trình mặt cầu (S ') chứa đường tròn (C) và có tâm nằm trên (P) : x y z 3 0 . Bài 13. Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có các phương trình tương ứng là: (P1) : 2x y 2z 1 0 ; (P2) : 2x y 2z 5 0 và điểm A( 1;1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S) là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1), (P2) 1. Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu (S) là một hằng số và tính bán kính đó. 2. Gọi I là tâm của hình cầu (S) . Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố định. Xác định toạ độ của tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 166